Bài giảng Quy tắc tính đạo hàm

KIỂM TRA BÀI CŨ
Nêu các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa
của hàm số y = f(x) tại điểm x tùy ý?
Đáp án
Bước 1 : Giả sử x là số gia của đối số x.
Tính : y=f(x+x)-f(x)
Bước 2 : Lập tỷ số
( ) ( )y f x x f x
x x
∆ + ∆ −
=
∆ ∆
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
Bước 3: Tìm . Kết luận
0
' lim
x
y
y
x
∆ →
∆

=
∆

KIỂM TRA BÀI CŨ
Áp dụng: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
y = x
3
tại điểm x tùy ý, từ đó dự đoán đạo hàm của
hàm số y = x
10
tại điểm x
Đáp án

Giả sử x là số gia của đối số tại x tuỳ ý,
y=(x+ x)
3
-x
3

=(x+x –x)[(x+x)
2
+(x+x).x+x
2
]
2 2 2
0 0
lim lim [( ) ( ). ] 3
x x
y
x x x x x x x

x
∆ → ∆ →
∆
= + ∆ + +∆ + =
∆

Và

Tỷ số
2 2
( ) ( ).
y
x x x x x x
x
∆
= +∆ + +∆ +
∆
Dự đoán
hàm số y = x
hàm số y = x
10
10
có đạo hàm tại x là 10x
9
Vậy: (x
3
)’=3x
2
Tiết học này sẽ kiểm chứng phần dự đoán và giải
quyết bài toán tính đạo hàm của hàm số nêu trên.

Nhưng với hàm số y = x
10
+ – 5
nếu tính đạo hàm theo định nghĩa thì
rất phức tạp.
x

1.Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM CỦA
MỘT SỐ HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Ta có :
a
n
– b
n
= (a-b)(a
n-1
+ a
n-2
.b + …+ a.b
n-2
+ b

n-1
).
Từ đó các em áp dụng tính :
y = f(x+x) – f(x) =(x+x)
n
- x
n
Quay lại vấn đề, các em hãy dự đoán đạo
hàm của hàm số y = x
n
(n ∈ N, n>1) tại giá trị
x tuỳ ý và dùng định nghĩa chứng minh.
Để giúp các em tính y,chúng ta bắt đầu
từ các hằng đẳng thức a
2
–b
2
=(a-b)(a+b);
a
3
– b
3
=( a- b)(a
2
+ab + b
2
) đã biết.

1.Định lý 1:
(x

n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM CỦA
MỘT SỐ HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Giải:Giả sử x là số gia của x, ta có:
y=y(x+ x)-y(x)= (x+ x)
n
– x
n

= (x+ x – x)[(x+ x)
n-1
+(x+ x)
n-2
.x +…
+(x+ x).x
n-2
+ x
n-1
]
=x[(x+ x)
n-1
+(x+ x)
n-2
.x +…

+(x+ x).x
n-2
+ x
n-1
].
1 2 2 1
( ) ( ) . ( ).
y
n n n n
x x x x x x x x x
x
∆
− − − −
= +∆ + +∆ + + +∆ +
∆
1 2 2
lim lim [( ) ( ) . ( ).
0 0
1 1 1 1 1 1
]
ân
y
n n n
x x x x x x x x
x
x x
n n n n n n
x x x x x nx
n l
∆

− − −
= +∆ + +∆ + + +∆
∆
∆ → ∆ →
− − − − − −
+ = + + + + =
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43

1.Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM CỦA
MỘT SỐ HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1: Hàm số y = x
n
( n ∈ N, n > 1) có
đạo hàm tại mọi x ∈ R và (x
n
)’ = n.x
n-1
.
Định lý 1:
(x
n

)’ = nx
n-1
Các em hãy làm bài trắc nghiệm sau:
Câu 1:Hàm số : y = x
2009
có đạo hàm tại giá
trị x tuỳ ý là ?
A. 2010.x
2009

B. 2009.x
2010
C. 2009.x
2008
D. 2008.x
2009
C
Câu 2:Hàm số : y = x
2010
có đạo hàm tại giá
trị x
0
= -1 là ?
A. 2010
B. -2010
C. 2009
D. -2009
B

1.Định lý 1:

(x
n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM CỦA
MỘT SỐ HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1
Lớp chia thành nhóm chứng minh các kết
quả sau bằng định nghĩa:

Hàm số : y = c, c là hằng số có ( c)’ =0

Hàm số : y = x có (x)’ = 1
Tại giá trị x tuỳ ý.
Kết quả:Các hàm số : y = c và y = x có
TXĐ : D = R
Giả sử x là số gia của x thì :
1. Với hàm số y = c có
y = y(x + x) – y(x) = c – c = 0.
Do đó :
2. Với hàm số y = x có y = y(x + x) – y(x)
= x + x – x = x

