bai tap duong vuong goc mat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (199.45 KB, 6 trang )
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
LÝ THUYẾT.
I. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
Phương trình chứa căn cơ bản:
Dạng 1:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
≥
= ↔
=
Ví dụ 1: Giải phương trình
2
4 2 2x x x− + + =
(1)
ĐH QG TPHCM 1999 KHỐI D.
HD:
( )
( )
2
2
2
2 2 0
1 4 2 2
4 2 2
x
x x x
x x x
− ≥
↔ − + = − ↔
− + = −
2 2
1
4 4 8 4
x
x x x x
≥
↔
− + = − +
2
1
5 12 4 0
x
x x
≥
↔
+ + =
( )
≥
=
↔
=
1
2
2
5
x
x
x loại
. Đs:
= 2x
.
Dạng 2: Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( ) ( )
2
1 2 1 2 2x x x x+ − = + −
.
ĐH CẦN THƠ 1999 KHỐI B.
HD:
( )
( )
2 2
1 2 1 2x x x x↔ + − = + −
.(*)
Đặt:
2
2 0x x t+ − = ≥
. Ta được:
2 2
2 x x t+ − =
2 2
2x x t↔ − = −
thay vào Pt (*) ta được:
( )
2
1 2 2t t= + −
( )
2
1
2 3 0
3
2
t loại
t t
t
= −
↔ − − = ↔
=
với
3t =
ta có:
2
9
2
4
x x+ − =
2
4 4 1 0x x↔ − + =
1
2
x↔ =
. Đs
1
2
x =
.
Dạng 3: Phương trình chứa nhiều căn:
Ví dụ 3: Giải phương trình:
6 1 2 1 2x x+ − + =
.(1)
ĐH QG TPHCM 2000 KHỐI D.
HD:
( )
1 6 1 2 2 1x x↔ + = + +
.
Đk:
1
6 1 0
1
6
2
2 1
1
2
x
x
x
x
x
≥ −
+ ≥
↔ ↔ ≥ −
+ ≥
≥ −
.
Ta có:
6 1 4 4 2 1 2 1x x x+ = + + + +
2 1 1x x↔ + = −
2
1
2 1 2 1
x
x x x
≥
↔
+ = − +
2
1
4 0
x
x x
≥
↔
− =
( )
0
0
4
x
x loại
x
≥
↔ =
=
Đs:
4x =
Dạng 4: Các cách giải đặc biệt:
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 3
12 14 2x x− + + =
.
HD: Đặt
3
3
12
14
u x
v x
= −
= +
3
3 3
3
12
26
14
u x
u v
v x
= −
↔ → + =
= +
. Ta có hệ
phương Pt:
( ) ( )
3
3 3
2
2
26
3 26
u v
u v
u v
u v uv u v
+ =
+ =
↔
+ =
+ − + =
2 2
8 6 26 3
u v u v
uv uv
+ = + =
↔ ↔
− = = −
,
,u v
là nghiệm Pt:
2
2 3 0t t− − =
1
3
t
t
= −
↔
=
1 3
3 1
u u
hoặc
v v
= − =
↔
= = −
i)
3
3
1 12 1
13
3
14 3
u x
x
v
x
= − − = −
↔ ↔ =
=
+ =
ii)
3
1
u
v
=
= −
3
3
12 3
15
14 1
x
x
x
− =
↔ ↔ = −
+ = −
.
Vậy phương trình có hai nghiệm
13; 15x x= = −
.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −
HD: Đặt
3
3
3
1
2
2 3
u x
v x
w x
= −
= −
= −
, Ta có hệ Pt:
3 3 3
u v w
u v w
+ =
+ =
( ) ( ) ( )
( )
3
3 3
3 3 3
3 1
2
u v uv u v v w
u v w
+ + + =
↔
+ =
thay
3
w
vào (1) ta được:
( )
3 0 3 0 0uv u v uvw u v w+ = ↔ = ↔ = = =
Ta được:
3
3
3
1 0
1
2 0 2
3
2 3 0
2
x
x
x x
x
x
− =
=
− = ↔ =
− =
=
là nghiệm Pt đã cho.
