On thi dai hoc-Cac dang toan thuong gap(cuc hay)

GV: Nguyễn Bá Trình
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP LÝ THUYẾT 12
A . HÌNH HỌC PHẲNG
I.TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ:
Cho A(x
A
;y
A
) ; B(x
B
;y
B
) ;
→
a
= (a
1
;a
2
) ;
→
b
= (b
1
;b
2
)
1.
→
AB
= (x

B
– x
A
; y
B
– y
A
)
⇒
AB =
( ) ( )
22
ABAB
yyxx −+−
2. I là trung điểm của AB thì tọa độ điểm I(
2
;
2
ABAB
yyxx ++
)
3.M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 thì tọa độ điểm M là :
k
kyy
y
k
kxx
x

BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
1
;
1
4.Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm G là :
3
;
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xx
x
++
=
++
=
5.Tính chất :

•
→
a
+
→
b
= (a
1
+ b
1
;a
2
+ b
2
)
• k
→
a
= (ka
1
; ka
2
)
•
→
a
.
→
b
= a

1
.b
1
+ a
2
.b
2
• Cos(
→
a
;
→
b
) =
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.

bbaa
baba
++
+
•

→
a
⊥
→
b

⇔
a
1
b
1
– a
2
b
2
= 0
•
→
a
cùng phương với
→
b

⇔
a
1
b
2
– a
2

b
1
= 0 hay
=
1 2
1 2
a a
b b
• Để chứng minh ba điểm thẳng hàng A,B,C ta cần chứng minh :
→→
= ACkAB
6.Chú ý :Khi tìm tọa độ của điểm thường dùng các quan hệ sau :
Song song ; hai vectơ cùng phương ; hai vectơ vuông góc ; hai vectơ bằng nhau ;hai đoạn thẳng bằng nhau.
II.VECTƠ PHÁP TUYẾN ; VECTƠ CHỈ PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Cần nhớ :
Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 (a,b không đồng thời bằng không )
* Khi đó :
→
n
= (a,b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

→
a
= (b; - a) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
* Vectơ pháp tuyến là vectơ nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng d
* Vectơ chỉ phương là vectơ nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng d
* VTPP :
→
a
= (a,b) thì VTPT :

→
n
= (b,-a) (hoặc
→
n
= (-b,a) )
* d: ax + by + c = 0
⇒
d//d’:ax + by + m = 0 ( m
≠
c )

⇒
d
⊥
d’:bx – ay + n = 0
* Cho đường thẳng d có VTCP :
→
a
= (a ; b) [a
≠
0 ] thì d có hệ số góc k = b/a =tg
α
với
α
là góc đònh
hướng của d với hướng dương Ox
*
2 2
| |

( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
với
∆
: ax + by + c = 0
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 1
GV: Nguyễn Bá Trình
1.Dạng 1 :Viết phương trình đường thẳng d :
*





=
→
);(_
);(_
00
yxMDDQ
BAnVTPT

⇒
Phương trình tổng quát d : A(x –x

o
) + B(y –y
o
) = 0
*





=
→
);(_
);(_
00
yxMDDQ
bauVTCP

⇒
PTTS:



+=
+=
btyy
atxx
0
0
⇒

PTCT :
b
yy
a
xx
00
−
=
−
⇒
PTTQ:b(x – x
o
) = a(y – y
0
)
2. Dạng 2 : Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng : Ax + By + C = 0 và qua M(x
o;
y
o
)
B1:PTĐT d có dạng : Ax + By + n = 0 ( n
≠
C)
B2 :Thay M(xo;yo) vào đường thẳng d để tìm n
B3: Kết luận phương trình đầy đủ của đường thẳng d
3.Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng : Ax + By +C = 0 và qua M(x
o
;y
o
)

