Tài liệu hướng dẫn ôn tập và đề cương ôn tập toán 9 học kì 2

Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
ÔN TẬP TOÁN 9 HỌC KỲ II
PHẦN I : LÝ THUYẾT :
A) ĐẠI SỐ :
Câu 1 : Hàm số y = ax
2
( a ≠ 0) : tính chất , đồ thò hàm số
a) Tính chất :
-
Hàm số xác đònh với mọi gía trò của x ∈ R
-
Tính chất biến thiên :
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x >0 , nghòch biến khi x < 0
+ Nếu a < 0 Thì hàm số đồng biến khi x < 0 , nghòch biến khi x > 0
-
Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x ≠ 0 ; y = 0 khi x = 0 . Giá trò nhỏ nhất của hàm số là y = 0
-
Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x ≠ 0 ; y= 0 khi x = 0 . Giá trò lớn nhất của hàm số là y = 0
b) đồ thò hàm số y = ax
2
( a ≠ 0)
-
Đồ thò của Hàm số y = ax
2
( a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục
đối xứng . Đường cong được gọi là một Parabol với đỉnh O
-
Nếu a > 0 thì đồ thò hàm số nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thò hàm số
-
Nếu a < 0 thì đồ thò hàm số nằm phía dưới trục hoành , O là điểmcao nhất của đồ thò hàm số
Câu 2 : Phương trình bậc hai một ẩn : Đònh nghóa , công thức nghiệm (tổng quát , thu gọn ) , cách nhẩm

nghiệm :
a) Đònh nghóa : phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
trong đó x : ẩn , a,b,c các số đã cho , a ≠ 0
b) Công thức nghiệm tổng quát :
ax
2
+bx+c = 0(a ≠ 0)
∆ = b
2
–4ac
v ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm
x
1
=
2
4
2
b b ac
a
− − −
; x
2
=
2
4
2
b b ac
a

− + −
v ∆= 0 phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=–
2
b
a
v ∆ < 0 phương trình vô nghiệm
c) Công thức nghiệm thu gọn
phương trình ax
2
+bx+c = 0(a ≠ 0)
với b : chẵn ; b’ =
2
b
;∆’ = b’
2
–ac
v ∆’>0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
;
2
=
' 'b
a
− ∆
=
m

v ∆’<0 phương trình vô nghiệm
v ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép phương trình có nghiệm kép x
1
=x
2

'b
a
−
=

Câu 3 : Hệ thức Vi-Et , cách nhẩm nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c = 0(a ≠ 0)
a) Hệ thức Vi-t : Đònh lý nếu x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c = 0(a ≠ 0) thì

1 2 1 2
; .
b c
x x x x
a a
+ = − =
b) Cách nhẩm nghiệm :
1

Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
v Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0(a ≠ 0) có a+b+c= 0 thì phương trình có 1 nghiệm là x
1
= 1 ,
còn nghiệm kia bằng
c
a
v Nếu phương trình
ax
2
+bx+c = 0(a ≠ 0) có a–b+c= 0 thì phương trình có 1 nghiệm là x
1
= –1 , còn nghiệm kia bằng –
c
a
c) Tìm hai số khi biết tổng và tích hai số : Nếu hai số u và v có tổng S =u + v ; P =uv , thì hai số u và v
là nghiệm của phương trình x
2
– Sx + P = 0
B) HÌNH HỌC :
Câu 1 : Góc ở tâm :
-
Đònh nghóa : Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn
-
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
-
Số đo của cung nhỏ lớn bằng hiệu giữa 360
0

và số đo của cung nhỏ ( có chung hai mút với cung
lớn )
-
Số đo của nửa đường tròn bằng 180
0
-
Nếu C là một điểm trên cung AB thì
»
»
»
=sdACsd AB sdCB
+

Câu 2 : Các đònh lý liên hệ giữa cung và dây :
a) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn , hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và
ngược lại
b) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn , cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại
c) Trong một đường tròn , hai cung bò chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
d) Trong một đường tròn , đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung
điểm của dây căng cung ấy
e) Trong một đường tròn , đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không qua tâm)
thì chia cung dây ấy thành hai cung bằng nhau )
f) Trong một đường tròn , đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì ⊥ với dây
căng cung ấy và ngược lại
Câu 3: Góc nội tiếp :
a) Đònh nghóa : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của nó chứa hai dây
cung của đường tròn đó
b) Đònh lý : Trong một đường tròn , số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bò chắn
c) Hệ quả : Trong một đường tròn :
-

Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
-
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
-
Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
-
Góc nội tiếp nửa chắn đường tròn là góc vuông và ngược lại , góc vuông nội tiếp thì chắn nửa
đường tròn
Câu 4 : Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung :
a) Khái niệm : Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm , một cạnh là tia
tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung
b) Đònh lý : Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bò chắn
c) Hệ quả : Trong một đường tròn , góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn một cung thì bằng nhau
Câu 5 : Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
a) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bò chắn
b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bò chắn
2
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
Câu 6 : Quỹ tích cung chứa góc : Quỹ tích cacù điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc
α
không đổi là hai cung chứa góc
α
dựng trên đoạn thẳng đó ( 0
0
<
α
< 180

0
)
Câu 7 : Tứ giác nội tiếp :
a) Đònh nghóa : Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp
+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa
giác được gọi là nội tiếp đường tròn
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa
giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn
b) Tính chất : Trong tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 180
0

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp :
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0

+ Tứ giác có các góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác đònh ).Điểm đó là tâm của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc
α

v Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân và ngược lại
v Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội
tiếp
Câu 8: Độ dài đường tròn , độ dài cung , diện tích hình tròn , diện tích hình quạt
v C = 2
π
R ;
180
Rn

l
π
=

v S = R
2
π
;
2
360 2
quat
R n lR
S
π
= =
với R :bán kính đường tròn ;
l
: độ dài cung ; n
0
:
cung n
0

Câu 9 : Cacù công thức tính các hình không gian :
a) Hình trụ :
2
xq
S rh
π
=

;
2
2 2
tp
S rh r
π π
= +

2
V Sh r h
π
= =
với r : bán kính hình trụ , h :chiều cao; S:diện tích đáy
b) HÌnh nón :

2
n
Sxq =
360 360
l n l
l rl
π
π π
= =

vDiện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy

2
tp
S rl r

π π
= +

r : bán kính đáy ,

l
: Độ dài đường sinh
h: Chiều cao
non
1
3
tru
V V
=

2
1
3
V r h
π
=
r : bán kính đường tròn đáy ; h: chiều cao
c) Hình nón cụt :
1 2
( )
xq
S r r l
π
= +

2 2
1 2 1 2
1
( )
3
V h r r rr
π
= + +
r
1
; r
2
: bán kính hai đáy của hình nón cụt
d) HÌnh cầu :
2 2
S 4 R hayS d= π = π

3
4
3
V R
π
=
3
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
BỘ ĐỀ ÔN TẬP HK II TOÁN 9
ĐỀ 1
Câu 1 :
Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a) 3x + 2y = 1

5x + 3y = - 4
b)
2
2 2 3 3 0x x+ − =
c) 9x
4
+ 8 x
2
– 1 = 0
Câu 2
Cho phương trình 2x
2
+ 3x - 14 = 0 có hai nghiệm là. x
1
, x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức.
A =
21
11
xx
+
Câu 3: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m
2
. Nếu tăng chiều rộng 2 m và giảm chiều dài 6 m thì
diện tích mảnh đất không đổi . Tính chu vi của mảnh đất lúc ban đầu
Câu 4 :
a)Viết phương trình đường thẳng(d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng 4

b) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x + 4 và y =
2
2
x
−
trên cùng một hệ trục tọa độ.
Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính
Câu 5
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC
theo thứ tự tại E và D
a) Chứng minh : AD.AC = AE. AB
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE , gọi K là giao điểm của AH và BC . Chứng minh AH vuông góc với
BC
c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm
Chứng minh ANM = AKN
c) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng
ĐỀ 2
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)



=−
=+
72
33
yx
yx
b)






=+++
=−++
3)21()21(
5)21()21(
yx
yx
Bài 2:
a) Xác định hàm số y=ax
2
biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(2;2)
b) Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị hàm số y=2x+1 và hàm số vừa xác định ở câu a)
c) Chứng tỏ rằng đường thẳng y=-mx+1 luôn luôn cắt parabol
2
2
1
xy =
Bài 3 (2đ): Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được
cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
Bài 4 (3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Vẽ dây AD//BC. Tiếp tuyến tại A và B
của đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a)
BOABIA
ˆ
ˆ
=
b) Năm điểm E,A,I,O,B cùng thuộc một đường tròn.