Chú y: Ví dụ 4, 5 ta scó thể giải bằng phương pháp bình phương hai
vế.
Ví dụ 6: Giải phương trình:
3
1 1
1
2 2
x x+ + − =
HD: Đặt
3
1
2
1
, 0
2
u x
v x v
= +
= − ≥
3 2
1
1
u v
u v
+ =
→
+ =
( )
2
3
1 1u u→ + − =
3 2
0
2 0 1
2
u
u u u u
u
=
↔ + − = ↔ =
= −
-
3
1
0
0
1
2
1
2
1
1
2
x
u
x
v
x
+ =
=
→ ↔ = −
=
− =
-
3
1
1
1
1
2
0
2
1
0
2
x
u
x
v
x
+ =
=
→ ↔ =
=
− =
-
3
1
2
2
17
2
3
2
1
3
2
x
u
x
v
x
+ = −
= −
→ ↔ = −
=
− =
Vậy phương trình có 3 nghiệm
1 1 17
; ;
2 2 2
S
= − −
.
Ví dụ 7: Giải phương trình:
3
7 1x x+ = +
(CĐ XÂY DỰNG SỐ 3 – 2002)
HD: Đặt
3
3 2
1
7
7
, 0
u v
u x
u v
v x v
− =
= +
→
− =
= ≥
( )
2
3
1 7u u↔ − − =
3 2
2 8 0u u u
↔ − + − =
( )
( )
2
2 4 0 2u u u u↔ − + + = ↔ =
1v→ =
.
-
3
2 7 2
1
1
1
u x
x
v
x
= + =
→ ↔ =
=
=
Ví dụ 8: Giải phương trình:
6
2
3 3
1 1 1x x x+ − − = −
.
HD: Đặt
( )
3
3 3
3
1
. 0
2
1
u x
u v uv
u v
u v
v x
= +
− =
→ ≥
− =
= −
( ) ( )
3
3 2u v uv u v→ − + − =
( )
3
3 2uv uv uv↔ + =
( )
3
4 2uv↔ =
( )
3
1
4
uv↔ =
2
1
1
4
x→ − =
5
2
x↔ = ±
Vậy nghiệm Pt:
5
2
x = ±
.
Ví dụ 9: Giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 3
3
3 6 3 6 3x x x x− + + − − + =
.
HD: Đặt:
3
3
3
6
u x
v x
= −
= +
2 2
3 3
3
9
u v uv
u v
+ − =
→
+ =
= =
↔
= =
1 2
2 1
u u
hoặc
v v
-
= − =
→ ↔ =
=
+ =
3
3
1 3 1
2
2
6 2
u x
x
v
x
.
-
= − =
→ ↔ = −
=
+ =
3
3
2 3 2
5
1
6 1
u x
x
v
x
.
Vậy nghiệm Pt:
= = −
2; 5x x
.
Ví dụ 9: Giải phương trình:
+ − + =3 1 2 1x x x
.
HD: Đặt
( )
= +
≥
= +
3 1
; 0
2 1
u x
u v
v x
− = − =
→
+ = +
2 2
2 2
5 2
u v u v x
u v x
( )
( )
− = −
↔
+ = − +
2 2
2 2 2 2
5 2 1
u v u v
u v u v
( ) ( )
↔ − + − =1 0u v u v
− = =
↔
+ = = −
0
1 1
u v u v
u v u v
-
= → + = + ↔ =3 1 2 1 0u v x x x
-
= −1u v
thay vào (1):
− + =
2 2
2 3 1 0u v
( )
↔ − − + =
2
2
2 1 3 1 0v v
↔ + − =
2
4 3 0v v
( )
= − +
↔
= − −
2 7
2 7
v
v loại
+
= −
= −
3 7
7 2
u
v
+ = −
→
+ = −
3 1 3 7
2 1 7 2
x
x
↔ = −5 2 7x
.
