Sd phương trình tham số để giải toán

Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG GIAN

I. Dạng toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau .
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1 2
7 3 9 3 1 1
: , :
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
.
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường vuông góc chung.
Lời gải:

( )
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
M(7;3;9) N(3;1;1)
) , 8;4;16
(1;2; 1) ( 7;2;3)
4; 2; 8 , . 168 0
qua qua
a d d u u

vtcpu vtcpu
MN u u MN
 
 
 
=
 
 
− −
 
 
 
= − − − ⇒ = − ≠
 
ur uur
ur uur
uuuur ur uur uuuur

Suy ra d1 và d2 chéo nhau
b)
Cách1:
+ Gọi d là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
. Do d vuông góc với cả hai
đường thẳng nên có một vectơ chỉ phương là
( )
1 2
, 4 2;1;4u u u

 
= =
 
uur ur uur
.
+Mặt phẳng (d1,d) qua M(7;3;9) và có VTPT
1 1
, 12(3; 2; 1)n u u
 
= = − −
 
ur ur uur
nên có
phương trình 3(x – 7) – 2(y – 3) – 1(z – 9) = 0
⇔
3x – 2y – z – 6 = 0
+Mặt phẳng (d2 , d) qua N(3;1;1) và có VTPT
2 2
, 4(5;34; 11)n u u
 
= = −
 
uur uur uur
nên có
phương trình 5(x – 3) + 34(y – 1) – 11(z – 1) = 0
⇔
5x + 34y –11 z –38 = 0 .
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (d1,d) và (d2 , d) nên các điểm
thuộc d có toạ độ thoả mãn hệ
3 2 6 0

5 34 11 38 0
x y z
x y z
− − − =


+ − − =

. Cho z = 0 ta có
5
2
3
4
x
y

=




=


nên d có phương trình tham số
5
2
2
3
4

4
x t
y t
z t

= +



= +


=



- 1 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
Cách 2:

1 2
7 3 7 '
3 2 , 1 2 '.
9 1 3 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = −
 
 

= + = +
 
 
= − = +
 


( )
( )
1
2
Gäi A 7 ;3 2 ;9
vµ B 3 7 ';1 2 ';1 3 ' ( 4 7 ' ; 2 2 ' 2 ; 8 3 ' )
t t t d
t t t d AB t t t t t t
+ + − ∈
− + + ∈ ⇒ − − − − + − − + +
uuur
AB là đường vuông góc chung k.v.c.k

( )
( )
1
2
0 7;3;9
. 0
6 ' 6 0
62 ' 6 0
' 0 3;1;1
. 0

t A
AB u
t t
t t
t B
AB u


= ⇒
=
+ =

 
⇔ ⇔
  
+ =
= ⇒
=





uuur ur
uuur uur
.
Vậy phương trình đường vuông góc chung là AB:
7 3 9
2 1 4
x y z− − −

= =
.
II. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d
1
và vuông góc với d
2

Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A( 0;1;1),
vuông góc với

1 2
1
1 2
: vµ c¾t : 1
3 1 1
x
x y z
d d y t
z t
= −

− +

= = = − −


= −

Cách1: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc d
1

, (Q) là mặt phẳng qua A và chứa
d
2
. Suy ra d là giao tuyến của (P) và (Q), tìm một vectơ chỉ phương của d là
,
P Q
n n
 
 
uur uur

kết hợp với d qua A ta viết được phương trình tham số của d.
+mp(P) qua A và có VTPT
( )
1
3;1;1u =
ur
có phương trình
3 2 0x y z+ + − =
+mp(Q) qua A và có VTPT
( )
2 2
, 1; 1;1AM u
 
= −
 
uuuur uur
có pt
0x y z− + =
+ Đường thẳng d qua A và có VTCP

( )
, 2 1; 1; 2
P Q
n n
 
= − −
 
uur uur
có pt
1 1
1 1 2
x y z− −
= =
− −
Cách 2: Gọi B(-1; -1-t; -t) là giao điểm của d với d
2
.
( )
1; 2 ; 1AB t t= − − − − −
uuur
. d vuông
góc d
1
khi và chỉ khi
( )
1
1 1
. 0 3 1;1;2 . VËy d:
1 1 2
x y z

AB u t AB
− −
= ⇔ = − ⇒ = − = =
−
uuur ur uuur
.
III. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d
1
và song song với (P)
Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua

- 2 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
A( 3;-2;-4), cắt đường thẳng
1
2 3
: 4 2 vµ song song (P):3 2 3 7 0
1 2
x t
d y t x y z
z t
= +


= − − − − − =


= +

Cách1: Viết mặt phẳng (Q) qua A và chứa d

1
, viết mp(R) qua A và song song với (P). d
là giao tuyến của (Q) và (R) nên tìm được phương trình của d.
+mp(Q) qua A và có VTPT
, (6;17;8)
Q
n AM u
 
