De cuong on tap thi tot nghiep khoi 12(cuc hay)

GV: Nguyễn Bá Trình
II .GIẢI TÍCH :
1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
M
; y
M
) .
B
1
: k = f ‘(x) .
B
2
:Phương trình tiếp tuyến : y – y
M
= k(x – x
M
) .
2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến với đồ thò.
B
1
: Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x) .
B
2
: Điều kiện tiếp xúc :



=
=
)(')('
)()(

xgxf
xgxf
* Chú ý :
 Phương trình đường thẳng d qua A(x
A
; y
A
) có dạng : y – y
A
= k(x – x
A
) .
 Nếu đường thẳng d có dạng : ax + by + c = 0 .thì :
o d //d
1
: ax + by + m = 0 ( m
≠
c) .
o d
⊥
d
1
: bx – ay + n = 0 .
3.Dạng 3:Đường cong : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi :
 ax
3

+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt
 y
CĐ
.y
CT
< 0 .
4.Dạng 4:Tìm điểm cố của hàm số y = f(x) .
B
1
:Đưa về dạng : y = f(x)
⇔
Am = B .
∀
m .
B
2
:Điểm cố đònh nếu có là nghiệm của hệ



=
=
0
0
B
A

5.Dạng 5:Tìm tọa điểm uốn :

B
1
: y’’ = 0 có nghiệm x
o

⇒
y
o
= f(x
o
) .
B
2
: Tọa độ điểm uốn : U(x
o
;y
o
) .
6.Dạng 6:Tìm điều kiện của tham số để hàm số :
Đạt cực tiểu tại x
o




>
=
⇔
0)(''
0)('

0
0
xy
xy
; Đạt cực đại tại x
o




<
=
⇔
0)(''
0)('
0
0
xy
xy
7.Dạng 7:Điều kiện để hàm số tăng khi y’ > 0 . Điều kiện để hàm số giảm khi y’< 0 .
8.Dạng 8 :Tìm giá trò lớn nhất của hàm số và giá trò nhỏ nhất của hàm số .
 Trên khoảng (a ; b) thì ta lập bảng xét dấu của y’ và y
CĐ
là giá trò lớn nhất ; y
CT
là giá trò nhỏ nhất .
 Trên đoạn [a ; b] thì ta giải phương trình :y’ = 0 có nghiệm x
1
; x
2

; … thuộc [a ; b]
Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ; … ; y(a) ; y(b) .Số lớn nhất là giá trò lớn nhất ; số nhỏ nhất là giá trò nhỏ nhất .
9.Dạng 9:Điều kiện để hàm số có cực trò là y’ = 0 có nghiệm phân biệt .
Có 1 cực trò khi y’ = 0 có 1 nghiệm phân biệt hoặc có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép
Có 2 cực trò khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép .
Có 3 cực trò khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hoặc có 3 nghiệm đơn và một nghiệm kép .
10.Dạng 10:Chứng minh đồ thò hàm số nhận điểm M(x
M
; y
M
) làm tâm đối xứng :
B
1
: Đặt



+=
+=
Yyy
Xxx
M
M
thay vào hàm số y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X)
B
2

: Ta chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ (tức là F(-X) = - F(X) ) trên tập xác đònh nên nhận




=
=
⇔



=
=
M
M
yy
xx
Y
X
0
0
làm tâm đối xứng .
GV: Nguyễn Bá Trình
11.Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu (cực trò)
a) Hàm phân thức : y =
edx
cbxax
+
++
2

=
)(
)(
xg
xf
.
Phương pháp :
B
1
: Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B
2
:Giả sử có hai nghiệm x
CĐ
; x
CT
thì y
CĐ
=
)('
)('
CD
CD
xg
xf
và y
CT
=
)('
)('

CT
CT
xg
xf
.
B
3
:Kết luận :Đường thẳng qua cực trò là : y

=
)('
)('
xg
xf
.
b) Hàm đa thức :y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d .
Phương pháp :
B
1
:Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B
2
:Chia đa thức :Lấy y chia y’ .Kết quả có dạng :y = y’(x) .[
a
b
x