Vậy nghiệm Pt:
{ }
= −0;5 2 7S
Ví dụ 9: Giải phương trình:
( )
+ + + = + + + −
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16 *x x x x x
(ĐH QP KHỐI D – 2002)
HD: Đặt
( )
= + + + >2 3 1 0t x x t
( ) ( ) ( ) ( )
→ = + + + + + +
2
2 3 1 2 2 3 1t x x x x
↔ − = + + + −
2 2
20 3 2 2 5 3 16t x x x
Thay vào (*)
− − =
2
20 0t t
( )
= −
↔
=
4
5
t loại
t
-
= ↔ + + + =5 2 3 1 5t x x
Đs:
= 3x
.
Ví dụ 10: Giải phương trình:
+ = −
3
3
1 2 2 1x x
(*)
HD: Đặt
= − → + =
3
3
2 1 1 2t x t x
thay vào (*) ta được:
+ =
3
1 2x t
Ta có hệ phương trình:
+ =
→ =
+ =
3
3
1 2
1 2
x t
x t
t x
. Ta có:
+ =
3
1 2x x
↔ − + =
3
2 1 0x x
( )
( )
↔ − + − =
2
1 1 0x x x
=
↔
− ±
=
1
1 5
2
x
x
Vậy nghiệm Pt:
− ±
=
1 5
1;
2
S
.
Ví dụ 11: Giải phương trình:
( )
− + = + +
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x
HD: Đặt:
( )
= + ≥ → = −
2 2 2
1 1 1t x t x t
Ta được:
( )
( )
− = − + +
2
4 1 2 1 2 1x t t x
( )
↔ − − + − =
2
2 4 1 2 1 0t x t x
=
↔
= −
1
2
2 1
t
t x
Vì
≥ → = −1 2 1t t x
↔ + = −
2
1 2 1x x
( )
≥
≥
↔ ↔
− =
+ = −
2
2
2
1
1
2
2
3 4 0
1 2 1
x
x
x x
x x
( )
≥
=
↔
=
1
2
0
4
3
x
x loại
x
Nghiệm Pt:
=
4
3
x
Ví dụ 12: Giải phương trình:
(
)
( )
+ − = + −
2 2
1 1 1 2 1 *x x x
HD: Đk:
− ≥ ↔ − ≤ ≤
2
1 0 1 1x x
Đặt
π π
α α
= ∈ −
sin , ;
2 2
x
,
α
≥cos 0
Ta được:
(
)
α α α
+ − = + −
2 2
1 1 sin sin 1 2 1 sin
( )
α α α
↔ + = +1 cos sin 1 2cos
α
α α α
↔ = +
2
2cos sin 2sin .cos
2
α α α
↔ =
3
2 cos 2sin cos
2 2 2
α α
↔ − =
÷
3
2 cos 1 2 sin 0
2 2
Vì
π π α π π α
α
∈ − → ∈ − → >
; ; cos 0
2 2 2 4 4 2
. Do đó:
( )
α π
π
α
α π
π
= +
= ↔ ∈∈
= +
¢
3
.2
3 2
2 4
sin
2 2
3 3
.2
2 4
k
k
k
π
α
π
α
=
↔
=
6
2
=
↔
=
1
2
1
x
x
. Vậy nghiệm Pt:
= =
1
1;
2
x x
.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Giải các phương trình sau:
1.
1 4 1x x+ − − =
. (ĐH MỀN BẮC 1985)
HD: Đặt
( )
1
; 0
4
u x
u v
v x
= +
≥
= −
. Đs:
3x =
Ta có thể giải bằng cách bình phương hai vế.
2.
3 3
34 3 1x x+ − − =
. (BỘ ĐỀ SỐ 62)
HD:
3
3
34
3
u x
v x
= +
= −
. Đs:
30x =
.
3.
3 3 3
2 1 16 2 1x x x− = − +
. (BỘ ĐỀ SỐ 98)
HD: Lập phương hai vế. Đs:
1 2 3 3
0; ;
2
2 2
x x x
± +
= = ± =
4.
