ĐỀ CƯƠNG ÔN HSG GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÌNH CASIO

đề c ơng ôn đội tuyển casio
1. Dạng 1: Tính
Có thể tính theo biểu thức hoặc sử dụng các dấu ngoặc đơn
Có thể tính từng thành phần một rồi lu lại kết quả tự động vào AnS khi biểu
thức quá dài
Bài 1. Thực hiện phép tính
A=
1 1
1 .
1 9 3,5 1
4 0,25
2 : :
7 100 69
9 10 2
.0,5. 7
1
2 1 2,2.10
1:
5
+
+ +

+
Giải 1: ấn phím theo biểu thức hoặc sử dụng dấu ngoặc ta đợc A = 10
Cũng có thể tính từng thành phần một
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức A =23% của
3
2
2
15 9 8
47,13 : 11 4

7 22 21
14 13
12,49 2
25 24

+
ữ



+

ữ



Giải 2: ấn phím theo biểu thức hoặc sử dụng dấu ngoặc ta đợc
A=-109,3409047
Bài 3: Tính 20062006 x 20072007
Giải 3: 402684724866042
Bài 4: Tính
a)
3 3
3 3 3
5 4 2 20 25A = +
b)
3 3
3 3
3 3
54 8

200 126 2 6 2
1 2 1 2
B = + + +
+ +
c)
2 2
3
2 3
5
1, 263
3,124 .15.2,36
C

=
Giải 4: a) A=-0,700213952 B = 1,224443667 C =0,323640831
Bài 5: Tính
a) 5% của A=
( )
3 3 5
6 3 5
5 14 6
21 1, 25 : 2,5


ữ


b) 5% của
7 5 2
85 83 : 2

30 18 3
0,004
B


ữ

=
c)
5% 2,5%A B+

Giải 5: a) KQ = 0,125 b) KQ =
55
6
=
9,1666666667 c) KQ =
113
24
=
4,70833333
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức
1
( )
3 3 3
26 15 3. 2 3 9 80 8 80A = + + + +
Giải 6: ấn phím theo biểu thức ta đợc A

2,636966185
Bài 7: Tính
a) A =

5 5
2,4 1 .4,375 2,75 1 .21
67
7 6
:
2 1 3
200
8 0,45
3 6 20


+
ữ ữ








b) B = 12% của
3
4 3
b
a

+
ữ

Biết:
( )
( ) ( )
2 1
3: 0,09 : 0,15 : 2
2,1 1,965 : 1,2.0,045
1: 0, 25
5 2
;
0,3206 0,03 5,3 3,88 0,67 0,00325 0,013 1,6.0,625
a b


ữ


= =
+ + +
Giải 7: a)A = (B-C):
67
200
=(36-
5 67
) : 100
2 200
=
b)
30000 1948 36151872
; 4,641818112
1997 13 7788300

a b B= = =
Bài 8:Tính
5 7 5 7 5 7 5 7 5N = + + + +
chính xác đến 0,0001
Giải 8: Có thể tính theo biểu thức hoặc tính từ trong ra ngoài. KQ:
N=53,2293
2. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa biến
Có thể tính theo biểu thức hoặc gán vào các biến
Muốn gán x = 15 cho biến A ta làm nh sau: 15 Shist Sto A
Gọi số nhớ ở biến A ta làm nh sau: Alpha A
Muốn xoá giá trị gán ở A ta làm nh sau: 0 Shist Sto A
Muốn xoá giá trị gán ở tất cả các biến ta làm nh sau: Shist CLR 1 =
Bài 9:Tính giá trị của biểu thức
Q=
2 2 3 3
3 2 2 3
4 6
3 3
xy x y x y
x x y xy y

+
Khi x = 0,12345 và y = -3,13769
Giải 9: Để nhanh hãy gán x và y cho các biến. KQ:Q = -1,037854861
Bài 10: Cho biểu thức
( )
3
2 1
.
2 2 2

1
x x x
A
xy y x x xy y
x y

=
+

Tính giá trị của biểu thức với x = 2,478369; y = 1,786452
Giải 10:Có thể rút gọn rôi tính. KQ: A

0,718356543
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức
H=
3
1 1
1 1 1
x x
x x x x x

+
+
Khi
53
9 2 7
x =

Giải 11: Có thể rút gọn rôi tính. KQ:H = -21,58300524
2

Bài 12: Tính giá trị của biểu thức
2 3
2
3 2 5
6
x y xz xyz
I
xy xz
+
=
+
Với x=2,42; y= -3,17 ;
4
3
Z =
Giải 12: Thay vào hoặc gán ta đợc KQ: I= -0,7918
3. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đặc biệt-Dãy số viết theo quy luật
Bài 13: Tính giá trị của biểu thức sau
5 4 3 2
5 4 3 2
1
1
x x x x x
P
y y y y y
+ + + + +
=
+ + + + +
Khi x = 1,20381; và y = 0,32465
Giải 13: Tử thức và mẫu thức là các cấp số nhân nên tống của nó đợc tính theo công

thức: S
n
=
( )
1
1
1
n
a q
q


. Do đó P=
A
B
với
6 6
1 1
;
1 1
x y
A B
x y

= =

. KQ: P = 6,778735237
Bài 14: Tính S =
1 1 1 1 1 1
7 91 247 475 775 1147

+ + + + +
Giải 14: Ta có:
2
7 4 9 1.7= =

2
2
2
91 10 9 7.13
247 16 9 13.19
1147 34 9 31.37
= =
= =
= =
Vậy S=
1 1 1 1

1.7 7.13 12.19 31.37
+ + + +
Ta lại có:
1 1 6 1
6.
1 7 7 1.7
= =

1 1 6 1
6.
7 13 7.13 7.13
= =

Nên
1 1 1 1 1 1 36 6
6 1 1 0,162162
7 7 13 31 37 37 37 37
S S= + + + = = =
Bài 15: Tính
a) A+B. Biết