B
1
:PTĐT d có dạng : Bx – Ay + m = 0
B2 :Thay M(xo;yo) vào đường thẳng d để tìm m .
4.Dạng 4: Tìm tọa độ hình chiếu của M lên đường thẳng (a)
B
1
: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với đường thẳng (a) .
B
2
:Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (a) là hình chiếu của M
5. Dạng 5: Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (a).
B
1
: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với đường thẳng (a) .
B
2
: Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (a) là điểm H .
B
3
: H là trung điểm của MM’ , hay
'
'
2
2
M H M
M H M
x x x
y y y
= −



= −

III.ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN
6.Dạng 6 :Viết phương trình đường tròn :
a) Đi qua 3 điểm A,B,C :
PP : Thay 3 điểm A,B,C vào phương trình : x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 ta được hệ phương trình
Giải hệ phương trình tìm a , b ,c .
b) Đi qua hai điểm M,N và có tâm thuộc đường thẳng
PP : Thay hai điểm M,N vào phương trình : x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
Thay tâm I(a , b) vào phương trình đường thẳng .Giải hệ phương trình tìm a , b , c .
c) Tiếp xúc với : Trục Ox
⇔
b
= R ; trục Oy
⇔
a
= R
Có tâm thuộc đường thẳng thì ta thay tâm vào đường thẳng .Giải hệ để tìm a,b,R
d) Có tâm I(a,b) và tiếp xúc với đường thẳng d :
PP : K/c(I,d) = R

Tìm R và thay vào phương trình đường tròn : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

e) Có bán kính R và tiếp xúc với đường thẳng d tại A
PP :





=−+−
=
222
)()(:
);(/
RbyaxAThay
RdICK
f) Qua A,B và tiếp xúc với đường thẳng d
PP :



=
==
IBdICK
RIBIA

);(/
)(
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 2
GV: Nguyễn Bá Trình
7. Dạng 7 :Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn có tâm I(a,b),bán kính R
a) Tại điểm M(x
M
, y
M
) là
d :





−−==
→→
);(
);(:
byaxIMn
yxMQua
MMd
MM
b) Khi biết dạng của tiếp tuyến :
* Tìm dạng của tiếp tuyến : (a) : ax + by + c = 0 .
* Điều kiện tiếp xúc : d(I ; (a)) = R
6. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP :
Phương pháp chung :Tìm a , b thay vào phương trình :
.1

2
2
2
2
=+
b
y
a
x
( với a > b) .
p dụng :
 a
2
= b
2
+ c
2

 e =
a
ba
a
c
22
−
=
( tâm sai của elíp )
 Trục lớn : 2a ; trục bé : 2b ; bốn đỉnh :A
1
( - a ; 0) ; A

2
(a ; 0) ; B
1
(0 ; - b) ; B
2
(0 ; b) .
 Tiêu cự :F
1
F
2
= 2c ; tiêu điểm F
1
(- c ; 0) ; F
2
( c ; 0) .
 Chiều dài của hình chữ nhật cơ sở là 2a ; chiều rộng của hình chữ nhật cơ sở là 2b .
 Bán kính : MF
1
= a +
a
c
.x
M
; MF
2
= a -
a
c
.x
M

.
 Phương trình đường chuẩn :x =
c
a
e
a
2
±=±
.
7 PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC HYPEBOL
Phương pháp chung :Tìm a , b của
( )
2 2
2 2 2
2 2
1
x y
b c a
a b
− = = −
, a và b đều dương
a. F
1
(-c ; 0), F
2
(c ; 0) là hai tiêu điểm .F
1
F
2
= 2c là độ dài tiêu cự

b. A
1
(-a ; 0) ; A
2
(a ; 0) đỉnh của Hypebol .Độ dài trục thực 2a ; trục ảo 2b .
c. Hình chữ nhật cơ sở có kích thước 2a , 2b .
d. Phương trình 2 tiệm cận :
b
y x
a
= ±
. Chính là đường chéo hính chữ nhật CS
e. Phương trình đường chuẩn :x =
f. e =
a
ba
a
c
22
+
=
( tâm sai của hypebol )
g. MF
1
; MF
2
là bán kính qua tiêu điểm .
Bán kính nhánh phải:
1
2