ĐỀ 3
Bài 1 : Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a)



=−
=+
3y3x
133y2x
4
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
b) 3x
2
+ 5x + 2 =0 c)
3x
1
9x
63xx
2
2
−
=
−
+−
Bài 2 : Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình :
Một đội xe tải dự định chuyển 105 tấn gạo từ kho dự trữ Quốc gia về cứu trợ đồng bào bị bão lũ, với
điều kiện mỗi xe đều chuyển số tấn gạo như nhau. Đến khi vận chuyển có hai xe được điều động làm công
việc khác , vì vậy mỗi xe phải chuyển thêm sáu tấn nữa mới hết số gạo cần chuyển. Hỏi số xe tải ban đầu của
đội là bao nhiêu xe ?

Bài 3 :
a)Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 3NP; NP =
5
. Tính thể tích hình tạo thành khi quay hình
chữ nhật MNPQ một vòng quanh MN .
b) Một hình nón có đường sinh bằng 16cm. Diện tích xung quanh bằng
2
cm
3
256π
. Tính bán kính
đường tròn đáy của hình nón.
Bài 4 : Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Gọi C,D là hai điểm thuộc nửa đường tròn.
Các tia AC, AD cắt tia tiếp tuyến Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B, E ).
a) Chứng minh : EB
2
= EC . EA
b) Chứng minh : Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn.
c) Tính phần diện tích nửa hình tròn (O;R) nằm bên ngoài tứ giác ACDB theo R trong trường hợp
CÔD = 30
0
; DÔB = 60
0
.
ĐỀ 4
Bài 1:
a) Giải hệ phương trình và phương trình sau:
1)
3x y 5
x y 1




+ =
− = −

2) x
2
− 5 = 0
a) Cho phương trình x
2
−3x + 1 = 0 . Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính :
2 2
1 2
x x
+
Bài 2:
Cho hàm số y = ax
2
có đồ thị (P)
a) Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm A(1; −1). Vẽ (P) với a tìm được
b) Một đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O và song song đường thẳng y = x − 2 . Tìm tọa độ giao
điểm của (d) và (P)
Bài 3 :
Cho đường tròn tâm O bán kính R = 3 cm và một điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn sao cho SO
= 5cm . Vẽ tiếp tuyến SA với A là tiếp điểm và cát tuyến SCB không qua tâm sao cho O nằm trong góc ASB

;C nằm giữa S và B . Gọi H là trung điểm của CB .
a) Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn .
b) Tính độ dài của đường tròn ngoại tiếp tứ giác SAOH
c) Tính tích SC.SB
d) Gọi MN là đường kính của đường tròn (O). Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác
SMN lớn nhất
Bài 4 :
5
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm , BC = 12cm . Tính thể tích của hình tạo thành khi quay hình chữ
nhật ABCD xung quanh AD
Cho số π = 3,14
ĐỀ 5
Học sinh chọn một trong 2 câu sau:
Câu 1: Phát biểu định lý Vi-et.
Áp dụng: Cho phương trình bậc hai:
012x7x
2
=+−
Có 2 nghiệm
21
x,x
. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
21
x
1
x
1
+
Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

B. Bài toán bắt buộc :
Bài 1 : a) Giải hệ phương trình:



=−
−=+
4y3x2
1y2x3
b) Giải phương trình:
3
1x
4
2x
5
=
−
−
−

Bài 2 Cho phương trình
01mx2x
2
=−+−
a) Giải phuơng trình khi m = -2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
x,x
thoả mãn điều kiện
21

x2x =
Bài 3 :
Cho hàm số
2
x2y =
có đồ thị (P).
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Viết phương trình đuờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm có hoành độ x = -1.
Bài 4:
Một tam giác vuông có cạnh huyền 13 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích
tam giác vuông đó.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. .Lấy H là trung điểm
của dây BC. Tia OH cắt đường tròn tại D.Tia AC, AD lần lượt cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tại E và
F.
a) Chứng minh AD là tia phân giác của góc
BA
ˆ
C
b) Chứng minh tứ giác ECDF là tứ giác nội tiếp
c) Cho CD = R. Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung
BDC

với dây CB.
ĐỀ 6
Học sinh chọn một trong 2 câu sau:
Câu 1: Phát biểu định lý Vi-et.
Áp dụng: Cho phương trình bậc hai:
012x7x
2

