Đề KT Toán 11 HK II_7

THI HỌC KÌ II
Môn: Toán 11(Thời gian 90 phút)

I. PHẦN CHUNG(6 điểm):
Câu 1. (1,5đ):Tìm::a)
2
2
3
8 15
lim
9
x
x x
x
→
− +
−
; b)
5
2 4
lim
5
x
x
x
+
→
+
−
; c)
2

lim ( 2 4 )
x
x x x
→+∞
+ + −

Câu 2. (1,5đ)Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
10
8 3 osxy x x c= − −
; b)
1x
y
x
+
=
; c)
10
os (3 4)y c x= −
.
Câu 3.(1đ): Chứng minh phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
3 2
4 2 0x x+ − =
Câu 4.(2đ): Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ABCD là hình vuông.Chứng
minh rằng: a. AB
⊥
SD; b. (SAC)
⊥

(SBD).
II. PHẦN RIÊNG (4 điểm):
A. Dành cho ban KHTN:
Câu 1.(1 đ)Cho hàm số
4
5 4y x x= − +
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
9 2y x= − +
Câu 2. (1đ)Tìm đạo hàm cấp n của y = sin (2x + 4)
Câu 3. (1 đ) Cho hàm số.
3
2
8
2
2 2
20 8 2
5 52 2
x
khi x
x
y x khi x
a a khi x

−
>

+ −



= + <


− + =



. Tìm a để hàm số liên tục trên R
Câu 4. (1 đ) Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), SA = a. ABCD là hình vuông
cạnh 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
B. Dành cho ban cơ bản:
Câu 1. (1đ): Cho hàm số
3
6 2y x x= − +
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số trên tại điểm có hoành độ 3
Câu 2. (1đ): Cho hàm số
3 2
1
4 3 5
3
y x x x= − + +
. Giải bất phương trình
' 12y <
Câu 3. (1đ): Cho h àm s ố:
2
7 10
i x 2

( )
2
4 khi x =2
x x
kh
f x
x
a

− +
≠

=
−


−

Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2
Câu 4. (1đ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là
60
0
, AB = a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Hết
(Học sinh không được sử dụng tài liệu
Đáp án
I. PHẦN CHUNG(6 điểm):
Câu 1.(1,5đ): Tính các giới hạn sau:
a)
b)

( )( )
( )( )
2
2
3 3 3
3 5
8 15 5 1
lim lim lim
9 3 3 3 3
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− −
− + −
= = =−
− − + +

( )
( )
5
5
5
2 4
lim .
5
lim 2 4 10 4 14 0
lim 5 0.
5 0 5

x
x
x
x
A
x
x
x
x x
A
+
+
+
→
→
→
+
=
−
+ = + = >
− =
− > ∀ >
= +∞

c)

2 2
2
2
2

2
( 2 4 )( 2 4 )
lim ( 2 4 ) lim
( 2 4 )
4
2
2 4 2
lim lim 1
2
2 4
2 4
1 1
x x
x x
x x x x x x
x x x
x x x
x
x
x x x
x x
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ + − + + +
+ + − =
+ + +
+
+
= = = =
+ + +

+ + +

Câu 2.(1,5đ): Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) b)
10
' 9
8 3 osx
1
y 80 3sinx
2
y x x c
x
x
= − −
= − +

' '
'
2
2
2
1
( 1) ( 1) ( )
1
1
2 1
=
-x-2
=
2x 1

x
y
x
x x x x
y
x
x x
x
x
x
+
=
+ − +
=
− +
+
+

c)