( )
5 3 29 12 5 ; 3 1 6 2 2. 3 12 2 18 4 8A B= = + + +
b) X=
5 13 5 13 + + + +
Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại
cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn
Giải 15:a)
29 12 5 2 5 3 3 29 12 5 5 1 1A = = =
18 4 8 4 2 12 2 18 4 8 4 12 3 1 = + + = + = +
3 12 2 18 4 8 + +
( ) ( ) ( )
3 3 1 2 3 3 1 6 8. 2 3 3 1 3 1 2D= = = + + =
Vậy A+B = 1+2 = 3
b)Ta tính:
5 13+ =
. Rồi lặp dãy:
13 : 5Ans Ans+ + =
ta đợc kết quả bằng 3
Bài 16: Tính
3
M=
1 1 1 1

2 3 4 4000
3999 3998 3997 1

1 2 3 3999
+ + + +
+ + + +
Giải 16: Xét
3999 3998 3997 1

1 2 3 3999
A = + + + + =

3998 3997 3996 1
1 1 1 1 1
2 3 4 3999
4000 4000 4000 4000

4000 3999 3998 2
1 1 1
4000.
2 3 4000

+ + + + + + + + + =
ữ ữ ữ ữ


+ + + + =
ữ ữ ữ ữ

+ + +
ữ

Vậy
1 1 1

1
2 3 4000
1 1 1
4000
4000
2 3 4000
M
+ + +
= =

+ + +
ữ

Bài 17: Tính giá trị của biểu thức
2
2
2
1999 1999
1 1999
2000 2000
P = + + +
Giải 17:KQ: P = 2000
Bài 18: Tính

2 2 2 2 2
2008 2007 2006 2005 2 1S = + + +
Giải 18: Dùng hằng đẳng thức a
2
-b
2
để rút gọn
( )
2008
2008 1 2017036
2
S = +
Bài 19: Tính T=
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 2007 2008
+ + + +
+ + + +
Giải 19: Ta có:
1
3 2
2 3
=
+
.Nên
T =
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 2008 2007 2008 1 43,810713 + + + =
Bài 20: a) Cho a+b+c = 0 và a
2

+b
2
+c
2
=14. Tính A = a
4
+b
4
+c
4
b) Cho
1 1 1
2
a b c
+ + =
và a+b+c = abc. Tính B =
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
Giải 20:a) Ta có: (a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca)=0

14+2(ab+bc+ca)=0

(ab+bc+ca)=-7

(ab+bc+ca)
2
=47

a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
+2abc(a+b+c)=49

a
2
b
2
+b
2
c
2

+c
2
a
2
=49
Ta lại có: a
4
+b
4
+c
4
=(a
2
+b
2
+c
2
)
2
-2(a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a

2
)=14
2
-2.49=98
b) Ta có:
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
4 2 2
a b c
a b c a b c ab bc ca a b c abc
a b c
+ +

+ + = + + + + + = + + +
ữ ữ ữ

+ + = =
Bài 21: Tính giá trị của biểu thức
4
a) A=
24 20 16 4
26 24 22 2
1
1
x x x x

x x x x
+ + + + +
+ + + + +
b) B=
2 3 4 2007 2008
1 2 3 4 2007 2008

5 5 5 5 5 5
+ + + + + +
Giải 21: a)Ta thấy tử thức là một dãy số nhân có công bội là x
4
, nên đợc túnh theo
công thức
( )
1
1
1
n
n
a q
S
q

=

. Và mẫu thức cũng là cấp số nhân có công bội là x
2
Vậy
( )
( )

7
4
4
14
2
2
2
1
1
1 4
0,01014753442
1
1
1
x
A
x
x
x


= = =
+


b) Đặt
1
5
a=
. Ta có: B=a+2a

2
+3a
3
+ +2008a
2008
B=(a+a
2
+a
3
+ +a
2008
)+(a
2
+a
3
+ +a
2008
)+(a
3
+a
4
+ +a
2008
)+ +(a
2007
+a
2008
)+a
2008

B=
( ) ( ) ( )
( )
2008 2 2007 2007 2
2008
1 1 1
1

1 1 1 1
a q a q a q
a q
q q q q


+ + + +

Với q=a

( )
( )
( )
2009 2 2009 3 2009 2008 2009
2008
2009
2 3 2008 2009
2009 2010
2

1
1

2008
2008
1
1 1
2009 2008 5
0,3125
16
1
a a a a a a a a
a
a a
a
a a a a a
a
B
a a
a a a
B B
a
+ + + +



+ + + +

= =

+
= = =

Bài 22: Tính
1 1 1

1 2 2 1 2 3 3 2 2004 2005 2005 2004
S = + + +
+ + +
Giải 22:Ta có:
( )
1 1 3 2 1 1
2 3 3 2 2.3 2 3
2.3 3 2

= = =
+
+
Vậy

2 1 3 2 2005 2004

1.2 2.3 2004.2005
S

= + + +

1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 2004 2005
1
1 0,97767
2005

S
S
= + + +
= =
Chú ý : Ta hay gặp một số dãy số có quy luật sau:
- Dãy số cộng
- Dãy số nhân
- Dãy số có dạng:
5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1

2 ( 1) 1
a a a
a
m m k m k m k m nk m n k m m n k

+ + + =
ữ
ữ
+ + + + + + + +

- Dãy số có dạng:
a b c+
là một hằng đẳng thức
- Dãy số có dạng:
2
a a
n n k n k n k

