Các bài hình giải tích trong đề TSĐH

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009
Phần hình học không gian .
Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , cho 2 đường thẳng :
1 2
1
2
: ; : 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
d d y t
z t
= +

+

= = = +


= +

1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d
2
sao cho đoạn MH có
độ dài nhỏ nhất.
Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 )

Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A
1
B và B
1
D.
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD , A
1
D
1
.
Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C
1
N.
Đáp số : 1)
1 1
6
( , )
6
a

d A B B D =
2) Góc giữa MP và C
1
N bằng 90
0

Bài 3 : D – 2002 :
1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ( ABC ) , AC = AD = 4 cm ,
AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x –
y + z = 0
và đường thẳng d
m
là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là :
( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0
Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mp ( P ) .
Đáp số : 1)
6 34
( ,( ))
17
d A DBC =
2) m = - 1 / 2
Bài 4 : A – 2003 :
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện
[ ]
, ' ,B A C D
.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’
có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0.
Gọi M là trung điểm cạnh CC’ .
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau.
Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện
[ ]
, ' ,B A C D
bằng 120
0
.
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang
1
2) a)
2
'
4
BDA M
a b
V =
b)
1
a
b
=
Bài 5 : B – 2003 :
1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc
BAD bằng 60
0
.

Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ ,
M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là
hình vuông.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho 2 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ;
0 ; 8 ) và điểm C sao cho
(0;6;0)AC =
uuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường
thẳng OA.
Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA )
= 5.
Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng
d
k
là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình :
( ) : 3 2 0 ; ( ) : 1 0P x ky z Q kx y z+ − + = − + + =
Tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0.
Đáp số : 1 vtcp của d
k
là
2
1
2
, (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1u n n k k k k k
 
= = − − − − − ≠ ∀ ⇒ =
 
r r uur r

Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ;
1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ;
2 2
).
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN
Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 30
0
. Khoảng cách giũa SA và BM bằng :
2 6 / 3
b)
2
ABMB SABM SAMN
V V V= + =
Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho điểm A ( -
4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d :
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −



= − +

.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳn
d.
Đáp số :
4 2 4
':
3 2 1
x y z
d
+ + +
= =
−
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang
2
Bi 9 :D 2004 :
1)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC.
Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a)Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng BC và AC
b)Cho a, b thay đổi nhng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC và AC
lớn nhất
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y
+ z - 2 = 0. Viết phơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
ỏp s : 1) a)
1 1
2 2
( , )
ab

d B C AC
a b
=
+

b) p dng BT Cosi ta cú k/c gia 2 t trờn ln nht bng
2
khi a = b = 2.
2) Phng trỡnh mt cu :
2 2 2
( 1) ( 1) 1x y z + + =

Bài 10 - A 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng
d:
1 3 3
1 2 1
x y z +
= =

và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b.Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
ỏp s : a) Cú 2 im : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I ( 3 ; - 7 ; 1 )
b) Phng trỡnh tham s ca
: 1
4
x t
y
z t

=


=


= +

Bài 11 - B 2005
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

với A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B
1
(4; 0; 4)
a.Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
b.Gọi M là trung điểm của A
1

B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC
1
.
mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
ỏp s : a) A
1
( 0 ; - 3 ; 4 ) , C
1
( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mt cu :
2 2 2
576
( 3)
25
x y z+ + + =

b) Pt mp ( P): x + 4y 2z + 12 = 0, Ta im N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN =
17
2
Bài 12. D 2005
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng: d
1
:
1 2 1
3 1 2

x y z + +
= =


và d
2
l giao tuyn ca 2 mt phng
( ): 2 0 ; ( ): 3 12 0x y z x y

+ = + =
a.Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng thẳng d
1
và d
2
b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc
toạ độ)
Giỏo viờn : Phm Hi Trang
3
ỏp s : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y 17z 10 = 0.
b) Ta cú A ( - 5 ; 0 ; 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => S
OAB
= 5

Bài 13- A 2006
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD với
A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A(0; 0; 1). Gi M và N lần lợt là trung điểm của AB và CD.
a.Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC và MN.
b.Viết phơng trình mặt phẳng chứa AC và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos=
1
6