= =
 
uur uuur uur
nên có pt là
6 17 8 48 0 x y z+ + + =
+mp(R) qua A và có VTPT
(3; 2; 3)
P
n = − −
uur
có pt
3 2 3 25 0 x y z− − − =
+Đường thẳng d là giao tuyến của (Q) và (R ) nên có VTCP
, 7(5; 6;9)
Q R
u n n
 
= = − −
 
uur uur uur
.
Vậy d có phương trình

3 5
2 6
4 9
x t
y t
z t
= +


= − −


= − +

Cách 2: Gọi
(2 3 ; 4 2 ;1 2 ) M t t t+ − − +
là giao điểm của d với d
1

Sử dụng điều kiện

P
AM n⊥
uuur uur
ta có t = 2. Vậy d có phương trình
3 5
2 6
4 9
x t
y t

z t
= +


= − −


= − +

IV . Dạng toán: Viết pt đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng và cắt hai
đường thẳng cho trước:
Bài toán: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
( ): 1 0P x y z+ + + =
và cắt hai đường thẳng
1 2
2
1 1
: , 3
2 1 1
x t
x y z
d d y
z t
= − +

− +

= = = −

−


= −

Cách1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và vuông góc (P), mặt phẳng (R) chứa
d
2
và vuông góc (P). Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (Q) và (R).
+
( )
1
1
M 1; 1;0
( )
; (2;1; 3)
P
qua
Q
VTPT n u

−


 
= −

 

uur ur

có pt
2 3 1 0x y z+ − − =
+
( )
2
2
M 2; 3;0
( )
; ( 1;2; 1)
P
qua
Q
VTPT n u

− −


 
= − −

 

uur uur
có pt
2 4 0x y z− + − =
- 3 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
+ d là giao tuyến của (Q) và (R) nên có VTCP
( )
; 5 1;1;1

P R
u n n
 
= =
 
uur uur uur
và d qua
điểm
6
5
6 7 7
; ;0 :
5 5 5
x t
A d y t
z t

= +


−

 
− ⇒ = +

 ÷
 

=






Cách 2: d
1
có phương trình tham số là
1
1 2
: 1
x t
d y t
z t
= +


= − −


=

. Gọi
(1 2 ; 1 ; ), ( 2 '; 3; ')A t t t B t t+ − − − + − −
lần lượt là giao điểm của d
với d
1
và d
2
.
( )

3 ' 2 2 '
3 ' 2 ; 2 ; ' . ( )
1 1 1
t t t t t
AB t t t t t d P
− + − − + − −
− + − − + − − ⊥ ⇔ = =
uuur
( )
7
7 6 1
5
1
; ;
6
5 5 5
5
:
58
9
'
1;1;1
1
5
5
5
x t
A
t
d y t

t
AB
z t

= +


−
 


=
 ÷


−
  
 
⇔ ⇒ ⇒ = +
  
  
=
= −

 


= +



uuur

V: Dạng toán tìm điểm M trên đường thẳng d thoả mãn điều kiện cho trước:
Bài toán 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4)

và đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −


= − +


=

. Tìm M thuộc d sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi I là trung điểm AB, ta có
2
2 2 2
2
2

AB
MA MB MI+ = +
. MA
2
+ MB
2
nhỏ
nhất k.v.c.k MI nhỏ nhất. Vì M thuộc d nên MI nhỏ nhất
⇔
M là hình chiếu của I
trên d.
+ I(0;3;3).
+ Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc d có pt x – y – 2z + 9 = 0.
+ M là hình chiếu của I trên d nên toạ độ của M là nghiệm (x;y;z) của hệ
- 4 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị


1 1
2 0
( 1;0;4)
2 4
2 9 0 2
x t x
y t y
M
z t z
x y z t
= − = −
 

 
= − + =
 
⇔ ⇒ −
 
= =
 
 
− − + = =
 
Cách 2: Gọi M(1 – t ; - 2 + t; 2t) thuộc d.
2 2 2
12 48 76MA MB t t+ = − +
.
MA
2
+MB
2
nhỏ nhất k.v.c.k t = 2 ( sử dụng cực trị của hàm số bậc hai).
Vậy M(-1;0;4)
Bài toán 2: Cho A(2;-1;1), B(-2;3;7) và đường thẳng
2 2 1
:
2 2 3
x y z
d
− − +
= =
− −
.

Tìm I thuộc d sao cho
IA IB+
uur uur
nhỏ nhất.
Cách 1: Ta có
2 , víi M lµ trung ®iÓm AB 2 .IA IB IM IA IB IM+ = ⇒ + =
uur uur uuur uur uur

nhá nhÊt IM dIA IB+ ⇔ ⊥
uur uur
hay I là hình chiếu của M trên d
+ M( 0;1;4)
+ Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc d có phương trình
2 2 3 14 0x y z− − + =
+
2 2
2 2
( ) (0;4;2)
1 3
2 2 3 14 0
x t
y t
d P I I
z t
x y z
= +


= −


∩ = ⇒

= − −


− − + =

Cách 2 Gọi I( 2+2t; 2 – 2t; -1 - 3t) thuộc d.