+
+ + + + +
4. Dạng 4: Tìm số d của phép chia hai số
Bài 23: Lập quy trình bấm phím và tìm số d của phép chia số 18901969 cho số
2382001
Giải 23: Quy trình: 18901969 : 2382001 =
18901969 2382001 x 7 = 2227962
Bài 24: Tìm số d của phép chia
a) 9124565217:123456
b) 2345678901234:4567
Giải 24: a) KQ là 55713
b) Vì số bị chia lớn hơn 10 chữ số nên ta cắt thành nhóm đầu 9 chữ số (kể từ
trái sang) tìm số d nh bình thờng, ta đợc: 234567890:4567 d là 2203
Viết liên tiếp sau số d vừa tìm đợc các số còn lại tối đa đủ 9 chữ số, tìm só d lần
hai ta đợc: 22031234:45467 d là 26. Vậy kết quả là 26
Bài 25: Tìm số d r khi chia 24728303034986074 cho 2003
Giải 25: Đáp số : 397
5. Dạng 5: Bài toán về đa thức
5.1. Tìm số d của đa thức
Số d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-a) là r =f(a)
Thờng dùng hai cách để tìm đa thức d
*) Cách nhẩm nghiện của đa thức chia (dùng khi đa thức chia có nghiệm)
*) Cách biến đổi đa thức bị chia về dạng thích hợp (dùng khi đa thức chia vô
nghiệm
5.2. Tìm điều kiện để đa thức chia hết
Để đa thức f(x) chia hết cho đa thức nào đó thì số d phải bằng 0 (m = -f(a))
5.3. Tính giá trị của đa thức
Viết đa thức dới dạng tích của nhiều nhị thức thích hợp rồi thay giá trị của biến
vào để tìm các hệ số
5.4. Xác định đa thức

Bài 26: Tìm số d của phép chia
a)
( )
( )
4 3 2
3 5 4 2 7 : 5x x x x x+ +
( )
( )
( )
( )
5 3 2
4 3 2
) 7 3 5 4 : 3
) 3 5 4 2 7 : 4 5
b x x x x x
c x x x x x
+ + +
+ +
Giải 26: a) r = 2403 ; b) r = -46 ; c) r =
687
256
Bài 27: Cho đa thức P(x) = x
5
+2x
4
-3x
3
+4x
2
-5x+m

a) Tìm số d trong phép chia P(x) cho x-2,5 khi m = 2003
6
b) Tìm giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x-2,5
c) Muốn P(x) có nghiệm x = 2 thì m phải có giá trị bằng bao nhiêu
Giải 27:a) r = P(2,5) = 2144,40625
b) m = -P(2,5)= -141,40625
c) P(2) = 0
46m =
Bài 28: Cho đa thức Q(x)= x
4
+mx
3
+nx
2
+px+q. Biết Q(1)=5; Q(2)=7; Q(3)=9;Q(4)=11
Tính Q(10) ; Q(11); Q(12) ; Q(13)
Giải 28:
Q(x)=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 1 2 1x x x x A x x x B x x C x D + + + +

Q(1)=D=5
Q(2)=C+D=7

C=2
Q(3)=2B+2C+D=9

B=0
Q(4)=6A+6B+3C+D=11

A=0
Q(x)=x
4
-10x
3
+35x
2
-48x+27
Q(10)=3047
Q(11)=5065
Q(12)= 7947
Q(13)= 11909
Bài 29: Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x
4
2x
3
+ 5x
2
+ (m 3)x +
2m 5 tại x = -2,5 là 0,49
Giải 29: f(-2,5)-0,49 =0

mx+2m= -103,5725

m=207,145
Bài 30: a/ Tìm d khi chia đa thức x
100
2x
51
+ 1 cho x

2
1
b/ Tìm d khi chia đa thức x
100
2x
51
+ 1 cho x
2
+ 1
Giải 30:a) Ta có: f(x)=x
100
-2x
51
+1=(x
2
-1).q(x)+ax+b
f(1)=0=a+b
f(-1)=4=-a+b

b=2 ; a = -2. Vậy d là : -2x+2
b) Ta có f(x)=(x
100
+x
2
)-(2x
51
+2x)-(x
2
+1)+(2x+2)
f(x)=x

2
(x
98
+1)-2x(x
50
+1)-(x
2
+1)+(2x+2)
Vì : x
2
(x
98
+1)
M
(x
2
+1) ; 2x(x
50
+1)
M
(x
2
+1) ; (x
2
+1)
M
(x
2
+1). Và
(2x+2) chia cho (x

2
+1) d là : 2x+2
Vậy d là : 2x+2
Bài 31: Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d với P(1) = 1988; P(2) = 10031; P(3) =
46062; P(4) = 118073. Tính P(5)
Giải 31:P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-1)(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)+D
P(1)=D=1988
P(2)=C+D=10031

C=8043
P(3)=2B+2C+D=46062

B=13994
P(4)=6A+6B+3C+D=118073

A=1332
P(5)= 234080
Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ x

2
+ cx + 450, biết đa thức P(x) chia hết
cho các đa thức x 2; x 3; x 5. Hãy tìm a, b, c và các nghiệm của P(x).
Giải 32:P(2)=192+16a+8b+4+2c+450=0

c+4b+8a=-323
P(3)=1458+81a+27b+9+3c+450=0

c+9b+27a=-639
7
P(5)=18750+625a+125b+25+5c+450=0
⇒
c+25b+125a=-3845
KÕt qu¶ : a = -59 ; b = 161 ; c = -495
Ta cã: P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(mx
2
+nx+q)
⇒
m = 6 ; n= 1 ; q = -15
P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(6x
2
+x-15)= )=(x-2)(x-3)(x-5)(3x+5)(2x-3)
VËy nghiÖm cña P(x) lµ:x= 2; 3 ;5 ;
3
2
;
5
3
−
Bµi 33: Cho ®a thøc P(x) = x

