Phương trình đa thức bậc cao

Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9
Một số phơng pháp giải phơng trình
đa thức bậc cao một ẩn
Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất
và bậc hai
Phơng trình bậc 3
- Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm đợc cách giải phơng trình bậc 3
dạng x
3
+ ax = b với a , b > 0
- Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm đợc cách giải tổng quát phơng trình x
3
+
ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b
- Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phơng
trình bậc ba
Phơng trình bậc 4
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phơng
trình bậc bốn
Phơng trình bậc cao hơn 4
Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách
giải tổng quát phơng trình bậc 5 , bậc 6 nhng không thành công
Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời
Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phơng trình bậc cao hơn bốn bằng căn
thức hay không.
- A-ben đã chứng minh đợc rằng các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát
không thể giải đợc bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị đợc các nghiệm của
phơng trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn
- Còn Ga-loa chỉ ra đợc dấu hiệu nhận biết một phơng trình bậc cao hơn bốn có thể
giải đợc bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang

tên ông : lý thuyết nhóm
Vậy là các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát không thể giải đợc
bằng căn thức
Mặt khác đối với học sinh lớp 9 đã biết giải phơng trình bậc nhất và bậc hai dới
dạng tổng quát . Còn cách giải tổng quát của phuơng trình bậc ba và bậc bốn thì phức tạp
đối với học sinh phổ thông
Nh vậy không có phơng pháp chung để giải tất cả các phơng trình bậc cao mà phải
căn cứ vào từng phơng trình , để tìm các giải thích hợp
Sau đây xin đề cập đến một số phơng pháp riêng để giải phơng trình đa thức bậc cao
hơn 2, nhằm bồi dỡng học sinh khá giỏi của lớp 9
Năm học 2009 - 2010
1
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao
I. Phơng pháp biến đổi về phơng trình tích.
Một trong các phơng pháp riêng giải phơng trình đa thức bậc cao là phân tích đa
thức thành nhân tử có bậc thấp hơn để đa việc giải phơng trình đã cho về giải một phơng
trình tích
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0
Giải
Nhận xét : Nếu phơng trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ớc của 3. Ta thấy đa
thức 5x
3
- 6x

2
- 2x
3
+ 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này thành
nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1.
5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0 5x
3
- 5x
2
- x
2
+ x - 3x + 3 = 0 (x - 1)(x
2
- x - 3) = 0
x- 1 = 0 hoặc x
2
- x - 3 = 0
x
2
- x - 3 = 0 x =
2
131 +
hoặc x =
2

131
Phong trình Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm
x
1
= 1 x
2
=
2
131 +
x
3
=
2
131

Ví dụ 2: Giải phơng trình : x
4
+ 12x
3
+ 32x
2
- 8x - 4 = 0
Giải
Nhận xét : Ta thấy phơng trình này không có nghiệm nguyên
x
4
+ 12x
3
+ 32x
2

- 8x - 4 = 0 (x
4
+ 12x
3
+ 36x
2
) - (4x
2
+ 8x + 4) = 0
(x
2
+ 6x)
2
- (2x + 2)
2
= 0 (x
2
+ 8x +2)(x
2
+ 4x -2) = 0
x
2
+ 8x + 2 = 0 hoặc x
2
+ 4x - 2 = 0
x
2
+ 8x + 2 = 0 x =
144 +
hoặc x =

144
x
2
+ 4x - 2 = 0 x =
62 +
hoặc x =
62
Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm
x
1
=
144 +
; x
2
=
144
; x
3
=
62 +
; x
4
=
62
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 3 : Giải phơng trình (x
2
+ x + 2)
2
- 12(x

2
+ x + 2) + 35 = 0
Giải
Đặt x
2
+ x + 2 = y . Ta có phơng trình
y
2
- 12y + 35 = 0 y = 5 hoặc y = 7
Năm học 2009 - 2010
2
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Với y = 5 x
2
+ x - 3 = 0 x =
2
131 +
hoặc x =
2
131
Với y = 7 x
2
+ x -5 = 0 x =
2
211 +
hoặc x =
2
211

Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm

x
1
=
2
131 +
; x
2
=
2
131
; x
3
=
2
211 +
; x
4
=
2
211
Ví dụ 4: Giải phơng trình (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) - 3 = 0