93
1
+
] +
a
cbad
x
a
bac
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
.
B
3
:Giả sử có hai nghiệm x
CĐ
; x
CT
thì y
CĐ
=
a
cbad

x
a
bac
CD
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
y
CT
=
a
cbad
x
a
bac
CT
9
9
.
9
)3(2
2
−
+

−
B
4
:Kết luận :đường thẳng qua cức đại và cực tiểu là :y =
a
cbad
x
a
bac
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
.
12.Dạng 12:Vẽ đồ thò hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối .
1) Hàm số y = f(|x|) .
Phương pháp :
B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B
2
: Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm ) .
2) Hàm số y = |f(x)| .
Phương pháp :

B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B
2
: Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm ) .
3) Hàm số y = |f(|x|)| .
Phương pháp :
B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B
2
: Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm ) .
B
3
: Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm ) .
13.Bài toán tìm quỹ tích .
Phương pháp :
B
1
: Tìm toạ độ quỹ tích M



=
=
)(
)(
mgy

mfx
.
B
2
:Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích .
B
3
:Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra điều kiện của x và y .
GV: Nguyễn Bá Trình
14.Bài toán : Tìm 1 cấp số cộng biết đồ thò hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành 1 cấp số cộng .
Phương pháp :
B
1
:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1).
Đặt t = x
2
(điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành : at
2
+ bt + c = 0 (2).
Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔

phương trình
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt





>
>
>∆
⇔
0
0
0
P
S
B
2
:Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có 4 nghiệm là :
mnnm ;;;−−
.
Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì
nnm 2=−

⇔
m = 9n (3) .
B
3
:p dụng đònh lí viet :




=
=+
Pmn
Smn
.
(4) .
Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng :
mnnm ;;;−−
.
15.Bài toán :Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thò sao cho khoảng cách đó là ngắn nhất .
Phương pháp :
B
1
: Từ y =
)(
)(
xg
xf
đổi hệ trục toạ độ Y =
X
a
(với a là hằng số ).
B
2
: Lấy A







α
α
a
;
và B








−−
β
β
a
;
với
0;0 >>
βα
.
B.Nguyên hàm và tích phân
T
T
Nguyên hàm của hàm sơ cấp
1

n n 1
k
k.x .dx x C
n 1
+
= +
+
∫
2
k
.dx k.ln | x | C
x
= +
∫

3
k k.ln | ax b |
.dx C
ax b a
+
= +
+
∫
4
n n 1
k k
.dx C
x (n 1).x
−
= − +

−
∫
với (
n 1≠
)
5
n n 1
k k
.dx C
(ax b) a.(n 1).(ax b)
−
= − +
+ − +
∫
với (
n 1≠
)
6
1
sin(ax b).dx .cos(ax b) C
a
−
+ = + +
∫
7
1
cos(ax b).dx .sin(ax b) C
a
+ = + +
∫

8
2
k
.dx k.tgx + C
cos x
=
∫
9
2
k
.dx k.cot gx C
sin x
= − +
∫
GV: Nguyễn Bá Trình
10
tgx.dx ln | cos x | C= − +
∫
11
1
tg(ax b).dx ln | cos(ax b) | C
a
+ = − + +
∫
12
cot gx.dx ln | sin x | C= +
∫
13
1
cot g(ax b).dx .ln | sin(ax b) | C

a
+ = + +
∫
14
ax b ax b
1
e .dx .e C
a
+ +
= +
∫
15
2
2
k
.dx k.ln | x x k | C
x a
= + + +
+
∫
16
2 2
k k x a
.dx .ln C
2a x a
x a
−
= +
+
−

∫
17
1
1 2 1 2 2
x x
k k
.dx ln C
(x x )(x x ) x x x x
−
= +
− − − −
∫
Các dạng toán tính tích phân :
Dạng 1 : Tích phân trực tiếp :
 Phương pháp : * Dùng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm giả sử là F(x) .
* Áp dụng công thức để tính :
b
b
a
a
f (x).dx F(x) | F(b) F(a)= = −
∫
 Thường sử dụng các các kiến thức sau :

