209 bài tập cho học sinh lớp 7

400 bài tập toán 7 (bồi dỡng học sinh khá giỏi)
Phần thứ nhất: Đại số
Chơng I: Số nguyên
1 Đ . Tập hợp Z các số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tập hợp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gồm các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; . . . và
các số mới -1; -2; -3; . . . gọi là tập hợp các số nguyên.
* Biểu diễn trên trục số:
Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a
* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; là các số đối nhau. Số đối của số 0 là chính nó.
2. Các bài toán:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dới đây:
Hà Nội 18
0
C Bắc Kinh -2
0
C
Huế 20
0
C Matxcơva -7
0
C
TP Hồ Chí Minh 25
0
C Pari 0
0
C
Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số. Biểu diễn chúng trên trục số.

Bài 4: Một chú ốc sên ở vị trí gốc O trên một cây cột cách mặt đất 2 mét (hình 1). Ban
ngày chú ốc sên bò lên đợc 3 mét. Ban đêm chú ta mệt quá "ngủ quên" nên bị tuột
xuống dới:
a) 2 mét; b) 4 mét
Hỏi sáng hôm sau chú ốc sên cách O bao nhiêu mét trong mỗi trờng hợp a, b?
2 Đ. Thứ tự trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Cho a, b Z
a nhỏ hơn b
nĐ

điểm a ở bên trái điểm b trên trục số
* Giữa hai số nguyên a và a + 1 không tồn tại số nguyên nào.
* a < 0
nĐ

a là số nguyên âm
a > 0
nĐ

a là số nguyên dơng
Số 0 không là số nguyên âm cũng không là số nguyên dơng
* Giá trị tuyệt đối của a kí hiệu là |a|
|a| = |-a| 0 với mọi a.
2. Các bài toán:
Bài 5: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nà sai:
a. Số nguyên âm nhỏ hơn số nguyên dơng.
b. Số nguyên âm nhỏ hơn số tự nhiên.
c. Số tự nhiên là số nguyên dơng
d. Số tự nhiên không phải là số nguyên âm.

e. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dơng.
g. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên.
h. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm.
Bài 6: Cho biết a < b (a 0, b 0). Có tất cả bao nhiêu trờng hợp có thể xảy ra về thứ
tự của ba số a, b, 0?
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:
a. -3 < x < 0 b. x < -3 và x < 3 c. x < -3 và x > 3 d. x < -3 hoặc x > 3
Bài 8: Tìm số nguyên a biết:
a. |a| = 2000 b. |a| = -2001 c. |a| = 1999 (a < 0).
Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000
1
Đ3. Phép cộng trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z.
b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối
với nhau còn dấu là dấu chung của chúng.
c) Cộng hai số khác dấu:
- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0.
- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị
tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trớc hiệu tìm đợc.
2. Các bài toán:
Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai:
a. Tổng của hai số dơng là một số dơng.
b. Tổng của hai số âm là một số âm.
c. Tổng của một số âm và một số dơng là một số âm.
d. Tổng của một số âm và một số dơng là một số dơng.
Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho:
a. |x +2| + |y + 5| = 0 b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0.
Bài 12: Tính:
a. |a| + a nếu a 0 b. |a| + a nếu a < 0.

Đ4. Tính chất của phép cộng
1. Tóm tắt lý thuyết:
Giao hoán: a + b = b + a ; với mọi a, b thuộc Z.
Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với mọi a, b, c thuộc Z.
Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a ; với mọi a thuộc Z.
Tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b =
2. Các bài toán:
Bài 13: Tính:
a. 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15) +17 + (-19).
b. (-2) + 4 + (-6) + 8 + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20.
Bài 14: Tính tổng các số nguyên x, biết:
a. -10 < x < 10 b. -10 < x 10 c. -10 x 10
Bài 15:
Hãy điền các số nguyên vào ô trống
(hình 2) sao cho tổng các số trong 3 ô
liền nhau bất kỳ theo cột dọc cũng nh
hàng ngang đều bằng 12.
Đ6. Phép trừ trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của số nguyên a ký hiệu là -a
Ta có: -(-a) = a
|a| =



<

0a nếua
0a nếua

* Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b Z
2. Các bài toán:
Bài 16: Chứng minh rằng số đối của
a - b là b - a (a, b Z)
Bài 17: Tìm x, biết:
a. |x| + 5 = 7 b. |x| - 3 = 5 c. 3 - |x| = 5
d. |x + 3| = 0 e. |x - 3| = 1 g. |x + 5| = -3.
2
5
1
6
2
Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng:
1996 < |x + 2| < 2000.
Đ6. Quy tắc "dấu ngoặc"
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của một tổng bằng tổng các số đối
-(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b
* Tổng đại số:
Một dãy các phép cộng trừ liên tiếp các số nguyên đợc gọi là một tổng đại số.
Trong một tổng đại số:
a) Ta có thể bỏ dấu ngoặc và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu cộng.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu
b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu +.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu
2. Các bài toán:
Bài 19: Tính tổng đại số sau:
S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + - 99 - 100 + 101 + 102

Bài 20: Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc:
a. (a + b) - (-c + a + b) b. -(x + y) + (-z + x + y) c. (m - n + p) + (-m + n + p)
Bài 21: Tìm x, biết:
a. 15 - (3 + x) = 4 b. -11 - (19 - x) = 50
c. (7 + x) - (21 - 13) = 32 d. (7 - x) + (3 - 10) = 0
Bài 22: Tìm các số nguyên x, biết:
a. |x - 2| = 3 b. |x - 3| > 1 c. 2 < |x| < 5
Bài 23: Chứng minh đẳng thức sau:
a. (a - b) + (c - d) - (a + c) = -(b + d).
b. (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d.
Đ7. Phép nhân trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Nhân một số với 0: a.0 = 0.a = 0 với mọi a thuộc Z.
* Nhân hai số nguyên khác 0:
a.b =



dấu khácb a, nếu |)b|.|a(|
dấu cùng b a, nếu |b|.|a|
(với mọi a, b thuộc Z)
* Chú ý:
+ Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
+ Khi đổi dấu một thừa số trong tích a.b thì tích đổi dấu
(-a).b = a.(-b) = -a.b
+ Khi đổi dấu đồng thời cả hai thừa số thì tích a.b không đổi dấu:
(-a) . (-b) = a.b
2. Các bài toán:
Bài 24: Cho a là một số nguyên dơng. Hỏi b là số nguyên dơng hay nguyên âm nếu:
a) a.b là một số nguyên dơng.

