Sang kien kinh nghiem cap tỉnh

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Mục lục
A- Đặt vấn đề
B- Nội dung đề tài
I- Lý thuyết cơ bản
1- Khái niệm hàm số
2- Các hàm số trong chơng trình THCS
II- Một số dạng bài tập
Dạng I:Tìm tập xác định của hàm số
Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số
Dạng III: Xác định công thức của hàm số
Dạng IV: Vẽ đồ thị hàm số
Dạng V: Vị trí tơng đối giữa các đồ thị
Dạng VI: Điểm cố định
Dạng VII: Quỹ tích đại số
III- Một số bài tập luyện tập chung
C- Kết luận
D- Tài liệu tham khảo
E- Phụ lục (bài soạn)
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
1
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
A- Đặt vấn đề:
Hàm số là một khái niệm xuất hiện thờng xuyên trong cuộc sống thông
qua quan hệ tơng ứng giữa các đối tợng. Khái niệm hàm số đợc đa vào chơng
trình THCS từ lớp 7 và đợc dùng trong suốt bậc học. Với các khái niệm hàm số
bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thi tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thời
gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì nhiều dạng và không thể thiếu
trong các kì kiểm tra, kỳ thi. Do thời gian luyện tập không nhiều nên kết quả của
học sinh không cao. Vì vậy đối với học sinh hàm số quả là một vấn đề khó.
Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tôi đã tiến hành nghiên cứu Một số

vấn đề về hàm số và đồ thị. Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm
hàm số, đồ thị hàm số và đa ra một số dạng bài tập có phơng pháp giải về hàm số
nhằm giúp học sinh trong một thời gian ngắn có thể nắm đợc phơng pháp giải
bài tập về hàm số, trên cơ sở đó tự giải các bài tập tơng tự, liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, cách truyền thụ kiến thứ, cách phát huy
hay tự lực của học sinh, sự chú ý sửa sai cho học sinh tôi đã giúp học sinh không
còn sợ hàm số mà thấy đây là phần bài tập có Angôrít giải rõ ràng, chính xác, có
nhiều nội dung ứng dụng phong phú và hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết
một số bài toán khác nhau nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình.
Sau đây là nội dung đề tài
B- Nội dung đề tài:
I- Lý thuyết cơ bản:
1- Khái niệm cơ bản:
1.1- ánh xạ:
a- Định nghĩa:
Cho hai tập hợp X và Y ; là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y
là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x X với một và chỉ một y Y.
Ký hiệu: : X -> Y
x -> y = (x)
Ta gọi X là nguồn của ánh xạ
Y là tập đích của ánh xạ
Phần tử y = (x) y gọi là ảnh của x qua ánh xạ
b- Các loại ánh xạ:
* Đơn ánh:
ánh xạ: : X -> Y
x -> y = (x)
ánh xạ là đơn ánh x
1
; x
2

X : X
1
X
2
thì (x
1
) (x
2
).
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
2
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Hoặc x
1
; x
2
X : (x
1
) = (x
2
) thì x
1
= x
2
Ví dụ: : r -> R
x -> y = (x) = 2x
* Toàn ánh: ánh xạ: : X -> Y
x -> y = (x)
ánh xạ là toàn ánh yY thì x X:(x) = y. Hoặc là toàn ánh
phơng trình (x) = y luôn có nghiệm với yY cho trớc.

Ví dụ: : r -> R
x -> y = (x) = 2x
là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x = y/2 với y xác
định.
* Song ánh: ánh xạ: : X -> Y
x -> y = (x)
ánh xạ là song ánh là đơn ánh và là toàn ánh.
1.2- Hàm số:
a- Theo quan niệm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập
hợp ánh xạ. Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
* Tronh chơng trình SGK THCS (1991 - 2001) khái niệm hàm số đợc trình
bày trong SGK lớp 7 (đợc nhắc lại trong SGK lớp 9) nh sau:
Một hàm số đi qua từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc
cho tơng ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà ta kí hiệu là y
= (x).
Ngời ta viết: : X -> Y
x -> y = (x)
X là tập hợp xác định, x X là biến số, y = (x) là giá trị của hàm số tại x.
* Trong chơng trình SGK mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán
7 đã nêu rõ thuộc tính này: Giả sử x và y là hai đại lợng biến thiên và nhận các
giá trị số. Nếu y thay đổi phụ thuộc vào x sao cho. Với mỗi giá trị của x ta xác
định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là
biến số.
* Chú ý: Nh vậy dù hàm số đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều thuộc
tính bản chất.
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
3
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định đợc duy nhất một số y
Y.