[ ]
[ ]
[ ]
( )
( )
2

2
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1
cos a.cos b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2
1
sin a 1 cos 2a
2
1
cos a 1 cos 2a
2
= − − +
= − + +
= − + +
= −
= +
Dạng 2:Tính tích phân đổi biến :
b
a
I f (x).dx=
∫
 Phương pháp 1:B
1
: Đặt x = g(t)
⇒

dx =
g '(t)
.dt.
B
2
: Đổi cận : x = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
t =
β
B
3
:Tính
I u(t).dt
β
α
=
∫
 Phương pháp 2: B
1
: Đặt t = g(x)
⇒
dt =
g '(x).dx
B
2
: Đổi cận : x = a

⇒
t =
α
x = b
⇒
t =
β
GV: Nguyễn Bá Trình
B
3
: Tính
I u(t).dt
β
α
=
∫
 Một số chú ý khi tính tích phân đổi biến :
o Nếu có dạng
2 2
a x−
(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = asint
o Nếu có dạng
2 2
a x+
(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = atgt
o Nếu có dạng
2
x k+
(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) .
Ta đặt t = x +

2 2
a x+
o Những dạng khác , ta đặt ẩn phụ bởi cả căn , lnf(x) , hoặc cả biểu thức dưới mẫu … sao cho
khi vi phân thì ra biểu thức còn lại .
Dạng 3: Tính tích phân từng phần : I =
b
a
h(x).g(x).dx
∫
 Phương pháp : Đặt
u h(x) du h '(x).dx
dv g(x).dx v G(x)
= =
 
⇒
 
= =
 
Tính : I =
b
b
a
a
u.v | v.du−
∫
 Những dạng toán thường gặp khi tính tích phân từng phần (với f(x) là hàm đa thức):
o
b
a
f (x).sin(ax b).dx+

∫
;
b
a
f (x).Cos(ax b).dx+
∫
;
b
ax b
a
f (x).e .dx
+
∫
. Đặt u = f(x) còn lại là dv .
o
b
a
ln(ax b).f (x).dx+
∫
. Đặt u = ln(ax + b) còn lại là dv .
o
b
ax b
a
sin(ax b).e .dx
+
+
∫
;
b

ax b
a
cos(ax b).e .dx
+
+
∫
.Đặt u = e
ax+b
còn lại là dv ( phải đặt 2 lần ).
C.Đại số tổ hợp :
1) Quy tắc cộng :Nếu có m
1
cách chọn x
1
, m
2
cách chọn x
2
, . . . , m
n
cách chọn x
n
và nếu cách chọn đối
tượng x
i
không trùng với bất kỳ cách chọn nào của đối tượng x
j
thì có m
1
+ m

2
+ … + m
n
cách chọn 1 trong
các đối tượng đã cho
2) Quy tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp , bước 1 có m
1
cách , bước 2 có m
2

cách , … , bước n có m
n
cách thì phép chọn đó được thực hiện theo m
1
.m
2
…m
n
cách khác nhau .
3) Hoán vò : Cho tập hợp A có n phần tử (n > 1 , n
∈
N) .Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hoán vò của n phần tử đó . KH : P
n
= n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1
Chú ý : 0! = 1 .
4) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k (0 < k < n) , phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A .
KH :
k

n
n!
A
(n k)!
=
−
(với k , n
∈
N và n > 1) .
5) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k (0 < k < n) phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho .
KH :
k
n
n!
C
(n k)!.k!
=
−
(với k , n
∈
N và n > 0) .
GV: Nguyễn Bá Trình
6) Công thức nhò thức Niutơn .
 (a + b)
n
=
0
n
C

a
n
+
1
n
C
a
n – 1
.b +
2
n
C
a
n – 2
.b
2
+ . . . +
n
n
C
b
n
.
 Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng : T
k + 1

=
k
n
C

a
n – k
.b
k
.
 2
n
= (1 + 1)
n
=
0
n
C
+
1
n
C
+
2
n
C
+ . . . +
n
n
C
.
 0 = (1 - 1)
n
=
0

n
C
-
1
n
C
+
2
n
C
+ . . . + (-1)
n
n
n
C
.