b) a.b là một số nguyên âm.
Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô trống:
a) -105 . 48 0 b) -250 . (-52) . 7 0 c) -17 . (-159) . (-575) 125 . 72
Bài 26: Tìm x, biết:
a. -x . (x + 3) = 0 b. (x - 2)(3x - 9) = 0 c. (3 - x)(|x + 5|) = 0
d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0.
Bài 27: Cho 11 số nguyên viết trên một vòng tròn trong đó tích của hai số liền nhau
luôn bằng 4. Tìm các số đó. Nếu viết 10 số nh vậy thì kết quả ra sao?
Đ8. Tính chất của phép nhân
1. Tóm tắt lý thuyết:
3
a. Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z.
b. Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z.
c. Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z.
d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z.
`* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.
+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:
Bài 28: Bỏ dấu ngoặc:
a. (-a) (b - c + d) a, b, c, d Z
b. (a + b) (1 + x + y) a, b, x, y Z
c. (a - b) (a + b) - (b - a)b a, b Z.
Bài 29: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ; a, b, c Z
b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ; a, b, c, d Z.
c. (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b); a, b, c, d Z.
Bài 30: Tìm x, biết:

a. |2x + 1| = 7 b. 3|x + 1| + 1 = 28
Đ9. Bội và ớc của một số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* a, b Z nếu có q Z : a = bq. Ta nói:
a là bội của b Hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b (a

b) hoặc b chia hết a (b\a)
* Tính chất: a, b, c, m Z , b 0:
+ a

b, b

c => a

c;
+ a

c, b

c => (a b)

c
+ a

b => am

b
2. Các bài toán:
Bài 31:

a. Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng của năm số
nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
b. Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng của bốn số nguyên
liên tiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra kết luận gì?
Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b chia hết cho c thì
có số nguyên t để a = b + ct và ngợc lại.
Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau đây chia hết cho
6
a. a + 5b; b. a + 17b; c. a - 13b.
Bài 34: Tìm các số nguyên x và y biết:
a. (x + 3)(y + 2) = 1 b. (2x - 5)(y - 6) = 17 c. (x - 1)(x + y) = 33.
Ôn tập chơng I
Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + Hỏi tổng ở vế phải của đẳng thức có
bao nhiêu số hạng và số hạng cuối cùng là bao nhiêu?
Bài 36: Cho 5 số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
. b
1
, b
2
, b
3

, b
4
, b
5
là một hoán vị của 5 số đã
cho. Chứng minh rằng tích (a
1
- b
1
)(a
2
- b
2
)(a
3
- b
3
)(a
4
- b
4
)(a
5
- b
5
) chia hết cho 2.
Bài 37: Tìm số nguyên x, biết rằng:
a. (x - 3)(x + 2) > 0 b. (2x - 4)(x + 4) < 0
Bài 38: Tìm các số nguyên x, y sao cho
(x - 2)

2
. (y - 3) = -4
Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho
(x + 2)
2
+ 2((y - 3)
2
< 4
4
Bµi 40: T×m sè nguyªn x, biÕt r»ng:
(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0
5
Chơng II:
Số hữu tỷ
Đ1. Phân số
1. Tóm tắt lý thuyết
*
b
a
là một phân số với a, b Z; b 0
*
bcad
d
c
b
a
==
*
mb
ma

mb
ma
b
a
:
:
==
(m 0, a

m, b

m)
2. Các bài toán:
Bài 41:
a) Các phân số sau đây có bằng nhau không?
5
2
và
20
8

;
7
10
và
14
20


;

37
12
và
3
1
b) Cho a và b là hai số nguyên (b 0). Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng
bằng nhau:
b
a
và
b
a


;
b
a

và
b
a
Bài 42:
a) Viết các phân số sau dới dạng phân số có mẫu dơng:
12
7


;
4
5

;
2000
1999

b) Viết tập hợp các phân số bằng:
7
3

;
33
22


Bài 43:
a) Không cần tính toán có thể khẳng định ngay các cặp phân số sau đây không bằng
nhau, tại sao?
5
3
và
13
9

;
9
2
và
17
6
;

5
3
và
2
7


b) Quy đồng mẫu các phân số:
3
8
và
4
10
;
5
2
,
10
1
và
6
5

Đ2. Tập hợp Q các số hữu tỉ.
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một số hũu tỉ.
Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dới dạng
b
a
với b 0 và a, b Z

* Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
- Chia đoạn đơn vị của trục số thành b phần bằng nhau , mỗi phần là
b
1
.
- Nếu a > 0 thì số
b
a
đợc biểu diễn bằng một điểm bên phải 0 và cách 0 một
đoạn bằng a lần của
b
1
.
- Nếu a < 0 thì số
b
a
đợc biểu diễn bằng một điểm bên trái điểm 0 và cách 0
một đoạn bằng |a| lần của
b
1
.
2. Các bài toán:
6
Bài 44: Điền các ký hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (trong mỗi trờng hợp xét
các khả năng có thể xảy ra).
a. 2000 b. -2000 c.
7
3
d.
7

3



Bài 45:
a. Tìm |x| , biết: x = -7; x =
12
11
; x =
5
3


; x = 0
b. Tìm x, biết:
|x| =
11
34
; |x| = 0; |x| =
5
2
; |x| =
23
11
Bài 46: Cho các số hữu tỷ:
x
1
=
97
20

; x
2
=
9797
2020
; x
3
=
979797
202020

; x
4
=
97979797
20202020

a. Hãy so sánh các số hữu tỷ đó.
b. Viết tập hợp các số hữu tỷ bằng các số hữu tỷ trên.
Đ3. Thứ tự trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =
m
a
, y =
m
b
(m > 0)
x < y <=> a < b
x < y <=> y > x

Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y.
* Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dơng.
Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm
Số 0 không là số hữu tỷ dơng cũng không là số hữu tỷ âm.
2. Các bài toán:
Bài 47:
a. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần:
6
5
;
3
11
;
6
7
;
3
2
;
4
7
;
12
11
;
2
3
b. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần:
5
13

;2;4;0;
4
7
;
5
4
;
10
1


Bài 48: Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự x < y; y < z => x < z (x, y, z Q). Hãy
so sánh:
a.
13
10
và
12
11
b.
12
23
và
2
5
c.
4
3
và
14

15
d.
2000
2001
và
1999
1998
Bài 49: Cho hai số nguyên a, b trong đó
a <b và b > 0. Chứng minh:
1
1
+
+
<
b
a
b
a
Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mời số hữu tỷ xen giữa hai số hữu tỷ
2
1

và
2
1
.
Bài 51: Phần nguyên của số hữu tỷ x, ký hiệu là [x] là số nguyên lớn nhất không vợt
quá x, tức là:
[x] x < [x] + 1
Ví dụ: + Vì 1 < 1,2 < 1 + 1 = 2 nên [x] = [1,2] = 1.

+ Vì 3 3 < 3 + 1 = 4 nên [x] = [3] = 3
7
Hãy tìm






3
4
;






2
1
; [-4] ; [-4,75] ;







3
4

.
Đ4. Phép cộng và phép trừ trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =
m
a
, y =
m
b
(m > 0)
x + y =
m
a
+
m
b
=
m
ba +
* Mỗi số hữu tỷ x đều có một số đối, ký hiệu là -x, sao cho x + (-x) = 0
* Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y).
2. Các bài tập:
Bài 52: Tìm số đối của:
6
5
;
4
1
;
12

7
;
4
1
;
3
2



. Tính tổng của các số
đối vừa tìm đợc.
Bài 53:
a. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x thì -(-x) = x
b. Chứng minh rằng số đối của một số hữu tỷ dơng là một số hữu tỷ âm và ngợc lại.
Bài 54: Tìm x, biết:
a. x - 12 =
13
1
b. x -







4
3
12

1
= 0 c. |x - 3| = 3
Bài 55: Chứng minh rằng:
a.
)1(1 +
=
+

+
bb
a
b
a
b
a
; a, b Z , b > 0.
b.
)1(1 +

=

+
+ bb
a
b
a
b
a
; a, b Z , b > 0.
Bài 56: Tìm [x], biết:

a. x - 1 < 5 < x b. x -
2
1
< 0 < x c. x < 17 < x + 1 d. x < -10 < x +
5
1
.
Bài 57: Cho x là một số hữu tỷ tùy ý, phần lẻ của x, ký hiệu {x} là: {x} = x - [x]
Ví dụ: {1,2} = 0,2 vì 1,2 - 1 = 0,2
{-1,2} = -1,2 - [-1,2] = -1,2 - (-2) = 0,8
Chứng minh rằng:
a. Với mọi số hữu tỷ x ta đều có : 0 {x} <1.
b. {x} = 0 nếu x là số nguyên và ngợc lại.
Bài 58: Tìm {x}, biết:
x =
2
3
;
4
15
; 0,95 ; -3,25 .
Đ5. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ x, ký hiệu |x| đợc xác định nh sau:
|x| =