( ) ( )
3 6 3 6 3x x x x+ + − − + − =
. (BỘ ĐỀ SỐ 109)
HD: Đặt
3 6t x x= + + −
.Đk:
3 2 3 2t− ≤ ≤
Có thể đặt:
( )
3
; 0
6
u x
u v
v x
= +
≥
= −
. Đs:
3; 6x x= − =
.
5.
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −
. (BỘ ĐỀ SỐ 163)
HD: Lập phương 2 vế.
Có thể đặt:
3
3
3
1
2
2 3
u x
v x
w x
= −
= −
= −
Đs:
3
1; 2;
2
x x x= = =
.
6.
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
. (BỘ ĐỀ SỐ 174)
HD: Đk:
2
3
x >
. Biến đổi Pt về
( ) ( ) ( )
1 2 1 3 2 0x x x x− − + − − =
. Đs: x = 1.
7.
3
2 1 2 1
2
x
x x x x
+
+ − + − − =
. (BỘ ĐỀ SỐ 188)
HD: Đặt
( )
1 0t x t= − ≥
. Đs:
1; 5x x
= =
.
8.
2 2
1
1 1
2
x x x x+ + − − + = −
. (BỘ ĐỀ SỐ 192)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
5
4
x
−
=
.
9.
(
)
3 3
3 3
35 35 30x x x x− + − =
. (ĐH BK HN 1991)
Đs:
2; 3x x
= =
.
10.
2 2 3 3 5x x x+ − − = −
(ĐH BK HN 1994)
HD: Bình phương hai vế.
Có thể đặt
( )
2
2 3 ; ; 0
3 5
u x
v x u v w
w x
= +
= − ≥
= −
.Đs:
2x =
.
11.
2
1 1x x+ + =
. (ĐH XÂY DỰNG HN 1998)
HD: Đặt
( )
1 0t x t= + ≥
. Đs:
1 5
1; 0;
2
x x x
−
= − = =
12.
4 4
18 1 3x x− + − =
. (ĐH KIẾN TRÚC HN 1995)
HD:
( )
4
4
18
; 0
1
u x
u v
v x
= −
≥
= −
. Đs:
2; 17x x= =
.
13.
5 3 2 4x x x− + + = +
. (ĐH HÀNG HẢI 1998)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
6x =
.
14.
2 1 2 1 2x x x x+ − − − − =
. (ĐH BCVT 2000)
HD: Đặt
( )
1 0t x t= − ≥
. Đs:
2x ≥
15.
3 4 2 1 3x x x+ − − = +
. (HV NGÂN HÀNG HN 1998).
HD: Bình phương hai vế. Đs:
5 57
4
x
− +
=
16.
2
4 2 2x x x− + + =
(HV NGÂN HÀNG TPHCM 1999)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
2x =
17.
2
2
1 1
3
x x x x+ − = + −
(HV NGÂN HÀNG HN 2000)
HD: Đặt
( )
; 0
1
u x
u v
v x
=
≥
= −
. Đs:
0; 1x x
= =
18.
3
3 1x x+ − =
. (ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 1996)
HD: Đặt
( )
3
3
0
u x
u
v x
= +
≥
=
. Đs:
1; 2 2x x= =
.
19.
2 2
3 2 1x x x x− + − + − =
.
(ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 1999)
HD: Bình phương hai vế
Có thể đặt
( )
2
2
3
; 0
2
u x x
u v
v x x
= − +
≥
= + −
.Đs:
1 5
2
x
±
=
20.
5 1 3 2 1 0x x x− − − − − =
.
(ĐH KT QUỐC DÂN HN 2000)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
2x =
.
21.
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =
(ĐH THƯƠNG MẠI HN 1998)
HD: Đặt
( )
2
2
3 3
; 0
3 6
u x x
u v
v x x
= − +
≥
= − +
Có thể đặt
( )
2
3 3 0t x x t= − + ≥
. Đs:
1; 2x x= =
22.
3
2 1 1x x− = − −
(ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HN 2000)
HD: Đặt
( )
3
2
0
1
u x
v
v x
= −
≥
= −
. Đs:
1; 2x x= =
.
