Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II năm học 2009-2010

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I - MÔN TOÁN 9
*******************************
LÝ THUYẾT
A/ ĐẠI SỐ
1. Định nghĩa căn bậc hai. Với giá trị nào của A thì
A
có nghĩa.
2. Chứng minh định lý : Với mọi số thực a thì
2
a a=
.
3. Chứng minh định lý : Nếu
A 0 ; B 0≥ ≥
thì
AB A B.=
.
4. Chứng minh định lý : Nếu
A 0 ; B 0≥ >
thì
A A
B
B
=
.
5. Phát biểu qui tắc khai phương một tích, một thương.
6. Phát biểu qui tắc nhân và chia các căn thức bậc hai.
7. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trong .
8. Định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất.
B/ HÌNH HỌC
1. Nêu các định lý về một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
vuông : hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ;

một số hệ thức liên quan đến đường cao.
2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn.
3. Tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
4. Nêu các định lý về một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông .
5. Định nghĩa đường tròn. Viết các hệ thức cho biết vị trí tương đối giữa một
điểm và một đường tròn.
6. Nêu cách xác định một đường tròn.
7. Chứng minh định lý : “ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy ”.
8. Định nghĩa tiếp tuyến của một đường tròn. Phát biểu và chứng minh định lý
hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ở ngoài đường tròn.
9. Vẽ các vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Trong mỗi trường
hợp viết hệ thức liên hệ giữa d và r ( r là bán kính của đường tròn, d là
khoảng cách từ tâm đến đường thẳng).
10. Vẽ các vị trí tương đối giữa hai đường tròn. Trong mỗi trường hợp viết hệ
thức liên hệ giữa d , r và r’ ( r, r’ là bán kính của các đường tròn, d là khoảng
cách hai tâm).
BÀI TẬP
A/ ĐẠI SỐ
1. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa :
2 1
a 2x 1 b c
1 3x
x 5
) ) )
−
−
−
−
1

2. Tính :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
a A 5 2 2 5 5 2 2 5 b B 27 3 5 5 3
2 2 5 5
c C 2 5 d D 1 5 3 5
2 1 5 1
) . ; ) . ;
) ; )
= − + = + −
+ −
= + − − = − − −
+ −
3. Cho các biểu thức :

( ) ( )
( )
1 1
A 45 63 7 5 B 1 x 0 x 1
x 1 x 1
. ; ;= + − = − + ≥ ≠
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tính x khi A = B.
4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến số :

x y y x
x y
A x 0 y 0 x y

xy x y
x x x
B x 0 x 1
x 1
1 x 1 x
: ( ; ; )
: ( ; )
−
−
= > > ≠
+
 
= + > ≠
 ÷
 ÷
−
− +
 
5. Cho biểu thức :
x 5
P
x 3 2
−
=
− −
a) Tìm điều kiện của x để các biểu thức P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
6. Giải các phương trình :

2
1
a x 4x 4 2 b 4x 20 x 5 9x 45 4
3
) ; )− + = + + + − + =
7. Cho biểu thức :
2 2
A 1 6x 9x 4x 12x 9= − + + − +
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A với
2
x
2
=
.
8. Cho hàm số :
m 1
y x 2
m 3
−
= −
+
.
a) Tìm m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Tìm m để hàm số trên nghịch biến trong .
9. Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là (D).
a) Xác định a và b để đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -3x và
đi qua điểm M(1 ; 3).
b) Vẽ (D) ứng với a, b tìm được ở câu a).
2

10. Cho hai hàm số : y = 2x + 2 và y = -x -1 có đồ thị lần lượt là (D) và (D’).
a) Vẽ (D) và (D’) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm C của (D) và (D’).
c) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (D) và (D’) với trục Oy. Tính diện tích
và chu vi của tam giác ABC.
B/ HÌNH HỌC
1. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy một điểm C trên (O) sao cho
AC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) vẽ từ B và C cắt nhau ở D.
a) Tính số đo góc ABC.
b) Chứng minh rằng OD // AC.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh O, I, D thẳng hàng.
d) Chứng minh tam giác BCD là tam giác đều.
2. Cho đường tròn tâm O bán kính R, một đường thẳng d đi qua tâm O. Từ một
điểm A trên đường thẳng d vẽ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm) ; vẽ dây BC
vuông góc với OA.
a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
b) Xác định điểm A trên d để tam giác ABC là tam giác đều.
c) Tính BC theo R trong trường hợp điểm A đã xác định ở câu b).
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng
chứa nửa đường tròn tâm O có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia tiếp tuyến Ax và
By. Một tiếp tuyến thứ ba của nửa đường tròn (O), tiếp điểm M cắt Ax và By theo
thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh rằng AC + BD = CD.
b) Chứng minh tam giác COD vuông.
c) Chứng minh AC.BD = R
2
.
d) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MN // AC.
4. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn
(O’) có đường kính CB.