ỏp s : a)
2
( ' , )
4
d A C MN =
b) Gi mp ( Q ) cn tỡm l : ax + by + cz + d = 0 (
2 2 2
0a b c+ + >
).
Vỡ ( Q) cha A v C nờn : c + d = 0 v a + b + d = 0. => c = - d = a + b.
Do ú ( Q) : ax + by + ( a + b)z ( a + b ) = 0
Mt VTPT ca ( Q) cú ta l : ( a ; b ; a + b ) . Mt VTPT ca mp ( Oxy) cú ta l ( 0 ;
0 ; 1).
Ta cú :
2 2 2
2
1 1
cos
2
6 6
( )
a b

a b
b a
a b a b

=
+

= =

=
+ + +

Vi a = -2b : Chn b = -1 => a = 2 . ta cú ptmp : 2x y + z 1 = 0
Vi b = -2a : Chn a = 1 => b = - 2 . ta cú ptmp : x 2y - z + 1 = 0
Bài 14- B 2006 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đờng thẳng : d
1
:
1 1
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:
1
1 2
2
x t
y t

z t
= +


=


= +

a.Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
b.Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
ỏp s : a) (P) : x + 3y + 5z 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 )
Bài 15- D 2006 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng thẳng
d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z +
= =

d

2
:
1 1 1
1 2 1
x y z +
= =

a.Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đờng thẳng d
1
b.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
ỏp s : a) A ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chớnh tc ca
1 1 3
:
1 3 5
x y z
= =

Bài 16 - A 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
d
1
:
1 2
2 1 1
x y z +
= =

và d

2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= +


= +


=

a.Chứng minh rằng: d
1
và d
2
chéo nhau.
Giỏo viờn : Phm Hi Trang
4
b.Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
ỏp s : b) Gi M,N l giao im ca d vi vi 2 t ó cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ;
3)
Phng trỡnh chớnh tc ca d :

2 1 5 1 3
7 1 4 7 1 4
x y z x y z
hay
+ + +
= = = =


Bài 17- B 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a.Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 3.
b.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
ỏp s : a) ( S) cú tõm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mt phng ( Q) ct ( S) theo trũn cú bk r = 3
nờn ( Q ) phi cha tõm I ca mc ( S). Mt khỏc , ( Q) li cha trc Ox nờn mp ( Q) cú vtpt l
, (0; 1;2)n i OI

= =

r r uur
=> ( Q) : y 2z = 0.
Bài 18 - D 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) và đờng thẳng :
1 2
1 1 2

x y z +
= =

a.Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
b.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
ỏp s : a) Ptt d :
2 2
2 1 1
x y z
= =

b) M( - 1 ; 0 ; 4 )
Bài 19 - A 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) và đờng thẳng
2
2
12
1
:)(

==
zyx
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d)
b) Viêt phơng trình mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới () là lớn nhất.
ỏp s : a) Gi H l hcvg ca A trờn d => H ( 3 ; 1 ; 4 )
b) L mp i qua H v vuụng gúc vi AH => ptmp : x 4y z + 3 = 0.

Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) .
a) Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC.
ỏp s : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y 4z + 6 = 0.
b) Gi M( x ; y ; z ) thuc ( P).Ta cú h pt :
2 2 2
( ; ; ) ( )
(2;3; 7)
M x y z P
M
MA MB MC


=>

= =

Hoc M thuc t v gúc vi mp ( ABC ) ti trung im I ( 0 ; - 1 ; 1 ) ca BC.
Ta im M l nghim ca hpt :
2 2 3 0
(2;3; 7)
1 1
1 2 4
x y z
M
x y z
+ + =

+
= =


Bài 21- D 2008 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3)
a) Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giỏo viờn : Phm Hi Trang
5
Đáp số : a) Pt m cầu ( S) :
2 2 2
3 3 3 0x y z x y z+ + − − − =
, tâm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 )
b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 )
Bµi 22 – A 2009
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD =
a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh
AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
§¸p sè : V=3a
3
√15/5
Bµi 23 – B 2009 :
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và

·
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông
góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A’ABC theo a.
§¸p sè V= 9a
3
/208
Bµi 24 – D 2009
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM
và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (IBC).
§¸p sè V = 4a
3
/9
d= 2a√5/5
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải Trang
6