23.
( ) ( )
3 3
3
2 7 2 7 3x x x x− + + − − + =
(ĐH Y HẢI PHÒNG 2000)
HD: Đặt
3
3
2
7
u x
v x
= +
= +
. Đs:
6; 1x x= − =
24.
( )
2 2
2 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − −
.(ĐH DƯC HN 1998)
HD: Đặt
( )
2
2 1 0t x x t= + − ≥
. Đs:
1 6x = − ±
.
25.
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
(HV KỸ THUẬT QUÂN SỰ 1999)
HD: Đặt
( )
3 2 1 0t x x t= − + − ≥
. Đs:
3x =
26.
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
(HV KHOA HỌC QUÂN SỰ 1999)
HD: Biến đổi Pt:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 1 1 2 1x x x x x+ + − − + = +
Đs:
1; 1x x= − =
27.
( )
2
2 1 1 0x x x x x x− − − − + − =
(HV KỸ THUẬT QUÂN SỰ 2000)
HD: Biến đổi Pt:
( )
1 1 1 1 1 0x x x x
− − − − − − =
Đs:
2x =
.
28.
2 2
11 31x x+ + =
. (ĐH CẢNH SÁT ND 1999)
HD: Đặt
( )
2
11 11t x t= + ≥
. Đs:
5; 5x x
= − =
.
29.
2 2
6 12x x+ − =
(ĐH VĂN HÓA HN 1998)
HD: Đặt
( )
2
6 0t x t= − ≥
. Đs:
10; 10x x= − =
30.
3
7 1x x+ − =
(ĐH LUẬT HN 1996)
HD: Đặt
( )
3
7
0
u x
v
v x
= +
≥
=
. Đs:
1x =
31.
4 2 1 4x x+ = + +
(ĐH CÔNG ĐOÀN 1997)
HD: Xét hai trường hợp
( )
1 1
1
1 1
x nếu x
x
x nếu x
+ ≥ −
+ =
− + < −
Đs:
1; 7x x= − =
.
32.
2
2 5 1 2x x x− + + − =
(ĐH NN HN 1999)
HD:
( )
2
1 4 1 2x x− + + − =
. Đs:
1x =
33.
3
3
3 2 3 2x x− + =
(ĐH TỔNG HP HN 1994)
HD: Đặt
3
2 3y x= +
. Đs:
1; 2x x
= − =
34.
3 3
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
+ + =
+
. (ĐH QG HN 1995)
HD: Đặt
3
2
1
x
t
x
=
+
. Đs:
1x =
.
35.
2
7 4
4
2
x x
x
x
+ +
=
+
(ĐH DL ĐÔNG ĐÔ 2000)
HD: Đặt
( )
0t x t= ≥
. Đs:
1; 4x x
= =
.
36.
( ) ( )
2
1 2 2x x x x x− + + =
.(ĐH SP HN 2000)
HD: Biến đổi Pt:
( )
1 2 2 0x x x x− + + − =
. Đs:
9
0;
8
x =
37.
( ) ( )
2
1 2 1 2 2x x x x+ − = + −
(ĐH CẦN THƠ 1998 KB)
HD: Đặt
( ) ( ) ( )
1 2 0t x x t= + − ≥
. Đs:
1
2
x =
38.
2
9 9 9x x x x+ − = − + +
(ĐH Y DƯC TPHCM 1997)
HD: Đặt
9t x x= + −
. Đk:
3 3 2t≤ ≤
. Đs:
0; 9x x
= =
39.
2
2
1 1
2 2 4x x
x
x
− + − = − +
÷
(ĐH NGOẠI THƯƠNG 96)
HD: Biến đổi
2
2
1 1
2 2 4x x
x
x
+ − + + − =
. Đs:
1x =
40.
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
((ĐH NGOẠI THƯƠNG 97)
HD: Biến đổi
2 2
15 8 3 2x x x+ − + = −
. Đs:
1x =
41.
( ) ( )
2
5 2 3 3x x x x+ − = +
(ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000)
HD: Đặt
( )
2
3 0t x x t= + ≥
. Đs:
4; 1x x= − =
.
