ĐỀ THI HSG TOÁN 6

phòng GD&Đt vĩnh tờng Đề giao lu HSG lớp 6
Năm học: 2009 - 2010
Môn : Toán
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: a/ Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2n + 7 chia hết cho n + 1.
b/ Chứng minh rằng phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n:
12 1
30 2
n
n
+
+
.
Câu 2: a/ Tìm x biết:
( )
2
2. 2 7 18x
=
.
b/ Rút gọn :
14 5 7
12 3 3
9 .25 .8
18 .625 .24
A
=
Câu 3: a/ Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10 cm. Gọi điểm C là trung điểm của AB, gọi D là
điểm thuộc đoạn AB sao cho AD = 6cm. Gọi E là trung điểm của BD. Gọi F là trung điểm
của AD. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và EF ?
b/ Cho góc xOy có số đo bằng 120
0

, vẽ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho góc
xOz có số đo là 70
0
, gọi tia Ot là tia phân giác của góc xOz, gọi tia Om là tia đối của tia Oy.
Tính số đo góc mOt ?
Câu 4: a/ Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó ?
b/ Chứng tỏ rằng số sau không phải là số chính phơng:
A abc bca cab= + +
.
Câu 5: a/ Chứng minh rằng:
2 2009
1 2 2 2 3A
= + + + +
M
b/ Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ đợc viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà
số đó chia hết cho 2010.
Câu 6: a/ Một ngời đi quãng đờng AB dài 20 km. Biết rằng 10 km đầu ngời đó đi với vận
tốc 20 km/h và 10 km sau ngời đó đi với vận tốc 30 km/h. Hỏi vận tốc trung bình của ngời đó
trên quãng đờng AB là bao nhiêu ?
b/ Tìm các chữ số a, b biết:
. 1ab b ab
=
?
Câu 7: a/ Hãy so sánh
9
123456789
và
123456789
9
.

b/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà số đó chia cho 5, cho 7, cho 9 có số d theo thứ tự là
3, 4, 5 ?
Câu 8: a/ Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 1
: 1
51 52 53 100 1.2 3.4 5.6 99.100

+ + + + + + + + =
ữ ữ

.
b/ Cho a, b là các số nguyên dơng. Chứng minh rằng:
2
a b
b a
+
.
Câu 9: a/ Cho sáu số tự nhiên khác nhau có tổng bằng 50. Chứng minh rằng trong 6 số đó
tồn tại ba số có tổng lớn hơn hoặc bằng 30.
b/ Tìm số d khi chia
345
109
cho 14 và tìm số d khi chia
11
11
11
cho 30 ?
hớng dẫn chấm thi giao lu HSG lớp 6
Môn : Toán

Câu ý nội dung trình bày điểm
1
1đ
A
0,5đ
n = 0 hoặc n = 4 0,5đ
Đề chính thức
B
0,5đ
Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2
( ) ( )
2 30 2 5 12 1 1 1n n d d + + = =M
Vậy phân số
12 1
30 2
n
n
+
+
tối giản với mọi số tự nhiên n
0,5đ
2
1đ
a
0,5đ
x = 5 hoặc x = 2
0,5đ
b
0,5đ
3

25
A =
0,5đ
3
2đ
a
1đ
F
E
C
A
B
D
Tính đợc độ dài AC = BC = 5cm;
BD = 4 cm; DE = BE = 2cm; AF = DF = 3cm.
Suy ra EF = 5 cm
0,5đ
0,5đ
b
1đ
O
x
y
z
m
t
Tính đợc:
0
60mOx =
0,5đ

0
35xOt =
;
0
95mOt =

0,5đ
4
1đ
a
0,5đ
Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 nên trong ba số đó có một số
chẵn.
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất là 2.
0,5đ
b
0,5đ
Giả sử A là số chính phơng.
( ) ( )
2
3.37. 37 37 3. 37A abc bca cab a b c A a b c= + + = + + + +M M M
Vô lý vì 37 là số nguyên tố và
0 27a b c
< + +
Vậy A không phải là số chính phơng.
0,5đ
5
1đ
a
0,5đ

( ) ( ) ( )
2 2009 2 2008
1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3A = + + + + = + + + + + + M
0,5đ
b
0,5đ
Xét 2011 số : 2;22;222;;2222 số cuối cùng có 2011 chữ số 2.
Các số này khi chia cho 2010 ta đợc 2011 số d. Mà một số tự nhiên
bất kỳ khi chia cho 2010 chỉ có thể có số d là :0;1;2;;2009 có
2010 khả năng d. Do đó theo nguyên tắc Đrichlê tồn tại hai số trong
các số trên có cùng số d khi chia cho 2010. Hiệu của chúng có dạng
22220000 chia hết cho 2010.
0,5đ
6
1đ
a
0,5đ
Thời gian ngời đó đi 10 km đầu là
10 1
20 2
h=
Thời gian ngời đó đi 10 km sau là
10 1
30 3
h=
Tổng thời gian ngời đó đi quãng đờng AB là
1 1 5
2 3 6
h+ =
Vậy vận tốc trung bình của ngời đó trên quãng đờng AB là:

5
20 : 24( / )
6
km h=
0,5đ
b
0,5đ
Ta có
. 1 . 100 100 25ab b ab ab b ab ab ab= = + =M
Vì b khác 0. Thử lại thấy đúng
Vậy a = 2; b = 5
0,5đ
7
1đ
A
0,5đ
( )
123456789 100.000.000 50.000.000 50.000.000
10
100 10 9
9 9 81 10
10 10 123456789
> = >
> = >
0,5đ
b
0,5đ
Gọi số cần tìm là a. số 2a chia cho 5, cho 7, cho 9 đều có số d là 1.
Suy ra 2a 1 = BCNN(5,7,9)
Vậy a = 158

0,5đ
8
1đ
a
0,5đ
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1.2 3.4 5.6 99.100 1 2 3 4 5 6 99 100
1 1 1 1 1 1 1
1 2
2 3 100 2 4 6 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 100 1 2 3 50 51 52 53 100

+ + + + = + + + +
ữ


= + + + + + + + +
ữ


= + + + + + + + + = + + + +
ữ ữ

1 1 1 1 1 1 1 1
: 1
51 52 53 100 1.2 3.4 5.6 99.100

+ + + + + + + + =
ữ ữ

0,5đ
b
0,5đ
Không mất tổng quát giả sử
;a b a b m m N = +
1 1 2
a b b m b m b m b
b a b b m b b m b m b m
+
+ = + = + + + + =
+ + + +
0,5đ
9
1đ
a
0,5đ
Gọi 6 số đã cho là a, b, c, d, e, g giả sử:
a b c d e g> > > > >
*Nếu c > 9 thì b > 10; c > 11 suy ra
9 10 11 30a b c
+ + + + =
*Nếu c < 8 thì d < 7; e < 6; g < 5;
suy ra
7 6 5 18 32d e g a b c+ + + + = + +
0,5đ
b
0,5đ

( )
345 345
3
3 345 3 115
345 345
109 1 1(mod14) 109 11 (mod14)
11 3 27 1(mod14) 11 (11 ) 1(mod14)
109 11 1(mod14)

= = =

Vậy số d khi chia
345
109
cho 14 là 1
11
2 11 11
11 2 1 2
11 121 1(mod 30);11 1(mod 2) 11 2 1( )
11 11 (11 ) .11 11(mod 30)
k k
k k N
+
= = +
= =
Vậy số d khi chia
11
11
11
cho 30 là 11.

0,25đ
0,25đ