4
+ ax
3
+ cx
2
+ dx + e. BiÕt P(1) = –1; P(2) = 3; P(3)
= 13; P(4) = 29.
a) TÝnh P(–1), P(25), P(30), P(222)
b) T×m d khi chia P(x) cho 5x – 3
Gi¶i 33:P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-1)(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)+D
P(1)=D= -1
P(2)=C+D=3
⇒
C= 4
P(3)=2B+2C+D=13
⇒
B=3
P(4)=6A+6B+3C+D=29
⇒
A=0
a)P(-1)=120
P(25)=256775
P(30)=572575
P(222)=2321362783
b)r = 3,6496
Bµi 34: Cho ®a thøc P(x) = 3x
5
+ ax
4
+ bx

3
+ cx
2
+ dx + 144503. BiÕt P(–1) = 4;
P(–2) = 19; P(–3) = 44; P(–4) = 79
a) TÝnh P(–29), P(29), P(–74), P(74), P(234)
b) T×m d khi chia P(x) cho x
2
+ 5x + 6
Gi¶i 34:P(x)=3x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+A(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+B(x+1)(x+2)(x+3)+
C(x+1)(x+2)+D(x+1)+E
P(-1)=E=4
P(-2)=-D+E =19
⇒
D = -15
P(-3)=2C-2D+E =44
⇒
C = 5
P(-4)=-6B+6C-3D+E=79
⇒
B = 0
P(0)=24A+6B+2C+D+E=144503
⇒
A=6021
P(x)=3x
5
+6051x
4
+60315x
3

+210890x
2
+301122x+144503
P(-29)=2915971804
P(29)=5998548829
P(-74)=151483386559
P(74)=213723848973
P(234)=21031404931259
Bµi 35: T×m m ; n ; p sao cho ®a thøc f(x)=x
5
+2,734152x
4
-3,251437x
3
+mx
2
+nx+p
chia hÕt cho ®a thøc g(x)=(x
2
-4)(x+3)
Gi¶i 35:P(2)=0=32+43,746436-26,011496+4m+2n+p
⇒
4m+2n+p=-49,73494
P(-2)=0=-32+43,746436+26,011496+4m-2n+p
⇒
4m+2n+p=-37,757932
P(-3)=0=-243+221,466312+87,788799+9m-3n+p
⇒
9m-3n+p=-66,255111

⇒
m=-6,2982862 ; n=-2,994252 ; p=-18,5532912
8
Bài 36: Xác định a và b sao cho đa thức P(x)=ax
4
+bx
3
+1 chia hết cho đa thức
Q(x)=(x-1)
2

Giải 36: Để P(x) chia hết cho (x-1)
2
thì P(x) phải chia hết cho x-1. Ta có
P(x)=(x-1)(mx
3
+nx
2
+px+q) = mx
4
+(n-m)x
3
+(p-n)x
2
+(q-p)x-q
q = -1 ; p = -1 ; n = -1. Vậy P(x) = (x-1)(mx
3
-x
2
-x-1) = (x-1).Q(x)

Để P(x) chia hết cho x-1 thì Q(x) phải chia hết cho x-1 hay Q(1)=0

m = 3
Vậy a = 3 ; b = -4
Bài 37: Cho hai đa thức P(x)=x
4
+5x
3
-4x
2
+3x+m và Q(x)=x
4
+4x
3
-3x
2
+2x+n
a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) chia hết cho x-2
b) Hãy chứng tỏ đa thức R(x)=P(x)-Q(x) có một nghiệm duy nhất với giá trị của
m và n vừa tìm đợc
Giải 37: a) Để P(x) chia hết cho x-2 thì P(2)=0
(2) 46m P m = =
Để Q(x) chia hết cho x-2 thì Q(2)=0
(2) 40n Q n = =
b) Ta có R(x)=x
3
-x
2
+x-6. Vì P(x) và Q(x) đều chia hết cho x-2 nên R(x)
cũng chia hết cho x-2. Do đó ta có R(x)=x

3
-x
2
+x-6 = (x-2)(x
2
+x+3).
Mà
2
2
1 3
3 0
2 4
x x x

+ + = + + >
ữ

với
x

. Suy ra R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất
Bài 38: Tìm số d trong phép chia: x
14
-x
9
-x
5
+x
4
+x

2
+x+723 cho: x-1,624
Giải 38: r = 85,92136979
Bài 39: Tìm số d trong phép chia: x
5
-7,834x
3
+7,581x
2
-4,568x+3,194 cho: x-2,652
Tìm hệ số của x
2
trong đa thức thơng của phép chia trên
Giải 39: r = 29,45947997 ; B
2
= -0,800896
Bài 40: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)=x
4
-3x
3
+3x
2
+ax+b chia hết cho đa
thức g(x)=x
2
-3x+4
Giải 40: Ta có: f(x) = x
2
(x
2