M
M
c
MF a x
a
c
MF a x
a
= +
= − +
Bán kính nhánh trái :
1
2
M
M
c
MF a x
a
c
MF a x
a
= − −
= −

Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 3
GV: Nguyễn Bá Trình
h. Phương trình đường chuẩn :x =
c
a
e

a
2
±=±
8) PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC PARABOL : y
2
= 2px .( với p > 0 )
a) Tiêu điểm F(
2
p
; 0)
b) Phương trình đường chuẩn : x = -
2
p
.
* Viết phương trình của parabol:
Phương pháp chung : Tìm p và thay vào phương trình Parabol :y
2
= + 2px hoặc x
2
= + 2py .
1) Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng thì Parabol có dạng : y
2
= + 2px .Nếu tiêu điểm F(
2
p
; 0)
hoặc phương trình đường chuẩn :x = -
2
p
thì ta thay p vào phương trình y

2
= 2px và ngược lại .
2) Parabol nhận trục Oy làm trục đối xứng thì Parabol có dạng : x
2
= + 2py .Nếu tiêu điểm F(0 ;
2
p
)
hoặc phương trình đường chuẩn :y = -
2
p
.thì ta thay p vào phương trình x
2
= 2py và ngược lại .
9) CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP CỦA CONIC .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của conic tại tọa độ tiếp điểm M :
* Của Elíp
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
là :
1

22
=+
b
yy
a
xx
MM
* Của Hybebol
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
là :
1

22
=−
b
yy
a
xx
MM
* Của Parabol y
2

= 2px là :y
M
.y = p(x
M
+ x)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của conic khi biết dạng của tiếp tuyến :
o Viết phương trình của đường thẳng d :Ax + By + C = 0
o Điều kiện tiếp xúc :
* Của Elíp :
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với đường thẳng d : a
2
.A
2
+ b
2
.B
2
= C
2

* Của Hybebol:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
với đường thẳng d : a
2
.A
2
- b
2
.B
2
= C
2
.
* Của Parabol :y
2
= 2px với đường thẳng d :p.B
2
= 2AC .
B.HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A.Viết phương trình mặt phẳng
1) Mặt phẳng (P) đi qua A và có vectơ pháp tuyến

→
n
= (a ; b) .
Phương Pháp
0)()(
);(
);(
=−+−⇒





=
→
BA
AA
yybxxa
yxAQua
ban

2) Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A ; B ; C
Phương Pháp:





=
→→→

AQua
ACABn ];[
3) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với (Q) : ax + by + cz + d = 0 .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 4
GV: Nguyễn Bá Trình
Phương Pháp :





==
→→
AQua
cbann
QP
);;(
)()(
4) Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MN .
Phương Pháp :





=
→→
IQua
MNn
Với I là trung điểm của MN .

5) Mặt phẳng (P) đi qua A , B và vuông góc với mp(Q)
Phương Pháp :





=
→→→
AQua
ABnn
QP
],[
)()(
6) Mặt phẳng (P) đi qua A và chứa :
Trục Ox Trục Oy Trục Oz
PP :





=
→→→
OQua
iOMn ];[
PP :






=
→→→
OQua
jOMn ];[
PP :





=
→→→
OQua
kOMn ];[

7) Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d .
Phương Pháp :





==
→→→→
AQua
nnun
d
],[

)()(
βα

8) Mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d .
Phương Pháp :
Lấy 2 điểm phân biệt B , C thuộc đường thẳng d .Khi đó viết phương trình mặt phẳng đi qua 3
điểm A , B , C .
9) Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và(R) và thỏa 1 điều kiện nào đó(qua1
điểm ,song song với đường thẳng , . . . )
Phương Pháp :
* Viết phương trình chùm mặt phẳng :n(Q) + m(R) = 0 (n và m không đồng thời bằng 0)
* Kết hợp điện để giải .
10) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm I tại M (gọi tắt là phương trình tiếp
diện của mặt cầu)
Phương Pháp :