=+−
Có 2 nghiệm
21
x,x
. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
21
x
1
x
1
+
Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý về số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
B. Bài toán bắt buộc :
Bài 1 : a) Giải hệ phương trình:



=−
−=+
4y3x2
1y2x3
b) Giải phương trình:
3
1x
4
2x
5
=
−
−

−

Bài 2 Cho phương trình
01mx2x
2
=−+−
c) Giải phuơng trình khi m = -2
6
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
x,x
thoả mãn điều kiện
21
x2x =
Bài 3
Cho hàm số
2
x2y =
có đồ thị (P).
c) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
d) Viết phương trình đuờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm có hoành độ x = -1.
Bài 4 :
Một tam giác vuông có cạnh huyền 13 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích
tam giác vuông đó.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. .Lấy H là trung điểm
của dây BC. Tia OH cắt đường tròn tại D.Tia AC, AD lần lượt cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tại E và
F.
d) Chứng minh AD là tia phân giác của góc

BA
ˆ
C
e) Chứng minh tứ giác ECDF là tứ giác nội tiếp
f) Cho CD = R. Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung
BDC

với dây CB.
ĐỀ 7
Bài 1: 1) Cho hệ pt:



=+
=−
myx
yx
2
52
a. Giải hệ pt khi m = 8;
b. Tìm m để hệ pt trên có nghiệm (x, y) sao cho x > 0; y > 0.
Bài 2: Cho pt: x
2
– 2mx – 5 = 0 (1)
a. Giải pt khi m = 2;
b. Chứng minh pt luôn có nghiệm với mọi giá trị của m;
c. Tìm m để pt (1) có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn điều kiện
5
19
1
2
2
1
−
=+
x
x
x
x
.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không cắt (O). Kẻ OH
⊥
d tại H. Trên d lấy điểm A
và kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) sao cho A và B cùng nằm trên nửa mặt
phẳng bờ là đường thẳng OH. Gọi E là giao điểm của BH với (O); đặt OA = a (a > R).
a. Chứng minh: OBAH nội tiếp;
b. Chứng minh: BÔC = 2AÔH;
c. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt d tại C. Chứng minh:
∆
OBA
∆
OEC;
d. Tính EC theo a và R.
ĐỀ 8
Câu 1/ (2.25 đ)
a/ Giải các hệ phương trình sau:

x = 2 3x - 2y = 11
2x - y = 3 4x - 5y = 3
b/ Với giá trị nào của m thì hệ 2x - y = m có nghiệm duy
4x - m
2
y = 2
2
nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm ?
Câu 2/ Cho phương trình 3x
2
+ 4(m - 1)x - m
2
= 0
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt ? Tìm
hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m ?
Câu 3/ Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109
Tìm hai số đó ?
Câu 4/ Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính
đáy là r = 3,1 cm và chiều cao h = 2,4 cm ?
Câu 5/ Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là
một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyến tại M
7
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
của (O) cắt các tiếp tuyến Ax tại A và tiếp tuyến By tại B của (O)
ở C và D.

a/ Chứng minh: OACM và OBDM nội tiếp.
b/ Chứng minh: góc ACO = góc MBD.
c/ Nối OC và OD cắt AM và BM tại E và F. Tìm quỹ tích trung
điểm I của EF ?
ĐỀ 9
Bài 1: Cho hệ phương trình:
2 3 5
4 7
x y
ax y
+ =


− =

a) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm bằng (1;1)
b) Giải hệ phương trình khi a = - 2
Bài 2: Cho hàm số y = 2x
2
có đồ thị (P).
a) Chứng tỏ (P) đi qua điểm M(1;2).
b) Vẽ (P).
c) Tim toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng y=2007x+2009
Bài 3: Một đám đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 15m và có diện tích 2700m
2
. Tính chu vi
đám đất .
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D và
cắt đường tròn tại E.
a)