+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận biến đổi.
+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiên
phụ thuộc.
b- Đồ thì hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)
* Đồ thị hàm số y = (x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng tọa độ có tọa
độ (x, (x)) với x X.
* Chú ý:
+ Mỗi hàm số có một đồ thì xác định duy nhất và ngợc lại
+ Điểm M (x
M
; y
M
) thuộc đồ thị hàm số y = (x) y
M
= (x
M
).
c- Các cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi
các cách.
+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = (x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
2- Các hàm số trong chơng trình THCS:
2.1 - Hàm số bậc nhất:
a- Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax+b
trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, xR.
b- Tính chất:
* Tập xác định: R
* Tính biến thiên:

+ a> 0 thì hàm số đồng biến trong R.
+ a< 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, xR) là đờng thẳng đi qua điểm A(0,b)
và điểm B (-b/a,0).
+ Khi a = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc tọa độ và
điểm E (1,a).
2.2 - Hàm số bậc hai:
a- Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax
2
+bx+c
với a, b, c là các hằng số xác định a 0, xR.
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
4
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
b- Tính chất:
* Tập xác định: R
* Tính biến thiên:
+ a> 0 hàm số đồng biến trong (-b/2a; +) và nghịch biến trong (-; -b/2a).
+ a<0 hàm số nghịch biến trong (-b/2a; +) và đồng biến trong (-; -b/2a).
c- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a 0, xR) là parabol (P) có đỉnh là
D(-b/2a; -/4a) nhận đờng thẳng x = -b/2a làm trục đối xứng.
II- Một số dạng bài tập

:
Dạng I

: Tìm tập xác định của hàm số
1- Định nghĩa: Tập xác định của hàm số y = (x) là tập các giá trị của
x để biểu thức (x) có nghĩa:
Vì vậy:
- Nếu (x) là đa thức thì hàm số có TXĐ xR
- Nếu (x) có dạng phân thức thì hàm số có TXĐ {xR/MT0}
- Nếu (x) chứa căn thức bậc chẵn thì hàm số có TXĐ {xR/biểu thức
trong căn 0}.
2- Ví dụ:
* Ví dụ 1: Hàm số y = 3x - 7 có TXĐ:R
* Ví dụ 2: Hàm số
{ }
3R/xx:TXĐ có
3x
12x
y

+
=
* Ví dụ 3: Hàm số






+=
3
1
13 R/xx:TXĐ có y x

Dạng II

: Tìm giá trị của hàm số
* Tập giá trị của hàm số : X -> Y
x-> y = (x)
là tập các giá trị y = Y sao cho phơng trình (x) y có nghiệm x X.
1- Cách giải:
Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị
của y.
Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình (x) = y có nghiệm trong TXĐ.
2- Ví dụ:
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
5
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Ví dụ 1

: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x - 5 với x [-1; 1]
Giải: Ta có x -1 2x -2 2x- 5 -7 y- 7
x -1 2x -2 2x- 5 -3 y - 3
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x - 5 với x [-1; 1] là y [-7; -3]
Ví dụ 2

: Tìm miền giá trị của hàm số y = x-5+3- x
Giải:
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
x-5+3-x x - 5 + 3 - x = 2 y 2
Vậy miền giá trị của hàm số y = x-5+3- x với x R là y R,. y 2
Ví dụ 3

: Tìm miền giá trị của hàm số y = x

2
- 2x + 3 với x [2,3]
Giải: Hàm số y = x
2
- 2x + 3 có a = 1> 0 nên đồng biến với x 1
Nên với x [2,3] ta có y(2) y y(3) 3 y 6
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
- 2x + 3 với y [2,3] là y [3,6]
3- ứng dụng:
* ứ

ng dụng 1

: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x - x
2
- 2
Giải: Ta có y = 6x
2
- x
2
- 2
= - (x
2
-6x + 9) + 7
= - (x-3)
2
+ 7 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 3
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 7 tại x = 3

* ứ

ng dụng 2

: Giải phơng trình (x) = g(x) (1)
Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ
vào miền giá trị của hai hàm số y = (x) và y = g(x)
Nếu
(x) m
với x D thì (x) = g(x)
(x) = m
(2)
(x) m
g(x) = m
Nếu x
0
D thỏa mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ: Giải phơng trình 6x-x
2
- 2 = x - 1+x-2+2x-3+4x-13(1)
Giải: + TXĐ: R
+ Ta có VT = 6x- x
2
- 2 = 7 - (x- 3)
2
dấu = xảy ra x = 3
VP = x - 1+x-2+2x-3+4x-13 3
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh

6
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
dấu = xảy ra 2 x 13/4
+ Vậy phơng trình (1)
x = 3
Kết luận: Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Dạng III: Xác định công thức hàm số
III.1 - Khi biết tính chất đồ thị hàm số:
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị hàm số có tơng ứng 1 -1 nên ta xác định đ-
ợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng.
III.1.1 - Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có
tính chất
a, Đi qua điểm A (x
1
; y
1
) và điểm B (x
2
; y
2
).
Lời giải:
Vì A (x
1
; y
1
) d nên ax
1
+ b = y
1

B (x
2
; y
2
) d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phơng trình giải hệ phơng trình ta có a; b
Kết luận công thức hàm số:
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(1;1) và điểm B (-1;2)
Giải:
Vì A (1;1) d nên a.1 + b = 1
B (-1;2) d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phơng trình
Kết luận: Hàm số cần tìm là
b- Đồ thị đi qua điểm A (x
1
; y
1
) và song song với đờng thẳng d có phơng
trình y = a
1
x + b
1
(a
1
0).
Lời giải:

Vì A (x
1
; y
1
) d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d song song với d nên a = a
1
b = y
1
- a
1
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a
1
x
1
+ y
1
- a
1
x
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và song
song với đờng thẳng d có phơng trình y = 2x - 1
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
7

=+++
=
7134x32x2x1x
72x6x
2





=+
=+
22
1
ybax
1
ybax

=
=

=+
=+
2
3
b
2
1
a
2ba-
1ba
2
3
x
2
1
y
+=
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Lời giải:
Vì A (1;1) d nên a + b = 1
Vì d song song với d nên a = 2 b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 1
c - Đồ thì đi qua điểm A (x
1
; y

1
) và vuông góc với đờng thẳng d có phơng
trình y = a
1
x + b
1
(a
1
0).
Lời giải:
Vì A (x
1
; y
1
) d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d nên aa
1
=- 1
x
1
a
1
yb
1
a
1
a

1
+=

=
a
Kết luận hàm số cần tìm là
x
a
1
yx
a
1
y
1
1
1
++

=
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông
góc với đờng thẳng d có phơng trình
Lời giải:
Vì A (x
1
; y
1
) d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d nên a a
1
a = 2 b = -1

Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 1
d - Đồ thị hàm số đi qua điểm A (x
1
; y
1
) và tiếp xúc với parabol (P)
y=ax
2
+ bx + c (a0).
Lời giải:
Vì A (x
1
; y
1
) d nên ax
1
+ b = y
1
(1)
Vì d tiếp xúc với parabol (P): y = ax
2
+ bx + c nên phơng trình có hoành độ:
ax + b = ax
2
+ bx + c có nghiệm kép
ax
2
+ (b - a)x + c = 0 có nghiệm kép
= (b - a)
2

- 4a (c-b) = 0 (2)
Giải hệ gồm hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b
Kết luận công thức hàm số:
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm
A(-1; 2) và tiếp xúc với parabol (P): y = x
2
+ 1
Lời giải:
Vì A (-1;2) d nên -a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với parabol (P): y = x
2
+ 1 nên phơng trình hoành độ
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
8
2
3
+=
x
2
1
y
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
ax + b = x
2
+ 1 có nghiệm kép
x
2
- ax + 1-b = 0 có nghiệm kép
= (a)
2

- 4(1- b) = 0 (2)
Ta có hệ phơng trình:
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x
III.1.2 - Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là parabol (P)
a- Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
), C(x
3
; y
3
)
Lời giải:
Vì A (x
1
; y
1
) (P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y

1
(1)
Vì B (x
2
; y
2
) (P) nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C (x
3
; y
3
) (P) nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
3
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2

+ bx + c có đồ thị là parabol (P) đi
qua điểm phân biệt A(-1; 6), B(0;3), C(3;6)
Lời giải:
Vì A (-1;6) (P) nên a - b + c = 6 (1)
Vì B (0;3) (P) nên c = 3 (2)
Vì C(3;6) (P) nên 9a + 3b + c = 6 (3)
Ta có hệ phơng trình:















=
=
=

=+
=
=

=++
=+
=
2b
1a
3c
33b9a
3ba
3c
6c3b9a
6cba
3c
Vậy công thức hàm số cần tìm là y = x
2
- 2x +3
b- (P) có tọa độ đỉnh D(x
0
; y
0
) và đi qua điểm A (x
1
; y
1
)
Lời giải:
Vì A(x
1
; y
1
) (P) nên ax