( )
2
4 4 ; 2 4 ;10 6 68 136 120IA IB t t t IA IB t t+ = − − − + + ⇒ + = + +
uur uur uur uur

IA IB+
uur uur
nhỏ nhất k.v.c.k t = -1. Vậy I( 0;4;2)
Bài toán 3: Cho
2 2
: .
3 2 1
x y z
d
+ +
= =
−
Tìm toạ độ điểm A’ là hình chiếu của A
trên đườn thẳng d.
Cách1: Viết pt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d, tìm toạ độ giao điểm của d
và (P) ta có điểm A’

+ (P) qua A và vuông góc d nên có phương trình
3 2 4 0x y z+ − − =
+ Toạ độ điểm A’ là nghiệm của hệ
2 3 2
2 2
y 2 2
3 2 1
3 2 4 0
3 2 4
x y
x y z
z
x y z
x y z
− =

+ +

= =
 
⇔ + = −
−
 
 
+ − − =
+ − =


- 5 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị

1
0
1
x
y
z
=


⇔ =


= −

. Vậy A’(1;0; - 1)
Cách 2: Gọi
( ) ( )
' 2 3 ; 2 2 ; ' 3 6;2 1; 2A t t t d AA t t t− + − + − ∈ ⇒ = − + − −
uuur
. A’ là hình chiếu
của A trên d k.v.c.k

( )
'. 0 3(3 6) 2(2 1) 1( 2) 0
1 ' 1;0; 1
d
AA u t t t
t A
= ⇔ − + + − − − =

⇔ = ⇒ = −
uuur uur
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:

2 2
1 2 1 2
) : 1 ': Kq:
1 1 2 1 5 2
3 4 6
1 1
) : 2 ' : 1 Kq:
1 2 2
1 2 2
x t
x y z x y z
a d y d
z t
x t x t
x y z
b d y t d y t
z t z t
= − −

− − − −

= − = = = =

−


=

= − = −
 
+ +
 
= − + = + = =
 
 
= − + = +
 
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng

2 4 1
3 2 3 7 0 vµ c¾t ®t
3 2 2
x y z
x y z
− + −
− − − = = =
−
Kq:
3 2 4
5 6 9
x y z− + +
= =
−
Bài 3: Tìm toạ độ hình chiếu H của A(2;-1;5) trên
4 2
: Kq: H(4;0;2)

1 1 1
x y z
d
− −
= =
Bài 4: Lập ptđt qua A(3;2;1), song song mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 và vuông góc

1
:
1 4
x t
d y t
z t
= +


= −


= − −

. Kq:
3 3
: 2 5
1 2
= −


∆ = +



= −

x t
y t
z t
.
Bài 5: Viết PTĐT qua M(2;-1;0), vuông góc và cắt
1
3
2
2 5
1
: 5 Kq: 1 3
2
0.
6
x t
x t
d y t y t
z
z t

= − +

= +


 
= − = − −

 
 
=

= −




- 6 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
Bài 6: Cho
1 2
2
1 1
: ; : 3 ; ( ) : 1 0.
2 1 1
x t
x y z
d d y P x y z
z t
= − −

− +

= = = − + + − =

−

=


Lập PTĐT
∆
vuông góc (P),
∆
cắt cả
1 2
; .d d
Kq:
7
5
6
5
1
5
x t
y t
z t

= +



= − +



= +



Bài 7:

Trong không gian, cho
: 2
3
x t
d y t
z t
= −


= −


= −

và điểm A(2;0;1), B(2;-1;0), C(1;0;1). Tìm trên d
một điểm S sao cho
SA SB SC+ +
uur uur uur
đạt giá trị nhỏ nhất. Kq:
3 3 9
; ;
14 7 14
S
 
 ÷
 
Bài 8: A(2;5;7), B(0;-1;-1), C(3;1;-2). Viết PTCT của
∆

qua A, vuông góc và cắt trung
tuyến xuất phát từ C.
Kq:
12
2
5
3
5
10
1
7
2
x t
y t
z t

= −



= −



= −


Bài 9:
Cho M(1;2;-1) và
1 2 2

: .
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
−
Gọi N là điểm đối xứng của M qua d. Tính
2
MN
. Kq: MN
2
= 52
- 7 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
C. KẾT LUẬN
Qua một số bài toán đã trình bày ở trên một lần nữa chúng ta thấy được sự thuận tiện
khi dùng phương trình tham số của đường thẳng so với một số cách giải khác. Mỗi
phương pháp đều có những mặt ưu điểm và hạn chế nhất định, tôi hy vọng được sự góp
ý bổ sung của quý thầy cô và các em học sinh để có thể hoàn chỉnh hơn nữa chuyên đề
này.
Qua nội dung đề tài này tôi cũng mong muốn giúp quý thầy cô và các em có thêm
một tư liệu khi học tập và nghiên cứu về phương trình đường thẳng trong không gian.
Cuối cùng xin kính chúc quý thầy cô sức khoẻ, chúc các em thành công.
Thị xã Quảng Trị, tháng 3 năm 2010
Người viết

Nguyễn Chơn Ngôn

- 8 -