<

0x nếu x
0x nếu x
* Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể:
1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.
2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhng chú ý rằng nếu trớc dấu
ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
2. Các bài toán:
Bài 59: Tính giá trị của biểu thức khi x =
2
1

;
8
A =
2
3
+x
- |x + 1| +
4
3
x
Bài 60: Làm phép tính sau khi br dấu giá trị tuyệt đối
a.
3
2
+x
+ |x - 3| với x 3
b. -
2
1

+x
+
x
3
1
với x > 2
Bài 61: Tìm x, biết:
a.
5
4
4
3
=x
b. 6 -
x
2
1
=
3
2
Bài 62: Tính:
a.
20
1
12
1
6
1
2
1

+++
b.
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
.
Đ6. Phép nhân trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tích của hai số hữu tỷ x =
b
a
; y =
d
c
đợc xác định nh sau:
x . y =
bd
ac
d
c
b
a
=
* Khi nhân nhiều số hữu tỷ, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.

+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:
Bài 63: Cho x, y Q. Chứng minh rằng:
a. Nếu tích xy = 0 thì một trong các thừa số của tích phải bằng 0.
b. x.y =



dấu khácy x, nếu |)y|.|x(|
dấu cùng y x, nếu |y|.|x|
Bài 64: Cho x, y Q. Chứng minh rằng:
a. -(xy) = (-x)y = x(-y) b. |xy| = |x| . |y|
Bài 65: Tìm x, biết:
a. x (x +
3
5
) = 0 b. (x +
2
3
)(
4
3
- x) = 0 c. (|x + 1| + 2)(x +
5
3
) = 0 với x >
3
1
Đ7. Phép chia trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:

* Mỗi số hữu tỷ x 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x
-1
sao cho x.x
-1
= 1.
* Thơng của hao số hữu tỷ x, y (với y 0) ký hiệu là x : y hay
y
x
là tích xy
-1
.
2. Các bài tập:
Bài 66: Cho x, y Q, x 0; y 0. Chứng minh:
a. (x
-1
)
-1
= x ; b. (xy)
-1
= x
-1
.y
-1
; c. (xy
-1
)
-1
= x
-1
. y .

Bài 67: Tìm x
-1
, biết:
a. x = -0,175; b. x =
3
5
:
3
1
; c. x =
3
4
4
3
2
1








; d. x =
4
5
- (2 - 0,75)
Bài 68:
a. Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dơng là một số dơng, nghịch đảo của một

số âm là một số âm.
9
b. Tìm tất cả các số nguyên sao cho nghịch đảo của nó cũng là số nguyên.
Bài 69: Tính:
a. -3 +
3
1
; b. -3 +
3
1
1
1
+
; c. -3 +
3
1
1
1
3
1
1
1
+
+
+
Đ8. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ:
x(y + z) = xy + xz
x(y - z) = xy - yz x, y, z Q

* Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số
z
y
z
x
z
yx
+=
+
z
y
z
x
z
yx
=

2. Các bài toán:
Bài 70: Khai triển các tích:
a. (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1) Với a, b Q
b. a(a - b) - b(b - a) Với a, b Q
c. (x + y)(x
2
- xy + y
2
) Với x, y Q.
Bài 71: Đặt thừa số chung : (a, b, c, d, e Q)
a. ab + bd - ac - cd
b. ad - bd - be + ce + cd + ae
Bài 72: Cho a, b, c, d Q. Chứng minh rằng :

a. a (b + c) - b (a - c) = ( a + b)c
b. a ( b - c) - a (b + d) = -a (c + d)
Bài 73: Tìm x, biết :
a. 3 (x + 2) - x (x + 2) = 0
b. 5 (x - 1) + 2x (1 - x) = 0
c.
5
3
(2x - 1) -
15
1
x (1 - 2x) = 0
Bài 74: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị dơng
a. x
2
- 4x b. (x - 2) ( 3 - x) c.
( )( )
3
12

+
x
xx
Bài 75: Tìm các số hữu tỉ x, biết :
a.
;52 >+x
b.
;31 <x
c.
1025

2
<+ xx
Đ9. 10. 11. Lũy thừa của một số hữu tỷ
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Lũy thừa với số mũ tự nhiên :
x
n
= x.x x (n thừa số x); n 0, x 0
Với x
n
gọi là một lũy thừa, x là cơ số, n là số mũ
x
o
= 1 (x 0)
*Các tính chất của lũy thừa ;
Với x, y Q, m, n Z, ta có :
1. x
m
. x
n
= x
m + n
2. x
m
: x
n
= x
m - n
(x 0)
3. (x

m
)
n
= x
mn
4. (xy)
n
= x
n
y
n
5. (x : y)
n
= x
n
: y
n
(y 0)
2. Các bài toán :
Bài 76: Tính : a. (-2)
3
+ 2
2
+ (-1)
20
+ (-2)
0
10
b. (3
2

)
2
- (-5
2
)
2
+ [(-2)
3
]
2
c. 2
4
+ 8 [(-2)
2
:
2
1
]
0
- 2
-2
. 4 + (-2)
23
Bài 77: Tìm x, biết : a. x
2
+ 2x = 0
b. (x - 3) + 2x
2
- 6x = 0
c. (x

2
+ 1) (x + 2000) = 0
Bài 78: Tìm n, biết : a.
9
1
. 27
n
= 3
n
b.3
2
. 3
-5
. 3
n
= 3
11
c. 2
-1
. 2
n
+ 2. 2
n
= 5. 2
5
Bài 79: Tính :
a. (a - b) (a + b)
b. 100
2
- 99

2
+ 98
2
- 97
2
+

+ 2
2
- 1
2
c. (20
2
+ 18
2
+ 16
2
+ + 4
2
+ 2
2
) - (19
2
+ 17
2
+ 15
2
+ + 3
2
+ 1

2
)
Bài 80: So sánh : a. 2
300
và 3
200
b. 5
300
và 3
500
c. 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
Bài 81: Chứng minh rằng :
a. 7
6
+ 7
5
- 7
4
chia hết cho 11
b. 10
9
+ 10
8

+ 10
7
chia hết cho 222
c. 81
7
- 27
9
- 9
13
chia hết cho 45
d. 24
54
. 54
24
. 2
10
chia hết cho 72
63
Bài 82: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì :
a. 3
n + 2
- 2
n + 2
+ 3
n
- 2
n
chia hết cho 10
b. 3
n + 3

+ 3
n + 1
+ 2
n + 3
+ 2
n + 2
chia hết cho 6
Bài 83: Tìm số nguyên dơng n, biết
a. 64 < 2
n
< 256 b. 32

2
0
> 1
c. 9. 27

3
n


243 d.9 < 3 < 27
Bài 84: Tìm số nguyên a sao cho :
a. 2a
2
+ 4a + 5 chia hết cho a +2
b. 4a
3
+ 14a
2

+ 6a +12 chia hết cho 2a + 1
Bài 85: Tìm x, biết : a. (x - 2)
2
= 1 ;
b. (2x - 1)
3
= -8 ; c. (x - 1)
x + 1
= (x - 1)
x + 4
.
Bài 86: tìm x và y biết: (3x - 5)
100
+ (2y + 3)
200
0 .
_________________________________________________________
Đ12. 13. Tỉ lệ thức - Các tính chất
1. Tóm tắt lý thuyết:

Tỉ số : Thơng trong phép chia số hữu tỉ a cho số hữu tỉ b (b 0) gọi là tỉ số
của a và b.
Tỉ số của a và b kí hiệu là
b
a
hay a : b.