a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau ?
b) Vẽ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với A tại trung điểm H ủa AC. Tứ
giác ADCE là hình gì ? Vì sao ?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E,
C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
********************************************************
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II - MÔN TOÁN 9
3
Các em học sinh cần làm thêm các bài tập khác có liên quan với
các nội dung trên ở sách giáo khoa và sách bài tập.
*******************************
LÝ THUYẾT
A/ ĐẠI SỐ
1. Cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (phương pháp thế, pp cộng).
2. Điều kiện để hệ phương trình
ax by c
a b c a b c
a x b y c

( , , , ', ', ' 0)
' ' '
+ =

≠

+ =

vô nghiệm ;
vô số nghiệm ; có một nghiệm duy nhất.

3. Tính chất của hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
4. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn, viết công thức tính nghiệm.
5. Phát biểu và chứng minh định lí Vi-ét.
B/ HÌNH HỌC
1. Phát biểu định lí về góc nội tiếp và cung bị chắn. Nêu các hệ quả của đ.Lí
2. Phát biểu và chứng minh định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây (chỉ
chứng minh trường hợp tâm O nằm ngoài góc).
3. Phát biểu và chứng minh định lí về góc có đỉnh ở trong đường tròn.
4. Phát biểu và chứng minh định lí (thuận) về tứ giác nội tiếp đường tròn.
5. Viết công thức tính : Độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, diện
tích quạt tròn.
6. Viết công thức tính : diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của
hình trụ ; diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình nón ;
diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.
BÀI TẬP
A/ ĐẠI SỐ.
1. Cho hệ phương trình :
x y
x y m
3 2 4
2
+ =


− =

a) Giải hệ phương trình khi m = 5.
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x < 1 ; y < 1.

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng : 3x + 2y = 4 ; 2x – y = m ;
x + 2y = 3 đồng qui ?
2. Cho hệ phương trình :
x y m
y x
2 3
5 1
+ =


− = −

a) Giải hệ phương trình khi m = - 3 .
b) Chứng tỏ hệ luôn có nghiệm duy nhất bất chấp mọi giá trị của m.
3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng : (d
1
): 2x – 3y = 5 ;
(d
2
): 3x + 2y = 1.
4. Giải các phương trình :
4
( )
( ) ( )
( )
( )
a x x b x x x
x
c x x x d
x

x
e x x f x x
2
2
2
4
) 2 1 5 ; ) 5 5 2 25
1 1
) 7 10 3 0 ; )
2 1 2
1
) 5 4 0 ; ) 5 3
− = − − + = −
− + − = − =
+
−
− + = + − =
5. Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 2 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m .
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện
x x
1 2

1 1
2+ =
.
6. Cho phương trình : x
2
+ (m + 1)x + m = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm .
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để
x x
2 2
1 2
1
+
đạt giá
trị lớn nhất.
7. Giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình (bài 1- 3), lập phương trình
(bài 4- 7) :
Bài 1 : Một hình chữ nhật có chu vi bằng 90m. Chiều dài hơn chiều rộng 15m.
Tìm diện tích hình chữ nhật đó.
Bài 2 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người
thứ nhất là trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được
25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong
bao lâu ?
Bài 3 : Hai ô-tô khởi hành đồng thời từ hai địa điểm A và B cách nhau 750km
và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành

trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau.
Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 4 : Một xe ô-tô đi từ A đến B dài 120km với vận tốc đều. Sau khi đi được
nủa đoạn đường, xe tăng vận tốc thêm 10km/h nên đến B sớm hơn dự định 30
phút. Tính vận tốc ban đầu của xe.
Bài 5 : Tìm ba số nguyên liên tiếp biết rằng bình phương của số lớn nhất bằng
tổng bình phương hai số còn lại.
Bài 6 : Tìm diện tích của một hình chữ nhật nội tiếp trong một đường tròn có
đường kính 15cm. Biết rằng hai kích thước của hình chữ nhật đó hơn kém nhau
3cm.
5
Bài 7 : Một tổ học sinh dự định trồng 120 cây con, số cây được chia đều cho
mỗi bạn. Khi bắt đầu trồng, tổ được tăng cường thêm 3 bạn nữa nên mỗi bạn trồng
ít hơn so với dự định ban đầu là 9 cây. Hỏi số học sinh của tổ lúc đầu.
9. Cho hàm số y = - 0,5x
2

có đồ thị là (P).
a) Vẽ (P).
b) Trên (P) lấy hai điểm A và B lần lượt có hoành độ là -2, 1 viết phương
trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P).
10. Cho hàm số y = x
2

có đồ thị là (P).
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để đường thẳng (D) : y = 2mx – 1 tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ
tiếp điểm của (P) và (D) trong trường hợp nầy.
11. Cho hàm số y = ax

2

có đồ thị là (P).
a) Xác định a biết (P) đi qua điểm A(-2 ; 2)
b) Vẽ (P) với a vừa xác định.
c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) :
y x
2
1
2
=
với đường thẳng (D) :
y x
3
2
= +
.
B/ HÌNH HỌC
1. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là
các tiếp điểm) và một cát tuyến MCD đến đường tròn (O).
a) Chứng minh MA
2
= MC.MD.
b) Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh tứ giác AIOB nội tiếp được
trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn này.
c) Phân giác của góc DAC cắt CD tại E. Chứng minh các tam giác MAE,
MBE là các tam giác cân.
d) Gọi H là hình chiếu của B trên MO. Chứng minh tứ giác OHCD nội tiếp
được trong một đường tròn.
2. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Lấy một điểm M trên cung AB

( M ≠ A, M ≠ B). Hai tiếp tuyến của (O) ở A và M cắt nhau tại T.
a) Chứng minh tứ giác OATM nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Xác định điểm M trên (O) để tam giác TAM là tam giác đều. Tính OT
theo R trong trường hợp này.
c) Chứng minh OT // MB.
d) Tính diện tích phần tam giác TAM nằm ngoài (O) theo R khi OT = 2R.
e) Gọi I là giao điểm của OT với AM. Tìm quĩ tích của I khi M di chuyển
trên (O).
6
ĐỀ THAM KHẢO
A. LÝ THUYẾT (2đ)
1. Phát biểu định lí Vi-ét.
Áp dụng : Cho phương trình bậc hai : x
2
– 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2.
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
x x
1 2
1 1
.+
2. Phát biểu định lí về góc nội tiếp và cung bị chắn. Nêu các hệ quả của định lí
đó.
B. BÀI TOÁN (8đ).
Bài 1. (1,5đ)
a) Giải hệ phương trình :
x y

x y
3 2
5
=


+ =

b) Giải phương trình : x
4
–3x
2
– 4 = 0.
Bài 2. (1,5đ)
Cho hàm số y = ax
2
có đồ thị (P).
a) Xác định a biết (P) đi qua điểm A(2 ; 4)
b) Vẽ (P) với a vừa xác định.
Bài 3. (1,5đ)
Một tam giác vuông có cạnh huyền 15cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau
3cm . Tính độ dài các cạnh góc vuông.
Bài 4. (3,5đ)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến Bx của nửa đường
tròn và lấy trên nửa đường tròn đó hai điểm C và D sao cho :
»
»
»
AC CD DB= =
.

AC, AD cắt Bx lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh :
·
·
CDA CEF.=
b) Chứng minh CDFE nội tiếp.
c) Tính diện tích hình viên phân ứng với cung CDB theo R.
Hết.
******************************************************************
7
Các em học sinh cần làm thêm các bài tập khác có liên quan với các nội
dung trên ở sách giáo khoa và sách bài tập.