-3x+4)-(x
2
-ax-b)
Vì : x
2
(x
2
-3x+4)
M
g(x) nên f(x)
M
g(x) khi (x
2
-ax-b)
M
g(x). Suy ra a = 3 ; b = -4
Bài 41: Cho đa thức: Q(x)=x
3
+ax
2
+bx+c
a)Tìm các hệ số a, b, c biết khi chia Q(x) lần lợt cho (x-1,2) ; (x-2,5) ; (x-3,7) thì
đợc d theo thứ tự là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b)Tìm số d r khi chia Q(x) cho(2x+5)
c)Tìm x khi Q(x) có giá trị bằng 1989
Giải 41:a) Q(x) = (x-1,2)(x-2,5)(x-3,7)+M(x-1,2)(x-2,5)+N(x-1,2)+P
Q(1,2) = P = 1994,728
Q(2,5) = N(2,5-1,2)+1994,728 = 2060,625
5069
50,69

100
N = =
Q(3,7)=M(3,7-1,2)(3,7-2,5)+50,69(3,7-1,2)+1994,728=2173,653

87
17, 4 7, 4 10; 3; 1975
5
M a M b c = = = = = =
b) r = 2014,375
c) x
1
=-9,531128874 ; x
2
= 1 ; x
3
= -1,468871126
Bài 42: a) cho đa thức P(x)=x
5
+ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+132005. Biết rằng P(1)=8 ; P(2)=11 ;
P(3)=14 ; P(4)=17. Tính P(11) ; P(12) ; P(14) và P(15)
9
b) Cho hai đa thức : F(x)=1+x+x
9
+x

25
+x
49
+x
81
và G(x)=x
3
-x. Tìm đa thức d
R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) và tính R(701,04)
Giải 42:a) P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+5500(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+3(x-1)+8
P(11)=22775478 ; P(12)=95081 ; P(14)=240287 ; P(15)=360410
b) F(x)= G(x).Q(x)+R(x)=G(x).Q(x)+ax
2
+bx+c
F(0)=1 ; F(-1)=-4 ; F(1)=6

R(0)=c=1 ; R(1)=6=a+b+c ; R(-1)=-4=a-b+c

a=0; b=5; c=1

R(x)=5x+1
6. Dạng 6: Tính giá trị của biểu thức l ợng giác
Bài 43: Tính giá trị của biểu thức
A = cos
2
75
0
2118 + sin
2
75

0
2118; B =
0 ' 0 '
0 '
2 30 25 sin 47 30
cot 37 15
cos
g

Giải 43: A=1 B = 0,750878633
Bài 44: Cho
20
cot
21
g

=
. Tính
2
2
3
sin 3sin 2
2
cos cos
A




+

=

Giải 44: A = -0,73584196
Bài 45: Tính M =
0 ' 4 0 '
3
3 7 0 ' 3 0 '
235,68 cot 23 35. 69 43
62,06 69 55.sin 77 27
g cos
tg
Giải 45: M = 0,0000000008
Bài 46: Tính
a) M = 2
0
47

53

+4
0
36

435

b) N =
( )
( )
3 3 2
3 3 3

1 sin
sin cot
cos tg
cos g


+ +
+
. Biết sin

=0,3456 ; 0
0
<

<90
0
c) Q =
3 3
3 2
8. 2.sin
2 sin sin
cos cos
cos


+
+
. Biết tg

=2,324 và

là góc nhọn
Giải 46: a) M = 7
0
24

28

b) N = 0,057352712
c) Q = -0,769172966
Bài 47:
a) Tính C=sin
2
12
0
+ sin
2
22
0
+sin
2
32
0
+sin
2
58
0
+ sin
2
68

0
+sin
2
78
0
b) Tính
D=cos
2
15
0
+ cos
2
25
0
+ cos
2
35
0
+ cos
2
55
0
+ cos
2
65
0
+ cos
2
75
0

+3(sin
2
18
0
+sin
2
72
0
)
Giải 47: a) C=(sin
2
12
0
+sin
2
78
0
)+(sin
2
22
0
+sin
2
68
0
)+(sin
2
32
0
+sin

2
58
0
)=3
b) D=6
Bài 48: Tính
2 0 ' 2 0 '
3 3 0 ' 2 0 '
12,35 30 25.sin 23 30
3,06 .cot 15 45. 35 20
tg
A
g cos
=
Giải 48: A = 0,00022656233
7. Dạng 7: Liên phân số
10
Bài 49:Tính C=
1
5
1
1
1
3
1
1
4
+
+
+

+
Giải 49: C =
101
4,208(3)
24

Bài 50: Tìm các số tự nhiên a ; bsao cho
12246 1
5
1
2107
1
1
4
1
3
1
8
1
a
b
= +
+
+
+
+
+
Giải 50: a=2 ; b = 7
Bài 51: Giải phơng trình

4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
Giải 51: Đặt
1 1
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
A B= =
+ +
+ +
+ +
Phơng trình trở thành: 4+Ax=Bx
(A-B)x= -4

4

x
A B

=


30 17 12556
;
43 73 1459
A B x

= = =
Bài 52: Tìm a ,b ,c biết

3 12585 20052006 1
)9 )
2 1
1354 2007
10
1 1
a b a
b
a c
b d
+ = = +
+ +
+ +
Giải 52: a) a = 11 ;b = 12
b) a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2
Bài 53: Tìm x biết

4 1 2
4
1 8
2 1
1
9
3
2 4
4
2 1
4 1
1 2
7
5
1
8
x
+ = +

+ +
ữ

+
ữ
ữ
ữ
+ +
ữ
ữ
ữ

+ +
ữ

+
ữ

Giải 53: x =
1389159
1,106910186
1254988

11
Bài54 : Tính A= 5%(a+
)
2
b
với
1 1
7 90 1
2 3
0,3(4) 1,(62) :14 : ; 5
1
11 0,8(5) 11
1
1
1
1
1
2
a b

+
= + = +
+
+
+
Giải54 : b = 5,625 ; a =
1 1
31 161 7 90 106
2 3
:14 :
77
90 99 11 11 315
90
+
+ =
A =
79355
504000
= 0,1574540396
8. Dạng 8:Số học
8.1. Tìm ƯCLN ; BCNN của a và b
8.2. Tìm số có K chữ số thoả mãn điều kiện nào đó
8.3. Tìm x; y trong số
axb c
thoả mãn điều kiện nào đó
8.4. Tìm cặp số (x; y)
8.5. Tìm nghiệm nguyên
8.6. Số nguyên tố- Số chính phơng
Bài 55: a) Cho a>b>0 thoả mãn 3a
2