1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có tọa độ đỉnh D (x
0
; y
0
) nên
0
y
4a

(2);
0
x
2a
b
=

=
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
9

=
=

=+
+=

=++
+=

=++
+=

=+
=+
2a
0b
02)(a
2ab
42)4(aa
2ab
42)4(aa
2ab
44ba
2ba
2
222
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
)3(
0
y
4a
4ac-b-
=
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b,c
Kết luận công thức hàm số:
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là parabol (P) đi
qua A(-1, 2) và có đỉnh là D(1, -2).
Lời giải:
Vì A (-1, 2) (P) nê a- b + c = 2 (1)

Vì (P) có tọa độ đỉnh D (1, -2) nên
2
4a
-
(2) 1
2a
b
==

(3) 1
4a
4ac-2
b
=


Ta có hệ phơng trình:
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x
2
2x + 1
c- (P) có tọa độ đỉnh D (x
0
; y
0
) và tiếp xúc với đờng thẳng d: y = ax + b
Lời giải:
Vì (P) có tọa độ đỉnh D (x
0
; y
0

) nên
0
y
4a
-
(1); x
2a
b
==


0
(2) y
4a
2
b
0
4
=


ac
Vì (P) tiếp xúc với đờng thẳng d: y = ax + b nên phơng trình hoành độ ax
2
+ bx + c = ax + b có nghiệm kép
ax
2
(b-a)x + c b = 0 có nghiệm kép
= (b a)
2

4a(c b) = 0 (3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số
III. 2- Xác định công thức hàm số khi biết phơng trình hàm số.
Ví dụ: Tìm biểu thức (x) của hàm số biết
1
2
x
x
1
(1
=+
)
và (0) = 0
Giải:
+ Với x 0 đặt
1t
1
X cóta theo xrút rồit )
x
1
(1

==+
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
10

=
=
=

=
=+
=+

=

=

=
1c
2b
1a
08a4ac
2
b
0b2a
2cba
2
4a
4ac
2
b
1
2a
b
2cba
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Thay vào công thức ban đầu ta có (t) =
2
1)(t
t)t(2
f(1)
2
1t
1

=







Vì tơng ứng hàm số không phụ thuộc vào ký hiệu nên coi
2
1)(x
x)x(2
f(x)


=
+ Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm đợc ta có f(0) = 0
Vậy hàm số cần tìm là:
2
1)(x
x)x(2
f(x)


=
Dạng IV: Vẽ đồ thị hàm số
1- Nhắc lại về vẽ đồ thị hàm số:
* Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
tọa độ có tọa độ (x, f(x)) với x TXĐ
* Đồ thì hàm số bậc nhất y = ax 9 b (a0) là một đờng thẳng

Cách vẽ:
+ Lấy 2 điểm có tọa độ thỏa mãn công thức hàm số chẳng hạn A(0, b) và
B (-b/a; 0).
+ Vẽ đờng thẳng đi qua A và B.
* Đồ thị hàm số bậc 2: y = ax
2
+ bx + c (a0) là Parabol (P) có.
+ Đỉnh
+ Trục đối xứng:
+ Bề lõm quay lên khi a> 0; bề lõm quay xuống khi a<0
2- Ví dụ:
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
4x + 3
+ TXĐ: x R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2
Hàm số nghịch biến với x<2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị:
x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
11
)
4a
;
2a
b
( D

2a
b
x

=
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol (P) có đỉnh D (-2; -1) đối xứng qua đ-
ờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên.
3- ứng dụng:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ
nhất (lớn nhất) tại đó đồ thị nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất).
Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị
của hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1+ x - 2
Giải:
Ta có:
Đồ thị hàm số gồm các đờng thẳng y = 2x 3 (x>2); y = -2x + 3 (x<1)
và đoạn y = 1 (1 2 2)
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất
là Min y = 1 (với (1 2 2)
Dạng V: Vị trí tơng đối giữa các đồ thị
* Cơ sở lý thuyết:
+ Điểm M (x
M
; y
M
) đồ thị hàm số y = f(x) y
M

= f(x
M
).
+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào
điểm chung của hai đồ thị
Giả sử M (x
M
; y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và
y = g(x).
M đồ thị hàm số y = f(x) và M đồ thị hàm số y = g(x)
y
M
= f(x
M
) và y
M
= g(x
M
).
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
12
y
4
3
2
1
D
-1