=
→→
MQua
IMn
B.Viết phương trình đường thẳng d biết :
1)
c
zz
b
yy

a
xx
PTCT
tczz
tbyy
taxx
PTTS
cbauVTCP
MQua
MMM
M
M
M
−
=
−
=
−
⇒





+=
+=
+=
⇒






=
→
.
.
.
);;(
2) Phương trình tổng quát của d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) có dạng :
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 5
GV: Nguyễn Bá Trình




=+++
=+++
)(0''''
)(0
Qdzcybxa
Pdczbyax
* Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là
)';';'(
);;(
)(
)(
cban
cban
Q

P
=
=
→
→
và vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
],[
)()( QPd
nnu
→→→
=⇒
.
* Muốn lấy 1 điểm thuộc đường thẳng ta chỉ cần cho z = 0 để tìm x và y .
3) Đường thẳng d qua M , N .
Phương Pháp :





=
→→
MNu
MQua
4) Đường thẳng d qua M và song song đường thẳng a.
Phương Pháp :






=
→→
a
uu
MQua
5) Đường thẳng qua M và vuông góc (P) .
Phương Pháp :





=
→→
)(P
nu
MQua
6) Phương trình hình chiếu d của a lên mặt phẳng (P) .
Phương Pháp:
* Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với mp(P) :





∈
=
→→→
aMQua

unn
aPQ
],[
)()(
* Phương trình hình chiếu d là giao tuyến của mp(P) với mp(Q) .
7) Phương trình đường thẳng d
⊂
(P) , đi qua giao điểm của đường thẳng a với mp(P) đồng thời
vuông góc với đường thẳng a .
Phương Pháp :





∩=
=
→→→
)(
],[
)(
PaIQua
nuu
Pad
8) Đường thẳng d song song với a và cắt hai đường thẳng b và c .
Phương Pháp :
o Viết phương trình mặt phẳng
( )α
chứa (b) và song song với (a) :
a b

[u ;u ]
α
=


∈

r r r
n
Điểm đi qua B (b)

o Viết phương trình mặt phẳng
( )β
chứa (c) và song song với (a) :
a b
n [u ;u ]
β
=



∈


r
r r
Điểm đi qua C (c)
o Phương trình đường thẳng (d) =
( )
( ) ( )

( )
α

α ∩ β ⇔

β

9) Đường thẳng d qua M và cắt 2 đường thẳng a và b .
Phương Pháp :
* Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng a :
(P) a
n [u ;AM]

=


∈


uuuur
r
r
Điểm đi qua A (a)
.
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 6
GV: Nguyễn Bá Trình
* Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng b .
* Đường thẳng d là giao tuyến của mp(P) với mp(Q) .
10) Đường thẳng d
⊂

(P) , cắt đường thẳng a và b
Phương Pháp :
* Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng a và b là A ; B
* Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A và B .
11) Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt đường thẳng d
2
.
Phương pháp :
* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
:
1
(P) d
n u=





r
r
Điểm đi qua : M
* Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa d
2
:
2
(Q) d
n [u ; MA]

)

=


∈


uuuur
r
r
2
Điểm đi qua là A (d
* Đường thẳng cần tìm : (d) = (P)
∩
(Q) .
12) Viết phương trình đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Phương pháp :
* Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và vuông góc đường thẳng b :
(P) b
n u=



∈


r
r
Điểm đi qua là A (a)

* Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b và vuông góc đường thẳng a:
(Q) a
n u=



∈


r
r
Điểm đi qua là B (b)
* Đường thẳng cần tìm : (d) = (P)
∩
(Q)
C.Tìm tọa độ của 1 điểm :
1) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng a và b
Phương Pháp:
* Giải hệ phương trình của hai đường thẳng tìm nghiệm .
2) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) .
Phương Pháp :
* Giải hệ phương trình của đường thẳng và mặt phẳng ,tìm nghiệm .
3) Tìm tọa độ hình chiếu N của M lên mặt phẳng (P) .
Phương Pháp :
* Viết phương trình đường thẳng NM và vuông góc với mp(P) :