Tỉ lệ thức : Một đẳng thức giữa hai tỉ số đợc gọi là một tỉ lệ thức. Kí hiệu
d
c

b
a
=
hay a : b = c : d.

Tính chất: Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta suy ra ad = bc.
Từ đẳng thức ad = bc với a, b, c, d khác 0 cho ta các tỉ lệ thức:
d
c
b
a
=
;
d
b
c
a
=
;
a
c
b
d
=

;
a
b
c
d
=
.
2. Các bài toán:
Bài 87:
a) Thay tỉ số các số sau bằng tỉ số giữa các số nguyên:
11
3
4
:
5
7
; 1,7 : 0,85 ;
5,0:
5
1
; 0,02 : 1,3 .
b) Các tỉ số sau có lập thành một tỉ lệ thức?
21
15
và
42
30
; 0,25 : 1,75 và
7
1

.
0,4 :
3
5
và
5
3
; 0,25 : 1,5 và
2
3
:
7
3
.
Bài 88:
a) Có thể lập đợc tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu có hãy viết tỉ lệ thức
đó : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 .
b) Tìm thành phần cha biết của tỉ lệ thức :
2,7
15,0
15,3
=
x
;
42
126,2
=

x
;

x
32,6
5,10
11
=
;
3,7
4
9
10
41
x
=
.
Bài 89: Tìm x trong tỉ lệ thức:
7
4
1
2
+
+
=


x
x
x
x
.
________________________________________________________

Đ14. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
1. Tóm tắt lý thuyết :
*
( )
db
cb
ca
cb
ca
b
a
d
c
b
a



=
+
+
==

*
=
b
a
fdb
eca
fdb

eca
b
c
f
e
b
c
+
+
=
++
++
==
* Các số x, y, z gọi là tỉ lệ với các số a, b, c khi :
x : y : z = a : b : c hay
c
z
b
y
a
x
==
2. Các bài toán :
Bài 90:Tìm x, y biết :
a.
13
7
=
y
x

và x + y = - 60
b.
2119
yx
=
và 2x - y = 34
c.
169
22
yx
=
và x
2
+ y
2
= 100
Bài 91: Tìm các số x, y, z biết :
a.
32
zy
x ==
và 4x - 3y + 2z = 36
b.
4
3
3
2
2
1
=

=
zyx
và x - 2y + 3z = 14.
bài 92: Chứng minh rằng nếu:
d
c
b
a
=
thì :
a.
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35

+
=

+
; b.
22
2
22
2

811
37
811
37
dc
cdc
ba
aba

+
=

+
.
Bài 93: Chứng minh rằng nếu a
2
= bc thì
ac
ac
ba
ba

+
=

+
. Điều đảo lại có đúng không?
Bài 94: Cho bốn số khác 0 là a
1
, a

2
, a
3
, a
4
thỏa mãn a
2
2
= a
1
a
3
, a
3
2
= a
2
a
4
.
12
Chứng minh :
4
1
3
4
3
3
3
2

3
3
3
2
3
1
a
a
aaa
aaa
=
++
++
Bài 95: Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz
=

=

Chứng minh rằng :
z
c
y
b
x

a
==
_________________________________________________________
Ôn Chơng II
Bài 96: Tính
4
2
3
2
2
2
2
4
3
3
3
2
3
3
:
4
1
3
1
2
1
1
4
1
3

1
2
1
1
+
+++
+
+++
Bài 97: Tìm x, y, z biết
x + y =
2
1
; y + z =
3
1
; z + x =
4
1
Bài 98: Cho ba số a, b, c thỏa a.b.c = 1. Tính :
S =
cacbcbaba ++
+
++
+
++ 1
1
1
1
1
1

Bài 99: Chứng minh rằng nếu : 0 <
1
a
<
2
a
< <
9
a
thì

3

963
921
<
++
+++
aaa
aaa
Bài 100: Viết 1999 số hữu tỉ trên một vòng tròn, trong đó tích hai số liền nhau luôn
bằng
16
1
. Tìm các số đó
Bài 101: Chứng minh rằng :
A = 75 . (4
1999
+ 4
1998

+ + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 102: Tìm x, sao cho :
3
1997
4
1996
5
1995
1997
3
1996
4
1995
5 +
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxx
Bài 103: Tìm những giá trị của x sao cho
a. (4 - x) x 4; b. (x - 2) (x - 3) (2x - 1) (x - 3) + 3
Bài 104: Cho biểu thức : A = (x - 4)
(x - 5)

)5(
)6(
)6(
+
+

x
x
x
Hãy tính giá trị của A, biết x = 7
Bài 105:Tìm các số
nn
xxxx ,, ,,
121
biết rằng
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
=====

1
1
3
3
2
2
1
1

. Và
Cxxx
n
=+++
21
(

1
a
0,

2
a
0, ,

n
a
0,
0

21
+++
n
aaa
)
Bài 106: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau khi x thay đổi :
a. A = - x
2
- 2x + 1 b. B = 1 -
32 x
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau khi x thay đổi :
a. A =
3
2
+x
+ 2 b. B =
xx + 32
Bài 108: Tìm x, biết rằng : x =
ba
c
ac
b
cb
a
+
=
+
=
+
_________________________________________________________

Chơng III : hàm số
13
Đ1.2. Đại lợng tỉ lệ thuận - Một số bài toán về đại lợng tỉ lệ
thuận
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Hai đại lợng tỉ lệ thuận x, y liên hệ với nhau bởi công thức : y =
ax
a là hằng số khác 0, gọi là hệ số tỉ lệ
Ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a
* Tính chất : x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận thì :
a
x
y
x
y
x
y
x
y
n
n
=====
3
3
2
2
1
1
2. các bài toán :
Bài 109: Cho biết x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận, biết hai giá trị

1
x
và
2
x
của x có
hiệu bằng 2 thì hai giá trị tơng ứng
1
y
và
2
y
có hiệu bằng -1
a. Viết công thức mô tả mối liên hệ giữa x và y
b. Điền vào bảng giá trị dới đây :
x -4 -2 -1 0 1 3 4
y
2
3
-1
Bài 110: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ
lệ với các số. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số3; 5; 8 và hai lần số cây của lớp 7A
cộng với bốn lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 108 cây. Tính số cây
mỗi lớp trồng đợc.
Bài 111: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỉ lệ 7; 6; 5. Sau đó chia số a cũng
thành ba phần A', B', C', nhng lại theo tỉ lệ 6; 5; 4.
a. Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A', B', C' tăng hay giảm.
b. Biết rằng có một phần tăng 1200. Tính số a và A', B', C' trong lần chia sau.
Bài 112: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ
theo 1 : 2 : 3

Bài 113: Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để
đến C. ( Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên đờng thẳng).Vận tốc của ngời đi từ A là
20km/h của ngời đi từ B là 24km/h.Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi biết rằng họ đến
C cùng một lúc.
Bài 114: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2
và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ t tỉ lệ với 6
và 7.
Bài 115: Nếu
4
1
của 20 là 4 thì
3
1
của 10 sẽ là bao nhiêu?
Đ3.4. Đại lợng tỉ lệ nghịch - Một số bài toán về đại lợng tỉ
lệ nghịch
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Hai đại lợng tỉ lệ nghịch y và x liên hệ với nhau bởi công
thức :
xy = a hay y =
x
a
; a là hằng số khác 0
* Tính chất : x và y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch thì :
axyxyxy ====
332211
; ;;
3
2
3

2
3
1
3
1
2
1
2
1
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
===
2. các bài toán :
Bài 116: Trong một xởng cơ khí, ngời thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút, ng-
ời thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian nh nhau cả hai cùng làm việc thi
tiện đợc cả thảy 84 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi ngời đã tiện đợc.
14
Bài 117: Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vị thứ nhất
có 8 xe và ở cách cầu 1,5 km. Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3 km. Đơn vị thứ
ba có 6 xe và ở cách cầu 1km.

Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải
trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu.
Bài 118:Tìm hai số dơng biết tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ nghịch với 35, 210 và
12.
Bài 119: Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghịch với các số 0,2; 3
5
4
;
3
1
Bài 120: Giá hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu %
hàng ?
Đ5. Hàm Số
1.tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa hàm số : cho X, Y là hai tập hợp số.
Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi giá tri x X
một và chỉ một giá trị y Y, mà ta kí hiệu là y = f(x). Ta viết :
f : X

Y
x

y = f(x)
X là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f
Y là tập đích của hàm số f
x là biến (x X)
y = f(x) là giá trị của f tại x
2. các bài toán :
Bài 121: Trong các tơng ứng
4321

,,, ffff
sau đây, tơng ứng nào xác định một hàm số
chỉ rõ tập nguồn, tập đích và giá trị tơng ứng của hàm số.
Bà 122: Bảng dới đây có xác định cho ta một hàm số không? Nếu có hãy chỉ ra tập
nguồn, tập đích và các giá trị của hàm số
a. x 0 1 2,5 3 1 4
y 0 -2 4 2 1 3
b. x -2 4 0 -1 3 5
y 4,5 4,5 1 0 -4 -6
Bài 123: Cho hai tập hợp A = {-6; -4; 0; 2} và B = {3; 5}. Giữa các phần tử của A và B
cho ta các tơng ứng sau :
a. Tơng ứng f xác định bởi các cặp số (-6; 3); (-4; 5); (0; 3); (2; 5)
b. Tơng ứng g xác định bởi các cặp số (-6; 3); (-4; 5); (-6; 5); (0; 3); (2; 3)
c. Tơng ứng k xác định bởi các cặp số (-6; 5); (-4; 3); (2; 5)
Vẽ sơ đồ mũi tên của f, g và k. Tơng ứng nào cho ta một hàm số từ A đến B ?
15
X
X
X
X
Y
Y
Y Y
Bài 124: Cho hai tập hợp X = {1; 3}; Y = {0; 2; 4}. Hãy xác định tất cả các hàm số đi
từ tập X đến tập Y; từ tập Y đến tập X.
Bài 125: Cho hàm số :
( )
xxf 3
1
=

;
( )
x
xf
3
2
=
a. Tính
( ) ( )
3;4
21
ff
b. Tính






+






3
1
3
1

21
ff
c. So sánh
( )
xf
2

và
( )
xf
2
d. Tìm x để
( )
0
1
=xf
Đ6. Mặt phẳng tọa độ
1. tóm tắt lý thuyết :
* Mặt phẳng tọa độ Oxy đợc xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau : trục
hoành Ox và trục tung Oy.
Điểm O là gốc tọa độ (Hình 3).
* Mỗi cặp số (a; b) đợc biểu
diễn bởi một điểm M trong mặt
phẳng tọa độ. Ta viết M (a; b),
cặp số (a; b) là tọa đô của điểm
M với a là hoành độ, b là tung độ.


Hình 3
2. các bài toán :

Bài 126: Các điểm sau đây có trùng nhau không ?
a. A (3; 4) ; B (4; 3) b. C (1; 2) ; D (1; 2)
c. M (a; b) ; M (b; a)
Bài 127: Các trục tọa đọ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là các góc phần t đợc
đánh số nh hình 3. Điểm A (x, y) nằm ở góc phần t nào, nếu :
a. x > 0, y > 0 b. x > 0, y < 0
c. x < 0, y > 0 d. x < 0, y < 0
Bài 128: Tìm trên mặt phẳng tọa đô Oxy tất cả các điểm có :
a. Hoành độ bằng 0 b. Tung độ bằng 0
c. Hoành độ bằng 1 d. Tung độ bằng -2
e. Hoành độ bằng số đối của tung độ g. Hoành độ bằng tung độ
Bài 129: Cho hệ trục tọa độ Oxy. Tìm diện tích của một hình chữ nhật giới hạn bởi hai
trục tọa độ và hai đờng thẳng chứa tất cả các điểm có hoành độ bằng 3 và tất cả các
điểm có tung độ bằng 2.
Bài 130: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, hãy dựng tứ giác ABCD với A (2; 1); B (6; 1); C
(6; 5); D (2; 5). Tính diện tích tứ giác này biết rằng mỗi khoảng chia trên các trục số
ứng với 0,5cm.
Bài 131: Tìm diện tích của một tam giác biết tọa độ ba đỉnh của nó là A (0; 4); B
(4; 0) và C ( 1; 1).
Đ7. Đồ thị hàm số.
1. tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Đồ thị hàm số f : X
`

Y là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x,
f(x)) với x X trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. các bài toán :
Bài 132: Cho hàm số y = 2x + 1
a. Các điểm sau đây có nằm trên đồ thị không:

A (2; 5); B (0; 1); C (3; 2)
16
A (
AA
yx ,
) là một điểm của đồ thị
( )
AA
xfy =
4
2
-2
5
x
IV
III
I
II
N(4; -2)
M(3; 2)
0
-3
-1
3
-4
-3
-2
-1
1
4

3
2
1
b. Tìm tọa độ điểm D trên đồ thị biết
1=
D
x
c. Tìm tọa độ điểm E trên đồ thị biết
2=
E
y

d. Tìm tọa độ điểm F trên đồ thị biết
FF
xy 2=
Bài 133: Cho hàm số f : X

Q
x

2x + 3
trong đó X = {-1;
2
1

; 0;
2
1
; 1}
a. Liệt kê tất cả các cặp số (x, f(x)).

b. Vẽ đồ thị của hàm số f.
Đ8. Đồ thị hàm số y = ax.
1. tóm tắt lý thuyết :
* Đồ thị hàm số y = ax (a Q, a 0) là tập hoẹp những điểm nằm trên một đ-
ờng thẳng đi qua gốc tọa độ.
* Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta chỉ cần xác định thêm một điểm nữa : lấy
1
x
0


=
1
y
1
ax
.
Nối O (0, 0) và M (x
1
, y
1
) ta đợc đờng thẳng chứa đồ thị hàm số y = ax.
2. Các bài toán:
Bài 134: Cho hình vẽ bên (H. 8)
với x
0
, y
0
Q.
Hãy tính tỉ số :

2
3
0
0

+
x
y
.
Hình 8
Bài 135:
a. Vẽ đồ thị hàm số
xy
3
1
=
.
b. Gọi A là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm A, biết y
A
= 2.
c. Gọi B là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm b , biết y
B
+ 2x
B
= 5.
Bài 136: Cho hàm số y : Q R
x f(x)
thỏa mãn:
a) f(0) = 0
b)

2
2
1
1
)()(
x
xf
x
xf
=
với x
1
, x
2
khác 0 bất kỳ.
Chứng minh rằng f(x
1
) = ax với a là hằng số.
Đ9. Đồ thị hàm số y =
x
a
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Đồ thị hàm số y =
x
a
(a 0 , a Q) là những điểm nằm trên đờng cong
hypebol gồm hai nhánh nằm trong hai góc phần t của mặt phẳng tọa độ.
- Nếu a > 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ I và III.
- Nếu a < 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ II và IV.
2. Các bài toán:

17
y
x
1
-2
-1
3
2
1
O
A
Bài 137: Điểm A (2 ;
4
1
) thuộc đồ thị hàm số y =
x
a
. Trong các điểm B (-3 ;
6
1

);
C(-1 ;
2
1

); D(4 ;
7
1
) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số. Vẽ đồ thị hàm số đó.