Chứng minh OE vuông góc với BC.
b)
Gọi S là giao điểm của BC với tiếp tuyến của đường tròn tại A . Chứng minh tam giác SAD cân.
c)
Chứng minh SB.SC = SD
2
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A quay quanh cạnh BC. Tính thể tích hình sinh ra bởi tam giác , biết
BC = 5cm.
ĐỀ 10
Câu 1(1đ): Giải hệ phương trình sau:



=+
=−
42
32
yx
yx
Câu 2 : Vẽ đồ thị hàm số y =
4
1
x
2
Câu 3): Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0 (ẩn x, tham số m)
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x
1

, x
2
với mọi m.
c) Đặt A =
21
2
2
2
1
6 xxxx −+
. Chứng minh A = m
2
– 8m + 8. Tính giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 4 : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3cm, đường chéo 15cm. Tính các kính thước của
hình chữ nhật đó.
Câu 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm thuộc nửa đường tròn. Trên đường kính AB
lấy điểm C sao cho AC<CB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc
với MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By ở Q. Gọi D là giao điểm của CQ và BM; E
là giao điểm của CP và AM. Chứng minh:
a/ Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp.
b/ AB //DE.
c/ Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
8
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10
===========================================
§1.CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a

⇔
x
2
= a. Kí hiệu:
x a=
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
Biểu thức
A
xác định
⇔

A 0≥
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2
A khi A 0
A A
A khi A 0
≥

= =

− <

4.Các phép biến đổi căn thức
+)
( )
A.B A. B A 0; B 0= ≥ ≥

+)
( )
A A
A 0; B 0
B
B
= ≥ >
+)
( )
2
A B A B B 0
= ≥
+)
( )
A 1
A.B A.B 0; B 0
B B
= ≥ ≠
+)
( )
( )
2
2
m. A B
m
B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≠
−

±
m
+)
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
2
A 2 B m 2 m.n n m n m n± = ± + = ± = ±
với
m n A
m.n B
+ =


=

B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
9
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1

( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + + −
Giải
A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + − − = + + − − =
+
( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = −
(
)
( ) ( )

2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD2.Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+

 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x
y y 0
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x

4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3.So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải
10
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
Có
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998
= − + + = − + +
= + − < + =
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )

3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +

− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
2.Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −

2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
11
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
3.Chứng minh
a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −

d)
1 1 1
S
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
4.Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
6.Tìm x, biết:
( )

2
x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
________________________________________________
§2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
ABC∆
vuông tại A
2 2 2
AB AC BC⇔ + =
2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông
B
H
C
A
1) AB
2
= BH.BC; AC
2
= CH.BC
2) AB.AC = AH.BC
3) AH
2
= BH.HC

4)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
Kết quả:
12
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Đặt
ACB ; ABC∠ = α ∠ = β
khi đó:
AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cotg
BC AC BC AC AC HC AB AH
α = = α = = α = = α = =
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
Kết quả suy ra:
1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β
sin cos
2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cotg

cos sin
α α
< α < < α α = α =
α α
2 2
2 2
1 1
3) sin cos 1; tg .cotg 1; 1 cotg ; 1 tg
sin cos
α + α = α α = = + α = + α
α α
4) Cho
ABC∆
nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:
2 2 2
ABC
1
a b c 2bc.cosA; S bcsin A
2
∆
= + − =
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:
2
2 2 2
2 2
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH

+ = +
− =
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;
∠
ADC=70
0
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu
của I trên AC.
Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở
F.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =
3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;
∠
BAC = 2
α
;
0
45α <
. Kẻ các đường cao AE, BF.
a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc

α
.
b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc
α
và
2α
, các cạnh của tam giác ABF, BFC.
c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:
13
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
2 2
2
1) sin2 2sin cos ;
2) cos2 =cos sin ;
2tg
3) tg2
1 tg
α = α α
α α − α
α
α =
− α
§3.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b

x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng hạn: Với phương
trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =


=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể của a, b ta không
biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b

x
a
−
=
.
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong
một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên
cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)

( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
14
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy
phương trình có nghiệm x = 6.

c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈


Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a

⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
15
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
-Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2

(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2

x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2

a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −

Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
88
 
=
+ =
=

 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =






Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
16
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )

( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau

( )
2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3.Giải các hệ phương trình sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)

x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =

+ =



+ − = − = + + =

  
   
− + = + + =
+ =
+ =



 


+ + =

4.Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3

mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ với m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
§4.CHỨNG MINH
BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác bằng nhau
a) Khái niệm:
A A'; B B'; C C'
ABC A'B'C' khi
AB A'B'; BC B'C'; AC A'C'
∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠

∆ = ∆

= = =

17
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g.
c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và một cạnh
góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn.
d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến
tương ứng bằng nhau.
2.Chứng minh hai góc bằng nhau

-Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc
của hình thang cân, hình bình hành, …
-Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh.
-Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh.
-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc
hai cung bằng nhau của một đường tròn, …)
3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
-Dùng đoạn thẳng trung gian.
-Dùng hai tam giác bằng nhau.
-Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam
giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, …
-Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai đường kính của một
đường tròn, …
-Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, …
4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song
-Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau, …
-Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba.
-Áp dụng định lý đảo của định lý Talet.
-Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác.
-Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn.
5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
-Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác.
-Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với
đường thẳng còn lại.
-Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.
-Đường kính đi qua trung điểm của dây.
-Phân giác của hai góc kề bù nhau.
6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng
-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng.
-Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,

…
-Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 180
0
thì A, B, C thẳng
hàng.
-Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm
trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên.
-Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B.
7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy
-Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
-Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau tại một
điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó.
-Dùng định lý đảo của định lý Talet.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho một nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R). Hai tiếp tuyến tại B và D cắt
nhau ở T.
a) Chứng minh rằng OT//AB.(góc BAD = góc TOD)
b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song với AB)
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác TBD theo R.(P =
3 3R
; S =
2
3R 3
4
)
18
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
d) Tính theo R diện tích giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD.
(S =
2

R 3
3
π
 
−
 ÷
 
VD2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm AO. Các đường vuông góc với AB tại M
và O cắt nửa đường tròn tại D và C.
a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.(AD = R; AC =
R 2
; BD =
R 3
; DM =
R 3
4
)
b) Tính các góc của tứ giác ABCD.(ABD = 30
0
; ABC = 45
0
; BCD = 120
0
; ADC = 135
0
)
c) Gọi H là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng IH vuông góc
với AB.(AC, BD là các đường cao của tam giác IAB)
VD3.Cho tam giác ABC đều cạnh a. Kéo dài BC một đoạn CM = a.
a) Tính các góc của tam giác ACM.(ACM = 102

0
; CAM = CMA = 30
0
)
b) Chứng minh Am vuông góc với AB.(MAB = 90
0
)
c) Kéo dài CA một đoạn AN = a và kéo dài AB một đoạn BP = a. Chứng tỏ tam giác MNP đều.
(tgMCN = tgNAP = tgPBM)
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB
và AD.
a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vuông góc với DE. Từ đó tìm quỹ tích giao điểm N của CF và DE.
(tgCFD = tgDAE; quỹ tích N là ¼ đường tròn-cung tròn DNO có đường kính CD)
b) Chứng tỏ: CM = EF và CM vuông góc với EF. (tgCKM = tgFME, K là giao của FM và CB)
c) Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, FB là ba đường cao của tam
giác CEF)
2.Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC tại B và đường tròn tâm I
qua A tiếp xúc với BC tại C.
a) Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A.(tgOAB; tgIAC cân; OAB + CAI + BAC
= 180
0
; O, I, A thẳng hàng)
b) Từ O kẻ đường vuông góc với AB và từ I kẻ đường vuông góc với AC. Chứng minh chúng cắt
nhau tại trung điểm M của BC.(MA = MB = MC)
c) Chứng minh MO vuông góc với MI.(OMI = 90
0
)
d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I ở P. Chứng minh C, P, I thẳng hàng.(tính chất góc nội tiếp hoặc
PIA + AIC = 180

0
)
3.Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A và B sao cho góc OAO’ bằng 90
0
. Qua A kẻ cát tuyến MAM’
vuông góc với AP trong đó P là trung điểm của OO’. M, M’ theo thứ tự là giao điểm của cát tuyến với hai
đường tròn (O); (O’). Chứng minh:
a) AM = AM’.(A là trung điểm của DC; OC, O’D vuông góc với MM’)
b) Tam giác ABM cân.(tgOAC = tgOHA)
c) BM vuông góc với BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vuông)
d) Với vị trí nào của cát tuyến MAM’ thì MM’có độ dài lớn nhất.(MM’=2OO’; MM’//OO’)