Giải
Đặt x
2
+ 5x + 5 = y. Ta có phơng trình

(y - 1)(y + 1) - 3 = 0 y
2
= 4 y = 2 hoặc y = -2
Với y = 2 x
2
+ 5x + 3 = 0 x =
2
135 +
hoặc x =
2
135
Với y = -2 x
2
+ 5x + 7 = 0 phong trình này vô nghiêm vì < 0
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm
x
1
=
2
135 +
; x
2
=
2
135
Ví dụ 5 : Giải phơng trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
Giải
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 (x
2
+ 8x + 7)(x

2
+ 8x + 15) - 9 = 0
Đặt x
2
+ 8x + 11 = y
Ta có phơng trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 y
2
= 25 y = 5 hoặc y = -5
Với y = 5 x
2
+ 8x + 6 = 0 x =
104 +
hoặc x =
104
Với y = -5 x
2
+ 8x + 16 = 0 (x + 4)
2
= 0 x = -4
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm
x
1
=
104 +
; x
2
=
104
; x
3

= -4
Bài tập
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a) 3x
4
- 22x
2
- 45 = 0 b) x
6
- 9x
3
+ 8 = 0
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a) 2x
3
- 11x
2
+ 2x + 15 = 0 b) x
4
+ x
2
+ 6x - 8 = 0 c) x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 2x - 1 = 0
Hớng dẫn:
Năm học 2009 - 2010

3
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
c) x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
- 2x - 1 = 0 (x
2
+ 2x)
2
- (x - 1)
2
= 0
(x
2
+ x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = 0
Bài 3: Giải các phơng trình sau
a) x(x
2
- 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4
c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112
@
Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt
I . Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch)
Định nghĩa:
Phơng trình có dạng

a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
= 0 ( a 0).
Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( a
n

= a
0
; a
n-1
= a
1
; ). Gọi là phơng trình đối xứng
Nếu n là số chẵn ta gọi là phơng trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là ph-
ơng trình đối xứng bậc lẻ .
Ví dụ: Các phơng trình sau là phơng trình đối xứng
a) 2x
4
+ 3x
3

- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4)
b) 2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5)
1. Phơng trình đối xứng bậc chẵn:
a ) Cách giải:
+ Chia cả hai vế cho
0
2

n
x
+ Đặt x +
x
1
= y (1)
+ Biểu diễn:

+






+






+=+




2
2
1
1
1111
k
k
k
k
k

k
x
x
x
x
x
x
x
x
+ Thay giá trị vừa tìm đợc của y tìm giá trị của x
b) Ví dụ:
Giải phơng trình sau :
2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn)
Giải
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế cho x
2
0 ta có phơng
trình :
2x
2
+ 3x - 16 + 3
x
1
+

2
2
x
= 0
2






++






+
x
x
x
x
1
3
1
2
2
= 16 = 0
Năm học 2009 - 2010

4
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Đặt x +
x
1
= y (2)






+
2
2
1
x
x
= y
2
- 2 .
Ta có phơng trình 2y
2
+ 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y =
2
5
. Thứ tự thay y = -4 và y =
2
5
. vào (2) ta có x

1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -
3
; x
3
=2 ; x
4
=
2
1
c) Lu ý : Nếu m là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc chẵn thì
m
1
cũng là nghiệm
của phơng trình đó .
2. Phơng trình đối xứng bậc lẻ
a) Cách giải :
Vì x = -1 luôn là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc lẻ . Nên phơng trình đã cho
trở thành phơng trình
(x + 1).f(x) = 0
Trong đó f(x) = 0 là một phơng trình đối xứng bậc chẵn
Do đó ta đa việc giải phơng trình dối xứng bâc lẻ về giải phơng trình đối xứng bậc
chẵn f(x) = 0 và phơng trình x + 1 = 0
b) Ví dụ: Giải phơng trình
2x
5

+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0
Giải
Phơng trình đã cho là phơng trình đối xứng bậc 5
2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 (x +1)(2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2) = 0




=+++
=+

02xx6xx2
01x
234
Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 đã đợc giải ở trên
Vậy phơng trình đã cho có năm nghiệm
x
1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -
3
; x
3
=2 ; x
4
=
2
1
; x
5
= -1
Bài tập