Bài 138: Đờng cong chứa đồ thị y = -
x
2
đi qua điểm A(
2
1
; m) và B(n ;
3
1
). Hãy xác
định m và n.
Bài 139: Cho hàm số f : Q* Q*
x f(x)
thỏa mãn điều kiện :
1
2
2
1
)(
)(
x
x
xf
xf
=
Với hai giá trị bất kì x
1
, x
2
khác 0 của x. Chứng minh rằng f(x) =

x
a
, với a là một
hằng số nào đó.
_________________________________________________________
Chơng III
Bài 140:
a. Cho hàm số f : Q Q
x {x} (hàm phần lẻ)
Tính f(-2,3); f(-1,5); f(1,35).
Tìm tất cả ccs giá trị của x sao cho f(x) = 0.
b. cho hàm số f : Q Q
x [x] (hàm phần nguyên)
Tính f(-4,3); f(
2
1
); f(10)
Với fía trj nào của x thì f(x) = 5?
Bài 141:
a. Cho hàm số f
1
: Q Q
x 2x
2
+ 1
Chứng minh rằng với mọi x Q, ta có f
1
(-x) = f
1
(x)

b. cho hàm số f
2
: Q Q
x 2x
3
- x
Chứng minh rằng với mọi x Q, ta có f
2
(-x) = -f
2
(x)
Bài 142: Tìm ba phân số tối giản, biết tổng của chúng bằng 6
8
1
, tử số của chúng tỉ lệ
theo3; 4; 5, còn mẫu của chúng tỉ lệ theo 2; 3; 4.
Bài 143: Tìm tập xác định của các hàm số:
a)
4
7

=
x
y
; b)
1
8
2
+
=

x
y
; c)
xx
y

=
1
; d)
xx
y
+
=
1
.
Bài 144: Hàm số f(x) xác định với mọi x Q.
Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với mọi a, b và f(
2
1

) =
2
1

. Hãy tính f(2000) .
Bài 145: Tìm các số x, y, z Q, biết rằng:
(x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5 .
Bài 146: Cho hàm số y = -
x
3

. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
)
thỏa mãn các điều kiện: x
A
- x
B
= 2 và y
A
- y
B
= -6 .
_________________________________________________________
18
Chơng IV:
Biểu thức Đại số
Đ1. Biểu thức chứa chữ
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số gồm các số, các chữ và các phép toán trên các số và
chữ đó.
- Những chữ đại diện cho một số tùy ý của một tập hợp số nào đó gọi là
những biến số.
- Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hàm số.
Một biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên.

Một biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức phân.
2. Các bài toán:
Bài 147: Viết các biểu thức đại số sau:
a) Tổng các bình phơng của ba số hữu tỉ a, b, c.
b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z.
c) Ba lần tổng của ba số x, y, z trừ đi tổng các tích của ahi trong ba số đó.
d) Tỉ số giữa hiệu của 2 với tích x, y với tổng x, y, z.
e) Thơng của tổng hai số a và b với bình phơng của tích hai số ấy.
Trong các biểu thức trên biểu thức nào nguyên biểu thức nào phân?
Bài 148: Trong các biểu thức đại số sau đây đâu là biểu thức nguyên, đâu là biểu thức
phân (với x, y là biến; a, b là hằng).
a) 2x(y
2
+ 2) + x
2
- y
2
; b)
2
)1)(2(4
2

+
x
yx
; c)
by
yx
yx
2

3
)1(
2
+
+
; d)
15
132
2
+
+
a
xx
.
Bài 149: Hãy thay x = 2; y = -1 vào các biểu thức đại số sau rồi tính kết quả:
a)
1
)2)(1(2

++
x
yx
; b)
yxy
xy

)1(
2
.
_________________________________________________________

Đ2. Giá trị của một biểu thức đại số
1. Tóm tắt lý thuyết:
Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những số đã cho, ta đợc
một biểu thức số. Kết quả nhận đợc khi thực hiện các phép tính trong biểu
thức số đó gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trớc của các
biến.
Giá trị thích hợp của các biến là tập hợp những giá trị của biến số sao cho
các phép tính trong biểu thức luôn thực hiện đợc.
Một biểu thức đại số nguyên xác định tại mọi giá trị của biến.
Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của biến làm cho mẫu
bằng 0.
2. Các bài toán:
Bài 150: Tính giá trị của biểu thức:
a) A =
34
452
2
2
+
++
xx
xx
với x = 1;
b) B =
1616
44222
2
)2)(2)(2(
yx
yxyxyxx

+
++
với x = 4; y = 8 ;
c) C = (x
2
- 1)(x
2
- 2)(x
2
- 3) (x
2
- 2000) với x = 10.
Bài 151: Với giá trị nào của biến số thì mỗi biểu thức sau không có nghĩa:
a)
)2)(1(
724
+
+
yx
xxy
; b)
2
)4)(12(
2
2
+
+++
x
xxx
; c)

)1999) (3)(2)(1(
1
xxxx
.
Bài 152: Tìm giá ttrị nhỏ nhất của biểu thức:
19
a) (x - 3)
2
+ 2 ; b) (x - 1)
2
+ (y + 3)
2
+ 1 .
Bài 153: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 7 - x
2
; b)
4)2(
3
2
++x
.
Bài 154: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức:
A =
15
1510
+
+
x
x

nhận giá trị nguyên.
__________________________________________________________
Đ3. Biểu thức đại số bằng nhau
1. Tóm tắt lý thuyết:
Hai biểu thức nguyên hoặc phân gọi là bằng nhau nếu chúng nhận giá trị bằng
nhau tại mọi giá trị thích hợp chung của các biến.
2. Các bài toán:
Bài 155: Cho hai biểu thức: A = 2xy (x + y)
2
;
B = 2x
3
y + 4x
2
y
2
+ 2xy
3
.
a) Tính giá trị của A và của B với
2
1
;
3
1
== yx
.
b) Chứng minh A = B.
Bài 156: Hãy chứng tỏ rằng hai biểu thức sau không bằng nhau:
a) (x + 2)

2
và 2x
2
+ 4 ; b) 3x - 2y và 3y - 2x ; c) (x + y)
2
và x
2
- 2xy + y
2
.
Bài 157: Các biểu thức sau đây đúng trong tập hợp số nào?
a)
2
2
3
1
)1(3
x
x
xx
=
+
+
; b)
22
33
yxyx
yx
yx
++=

; c) x
2
+ y
2
=(x + y)
2
.
Bài 158: Chứng minh rằng với mọi a, b Q ta đều có:
a) (a + b)
2
+ (a - b)
2
= 2(a
2
+ b
2
);
b) (a + b)
2
- (a - b)
2
= 4ab
c) a(a - b) - b(b - a) = a
2
- b
2
.
Bài 159: Cho hai biểu thức:

