Đề thi HSG 12 có đáp án

Sở GD&ĐT Thanh hoá Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Năm học: 2008 2009.
Môn thi: Toán - Thời gian: 180 phút
Cõu 1 (5.0 điểm):
1) Kho sỏt hm s
( ) ( )
2
1 2y x x= +
.
2) Da vo th bin lun theo m s nghim phng trỡnh

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x m m+ = +
Câu 2 (2.0 điểm):
Giải hệ phơng trình:








=+++
=+++
20
11
5
11
3

3
3
3
y
y
x
x
y
y
x
x
Câu 3(2.0 điểm):
Tìm số nguyên dơng n sao cho:

20092)12(2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=++++
+
+++++
n
n

n
nnnn
CnCCCC
.
Câu 4(2.0 điểm):
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.

mxxxx
++
2)6)(4(
2
Câu 5(2.0 điểm):
Giải phơng trình:

xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
+++=+++
Câu 6(6.0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung
điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lợt tại
M và N. Đặt V
1
= V
S.AMKN
, V = V
S.ABCD
.
1) Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V

V
1
.
2) Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
. Tính
V
V
1
theo x và y.
3) Chứng minh rằng:
8
3
3
1
1

V
V
Câu 7(1.0 điểm):
Cho n là số nguyên dơng lẻ và n

3,
.0,

R
Chứng minh rằng:








++++
!!2
1
2
n
n











++
!!3!2
1

32
n
n



< 1
Hết
Sở GD&ĐT Thanh hoá hớng dẫn chấm
Họ tên: .
SBD: : ...
Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Thi chọn HSG Năm học: 2008 2009.
Môn thi: Toán
Câu Nội dung Điểm
1.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3
* TXĐ: R
* Giới hạn:
=

y
x
lim
*Bảng biến thiên:
y = 2(x+1)(2-x) (x+1)
2
= (x+1)(3-3x)
y = 0

=
=

1
1
x
x
x -

-1 1 +

y - 0 + 0 -
y +

*Vẽ đồ thị:
y= - 6x; y= 0

x = 0

y = 2.
Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng.
Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0).
0.5
0.5
0.5
0.5
1.2 Biện luận số nghiệm của phơng trình 2
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đờng
thẳng y = (m +1)
2

(2 m)
Dựa vào đồ thị ta có:
Khi (m +1)
2
(2 - m) > 4

m < -2 thì có 1nghiệm.
Khi (m +1)
2
(2 - m) = 4

m = -2 hoặc m =1 thì có 2 nghiệm.
Khi
{ }
1;1\)2;2(
0 m) - (21) (m
4m) - (21) (m
2
2




>+
<+
m
thì phơng trình
có 4 nghiệm.
Khi (m +1)
2

(2 - m) = 0

m = -1 hoặc m = 2 thì có 2 nghiệm.
Khi (m +1)
2
(2 - m) < 0

m > 2 thì có 1nghiệm.
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
2 Giải hệ phơng trình 2.0
Đặt







=+
=+
v
y
y
u
x
x

1
1
, Điều kiện:
2;2

vu
.
0.5
0.5
4
-

0
O
y
x
-1
1
2
4
2
-2
Tacó hệ



=+
=+
1533
5

33
vvuu
vu









=
=



=
=




=
=+

2
3
3
2

6
5
v
u
v
u
uv
vu
Suy ra các nghiệm là:








+
1;
2
53

1;
2
53








+
2
53
;1









2
53
;1
0.5
0.5
3 Tìm số nguyên dơng n 2

Xét hàm số:
12
)1()(
+
+=
n
xxf
=
1212
12
44
12
33
12
22
12
1
12
0
12
++
++++++
++++++
nn
nnnnnn
xCxCxCxCxCC
.
Ta có
n
xnxf

2
)1)(12()('
++=
=
=
nn
nnnnn
xCnxCxCxCC
212
12
34
12
23
12
2
12
1
12
)12(432
+
+++++
++++++

.
Do đó
=+=
12)2(' nf
=
12
12

24
12
33
12
22
12
1
12
2)12(2.42.32.2
+
+++++
++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC
Suy ra:
20092)12(2.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=++++

+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC

2n + 1 = 2009

n = 1004
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.

mxxxx
++
2)6)(4(
2
2
Đặt
txx
=+
)6)(4(


t

2
= -x
2
+ 2x + 24
Do
64

x
suy ra
50

t
Khi đó ta có bất phơng trình:
t
2
+ t 24

m.(*)
Xét hàm số
24)(
2
+=
tttg
trên đoạn [0 ; 5].
Có bảng biến thiên:
t 0 5
g(t) +
g(t) 2
-24
Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải nghiệm