0
x
-1





<+

>
=
1)(x 32x
2)x(1 1
2)(x 32x
y
y
32
1
-1
0
-1
3
2
1
x
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
(x
M
; y

M
) là nghiệm của hệ phơng trình y = f(x)
y=g(x)
Vậy vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ
thuộc vào số nghiệm của hệ phơng y = f(x) (1)
y=g(x) (2)
1- Cách giải:
a- Bài toán xác định vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y
= g(x) (f(x) và g(x) có bậc 2)
+ Phơng trình hoành độ: f(x) = g(x) (2)
+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị
các hàm số y = f(x) và y = g(x) (f(x) và g(x) có bậc 2). Hai đồ thị cắt nhau
phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt.
Hai đồ thị tiếp xúc phơng trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau phơng trình (3) vô nghiệm
* Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm
của phơng trình (3).
* Để xác định tọa độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình
(3) tìm hoành độ x = x
0
dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ
tơng ứng y = y
0
.
Kết luận chung:
b- Chú ý: Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng (d) y = ax+ b và (d
1
): y
= a
1

x + b
1
(a, a
1
0).
+d song song với d
1
a = a
1
; b = b
1
+d cắt d
1
a a
1
Đặc biệt d vuông góc với d
1
aa
1
= -1
+ d trùng với d
1
a = a
1
; b= b
1
2- Ví dụ:
Ví dụ 1

: Cho hai đờng thẳng d: y =m(x+2) và d

1
: y =(2m 3)x + 2
a- Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng .
Giải:
m 2m 3 m = 3
2m 2 m 1
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
13
+ d//d
1

m = 3






=
=
=
0c
0b
0a



=
=
<=>

+=
+=
0x
2y
2xy
2xy
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
+d cắt d
1
m 2m 3 m 3
+ Không có giá trị của m để d trùng với d
1
b- Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc.
Xác định tọa độ điểm chung trong từng trờng hợp
Giải:
* d vuông góc với d
1
m (2m 3) = -2
2m
2
3m + 1 = 0
m = 1 hoặc
* Với ta có d: và d
1
: y = -2x +2 vuông góc với nhau.
Tọa độ điểm chung của d và d
1

là nghiệm của hệ





+=
+=
22
1
2
1
xy
xy








=
=
5
2
5
6
x
y

Vậy với
2
1
=m
hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại B
)
5
6
;
5
2
(
* Với m = 1 ta có Đảng : y = x +2 và d
1
: y = x +2 vuông góc với nhau
Tọa độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ
Vậy với m = 1 hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại A(0;2)
3- ứng dụng: Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x)(1)
* Cơ sở lý thuyết:
- Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x = x
0
khi đó giá trị tơng ứng của các
vế là f(x
o
)=g(x
o
)=y
0

.
- Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) có điểm chung (x
1
;y
o
). Do đó nếu
có các đồ thị y=f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng tọa độ thì số điểm
chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1).
* Cách giải bài toán: Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1)
bằng phơng trình đồ thị.
- Vẽ đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x)(C) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Biện luận số điểm chung của (C) và (C) => Số nghiệm của phơng trình.
Dạng VI: Điểm cố định (chùm đờng thẳng, chùm parabol)
* Cơ sở lý thuyết
- Điểm M(x
o
; y
o
) đồ thị hàm số y=f(x) y
o
=f(x
o
)
- Hàm số y=f(x) (có phụ thuộc tham số m) luôn đi qua điểm M(x
o
; y
o
)
y
o

=f(x
o
)m
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
14
3
1
m
=
2
1
m
=
1
+=
x
2
1
y
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
- Phơng trình ax
2
+bx+c=0 có nhiều hơn hai nghiệm
1- Cách giải bài toán
Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y=f(x) (có phụ thuộc tham số m) đi
qua m
- Giả sử M(x
o
; y
o

) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với m
Ta có: y
0
= f(x
o
) (1) đúng m
+ Biến đổi (1) về phơng trình tắc ẩn m (coi x
o
; y
o
là tham số) có nghiệm với
m => Các hệ số của phơng trình bằng 0. (2) Giải hệ điều kiện (2) tìm x
o
; y
o
.
+ (Thử lại) kết luận điểm cố định
Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d) y=(2m+1)x-3m+2 đi qua m
Giải: Giả sử (x
o
; y
o
) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua với m
y
o
= (2m+1)x
o
-3m+2 đúng với m
2mx
o