10
' 9
os (3 4)
30 os (3 4)sin(3 4)
y c x
y c x x
= −
= − − −
Câu 3. (1đ):
Đặt

3 2
( ) 4 2f x x x= + −
TXĐ D =
¡
f(x) liên tục trên
¡
nên liên tục trên các đoạn [-1;0] và [0;1]
Ngoài ra f(-1) f(0) < 1.(-2) = -2 < 0 và f(0) f(1) < - 2.3 = - 6 < 0 do đó pt
3 2
4 2 0x x+ − =
có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1;0) và có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0 ; 1)
Vậy pt đã cho có ít nhất 2 nghiệm.
Câu 4(2đ):
A
D
B
C
S

a) ta có: AB
⊥
SA (SA
⊥
(ABCD))
và AB
⊥
AD (ABCD là hình vuông) nên AB
⊥
(SAD) mà SD
⊂

(SAD)
vậy AB
⊥
SD
b)Ta có : BD
⊥
AC (ABCD là hình vuông)
và BD
⊥
SA (SA
⊥
(ABCD))
nên BD
⊥
(SAC). mà BD
⊂
(SBD)
Từ đó suy ra (SBD)
⊥
(SAC).
II. PHẦN RIÊNG(4 điểm):
A. Dành cho ban KHTN:
Câu 1.(1 đ)
Cho hàm số
4
5 4y x x= − +
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng
9 2y x= − +
3

' 4 5y x= −
3 3
0 0 0
4 5 9 4 4 1x x x− = − ⇔ = − ⇔ = −
( )
0 0
1 10
: 9 1 10 9 1
x y
pttt y x y x
= − ⇒ =
= − + + ⇔ = − +
Câu 2. (1 đ)
( )
2 .sin 2 4
2
n
n
Y x n
π
 
= + +
 ÷
 
Câu 3. (1 đ)
TH1: x > 2
3
8
2 2
x

Y
x
−
=
+ −
Hàm số xác định trên
( )
2;+∞
nên hàm số liên tục trên
( )
2;+∞
TH2: x < 2
20 8Y x= +
Hàm số xác đinh trên
( )
;2−∞
nên hàm số liên tục trên
( )
;2−∞
TH3: Tại x = 2.
Ta có f(2) = a
2
– 5a + 52.
( )
( )
( ) ( )
3
2
2
2 2

2 2
8
lim lim lim 2 4 ( 2 2) 48
2 2
lim lim 20 8 48
x
x x
x x
x
f x x x x
x
f x x
+ +
− −
→ +
→ →
→ →
−
= = + + + + =
+ −
= + =
Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số
liên tục tại x =2
2
5 52 48 1 4a a a a⇔ − + = ⇔ = ∨ =
Câu 4. (1 đ)
Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ABCD là hình vuông. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AC và SB

D
C
B
S
A
E
N
H
6
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
3
d AC SB d AC SEB d A SEB AH a= = = =
B. Dành cho ban cơ bản:
Câu 1. (1đ):
Cho hàm số
3
6 2y x x= − +
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ 3
2
' 3 6y x= −
0 0
3 11, '(3) 21x y f= ⇒ = =
PTTT:
21( 3) 11
21 52
y x
y x
= − +
⇔ = −
Câu 2. (1đ):

Cho hàm số
3 2
1
4 3 5
3
y x x x= − + +
2 2
2
' 8 3. ' 12 8 3 12
8 9 0
1 9
y x x y x x
x x
x
= − + < ⇔ − + <
⇔ − − <
⇔ − < <
Câu 3. (1đ):

2
7 10
i x 2
( )
2
4 khi x =2
x x
kh
f x
x
a


− +
≠

=
−


−

TXD D =R.
Ta có f(2) = 4 – a.
( )( )
( )
( )
2
2 2 2
2 5
7 10
lim lim lim 5 3
2 2
x x x
x x
x x
x
x x
→ → →
− −
− +
= = − =−

− −
Hàm số liên tục tại x =2
4 3 7a a⇔ − = − ⇔ =
Câu 4. (1đ):
O
A
C
B
S
N

Hết
Ta có góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là 60
0

nên:
¼
0
60SAO =
d(S,(ABC)) = SO = AO.tan60
0
0
2 2 3
tan 60 . 3
3 3 2
AN a a= = =