+3b
2
=10ab. Tính giá trị của biểu thức
a b
P
a b

=
+
b) Cho x > 0 thoả mãn
2
2
1
7x
x
+ =
, Chứng minh
5
5
1
x
x
+
là số nguyên. Tìm số
nguyên đó
Giải 55: a) Vì a>b>0 nên
( )
( )
2
2

2
a b
a b
P P
a b
a b


= =
+
+
Ta có:
2 2 2 2
3 3 10 3 3 6 4a b ab a b ab ab+ = + =

( ) ( )
2 2
3 4 ;3 16a b ab a b ab = + =
2
4 4 1
16 16 2
ab
P P
ab
= = =
b) Ta có:
2 2 3
1 1 1 1
2 7 9 3 27x x x x
x x x x

+ = + = + = + =
ữ ữ ữ ữ


3 3 2 3
3 3 2 3
1 1 1 1 1
3 27 18 7.18x x x x x
x x x x x

+ + + = + = + + =
ữ ữ ữ


5 5
5 5
1 1 1
126 42x x x
x x x

+ + = + =
ữ ữ

là số nguyên
Bài56: Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 73110
2
-73109
2
Giải 56: Ta có 73110

2
-73109
2
=(73110-73109)(73110+73109)=146219
Bài 57: Tìm các ớc nguyên tố của A = 1751
3
+1957
3
+2369
3
Giải 57: ƯCLN(1751;1957;2369)=103

A=103
3
(17
3
+19
3
+23
3
)=103
3
.23939
Chia 23939 cho các số nguyên tố 2, 3, 5, , 37 ta đ ợc 23939 = 37.647
Chia 647 cho các số nguyên tố 2, 3, 5, , 29 ta đ ợc 647 là số nguyên tố
12
Kết quả 37 ; 103 ; 647
Bài 58: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng của x và y thoả mãn phơng trình
5x+7y = 112
Giải 58:

112 7
( 16)
6
y
x y

= <
. Gán 0A ; A1A. Lặp để tìm x nguyên
Kết quả (x=21; y=1) ; (x=14; y=6) ; (x=7 ; y=11)
Bài 59: Cho
{ }
0;7;14;21;28;35;42M =
. Tìm a, b

M sao cho:
a)
a
b
có giá trị lớn nhất
b)
a b
a b

+
là phân số dơng nhỏ nhất
Giải 59:
42
7
a
b

=
;
42 35
42 35
a b
a b

=
+ +
Bài 60: Tìm cặp số nguyên dơng (x, y) thoả mãn: 4x
3
+17(2x-y)=161312
Giải 60: x = 47 ; y = 15034
Bài 61: Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có:
5 7850a bcdì =
Giải 61: Số
5a
là ớc của 7850. Thử cho a = 1, 2, 3, ,9. Ta thấy a = 2 khi đó
bcd
=314
Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4
Bài 62: Cho
25
3
M x
x
= +

(x>3). Tìm x để M đặt giá trị nhỏ nhất
Giải 62:

2
3 5 25
3 3
3 3
x x
M x
x x
+
= = + +

Ta thấy
( )
25 25
3 2 3 10 10 3
3 3
x x M
x x
+ +


25
min 13 3 8
3
M khi x x
x
= = =

Bài 63: a) Số 647 có phải là số nguyên tố không
b) Tìm chữ số a biết
17089 2a

chia hết cho 109
Giải 63: a) Chia cho tất cả các số nguyên tố từ 2 ; 3; ; 29 và kết luận 647 là số
nguyên tố. Hoặc chia cho tất cả các số lẻ cho đến khi thơng nhỏ hơn số chia bằng
cách gán 1 A ghi vào màn hình A+2 A:647
ữ
A =
b) Thử a từ 0 đến 9 bằng cách lặp lại dãy sau
2 A A+10 A:1708900+A
ữ
109= =. Kết quả a = 0
Bài 64: Tìm a và b biết
2007ab
là một số chính phơng
Giải 64:Ta thấy
0 9; 0;1;4;5;6;9a b =
. Ta cũng có thể lặp để đợc kết quả a=0; b=4
Bài 65: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
Giải 65: Ghi vào màn hình 2419580247 3802197531 =
Màn hình hiện 7 11
Nhập vào 2419580247
ữ
7 Kết quả UCLN = 34564321
Nhập vào 2419580247
ì
11 = Để khỏi tràn màn hình ta xoá bớt số 2
Màn hình hiện 4615382717. Ta đọc kết qua là 26615382717
Bài 66: a) Tìm tất cả các ]ớc của 120
13
b) Tìm các bội nhỏ hơn 100 của 19
Giải 66:a) Gán 0 A ghi vào màn hình: A+1 A:120

ữ
A =
Kết quả U(120)=
{ }
1, 2,3,4,5,6,8,10,12,15, 24,30,40,60,120
b) Gán 0 Aghi A+1 A:19
ì
A=. ấn = nhiều làn cho đến khi 19A lớn hơn
100. Kết quả B(19)=0; 19; 38; 57; 76; 95
Bài 67: Phân tích số 1800 ra thừa số nguyên tố
Giải 67: Ghi vào màn hình 1800
ữ
2 = KQ: 900. Ghi thừa số 2
Ghi vào màn hình: Ans
ữ
2 = . Cứ làm nh vậy ta đợc kết quả 1800=2
3
ì
3
2
ì
5
2
Bài 68: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất và lớn nhất có dạng
1 2 3 4x y z
chia hết cho 13
Giải 68: 1929394>
1 2 3 4x y z