-3m+x
o
-y
o
+2 = 0 đúng với m
(2x
o
-3)m+(x
o
-y
o
+2) = 0 đúng với m




=
=
<=>



=+
=
2/7
2/3
02
032
0
0

00
y
x
yx
x
o
Vậy đờng thẳng (d) đi qua M(
2
7
;
2
3
) với m
Ví dụ 2: Tìm điểm cố định mà parabol (P) y=(m
2
-m+2)x
2
+(2m+3)x-4m
2
+1
đi qua với m
Giải:
Giả sử M(x
o
; y
o
) là điểm cố định mà (P) đi qua với m
y
o
= (m

2
- m+2)
2
0
x
+(2m+3)x
0
- 4m
2
+1 đúng với m
(
2
0
x
- 4)m
2
-(
2
0
x
-2x
o
)m+2
2
0
x
+3x
o
+1-y
o

=0 đúng với m












=
=
<=>
=++
=
=
15y
2x
01y3x2x
02xx
04x
0
0
0
0
2
0

0
2
0
2
0
Vậy (D) đi qua điểm M(2;15) với m
Dạng VII: Quỹ tích đại số
* Cơ sở lý thuyết
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
15
16
912x
2
4x
+
16
912x
2
4x
y
+
=
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
+ Điểm M(x
M
;y
M
) biết tọa độ x
M
; y

M
phụ thuộc hàm số m
Giải:
+ Biểu diễn tọa độ của M theo tham số m
+ Từ biểu thức x
M
; y
M
khử tham số m, biểu diễn y
M
=f(x
M
)
+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x)
Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều
kiện của x để giới hạn quỹ tích.
2-Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm tập hợp giao điểm nếu có của hai đờng thẳng
(d
1
) (m-1)x + 2y=3
(d
2
) mx + y = - 4
Giải:
+ Tọa độ điểm chung M của (d
1
), (d
2
) là nghiệm của hệ:

+

=
+
=
1
47
1
11
m
m
y
m
x
(m -1)
+ Ta có:

+==>
+
=
=>
+
=
<=>
+

=
+
=
M
x7
M
y
1m
11
7
M
y
M

x
M
y
1m
11
M
x
1m
47m
m
y
1m
11
M
x
Vậy tập hợp giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) là đờng thẳng y=x+7 với m-1
Ví dụ: Trong mặt phẳng xOy cho điểm F(
2
3
;1) và đờng thẳng d có phơng
trình y= -1. Tìm tập hợp điểm M(x;y) cách đều F và d
Giải:
Hạ MH d ta có H(x 1)
Vậy MF=MH
MF
2

= MH
2
(
2
3
x
)
2
+(y-1)
2
=(y+1)
2
y =
Vậy tập hợp điểm M là parabol
III. Bài tập tổng hợp
Bài 1: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ gọi (D) là đồ thị hàm số y=ax
2
và
(d) là đồ thị hàm số y=-x+m
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
16
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
a. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc.
b. Tìm M sao cho (d) tiếp xúc với (D) vừa có, và tìm tọa độ tiếp điểm.
c. Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung C là điểm đối xứng của
A qua trục tung. Chứng tỏa rằng.
+ C nằm trên (P)
+ Tam giác ABC vuông cân
H ớng dẫn:
a. (P): y = x

2
b. Phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là y -
4
1
x
2
= -x+m
x
2
+ 4x - 4m = 0
Cho = 0 ta có m=1 và tiếp điểm là A(2;-1)
c. Xác định các điểm: A(2;-1); B(0;1); C(-2;-1)
+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân.
Bài 2: Cho Parabol (P): y=x
2
-4x+3
a. Chứng minh đờng thẳng y=2x-6 tiếp xúc với parabol(P)
b. Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x
2
-4x +3> 2x 4
Bài 3: Cho Parabol (P): y =
2
1
x
2
điểm I(0;2) và điểm M(m;0) với m

0
1. Vẽ (P)
2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua I và M

3. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A;B
với m0
4. Gọi H và K là hình chiếu của A và B trên trục hoành. Chứng minh rằng
tam giác IHK vuông cân.
5. Chứng minh độ dài đoạn AB>H với m0
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) y=-x
2
-4x+3 và đờng
thẳng (d); 2y + 4x 17 = 0.
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm vị trí của điểm A(P) và điểm B(d) sao cho đoạn AB ngắn nhất.
H ớng dẫn:
2. AB ngắn nhất tiếp tuyến với (P) tại điểm (A) song song với đờng
thẳng (d).
+ Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d): y
= -2x + 6 => A(3;0)
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
17
4
1

§Ò tµi: Mét sè vÊn ®Ò vÒ hµm sè vµ ®å thÞ
+ ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d’’) ⊥ víi (d’) t¹i A. X¸c ®Þnh giao ®iÓm
cña (d’) víi (d’) ®Ó t×m B(4;1/2)
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Trung Thanh
18
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
c - Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài: Một số vấn đề về hàm số đã giúp tôi hiểu một
cách sâu sắc về hàm số và đồ thị xây dựng đợc một hệ thống bài tập phong phú.