Do đó :
0 à lim 0
0
y y
v
x x
x
∆ ∆
= =
∆ ∆
∆→
1 à lim 1
0
y y
v
x x
x
∆ ∆
= =
∆ ∆
∆→
( c)’ = 0
( x)’ = 1

1.Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM CỦA
MỘT SỐ HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1
( c)’ = 0
( x)’ = 1
Bài toán:Hãy tính đạo hàm của hàm số
tại giá trị x dương bất kỳ theo
định nghĩa?
y x
=
( )( )
( )
1
y x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x x
∆ + ∆ − +∆ − +∆ +
⇒ = =
∆ ∆
∆ +∆ +
=
+∆ +

Giải:Giả sử x là số gia của x dương sao cho
x + x > 0. Ta có:
( )y x x x∆ = + ∆ −
0 0
1 1
lim lim
2
x x
y
x
x x x x
∆ → ∆ →
∆
⇒ = =
∆
+ ∆ +
Vậy :
1
( )'
2
x
x
=

1.Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM CỦA
MỘT SỐ HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1
( c)’ = 0
( x)’ = 1
Định lý 2: Hàm số có đạo hàm tại
mọi x dương và
y x
=
1
( )'
2
x
x
=
Định lý 2:
1
( )'
2
x
x
=
Các em hãy làm bài trắc nghiệm sau:

Câu 1:Hàm số : có đạo hàm tại giá trị x
0
=4
là ?
y x
=
1
2
1
8
1
4
1
16
A.
B.
C.
D.
C
Câu 2:Hàm số : có đạo hàm tại giá trị
x
0
= 0 là ?
y x
=
A. 0
B. 1
C.
D. Cả 3 đều sai
1

2
D

1.Định lý 1:
(x
n
)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM
CỦA MỘT SỐ
HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
II. ĐẠO HÀM TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG
II. ĐẠO HÀM
CỦA TỔNG,
HiỆU, TÍCH,
THƯƠNG.
1. Định lý :
1)Định lí
Định lý 3
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số
có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác
định. Ta có:
(u + v)’ = u’ + v’ (1)
(u - v)’ = u’ - v’ (2)
(u.v)’ = u’v + v’u (3)
'
2

' '
( ( ) 0)
u u v v u
v v x
v v
−
 
= = ≠
 ÷
 
(4)
II. ĐẠO HÀM
CỦA TỔNG,
HiỆU, TÍCH,
THƯƠNG.
1. Định lý :
(u+v)’=u’+v’
(u-v)’=u’-v’
(u.v)’=u’v+uv’
2
' '
( )'
u u v uv
v v
−
=

1.Định lý 1:
(x
n

)’ = nx
n-1

Nội dung
I. ĐẠO HÀM
CỦA MỘT SỐ
HÀM SỐ
THƯỜNG GẶP
II. ĐẠO HÀM TỔNG, HiỆU, TÍCH, THƯƠNG
Ví dụ: Áp dụng công thức định lý 3, hãy
tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x
5
+10 ; b) y = x
3
.
x
II. ĐẠO HÀM
CỦA TỔNG,
HiỆU, TÍCH,
THƯƠNG.
1. Định lý :
(u+v)’=u’+v’
(u-v)’=u’-v’
(u.v)’=u’v+uv’
2
' '
( )'
u u v uv
v v

−
=
Kết quả:
a) y’ = (x
3
–x
4
)’ = (x
3
)’-(x
4
)’ = 3x
2
– 4x
3
;
b)
3 3
3 3
2
' ( )'. ( )( )'
7
3
2 2
y x x x x
x x
x x
x x
= − + −
= − − = −

Chứng minh: Xét hàm số y = u + v . Giả sử x là
số gia của x. Thì u có số gia u, v có số gia v
và y có số gia y = [(u + u) + ( v + v)] –
( u + v) = u + v
Từ đó :
Chứng minh tương tự cho (2), công thức (3), (4)
xem như bài tập nhỏ các em về nhà tự chứng
minh.
0 0 0
lim lim lim
' '(1)
x x x
y u v u v
x x x x
y u v
x x x
u v
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ ∆ ∆
= = +
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
⇒ = +
∆ ∆ ∆
= +

CŨNG CỐ DẶN DÒ
Qua bài học ghi nhớ các kết quả đạo hàm sau để vận dụng tính
đạo hàm của hàm số về sau:


(x
n
)’ = nx
n-1

( C)’ = 0


1
( )'
2
x
x
=
Và các quy tắc tính đạo hàm
(u + v)’ = u’ + v’
(u - v)’ = u’ - v’
(u.v)’ = u’v + v’u
'
2
' '
( ( ) 0)
u u v v u
v v x
v v
−
 
= = ≠
 ÷
 

Bài tập về nhà : 1,2 (SGK)

TiẾT HỌC TỚI ĐÂY KẾT
THÚC . XIN CHÂN THÀNH
CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ VÀ
CÁC EM HỌC SINH!