=
→→
MQua
nu
PMN )(
* Tọa độ hình chiếu N là giao điểm của NM với mp(P) .
4) Tìm tọa độ hình chiếu N của M lên đường thẳng a .
Phương Pháp :
* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng a :





=
→→
MQua
un
aP)(
* Tọa độ hình chiếu N là giao điểm của a với mp(P) .
5) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P) .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 7
GV: Nguyễn Bá Trình
Phương Pháp :
* Viết phương trình đường thẳng NM và vuông góc với mp(P) :






=
→→
MQua
nu
PMN )(
* Tọa độ hình chiếu H là giao điểm của NM với mp(P) .
* Tọa độ H là trung điểm của NM .Từ đó suy ra tọa độ điểm N .
6) Tìm tọa độ điểm N đối xứng điểm M qua đường thẳng a .
Phương Pháp:
* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng a :





=
→→
MQua
un
aP)(
* Tọa độ hình chiếu H là giao điểm của a với mp(P) .
* Tọa độ H là trung điểm của MN .Từ đó suy ra điểm N .
III.ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI TOÁN.
Bài toán 1:Sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian.Giải các bài toán đònh lượng trong không gian
Phương pháp :
Bước 1:Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp , từ đó suy ra toạ độ các điểm cần thiết .
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trò cần xác đònh thông thường bao gồm :
a) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng hoặc đường thẳng .
b) Góc , khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .
c) Tính độ dài đoạn thẳng .

Chú ý:
1.Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng :
Cho điểm M
0
(x
o
;y
o
;z
o
) và mp(
α
): Ax + By + Cz + D = 0 thì khoảng cách d từ M tới mp(
α
) là :

2 2 2
( , )Δ
o o o
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
=
+ +
2.Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
Cho điểm M
0
(x
o

;y
o
;z
o
) và đường thẳng
∆
có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
thì khoảng cách d từ M tới
∆

là :M(x;y;z) bất kỳ thuộc
∆
.

0
,
( , )Δ
M M a
d M
a
 
 
=
uuuuur r
r
3.Khoảng cách giữa hai đưởng thẳng chéo nhau :
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là:

1 2 3 1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )a a a a b b b b
= =
r r
Và M(x
1
;y
1
;z
1
)
∈
d , N(x
2
;y
2
;z
2
)
∈
d’ thì :

, .
( , ')
,
a b MN
d d d
a b
 
 

=
 
 
r r uuuur
r r

4.Góc giữa hai đường thẳng trong KG:
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b
= =
r r
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 8
GV: Nguyễn Bá Trình
Thì
.
cos( ^ ') cos( , )
.
a b
d d a b
a b
= =
r r
r r
r r
5.Góc giữa dường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r

và mp(
α
) có VTPT :
( ; ; )n A B C=
r
thì ta có :

.
sin( ^ ) cos( , )
.
n a
d n aα
n a
= =
r r
r r
r r
6.Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng có VTPT lần lượt là
1 2
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; )n A B C n A B C= =
r r
5thì ta có :

1 2
1 2
.
cos( , )
.

n n
α β
n n
=
r r
r r
Bài 1:Cho hình lập phương ABCD .A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a .
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và AC
1
.
b) Gọi K là trung điểm của DD
1
.Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A
1
D .
c) Mặt phẳng (P) qua BB
1
và hợp với hai đường thẳng BC
1
, B

1
D hai góc bằng nhau .Tính các góc này .
Hướng dẫn:A(0;0;0) ,B(a;0;0) , C(a; a; 0) , D(0; a; 0 ) , A
1
(0 ; 0; a ) , B
1
(a; 0 ; a) , C
1
(a; a; a ) , D
1
(0 ; a ; a )
ĐS : a)
2
π
α
=
; K/C =
6
a
b)
3
/;
10
1
cos
a
CK ==
β
.
C.GIẢI TÍCH :

I.Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số .
1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
M
; y
M
) .
B
1
: k = f ‘(x) .
B
2
:Phương trình tiếp tuyến : y – y
M
= k(x – x
M
) .
2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến với đồ thò.
B
1
: Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x) .
B
2
: Điều kiện tiếp xúc :