Từ đó tạo điều kiện cho tôi giảng dạy tốt hơn về hàm số và đồ thị.
Đồng thời với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phơng
pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú học tập
và thực sự thích học về hàm số.
Nếu có thời gian, cần tiếp tục phát triển các ứng dụng của từng dạng toán,
nâng cao yêu cầu trong từng bài để bồi dỡng học sinh khá và giỏi.
Vì điều kiện thời gian có hạn nên đề tài chắn chắn còn nhiều thiếu sót, rất
mong đợc sự góp ý của các thấy cô giáo.
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
19
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
D Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa đại số 7, đại số 9.
2. Sách phát triển đại số 7, đại số 8, đại số 9 (Vũ Hữu Bình)
3. Tài liệu chuyên toán đại số 9 (Hoàng Chúng; Thiệu Hùng; Quang Khải)
4. Trọng điểm đại số 9 (Ngô Long Hậu; Trần Luận)
5. Toán nâng cao đại số 9 (Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Việt Hải; Vũ D-
ơng Thụy)
6. Bài toán học và tuổi trẻ.
Bài soạn: Hàm số
A- Mục tiêu:
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
20
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
* Học sinh biết đợc khái niệm hàm số
* Nhận biết đợc đại lợng này có phải là hàm số của đại lợng kia hay không trong
những cách cho cụ thể và đơn giản (bằng bảng, bằng công thức).
* Tìm đợc giá trị tơng ứng của hàm số khi biết đợc giá trị của biến số.
B- Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
* Giáo viên: Đèn chiếu và các phim giấy trong (hoặc bảng phụ) ghi bài tập, khái

niệm về hàm số, thớc thẳng.
* Học sinh: Thớc thẳng, bảng phụ nhóm
C- Tiến trình dạy học:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Hoạt động 1: Một số ví dụ về hàm số (18ph)
GV: Trong thực tiễn và trong toán học ta
thờng gặp các đại lợng thay đổi phụ
thuộc vào sự thay đổi các đại lợng khác.
Ví dụ 1: Nhiệt độ T (
0
C) phụ thuộc vào
thời điểm t (giờ) trong một ngày.
Giáo viên đa bảng ở ví dụ trang 62 lên
màn hình yêu cầu học sinh đọc bảng và
cho biết: Theo bảng này nhiệt độ trong
ngày cao nhất khi nào? Thấp nhất khi
nào?
Ví dụ 2: (Trang 63 SGK)
- Một thanh kim loại đồng chất có khối
lợng riêng là 7,8 (g/cm
3
) có thể tích khối
lợng m của thanh kim loại đó:
- Công thức này có ta biết m và V là hai
đại lợng nh thế nào?
- Hãy tính các giá trị tơng đối của m khi
V = 1, 2, 3, 4
Ví dụ 3: Một vật chuyển động đều trên
quãng đờng dài 50km với vận tốc V
(km/h). Hãy tính thời gian t (h) của vật

đó.
- Công thức này cho ta biết với quãng đ-
ờng không đổi, thời gian và vận tốc là
hai đại lợng quan hệ nh thế nào?
Hãy lập bảng giá trị tơng ứng của t khi
biết V = 5; 10; 25; 50. Nhìn vào bảng ở
ví dụ 1 em có nhận xét gì?
Học sinh: Đọc ví dụ và trả lời
- Theo bảng này, nhiệt độ cao nhất lúc 2
giờ tra (26
0
C) và thấp nhất lúc 4 giờ sáng
(26
0
C).
HS: m = 7,8V
- m và V là hai đại lợng tỉ lệ thuận vì
công thức có dạng y = kx với k = 7,8
V(cm
3
) 1 2 3 4
m(g) 7,8 15,6 23,4 31,2
v
50
t =
Quãng đờng không đổi vì thời gian và
vận tốc là hai đại lợng tỉ lệ nghịch vì
công thức có dạng
x
a