A =
2
74


x
x
và B =
3
293
2

+
x
xx
;
a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
Đ4. Đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện trên các biến chỉ là
phép nhân hoặc lũy thừa gọi là một đơn thức.
Thu gọn đơn thức:
- Dấu duy nhất là "+" nếu đơn thức không chứa dâu "-" nào hay chứa một số
chẵn lần dấu "-"; dấu duy nhất là "-" trong trơngf hợp ngợc lại.
- Nhóm các thừa số là số cụ thể hay là các hằng và nhân chúng với nhau.
- Nhóm các, xếp chúng theo thứ tự các chữ cái và dùng kí hiệu lũy thừa để
viết tích các chữ cái giống nhau.
2. Các bài toán:
Bài 160: Trong các biểu thức sau đây:

2
5
ax
2
yz
3
;
a
2
(xy
2
)
2
;
z
a2
x
2
y ; 5(a + 2)xy
2
z
3
.
Biểu thức nào là đơn thức nếu:
a) a là hằng số; x, y, z là biến số.
b) z là hằng số; a, x, y là biến số.
Bài 161: Cho các đơn thức với x, y, z là các biến; a, b là hằng số:
7
1
ax

3
yz
2
; 15x(-3xy
2
)(2xy
3
z); (
2
1
ax
2
y
3
)(-
3
1
abx
3
y
2
);
20
(3abx
2
y
2
)(-
5
1

ax
2
y
2
z)(-3abx
3
yz
3
) .
a) Thu gọn các đơn thức trên.
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức.
Bài 162: Cho đơn thức
24
1
3 yx
a
a






+
với a là hằng số (a 0).
a) Tìm a để đơn thức luôn luôn không âm với mọi x, y.
b) Tìm a để đơn thức luôn luôn không dơng với mọi x, y.
Bài 163: Tính giá trị của đơn thức 0,07.a
3
b

2
c
2000
, với a = -2; b = -3; c = -1 .
Bài 164: Quan sát dãy các đơn thức : -x
2
, 2x
3
, -3x
4
, 4x
5
, Hãy viết ra đơn thức thứ
2000, và đơn thức thứ n.
_________________________________________________________
Đ5. Bậc của đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Bậc của đơn thức đối với một biến là số mũ của biến đó trong dạng thu gọn của
đơn thức.
Bậc của đơn thức đối với tập hợp các biến, hay đơn giản là bậc của đơn thức, là
tổng các bậc của đơn thức đối với mỗi biến.
2. Các bài toán:
Bài 165: Xác định bậc của các đơn thức sau đối với từng biến số và đối với tập hợp
các biến số ;(a, b là hằng số; x, y là biến số).
a) x
2
ya

23
2
1
ybx
; b)
( )
3
2
2
2
3
3
1
ayybx







; c)
( )
( )
3
2

3
4
1
byxyax
.
Bài 166: Tính tích các đơn thức sau:
a)












yxzxyzx
3222
5
4
3
2
8
3
; b)
( )
y

b
c
ybxyx
c
a
nmnnnm








; m > n m, n Z.
Bài 167: Trong các đơn thức sau, đơn thức nào có cùng bậc?
A =

xyxyyx
3
1
2
6
5
4
1
1
0
2
;
B =
( )
32
3
2
8.4.2
84
1
2
1
yyy
x
xx

;
C =












ayxaxy
a
232
3
3
1
4.4.3
2
a là hằng số ;
D =

2432
2
1
.2 xyzyx
;
E =
10
45
10
2
7
3
.
3
1
2

yxxy
.
Bài 168: Các đơn thức sau có thể có cùng giá trị dơng đợc không?
a) -3xy
2
và 2x
3
y
2
; b)
2
1
x
2
y
3
, -
4
3
xy
2
và 16x
5
y .
_________________________________________________________
Đ6. Đơn thức đồng dạng
1. Tóm tắt lý thuyết:

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức sau khi thu gọn có phần biến giống
nhau.
Để cộng hay trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ các hệ số và giữ
nguyên phần biến.
2. Các bài toán:
21
Bài 169: Cho các đơn thức:
4
3
ax
2
y ; -5ax
2
y
4
; -
5
2
a
2
x
2
y .
Hãy xét xem các đơn thức nào là đồng dạng, nếu:
a) a là hằng số; x, y là biến số.
b) x là hằng số; a, y là biến số.
c) y là hằng số; a, x là biến số.
d) a, x là hằng số; y là biến số.
e) a, y là hằng số; x là biến số.
g) x, y là hằng số; a là biến số.

Bài 170: Cho các biểu thức:
a
1
x
2
y
3
; 2ax
2
y
3
; (a + 1)x
2
y
3
;
x
a3
y
3
;
y
a2
x
2
.
a) Gọi a là hằng số; x, y là biến số thì trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đơn
thức và các đơn thức có đồng dạng không?
b) Cũng hỏi nh trên nếu a, x là hằng số, y là biến số; Nếu a, y là hằng số, x là biến số.
Bài 171: Tính:

a) (92x
3
y + 51x
3
y) - (105x
3
y - 7x
3
y) .
b)
2
3a
xy
2
z
3
+
a
6
xy
2
z
3
- 6xy
2
z
3
với a là hằng số khác 0. Xác định a để kết quả thu đợc
luôn đồng nhất 0 với mọi x, y, z.
Bài 172: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) [-a
5
(-a)
5
]
2
+ [-a
2
(-a)
2
]
5
= 0 .
b) (-1)
n
a
n + k
= (-a)
n
a
k
.
________________________________________________________
Đ7. Đa thức nhiều biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Đa thức nhiều biến x, y, , z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x, y,
, z là các biến.
Thu gọn đa thức: mọi đa thức nhiều biến đều có thể thu gọn thành tổng đại
số của nhiều đơn thức từng đôi một không đồng dạng với nhau.
Bậc của đa thức đã đợc thu gọn:

- Bậc của đa thức một biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến
đó.
- Bậc của đa thức đối với tập hợp các biến là bậc của số hạng có bậc cao
nhất đối với tập hợp các biến.
2. Các bài toán:
Bài 173: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đa thức:
a) axy +
1+a
a
x - xy(x + y) (a là hằng số; x, y là biến số).
b)
1
22
+






++
+
xy
a
b
b
a
yx
ba
ab

(a, b là hằng số; x, y là biến số).
c)
222
yx
y
b
x
a
xyab ++++
(a, b là hằng số; x, y là biến số).
d)
22
1
2
2
yz
a
a
zy
x
x
axy
+
+

++
(y là hằng số; a, x, z là biến số).
e) ab
2
xy +
y
b
x
a
+
+ x
2
+ y
2
(x, y là hằng số; a, b là biến số) .
Bài 174: Hãy viết các đa thức sau đây dới dạng tổng các đơn thức. Thu gọn trong tr-
ờng hợp có các đơn thức đồng dạng:
a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 - a (a là hằng số).
b) xy(x
2
+ y
2
+ 1) - 3x
3
y + 3xy
3
- 3y(x + y) .
22
c) 3x(x
2

y + xy
2
) -7xy(x
2
- y
2
) + 2x
2
y
2
- 3xy
3
.
Bài 175: Tìm bậc của đa thức sau đối với mỗi biến x, y, z và đối với tập hợp các biến:
a) 6x
7
- 15x
2
y
3
z
5
- 2000xy
3
- 7y
6
+ z
8
.
b)

2
1
xy
3
-
5
2
x
4
+ 3x
2
y
4
+ 12y
5
- 9z
8
- y
2
z
5
.
c) 3x
2
y
3
- 2xy
2
(x
2