=
=
)(')('
)()(

xgxf
xgxf
* Chú ý :
 Phương trình đường thẳng d qua A(x
A
; y
A
) có dạng : y – y
A
= k(x – x
A
) .
 Nếu đường thẳng d có dạng : ax + by + c = 0 .thì :
o d //d
1
: ax + by + m = 0 ( m
≠
c) .
o d
⊥
d
1
: bx – ay + n = 0 .
3.Dạng 3:Đường cong : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi :
 ax
3

+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt
 y
CĐ
.y
CT
< 0 .
4.Dạng 4:Tìm điểm cố của hàm số y = f(x) .
B
1
:Đưa về dạng : y = f(x)
⇔
Am = B .
∀
m .
B
2
:Điểm cố đònh nếu có là nghiệm của hệ



=
=
0
0
B
A

Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 9

GV: Nguyễn Bá Trình
5.Dạng 5:Tìm tọa điểm uốn :
B
1
: y’’ = 0 có nghiệm x
o

⇒
y
o
= f(x
o
) .
B
2
: Tọa độ điểm uốn : U(x
o
;y
o
) .
6.Dạng 6:Tìm điều kiện của tham số để hàm số :
Đạt cực tiểu tại x
o




>
=
⇔

0)(''
0)('
0
0
xy
xy
; Đạt cực đại tại x
o




<
=
⇔
0)(''
0)('
0
0
xy
xy
7.Dạng 7:Điều kiện để hàm số tăng khi y’ > 0 . Điều kiện để hàm số giảm khi y’< 0 .
8.Dạng 8 :Tìm giá trò lớn nhất của hàm số và giá trò nhỏ nhất của hàm số .
 Trên khoảng (a ; b) thì ta lập bảng xét dấu của y’ và y
CĐ
là giá trò lớn nhất ; y
CT
là giá trò nhỏ nhất .
 Trên đoạn [a ; b] thì ta giải phương trình :y’ = 0 có nghiệm x
1

; x
2
; … thuộc [a ; b]
Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ; … ; y(a) ; y(b) .Số lớn nhất là giá trò lớn nhất ; số nhỏ nhất là giá trò nhỏ nhất .
9.Dạng 9:Điều kiện để hàm số có cực trò là y’ = 0 có nghiệm phân biệt .
• Có 1 cực trò khi y’ = 0 có 1 nghiệm phân biệt hoặc có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép
• Có 2 cực trò khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép .
• Có 3 cực trò khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hoặc có 3 nghiệm đơn và một nghiệm kép .
10.Dạng 10:Chứng minh đồ thò hàm số nhận điểm M(x
M
; y
M
) làm tâm đối xứng :
B
1
: Đặt



+=
+=
Yyy
Xxx
M
M
thay vào hàm số y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X)

B
2
: Ta chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ (tức là F(-X) = - F(X) ) trên tập xác đònh nên nhận




=
=
⇔



=
=
M
M
yy
xx
Y
X
0
0
làm tâm đối xứng .
11.Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu (cực trò)
a) Hàm phân thức : y =
edx
cbxax
+
++

2
=
)(
)(
xg
xf
.
Phương pháp :
B
1
: Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B
2
:Giả sử có hai nghiệm x
CĐ
; x
CT
thì y
CĐ
=
)('
)('
CD
CD
xg
xf
và y
CT
=
)('

)('
CT
CT
xg
xf
.
B
3
:Kết luận :Đường thẳng qua cực trò là : y

=
)('
)('
xg
xf
.
b) Hàm đa thức :y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d .
Phương pháp :
B
1
:Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B
2
:Chia đa thức :Lấy y chia y’ .Kết quả có dạng :y = y’(x) .[
a
b

x
93
1
+
] +
a
cbad
x
a
bac
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
.
B
3
:Giả sử có hai nghiệm x
CĐ
; x
CT
thì y
CĐ
=
a

cbad
x
a
bac
CD
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
y
CT
=
a
cbad
x
a
bac
CT
9
9
.
9
)3(2
2
−