42.
3 3
34 3 1x x+ − − =
(ĐH SP TPHCM 1995)
HD: Đặt
3
3
35
3
u x
v x
= +
= −
. Đs:
20 453
16
9
x = − +
43.
2 2
2 5 2 2 2 5 6 1x x x x+ + − + − =
(ĐH SP TPHCM 2000)
HD: Đặt
( )
2
2 5 2 0t x x t= + + ≥
Có thể đặt
( )
2
2
2 5 2
; 0
2 5 6
u x x
u v
v x x
= + +
≥
= + −
. Đs:
7
1;
2
x x= − =
44.
2
3 1
2 1
2 1
x
x
x
−
= −
−
(ĐH QG TPHCM 1998) Đs:
2
3
x =
45.
6 1 2 1 2x x+ − + =
(ĐH QG TPHCM 2000)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
4x =
.
46.
( )
2
2
1 1
1
1
x x x
x
x
+ + = −
−
−
(ĐH DL NN TPHCM 1998)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
0x =
47.
2 2
26 26 11x x x x+ − + − =
(ĐH DL NN TPHCM 2000)
HD:
2
26t x x= + −
.
2 13 26t− ≤ ≤
. Đs:
1x =
.
Có thể đặt
2
26t x= −
.
48.
2 2
12 30x x+ + =
(ĐH DL LẠC HỒNG 2000)
HD: Đặt
( )
2
12 12t x t= + ≥
. Đs:
2 6x = ±
.
49.
4 4 4 6x x x x+ − + + − =
(CĐ HẢI QUAN TPHCM 99)
HD: Đặt
( )
4 0t x t= − ≥
. Đs:
4x =
50.
4 4
8 89 5x x− + + =
(CĐ GIAO THÔNG 2000)
HD: Đặt
( )
4
4
8
; 0
89
u x
u v
v x
= −
≥
= +
. Đs:
73; 8x x
= − = −
51.
2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + =
(ĐH KHỐI D – 2005)
HD: Đặt
( )
1 0t x t= + ≥
. Đs:
3x =
.
52.
( ) ( )
1 8 1 8 3x x x x+ + − + + − =
(ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN 1998)
HD: Đặt
1 8t x x= + + −
.
3 2 3 2t− ≤ ≤
.
Có thể đặt
( )
1
; 0
8
u x
u v
v x
= +
≥
= −
Đs:
1; 8x x
= − =
53.
2
4 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + −
(DỰ BỊ KHỐI D – 2002)
HD: Đặt
( )
4
; 0
4
u x
u v
v x
= +
≥
= −
. Đs:
5x =
.
54.
3 3 5 2 4x x x− − − = −
(DỰ BỊ KHỐI D – 2005)
HD: Bình phương hai vế.
Có thể đặt
( )
3 3
5 ; ; 0
2 4
u x
v x u v w
w x
= −
= − ≥
= −
. Đs:
2; 4x x= =
55.
( )
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2 x .− + − = − + − + ∈¡
(DỰ BỊ KHỐI B 2006)
HD: Đặt:
3 2 1t x x= − + −
Có thể đặt
( )
3 2
; 0
1
u x
u v
v x
= −
≥
= −
.Đs:
9
10
2
x = −
.
56.
( )
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1 x .+ − = − + − + − + ∈ ¡
(DỰ BỊ KHỐI D – 2006)
HD: Biến đổi Pt:
1 7 1 2 0x x x
− − − − − =
Đs:
4; 5x x
= =
.
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
1. Bất phương trình chứa căn cơ bản.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
1. 0
f x
f x g x g x
f x g x
≥
< ↔ >
<
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
0
2.