+ y
2
) + xz
2
.
Bài 176: Cho đa thức Q = 2(x + 1) - |x + 5|
a) thu gọn đa thức Q.
b) Với giá trị nào của x thì Q = 4?
Bài 177:
a) Tìm giá trị của đa thức biết x + y = 0
3x
2
y + 3xy
2
+ 5x
3
y
2
+ 5x
2
y
3
+ 2.
b) Cho a, b, c là những hằng số sao cho a + b + c = 2000.
Tìm giá trị của đa thức sau với x = 1; y = 1; z = 1.
axy
3
z
2
+ bx

3
z + cxyz.
_______________________________________________________
Đ8. Cộng và trừ đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Để cộng hai đa thức ta viết các số hạng cùng với dấu của chúng kề nhau rồi
thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
Để tìm hiệu hai đa thức ta viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với
dấu của chúng rồi viết các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngợc lại dấu
của chúng sau đó thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
2. Các bài toán:
Bài 178: Cho các đa thức:
M = 3x
2
- 2y - 2 ; N = x
2
+ 2y + 1 ; P = 1 - 4x
2
.
Tính a) M + N + P ; b) M + N - P ; c) N - P .
Bài 179: Cho x + y - z = a - b
x - y + z = b - c
-x + y + z = c - a
Chứng minh rằng: z + y + z = 0 .
Bài 180: Cho hai đa thức : P = 3m
2
+ 2mn - 4n
2
Q = -2m
2

- 2mn + 5n
2
.
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m và n để hai đa thức cùng có giá trị
âm.
Bài 181: Cho hai đa thức A = 5x + y + 1 ; B = 3x - y + 4. Chứng minh rằng nếu x =
m; y = n với m Z, n N thì P = A.B là một số chẵn.
Bài 182: Chứng minh rằng nếu x + y + 1 = 0 thì giá trị của các đa thức sau là hằng
số:
a) M = x
3
+ x
2
y - x y
2
- y
3
+ x
2
- y
2
+ 2x + 2y + 3.
b) N = x
3
+ 2x
2
y + xy
2
+ x
2

+ xy + x + y + 5.
_________________________________________________________
Đ9. Đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Đa thức một biến là đa thức trong đó chỉ có chứa một chữ là biến.
Đa thức một biến sau khi thu gọn các số hạng đồng dạng ta có thể sắp xếp
theo hai cách:
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến.
- Bậc của đa thức f(x) là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến x.
- Một đa thức đã thu gọn, các đơn thức có mặt trong đa thức không đồng
dạng. Hệ số của mỗi đơn thức này là lũy thừa của biến số trong đơn thức đó.
Hệ số nằm trong đơn thức có số mũ cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
23
2. Các bài toán:
Bài 183: Thu gọn và cho biết bậc của các đa thức sau:
a) x
5
-
2
1
x + 7x
3
- 2x +
5
1
x
3
+ 3x
4

- x
5
+
5
2
x
4
+ 15 .
b) 3x
2
- 10 +
5
2
x
3
+ 7x - x
2
+ 8 + 7x
2
.
Bài 184: Cho đa thức f(x) = ax + b. Tìm điều kiện của hằng số b để có:
f(x
1
+x
2
) = f(x
1
) + f(x
2
) với mọi x

1
, x
2
Q .
Bài 185:
a) Cho đa thức ax
2
+ bx + c. Tìm giá trị của đa thức tại x = 1. Có nhận xét gì?
b) Tìm tổng của các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
(2 - 3x + x
2
)
1999
. (2 + 3x + x
2
)
2000
.
________________________________________________________
Đ10. Cộng và trừ đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Cộng trừ đa thức một biến ta có thể cộng trừ nh đa thức nhiều biến.
Ngoài ra ta có thể sắp xếp đa thức cùng theo lũy thừa giảm hoặc tăng của
biến và đặt phép tính nh trờng hợp cộng hoặc trừ các số.
2. Các bài toán:
Bài 186: Tính tổng f(x) + g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm:
a) f(x) = 2 + 4x + 6x
3
+ 8x
5

+ 10x
7
.
g(x) = 1 + 3x
2
+ 5x
4
+ 7x
6
+ 9x
8
.
b) f(x) = a
n
x
n
+ a
n - 1
x
n - 1
+ + a
1
x + a
0
;
g(x) = b
0
+ b
1
x + b

2
x
2
+ + b
n - 1
x
n - 1
+ b
n
x
n
.
Bài 187: Tính hiệu f(x) - g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng:
a) f(x) = x + 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
+ 5x
5
+ 6x
6
;
g(x) = 6x
5
+ 5x
4
+ 4x
3

+ 3x
2
+ 2x + 1.
b) f(x) = a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ + a
n - 1
x
n - 1
+ a
n
x
n
;
g(x) =a
n
x + a
n - 1
x
2
+ a
n - 2

x
3
+ + a
2
x
n - 1
+ a
1
x
n
.
Bài 188: Cho đa thức P(x) là một đa thức bậc bốn:
P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ a
4
x
4
.
Sao cho P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2). Chứngminh rằng P(x) = P(-x) với mọi x

Q.
Bài 189: Cho đa thức : f(x) = ax
2
+ bx + c, biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh rằng f(-
2).f(3) 0 .
________________________________________________________
Đ11. Nghiệm của một đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của
f(x).
Một đa thức có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm
nào.
Số nghiệm của đa thức khác 0 không vợt quá bậc của đa thức đó.
2. Các bài toán:
Bài 190: tìm nghiệm của đa thức:
a) 3x
2
- 2x + 1 ; b) x
3
-4x ; c) 2x
2
+ 2x + 1 .
Bài 191:
a. Cho các đa thức : f(x) = x
2
- 4x + 3
g(x) = 3x
2
- 4x + 1
h(x) = -x

2
- 2x + 3
Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm của ba đa thức trên. Hãy tìm nghiệm còn lại của
mỗi đa thức.
24
b. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c nếu có a + b + c = 0 thì x = 1 là
nghiệm của đa thức đó.
Bài 192: Chứng minh rằng đa thức
ax
2
+ bx + c với a 0
Không thể có ba nghiệm khác nhau.
_________________________________________________________
Ôn chơng IV
Bài 193: Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c.Chứng minh rằng không có những số nguyên
a, b, c nào làm cho f(x) bằng 1 khi x = 1998 và bằng 2 khi x = 2000.
Bài 194: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bxax +
(a < b)
Bài 195: Chứng minh rằng nếu a = x
3
y; b = x
2
y
2
; c = xy

3
thì với mọi x, y ta đều có
a. ac + b
2
- 2x
4
y
4
= 0 b. ay
2
+ cx
2
= 2xyb
c. abc + b
3
0
Bài 196: Cho đa thức M = 1 + x + x
2
+ + x
1999
Chứng minh rằng : Mx - M = x
2000
- 1.
Bài 197: Cho đa thức :
f(x) = x
17
- 2000x
16
+ 2000x
15

- 2000x
14
+ + 2000x - 1
Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
Bài 198: Cho f(x) là một đa thức xác định với mọi x và thỏa mãn : xf(x + 1) = (x
2
- 4)
f(x)
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm.
Bài 199: Cho đa thức N = 2x (1 - x - y) - y
2
+ 2
a. Chứng minh rằng N = - (x + y)
2
- (x - 1)
2
+ 3
b. Với giá trị nào của x, y thì N có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị đó.
Bài 200: Chứng minh rằng với mọi giá trị cue x, y, z giá trị của đa thức :
A = xy + yz + zx không vợt quá giá trị của đa thức B = x
2
+ y
2
+ z
2
.
25