+
−
B
4
:Kết luận :đường thẳng qua cức đại và cực tiểu là :y =
a
cbad
x
a
bac
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
.
12.Dạng 12:Vẽ đồ thò hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
10
GV: Nguyễn Bá Trình
1) Hàm số y = f(|x|) .
Phương pháp :
B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B

2
: Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm ) .
2) Hàm số y = |f(x)| .
Phương pháp :
B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B
2
: Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm ) .
3) Hàm số y = |f(|x|)| .
Phương pháp :
B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B
2
: Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm ) .
B
3
: Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm ) .
13.Bài toán tìm quỹ tích .
Phương pháp :
B
1
: Tìm toạ độ quỹ tích M



=

=
)(
)(
mgy
mfx
.
B
2
:Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích .
B
3
:Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra điều kiện của x và y .
14.Bài toán : Tìm 1 cấp số cộng biết đồ thò hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành 1 cấp số cộng .
Phương pháp :
B
1
:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1).
Đặt t = x
2
(điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành : at
2

+ bt + c = 0 (2).
Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
phương trình
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt





>
>
>∆
⇔
0
0
0
P
S
B
2
:Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có 4 nghiệm là :
mnnm ;;;−−
.
Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì
nnm 2=−

⇔
m = 9n (3) .
B

3
:p dụng đònh lí viet :



=
=+
Pmn
Smn
.
(4) .
Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng :
mnnm ;;;−−
.
15.Bài toán :Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thò sao cho khoảng cách đó là ngắn nhất .
Phương pháp :
B
1
: Từ y =
)(
)(
xg
xf
đổi hệ trục toạ độ Y =
X
a
(với a là hằng số ).
B
2
: Lấy A







α
α
a
;
và B








−−
β
β
a
;
với
0;0 >>
βα
.
II.Nguyên hàm và tích phân
T Nguyên hàm của hàm sơ cấp

Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
11
GV: Nguyễn Bá Trình
T
1
n n 1
k
k.x .dx x C
n 1
+
= +
+
∫
2
k
.dx k.ln | x | C
x
= +
∫

3
k k.ln | ax b |
.dx C
ax b a
+
= +
+
∫
4
n n 1

k k
.dx C
x (n 1).x
−
= − +
−
∫
với (
n 1≠
)
5
n n 1
k k
.dx C
(ax b) a.(n 1).(ax b)
−
= − +
+ − +
∫
với (
n 1≠
)
6
1
sin(ax b).dx .cos(ax b) C
a
−
+ = + +
∫
7

1
cos(ax b).dx .sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
8
2
k
.dx k.tgx + C
cos x
=
∫
9
2
k
.dx k.cot gx C
sin x
= − +
∫
10
tgx.dx ln | cos x | C= − +
∫
11
1
tg(ax b).dx ln | cos(ax b) | C
a
+ = − + +
∫
12
cot gx.dx ln | sin x | C= +

∫
13
1
cot g(ax b).dx .ln | sin(ax b) | C
a
+ = + +
∫
14
ax b ax b
1
e .dx .e C
a
+ +
= +
∫
15
2
2
k
.dx k.ln | x x k | C
x a
= + + +
+
∫
16
2 2
k k x a
.dx .ln C
2a x a
x a

−
= +
+
−
∫
17
1
1 2 1 2 2
x x
k k
.dx ln C
(x x )(x x ) x x x x
−
= +
− − − −
∫
* Các dạng toán tính tích phân :
Dạng 1 : Tích phân trực tiếp :
 Phương pháp : * Dùng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm giả sử là F(x) .
* Áp dụng công thức để tính :
b
b
a
a
f (x).dx F(x) | F(b) F(a)= = −
∫
 Thường sử dụng các các kiến thức sau :
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
12
GV: Nguyễn Bá Trình