148414

ì
13
Để
1 2 3 4x y z
=13A thì A phải có tận cùng là 8
Để
1 2 3 4x y z
lớn nhất thì A phải lớn nhất. Mà 148415
ì
13>
1 2 3 4x y z
.
Vậy A = 148408
Số lớn : 1929304
Số bé : 1020344
Bài 69: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho 2
8
+2
11
+2
n
là số chính phơng
Giải 69: Ta có : 2
8
(1+2
3
+2
n-8
). Vì (2
2

)
n
là số chính phơng, nên 1+2
3
+2
n-8
phải là SCP
Dùng máy tính thử n =0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5; Ta đ ợc n = 12
9. Dạng 9: Luỹ thừa - Đồng d thức
9.1. Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục của a
n
9.2. Đồng d thức
Nếu a và b chia cho m đều có d là r thì ta nói a và b đồng d với nhau theo mođun
m. Và viết a

b mod m
Một số tính chất
(mod ) (mod )
(mod ) (mod )
k k
a m p a b m n p
b n p a m p
ì ì





Bài 70: Tìm số
n N

sao cho
1
1,02
1,02 1
n
n
n
n
+

<


> +


Giải 70: 1,02
10
= 1,22
1,02
100
= 7,24
1,02
200
= 52,48
1,02
300
= 380,23
Vậy 200 < n < 300
1,02

285
= 282,52
1,02
286
= 288,17. Kết quả n = 285
Bài 71: Cho biết chữ số cuối cùng của
2005
7
Giải 71: Ta thấy
1
2
3
7 7
7 49
7 343
=
=
=
4
7 2401=
14
5
6
7
8
7 16807
7 117649
7 852343
7 5764801
=

=
=
=
.
Ta thấy các số cuối lần lợt là 7; 9; 3; 1 chu kỳ 4. Mặt khác 2005=4
ì
501+1
Vậy
2005
7
có số cuối là 7
Bài 72: Tìm số d của phép chia 2004
376
cho 1975
Giải 72: Biết 376=6
ì
62+4. Ta tính
2004
2

841(mod 1975)
2004
4

841
2

231
2004
12

231
3

416
2004
48

416
4

536
2004
60

536
ì
416

1776
2004
62

1776
ì
841

516
2004
62

ì
3

516
3

1171
2004
62
ì
6

1171
2

591
2004
62
ì
6+4

591
ì
231

246
Kết quả 2004
376
chia cho 1975 d là 246
(Chú ý: ở dòng 2004

12

231
3

416 ta không thể đa lên 2004
60
đợc liền trên máy vì ở
đây phép tính số d của phép chia 4165 rất dẽ bị hiểu lầm là số nguyên 6308114289,
thực ra số ấy là 6308114288,8992 )
Bài 73: Tìm chữ số hàng chục của số 23
2005
Giải 73: Ta có
23
1

23 mod 100
23
2

29 mod 100
23
3

67 mod 100
23
4

41 mod 100
23

20

(23
4
)
5

41
5

1 mod 100
23
2000

1
100

1 mod 100
23
2005

23
1
ì
23
4
ì
23
2000

23
ì
41
ì
1

43 mod 100
Kết quả chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4
Bài 74: a) Chứng minh:
( ) ( )
1970 1970
1968 68
7 3
chia hết cho 10
b) Tìm số tự nhiên a, b để
2 2
15 15
a
b
=
Giải 74:7
2

9 (mod 10) 3
4


1 (mod 10)

7
8


1 (mod 10) (3
4
)
17


1 (mod 10)
7
20


1 (mod 10) (3
68
)
1970


1 (mod 10)
(7
20
)
98


1 (mod 10)
7

1968
.7
8


1 (mod 10)
(7
1968
)
1970


1(mod 10)
Vậy (7
1968
)
1970


(3
68
)
1970
(mod 10) . Hay (7
1968
)
1970
(3
68
)

1970
chia hết cho 10
15
10.Tỉ lệ thức
Bài Tìm hai số x ; y biết : x+y=4 ;
7
13
x
y
=
Giải
7 4
1, 4; 2,6
13 7 13 20
x x y
x y
y
+
= = = = =
+
Bài Tìm hai số x ; y biết : x-y=125,15 ;
2,5
1,75
x
y
=
Giải Đáp số : x = 417,1666667 ; y = 292,01666667
Bài Theo di chúc bốn ngời con đợc hởng số tiền là 9902490255 đồng đợc chia theo tỉ
lệ giữa ngời con thứ nhất và ngời con thứ hai là 2:3; giữa ngời con thứ hai và ngời con
thứ ba là 4:5; giữa ngời con thứ ba và ngời con thứ t là 6:7. Hỏi số tiền mỗi ngời nhận

đợc là bao nhiêu
Giải:
;
2 3 8 12 4 5 12 15 8 12 15
x y x y y z y z x y z
= = = = = =
Tơng tự ta có:
24 30 35 16 105
y z t x x y z t+ + +
= = = =

1508950896; 2263426344; 2829282930; 3300830085x y z t = = = =
Bài: Tính x và y chính xác đến 0,01 biết: x+y=125,75 và
18
15
x
y
=
11.Dạng 10: Số thập phân
11.1. Tính toán với số thập phân vô hạn tuần hoàn
11.2. Tìm chữ số thập phân thứ n của số A
Bài: Phân số nào sinh ra số thập phân sau:
a) 0,(123)
b) 4,(35)
c) 2,45(736)
Giải: a) 123/99
b) 4+35/99 = 431/99 = (435-4)/99
c) 2+45/100+736/99900=245491/99900=(245763-245)/99900
Bài: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 cho 13
Giải: Thực hiện phép chia 17 cho 13 đợc 1,307692307692. Ta thấy chu kỳ 6.