y =
V(km/h) 5 10 25 50
t(h) 10 5 2 1
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
21
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
HS: Nhiệt độ T phụ thuộc vào sự thay
đổi của thời gian t
- Với mỗi thời điểm t, ta xác định đợc
mấy giá trị nhiệt độ T tơng ứng?
Với mỗi giá trị của thời điểm t ta chỉ xã
định đợc một giá trị tơng ứng của nhiệt
độ T
Lấy ví dụ: Ví dụ: T = 0 (giờ) thì T = 20
o
C
T = 12 (giờ) thì T = 26
o
C
Tơng ứng ở ví dụ 2 em có nhận xét gì? HS: Khối lợng m của thanh đồng phụ
thuộc vào thể tích V của nó. Với mỗi giá
trị của V ta chỉ xác định đợc một giá trị
tơng ứng của m.
- Ta nói nhiệt độ T là hàm số của thời
điểm T, khối lợng m là một hàm số của
thể tích V ở ví dụ 3, thời gian t là hàm số
của đại lợng nào?
Vậy hàm số là gì? => phần 2
- HS: Thời gian t là hàm số của vận tốc
V:

Hoạt động 2: Khái niệm hàm số (15 phút)
GV: Qua các ví dụ trên, hãy cho biết đại
lợng y đợc gọi là hàm số của đại lợng
thay đổi x khi nào?
HS: Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại l-
ợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị
của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá
trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm
số của x.
GV: Đa khái niệm hàm số (trang 93) lên
màn hình. Lu ý để y là hàm số của x cần
có các điều kiện sau:
- x và y đều nhận các giá trị số.
- Đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x
- Với mỗi giá trị của x không thể tìm đợc
nhiều hơn một giá trị tơng ứng của y.
GV: Giới thiệu phần chú ý trang 63
SGK
HS: Đọc phần chú ý SGK
Cho HS làm bài tập 24 trang 63 SGK (đa
đề bài lên màn hình)
HS: Nhìn vào bảng ta thấy 3 điều kiện
của hàm số đều thoả mãn, vậy y là một
hàm số của x
Đối chiếu với 3 điều kiện của hàm số
cho biết y có phải là hàm số của x hay
không?
Đây là trờng hợp hàm số đợc cho bằng
bảng
GV: Cho ví dụ về hàm số đợc cho bởi

công thức?
HS: Y= f(x) = 3x
y= g(x) = 12/x
Xét hàm số y = f(x) = 3x HS: f(1) = 3.1 = 3
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
22
Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị
Hãy tính f(1) ? f(-5)? f(0) f(-5) = 3.(-5)= -15
f(0) = 3.0=0
Xét hàm số: y= g(x) = 12/x
Hãy tính g(2)? g(-4)?
HS: g(2) = 12/2=6
g(-4) = 12/-4=3
Hoạt động 3: Luyện tập ( 10 phút)
Cho HS làm bài tập 35 trang 47,48 SBT
(đề bài đa lên màn hình). Đại lợng y có
phải là hàm số của đại lợng x không, nếu
bảng có giá trị tơng ứng của chúng là:
a.
x và y quan hệ thế nào? Công thức liên
hệ?
Trả lời:
a. Y là hàm số của x vì y phụ thuộc vào
sự biến đổi của x, với mỗi giá trị của x ta
chỉ có một giá trị tơng ứng của y.
x và y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch vì xy =
12 => y = 12/x
b.
x 4 4 9 16
y -2 2 3 4

Phát hiện mqh giữa y và x
b. Y không phải là hàm số của x vì ứng
với x = 4 có hai giá trị tơng ứng của y là
(-2) và 2y là căn bậc hai của x.
c.
x -2 -1 0 1 2
y 1 1 1 1 1
Đây là một hàm hằng vì ứng với một giá
trị của x, chỉ còn 1 giá trị tơng ứng của y
= 1
*) Cho HS làm bài tập 25 trang 64 SGK
Cho h/s y = f(x) = 3x
2
+1
tính f(1/2); f(1); f(3)
HS: Làm bài tập, một HS lên bảng làm:
f(1/2)=3.(1/2)
2
+1 = 7/4
f(1)=3.(1)
2
+1 = 4
f(3) = 3.(3)
2
+1 = 28
Hoạt động 4: Hớng dẫn về nhà (2 phút)
- Nắm vững khái niệm hàm số, vận dụng các điều kiện đề y là một hàm số của x.
Bài tập số 26;27;28;29;30 trang 64 SGK.
Ngời thực hiện: Nguyễn Trung Thanh
23

x -3 -2 -1 1/3 1/2 2
y -4 -6 -12 36 24 0