[ ]
[ ]
[ ]
( )
( )
2
2
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1
cos a.cos b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2
1
sin a 1 cos 2a
2
1
cos a 1 cos 2a
2
= − − +
= − + +
= − + +
= −
= +
Dạng 2:Tính tích phân đổi biến :
b

a
I f (x).dx=
∫
 Phương pháp 1:B
1
: Đặt x = g(t)
⇒
dx =
g '(t)
.dt.
B
2
: Đổi cận : x = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
t =
β
B
3
:Tính
I u(t).dt
β
α
=
∫
 Phương pháp 2: B
1

: Đặt t = g(x)
⇒
dt =
g '(x).dx
B
2
: Đổi cận : x = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
t =
β
B
3
: Tính
I u(t).dt
β
α
=
∫
 Một số chú ý khi tính tích phân đổi biến :
o Nếu có dạng
2 2
a x−
(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = asint
o Nếu có dạng
2 2
a x+

(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = atgt
o Nếu có dạng
2
x k+
(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) .
Ta đặt t = x +
2 2
a x+
o Những dạng khác , ta đặt ẩn phụ bởi cả căn , lnf(x) , hoặc cả biểu thức dưới mẫu … sao cho khi
vi phân thì ra biểu thức còn lại .
Dạng 3: Tính tích phân từng phần : I =
b
a
h(x).g(x).dx
∫
 Phương pháp : Đặt
u h(x) du h '(x).dx
dv g(x).dx v G(x)
= =
 
⇒
 
= =
 
Tính : I =
b
b
a
a
u.v | v.du−

∫
 Những dạng toán thường gặp khi tính tích phân từng phần (với f(x) là hàm đa thức):
o
b
a
f (x).sin(ax b).dx+
∫
;
b
a
f (x).Cos(ax b).dx+
∫
;
b
ax b
a
f (x).e .dx
+
∫
. Đặt u = f(x) còn lại là dv .
o
b
a
ln(ax b).f (x).dx+
∫
. Đặt u = ln(ax + b) còn lại là dv .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
13
GV: Nguyễn Bá Trình
o

b
ax b
a
sin(ax b).e .dx
+
+
∫
;
b
ax b
a
cos(ax b).e .dx
+
+
∫
.Đặt u = e
ax+b
còn lại là dv ( phải đặt 2 lần ).
III.Đại số tổ hợp :
1) Quy tắc cộng :Nếu có m
1
cách chọn x
1
, m
2
cách chọn x
2
, . . . , m
n
cách chọn x

n
và nếu cách chọn đối
tượng x
i
không trùng với bất kỳ cách chọn nào của đối tượng x
j
thì có m
1
+ m
2
+ … + m
n
cách chọn 1 trong
các đối tượng đã cho
2) Quy tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp , bước 1 có m
1
cách , bước 2 có m
2

cách , … , bước n có m
n
cách thì phép chọn đó được thực hiện theo m
1
.m
2
…m
n
cách khác nhau .
3) Hoán vò : Cho tập hợp A có n phần tử (n > 1 , n
∈

N) .Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hoán vò của n phần tử đó . KH : P
n
= n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1
Chú ý : 0! = 1 .
4) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k (0 < k < n) , phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A .
KH :
k
n
n!
A
(n k)!
=
−
(với k , n
∈
N và n > 1) .
5) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k (0 < k < n) phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho .
KH :
k
n
n!
C
(n k)!.k!
=
−
(với k , n
∈

N và n > 0) .
6) Công thức nhò thức Niutơn .
 (a + b)
n
=
0
n
C
a
n
+
1
n
C
a
n – 1
.b +
2
n
C
a
n – 2
.b
2
+ . . . +
n
n
C
b
n

.
 Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng : T
k + 1

=
k
n
C
a
n – k
.b
k
.
 2
n
= (1 + 1)
n
=
0
n
C
+
1
n
C
+
2
n
C
+ . . . +

n
n
C
.
 0 = (1 - 1)
n
=
0
n
C
-
1
n
C
+
2
n
C
+ . . . + (-1)
n
n
n
C
.
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
14