Bài 4: Giải các phơng trình sau
a) x
4
+ 5x
3
- 12x
2
+ 5x + 1 = 0 b) x
5
+ 2x
3
- 3x
3
- 3x
2
+ 2x + 1 = 0
c) 6x
4
+ 5x
3
- 38x
2
+ 5x + 6 = 0 c) 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
- 29x + 6 = 0
Bài 5: Giải các phơng trình sau

a) x
4
- 3x
2
+ 6x
2
+ 3x + 1 = 0 b) x
5
+ 4x
4
+ 3x
2
- 4x + 1 = 0
Bài 6: Giải phơng trình
a) 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x + 50 = 0
b) 2x
8
- 9x
7
+ 20x
6
- 33x
5
+ 46x

4
- 66x
3
+ 80x
2
- 72x + 32 = 0
Năm học 2009 - 2010
5
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
II. Phơng trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax
2
( Trong đó ab = cd)
a) Cách giải : Đặt x +
y
x
ab
=
b) Ví dụ : Giải phơng trình
4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x
2

Hớng dẫn
4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x
2
4(x
2
+ 16x + 60) (x
2
+ 17x + 60) = 3x
2

(1)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế của phơng
trình (1) cho x
2
0 . Ta đợc phơng trình :
4
3
x
60
17x
x
60
16x =






++






++
Đặt x + 17 +
x
60

= y
Ta có phơng trình 4(y - 1)y - 3 = 0 4y
2
- 4y - 3 = 0 y =
2
1
hoặc y =
2
3
Từ đó ta giải hai phơng trình x + 17 +
x
60
=
2
1
và x + 17 +
x
60
=
2
3
Bài tập
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x
2
b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x
2
III. Phơng trình dạng: (x - a)
4
+ (x - b)

4
= A
a) Ví dụ: Giải phơng trình
(x - 6)
4
+ ( x- 8)
4
= 16
Giải
Đặt x -
2
86 +
= x - 7 = y phơng trình trở thành
(y - 1)
4
+ (y + 1)
4
= 16 y
4
+ 6y
2
- 7 = 0
Đặt y
2
= z ( z 0) phơng trình trở thành
z
2
+ 6z - 7 = 0 z
1
= 1 ; z

2
= -7 (Loại)
Với z = 1 y = 1 hoặc y = -1 x = 8 hoặc x = 6.
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
= 8 ; x
2
= 6.
Năm học 2009 - 2010
6
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
b) Lu ý: Khi giải phơng trình bậc bốn dạng
( ) ( )
cbxbx =+++
44
ta thờng đặt ẩn phụ
y
ba
x =
+
+
2
để đa phơng trình đã cho về phơng trình trùng phơng
Bài tập
Bài 8: Giải các phơng trình
a) (x + 6)
4
+ (x + 4)
4
= 82 b) (x + 3)

4
+ (x + 5)
4
= 16
Bài 9: Giải các phơng trình
a) (x + 1)
4
+ (x + 5)
4
= 40 b) ( x- 2)
6
- (x - 4)
6
= 64
Kết luận: Nói chung là không có phong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các ph-
ơng trình bậc cao. Tuỳ dạng phơng trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phơng pháp giải riêng
thích hợp. ở trên đã nêu một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt và cách giải . Các em
HS có thể tìm một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải những phơng
trình đó
Hết
Năm học 2009 - 2010
7
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Các chuyên đề bồi dỡng HS giỏi 9
Hệ thống lý thuyết
hệ thống bài tập
gợi mở phat triển
Trờng hợp đặc biệt: Phơng trình trùng phơng
+ Định nghĩa: Phơng ttrình có dạng ax
4

+ bx
2
+ c = 0 (a 0)
+ Cách giải:
- Đặt x
2
= y 0
- Giải phơng trình ay
2
+ by + c = 0.
- Thay giá tri tìm đợc của y 0 vào x
2
= y để tìm các giá trị của x.
+ Ví dụ: Giải phơng trình:
x
4
+ 2x
2
- 3 = 0
Phụ lục:
Phơng trình đối xứng
I. Phơng trình đối xứng đối xứng bậc chẵn
1. Định nghĩa:
2. Ta gọi phơng trình
0xa
n2
0i
ii
=

=
(a
2n
x
2n
+ a
2n-1
x
2n-1
+ + a
n+1
x
n+1
+ a
n
x
n
+
trong đó a
2n
0 và a
i
= a
2n-i
. k
n-i
i = 0 ; 1; 2; ; n-1 là phơng trình thuận nghịc bậc
chẵn
Năm học 2009 - 2010
8