đúng với mọi t thoả mãn
50

t
.
Từ bảng biến thiên suy ra:
2

m
.
0.5
0.5
0.5
0.5
5
Giải phơng trình:

xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
+++=+++
(*)
2
(*)

(sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0

=+++
=

)2(0cossin)cos(sin22
)1(0cossin
xxxx
xx
)(
4
1tan)1( Zkkxx
+==


GiảI (2): Đặt
2)
4
sin(2cossin
+=+=
txxxt

0.5
0.5
0.5
0.5
2
1
cossin
2

=

t
xx
.
Tacó t
2
+ 4t +3 = 0

t = -1 v t = -3(loại)
Với t = -1
)
4
sin(
2
2
)
4
sin(

==+
x





+=
+=

)(2
)(2

2
Znnx
Zmmx



6.1
Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V
1
.
2
Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo.
I là giao điểm của AK và SO.
Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với
BD cắt SB và SD tại M và M.
Trong tam giác SAC có I là trọng tâm
Suy ra:

3
2
=
SB
SM
;
3
2
=
SD

SN
.
Vì SABCD là hbh nên V
s.ABC
= V
s.ADC
=
2
1
V.
Ta có
VV
SC
SK
SB
SM
V
V
AMKS
ABCS
AMKS
6
1
3
1
2
1
.
3
2

.
.
.
.
====
Tơng tự ta có
VV
ANKS
6
1
.
=
Mà V = V
s.ABC
+ V
s.ADC
và V
1
= V
S.AMK
+ V
S.ANK
Suy ra
3
1
1
=
V
V
0.5

0.5
0.5
0.5
6.2
Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
. Tính
V
V
1
theo x và y.
2
Ta có
V
x
Vx
SC
SK
SB
SM
V
V
AMKS
ABCS
AMKS
42

1
.
.
.
.
===
Tơng tự ta có
V
y
V
ANKS
4
.
=
Suy ra
4
1
yx
V
V
+
=
(1)
1.0
0.5
0.5
6.3
Chứng minh rằng:
8
3

3
1
1

V
V
2
Do V
1
= V
S.AMN
+ V
S.MNK
và V
s.ABC
= V
s.ADC
=
2
1
V
Mà
V
xy
Vxy
SD
SN
SB
SM
V

V
AMKS
ABDS
AMNS
2
.
.
.
.
===

V
xy
Vxy
SC
SK
SD
SN
SB
SM
V
V
KMKS
CBDS
KMNS
42
1
..
.
.

.
===
Suy ra
4
3
1
xy
V
V
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
13

=
x
x
y
0,25
0,25
0,25
S
C
A
B
D
N
K
M
O

I
Do x>0; y> 0 nên x>
3
1
Vì
2
1
1
13
1



x
x
x
y
. Vậy ta có







1;
2
1
x
Xét hàm số f(x) =

4
3
1
xy
V
V
=
=
)13(4
3
2

x
x
với







1;
2
1
x
.
Có f(x) =
2
)13(4

)23(3


x
xx
.
BBT:
x
2
1

3
2
1
f(x) - 0 +
f(x)
8
3
8
3

3
1
Từ BBT suy ra
8
3
3
1
1

V
V
0,25
0,25
0,25
0,5
7
Cho n là số nguyên dơng lẻ và n

3,
.0,


R
Chứng minh rằng:








++++
!!2
1
2
n
n

< 1
1
Đặt F(x) =








++++
!!2
1
2
n
xx
x
n

và G(x) =

++
!!3!2
1
32
n
xxx
x
n

Ta có: F(x) =









++++

)!1(!2
1
12
n
xx
x
n

= F(x) -
!n
x
n
G(x) =









++

)!1(!3!2
1
132
n
xxx
x
n

=
Đặt f(x) = F(x). G(x).
f(x) = F(x).G(x) + F(x).G(x)
= [F(x) -
!n
x

n
].G(x)+ F(x). [- G(x) -
!n
x
n
]
=-
!n
x
n
[F(x)+G(x)]
=- 2
!n
x
n









+++

)!1(!4!2
1
142
n

xxx
n

Do n lẻ nên với mọi x khác 0 ta có:









+++

)!1(!4!2
1
142
n
xxx
n

>0
Suy ra bảng biến thiên:
x

0
+
f(x) + 0 -
f(x) 1

0,25
0.25
0.25