cmbdt có điều kiện

Các quy ớc viết tắt
1-ĐPCM : điều phải chứng minh
2-BĐT : Bất đẳng thức
3-CMR : Chứng minh rằng
4-GTNN : Giá trị nhỏ nhất
5-GTLN : Giá trị lớn nhất
6-THCS : Trung học cơ sở
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán Chứng
minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài
không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì
không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên
cứu và mạnh dạn trình bày Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều
kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử
nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học
sinh .
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán về chứng minh bất đắng thức , tôi đã tiến hành
kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh
sau:
Bài1: (6đ) a) Ch o a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a
4
+ b

4
>
8
1

Kết quả cụ thể :
Điểm dới 5
5 6
7
810 510
SL % SL % SL % SL % SL %
10 50 7 35 2 10 1 5 10 50
Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm đợc bài 2. Qua kết quả có thể thấy học
sinh không có biện pháp giải dạng toán kiểu chứngminh BĐT có điều kiện
Từ thực tế trên , tôi đã mạnh dạn nghiên cứu phơng pháp dạy học sinh chứng minh BĐT
có điều kiện , nhằm giúp học sinh có phơng pháp t duy trong việc tìm lời giải của bài toán
chứng minh BĐT
III) Cơ sở ph ơng pháp
4
- Phơng pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các
điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức đợc học trong sách giáo
khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học sinh có thể đa ra lời giải chứng minh ngắn gọn
đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu thức đại
số
IV) Phạm vi áp dụng của đề tài .
- Bản kinh nghiệm sáng kiến này đợc áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề
trong trờng học hoặc sử dụng để bồi dỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển
học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông .
- Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức
có điều kiện có thể sử dụng phơng pháp này .Song tuỳ theo từng bài cụ thể . ( Còn có

những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn
đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
5
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b
2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b

2
) = a
3
+ b
3

( a - b ) (a
2
+ ab +b
2
) = a
3
- b
3
(a b)
4
=a4a
3
+ 6a
3
b
3


4ab
3
+b
4
II) Các bất đẳng thức :
(a b)

2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)

4
+ (3 - m)
4
=

432234432234
34363433436343 mm.m.m.mm.m.m..
.
+++++++=

=
1622108162
42
++
mm
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a
4
+ b
4
32
Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt
6




=
+=

mb
ma
2
2
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với








=
+=

m
c
b
m
c
a
2
2
Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt





=
+=
+=
baz
by
ax
1

1
1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
2


6
4
3
2
6
2
2

+






++
bb
a
Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM .
Nhận xét 2 : Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:









=
+=
+=
nm
k
z
n
k
y

m
k
x
3
3
3
Hoặc









+=
+=
+=
c
k
z
b
k
y
a
k
x
3
3

3
với a +b +c = 0
7
Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên .
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd
2
1
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
zyd;zyc;zxb;zxa
=+=+=++=
4
1
4
1
4
1
4
1
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
(a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =

++






+






+++

++=
zyzxzyzxyxyx
4
1
4
1
2
4
1
4
1
2
2
1
2
1
( )
2
1
4
2
1
2
2
=
zyx
Vớii mọi x , y . z .
Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.

Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :












=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx
k
b
zx
k
a

4
4
4
4
Hoặc













+=
+=
+=
+=
q
k
d
p
k
c
n
k

b
m
k
a
4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt




=
+=
xbd

xac
Với x tuỳ ý
8