Mặt khác 105

3 (mod 6). Suy ra chữ số thập phân thứ 105 là 7
Bài : Tìm số n

N nhỏ nhất có 3 chữ số biết n
121
có 5 chữ số đầu tiên đều là số 3.
Giải: Ta biết 123
121
; 12,3
121
; 1,23
121
có các chữ số giống nhau
Ta có 1,00
121
= 1 ; 1,01
121
= 3,333 Kết quả n = 101
12.Dạng 11: Giải ph ơng trình Tìm nghiệm gần đúng
Bài : Giải phơng trình
1 3 1
4 : 0,003 0,3 .1
1
2 20 2
: 62 17,81: 0,0137 1310
1 1 3 1
20
3 2,65 .4 : 1,88 2 .

2 5 25 8
x



ữ ữ



+ =


+
ữ ữ



16
Giải:
123
: 7,6875
16
A
C D E F K x
B

= = = =
ữ

13.Dạng 12: Bài tập vể tổ hợp

*) Số các chỉnh hợp:
( )
!
!
k
n
n
A
n k
=

*) Số các hoán vị :
!
n
n n
P n A= =
*) Số các tổ hợp:
( )
!
! !
k
k
n
n
k
A
n
C
k n k P
= =

Bai Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có 6 chữ số:3; 4; 5; 6;
7; 8
Giải P
6
=6!=6.5.4.3.2.1=720
Bài: a) Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau đợc chọn trong các cgữ số từ 1 đến 7
b) Có bao nhiêu cách thành lập nhóm 4 ngời trong 10 ngời
Giải: a) ấn 7 shift nPr 4 =
b) ấn 10 shift nCr 4 =
14.Dạng 13: Bài toán gửi tiết kiệm Dân số
Bài: Một ngời hàng tháng gửi vào ngân hàng 1000 000 với lãi xuất hàng tháng là
0,8% (biết tiền lãi không rút ra và cộng vào tiền gốc của tháng sau). Hỏi sau 12 tháng
ngời đó đợc nhận bao nhiêu tiền cả gốc và lãi.
Giải: S
n
=a(1+m%)
n


S
12
= 1000 000(1+0,8%)
12
= 1 100 339
15.Dạng 14: Bài toán về dãy số tổng quát
Bài: Cho dãy số có: U
1
= 2 ; U
2

= 20 và từ U
3
trở đi đợc tính theo công thức:
U
n+1
= 2U
n
+ U
n-1
a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị U
n

b) Tính U
22
; U
23
; U
24
; U
25
Giải: a) Quy trình trên máy 570 MS
20 2 2
Rồi lặp lại

16.Bài toán hình học
Bài: Cho hình bình hành ABCD có góc ở đỉnh A là góc
tù. Kẻ AH

BC ; AK

CD (Biết góc HAK =

và H

BC ; K

CD) và độ dài AB = a ;
AD = b
a) Lập công thức tính AK ; AH
b) Gọi diện tích hình bình hành ABCD là S
1
, diện tích tam giác AHK là S
2
. Lập
công thức tính:
1
2
S
S
c) Tính diện tích phần còn lại khi đã khoét đi diện tích tam giác AHK biết:

=45
0
38

25

; a = 29,19450 cm ; b = 198,2001 cm
17
SHIFT

Sto
A
ì
+
SHIFT
Sto
B
ì
ì
17.Bµi tËp tỉng hỵp
Bµi : TÝnh chÝnh x¸c tỉng S = 1
×
1!+2
×
2!+3
×
3!+ +16…
×
16!
Gi¶i : V× n
×
n!=(n+1-1)
×
n!=(n+1)!-n! nªn
S = (2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+ +(17!-16!) = 17!-1…
S = 13!
×
14
×
15

×
16
×
17 = 13!
×
57120
Ta cã : 13!=6227020800. Nªn S17!= 6227020800
×
57120
= (6227
×
10
6
+208
×
10
2
)
×
5712
×
10
S = 355687428096000 – 1 = 355687428095999
Bai : TÝnh: A = 1
2
+2
2
+2
2
+4

2
+ +10…
2
. Tõ ®ã h·y tÝnh S = 2
2
+4
2
+6
2
+ +20…
2
Gi¶i: A = 385
Ta cã: S = 2
2
+(2
×
2)
2
+ +(2…
×
9)
2
+(2
×
10)
2
= 4A = 4
×
385 =1540
Bài 28: Giả sử (1 + 2x + 3x2)15 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ……… + a29x29 + a30x30.

Tính giá trò đúng của:
a/ E = a0 + a1 + a2 + ……… + a29 + a30
b/ F = a0 + a2 + a4 + ……… + a28 + a30
c/ K = a1 + a3 + a5 + ……… + a27 + a29
Bài 35: Tính a/ A = 1,123456789 – 5,02122003
b/ B = 4,546879231 + 107,356417895
Bài 89: Tìm dư trong các phép chia sau 3332 52007 3 :7 ; 26 :31
Bài 90: Tính giá trò của các biểu thức
A = 2911073
Bài 13: Tìm UCLN của hai số 168599421 và 2654176
Bài 84: Tính 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8
9
18