§5.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn
(§5).
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
19
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a

=


⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a
−
⇔ + = ⇔ =
-Nếu
c
0
a
−
≥
thì
c
x
a
−
= ±
.
-Nếu
c

0
a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2

b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở
mẫu và dạng tích đã nói ở §5.
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2

b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =


-Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P
≥
thì u, v là hai nghiệm của phương trình x
2

– Sx
+ P = 0.
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
-Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
.
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
-(1) có 2 nghiệm
0∆ ≥
; có 2 nghiệm phân biệt
0∆ >
.
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu
0
P 0

∆ ≥


>

.
20
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
-(1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


>

-(1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>



<

-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0 e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải
( )
2

x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −

= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3
+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
21
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3
=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2

x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x

1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0. Trong đó x
1
, x
2
là hai
nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=

c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4

∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
-Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a

−

( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c
a

2 1
c m
x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
22
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13

1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥



+ = −

⇔


=


+ =

1 2
1 2
1 2
9
m

4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −



+ = −
⇔


= −

+ =


giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
-Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2

1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+

+ = =




= = −


mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷
   
Vậy
1 2

1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4
P 0
4
m 0

∆ ≥
≥ −


⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
 
>


− >


Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =
 ÷
 
2.Cho phương trình

2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương trình. Hãy tính giá trị các
biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
3.Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2

2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
23
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
4.Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
5.Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị
tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
.
+) Chứng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
6*.Cho phương trình bậc hai: ax
2

+ bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai số
( ) ( )
1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số
1 2
x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai số
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.

§6.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

HỆ THỨC HÌNH HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác đồng dạng
-Khái niệm:
A A'; B B'; C C'
ABC A'B'C' khi
AB AC BC
A'B' A'C' B'C'
∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠


∆ ∆

= =


:
-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g.
-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền -
cạnh góc vuông…
*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung
tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác
vuông, …
Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD
-Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và MCB.
-Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng
bằng tích thứ ba.
Nếu cần chứng minh MT

2
= MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng hoặc so
sánh với tích thứ ba.
24
Trường THCS Trần Cao Vân Tồ TN 1
Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích của một điểm
với đường tròn.

B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho hình bình hành ABCD. Từ đỉnh A kẻ cát tuyến bất kì cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F
và cắt cạnh CD tại G. Chứng minh:
a) Các tam giác DAE và BFE đồng dạng.
b) Các tam giác DGE và BAE đồng dạng.
c) AE
2
= EF.EG.
d) Tích BF.DG không đổi khi cát tuyến qua A thay đổi.
VD2.Cho hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CM vuông góc với AB, CN vuông góc với AD. Giả sử AC > BD.
Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC
2
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm
của BC. Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB tại P, cắt AC tại Q. Chứng minh:
a)
AHP ~ CMH∆ ∆
b)
QHA ~ HMB∆ ∆
c) HP = HQ.
2.Cho tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trên cạnh AB, Q trên cạnh AC sao cho góc

PMQ bằng 60
0
.
a) Chứng minh
MBP ~ QCM∆ ∆
. Từ đó suy ra PB.CQ có giá trị không đổi.
b) Kẻ MH vuông góc với PQ, chứng minh
MBP ~ QMP; QCM ~ QMP∆ ∆ ∆ ∆
.
c) CHứng minh độ dài MH không đổi khi P, Q chạy trên AB, AC và vẫn thỏa mãn điều kiện góc
PMQ bằng 60
0
.
3.Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và các phân giác BD, CE.
a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.
b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK.
c) Chứng minh CE > BD.
§7.GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp giải
Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi một (hai) trong số những điều chưa biết làm ẩn và đặt điều kiện
cho ẩn.
Bước 2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
Bước 3. Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ giữa đại lượng đã biết và chưa
biết.
Bước 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5. Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
*Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ

1.Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, còn một ôtô chỉ đi hết 2h30phút. Tính
chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.
Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h)
Xe máy x 3h20ph =
10
3
h
10 3x
x :
3 10
=

25