tong hop gioi'''' han

Minh Thu lovely-11a
1
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I.Tóm tắt các kiến thức cơ bản:
I.1 Các giới hạn đặc biệt:
1
lim 0
1
lim 0
1
lim 0
lim ( onst)
lim
lim 0, 1
lim 1
lim
lim lim ( )
1
lim lim 0
n
k
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n

n n
n n
n
n n
n
n
n
n
C C C c
n
q q
q q
n
u u
u
u
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞ →∞
=
=
=
= =

= +∞
= <
= +∞ >
= +∞
= +∞ ⇔ − = −∞
= +∞ ⇒ =
I.2 Các định lý áp dụng tính giới hạn hữu hạn của dãy số:
( )
n n
n
: lim , lim
1. lim ( ) , lim ( )
2. lim . .
3. lim
4. lim ( 0 & lim )
w
5.
lim lim w lim
n n
n n
n n n n
n n
n n
n
n
n
n
n n n
n n
n

n n
n n n
GS u a v b
u v a b u v a b
u v a b
u
a
v b
u a u u a
u v
v a u a
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞ →+∞
= =
+ = + − = −
=
=
= ≥ =
≤ ≤



= = ⇒ =


I.3 Công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn:

- Cấp số nhân lùi vô hạn là CSN vô hạn có công bội q thỏa mãn
1q <
- Công thức:
1
1 2

1
n
u
S u u u
q
= + + + + =
−
I.4 Định lý áp dụng tính giới hạn vô cực của dãy số
Loveo.oOx
Minh Thu lovely-11a
1

*
lim
lim 0
lim
lim 0
lim
lim 0& 0,
lim
lim ,
lim 0
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n n
n
n
n
u a
u
v
v
u a
u
v
v v n
u
u v
v a
→+∞

→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
=


⇒ =

= ±∞


= >


⇒ = +∞

= > ∀ ∈Ν


= +∞


⇒ = +∞

= >




II. Các dạng toán tính giới hạn thường gặp:
2.1 Dạng toán 1:
Tìm các giới hạn dạng
( )
( )
lim
n
P n
Q n
→+∞
(dạng phân thức mà tửt và mẫu đều chứa lũy thừa
của n)
* Phương pháp: ta chia tử và mẫu cho n
k
với k là số mũ cao nhất. Sau đó ấp dụng
các giới hạn đặc biệt để tính.
* Bài tập:
2
2
2
3
3
3
4
2
3
3

2 2
7 3
1. lim
5
2 1
2. lim
3
6 2 1
3. lim
2
2 3 2
4. lim
2 3
5. lim
2
3 1 1
6. lim
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n n
n n
n n
n n

n n
n n
n
n n
n
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
−
+
+
− +
− +
−
+ −
− +
+
+
+ − −


2.2 Dạng toán 2:
Tìm các giới hạn dạng
lim
n
n
n

X
Y
→+∞
(trong đó X,Y là hằng số)
* Phương pháp: Ta chia cho X
n
với X là cơ số lớn nhất. sau đó áp dụng các giới
hạn đặc biệt và các định lý để tính.
* Bài tập:
1 1
3 4 1
1.lim
2.4 2
4 5
2.lim
2 3.5
( 2) 3
3.lim
( 2) 3
n n
n n
x
n n
n n
x
n
n n
x
n
→∞

→∞
+ +
→∞
− +
+
−
+
− +
− +
Loveo.oOx