0
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
≥
<
> ↔
≥
>
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
( )
2 1 2 3 1x x− < −
HD:
( )
( )
2
2 1 0
1 2 3 0
2 1 2 3
x
x
x x
− ≥
↔ − >
− < −
2
1
2
3
2
2 1 4 12 9
x
x
x x x
≥
↔ >
− < − +
2
1
2
3
2
2 7 5 0
x
x
x x
≥
↔ >
− + >
1
2
3
2
5
1
2
x
x
x x
≥
↔ >
< ∨ >
5
2
x↔ >
Nghiệm bất phương trình
5
;
2
S
= + ∞
÷
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2 1 2x x− > −
(2)
HD:
( )
( )
2
2 1 0
2 0
2
2 0
2 1 2
x
x
x
x x
− ≥
− <
↔
− ≥
− > −
2
1
2
2
2
2 1 4 4
x
x
x
x x x
≥
>
↔
≤
− > − +
2
2
2
6 5 0
x
x
x x
>
≤
↔
− + <
2
2
2
1 2
1 5
x
x
x
x
x
>
>
↔ ↔
≤
< ≤
< <
1x↔ >
Nghiệm bất phương trình
( )
1;S = +∞
.
Khi giải bất phương trình chứa nhiều căn thì đặt điều kiện để cho
các căn có nghóa và bình phương hai vế.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
1
3 1
2
x x− − + >
(3)
HD:
( )
1
3 3 1
2
x x↔ − > + +
. Đk:
3 0
1 0
x
x
− ≥
+ ≥
3
1
x
x
≤
↔
≥ −
1 3x↔ − ≤ ≤
.
Ta có:
1
3 1 1
4
x x x− > + + + +
7
1 2
4
x x↔ + < −
2
7
1
8
7
1 2
4
x
x x
− ≤ ≤
↔
+ < −
÷
2
7
1
8
33
4 8 0
16
x
x x
− ≤ ≤
↔
− + >
31
1 1
8
x↔ − ≤ < −
. Nghiệm BPT:
31
1;1
8
S
= − −
÷
÷
.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
( )
1 2 3 4x x x− − − > −
.
HD:
( )
4 1 3 2x x x↔ − > − + −
. Đk:
3x ≥
.
Ta có
( ) ( )
1 3 2 2 2 3x x x x x− > − + − + − −
( ) ( )
2 2 3 4x x x↔ − − < −
( ) ( ) ( )
2
3 4
4 2 3 4
x
x x x
≤ <
↔
− − < −
2
3 4
3 12 8 0
x
x x
≤ <
↔
− + <
3 4
2 3 2 3
2 2
3 3
x
x
≤ <
↔
− < < +
2 3
3 2
3
x↔ ≤ < +
. Nghiệm BPT:
2 3
3;2
3
S
= +
÷
÷
.
2. Đặt ẩn phụ: Phương pháp giải tương tự như phương trình.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:
2 2
2 3 4 2 3 2x x x x+ + > + −
HD: Đặt
( )
2
2 3 4 0t x x t= + + ≥
2 2
2 3 4x x t→ + = −
Ta được
2 2
4 2 6 0t t t t> − − ↔ − − <
2 3t− < <
kết hợp đk ta
được
0 3t≤ <
2
0 2 3 4 3x x→ ≤ + + <
2
2 3 4 9x x↔ + + <
2
5
2 3 5 0 1
2
x x x↔ + − < ↔ − < <
.
Tập nghiệm BPT:
5
;1
2
S
= −
÷
.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Giải các bất phương trình sau:
1.
9 5 2 4x x+ > − +
(ĐH MIỀN BẮC 1983)
HD: Biến đổi:
9 2 4 5x x+ + + >
. Đặt đk và bình phương hai
vế. Đs:
( )
0;S = + ∞
.
2.
1 6 1x x x+ + < −
(ĐH SP TPHCM 1995)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
5 13
;
6
S
+
= + ∞
÷
÷
.
3.
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + ≥ − +
(BỘ ĐỀ SỐ 58)
HD: Đặt đk . Biến đổi BPT về:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 3 2 1 4 0x x x x x x− − + − − − − − ≥
Đs:
( )
; 1 4;S = −∞ − ∪ + ∞
.
4.
( )
2 2
3 4 9x x x− − ≤ −
(BỘ ĐỀ SỐ 61)
HD: Xét ba trường hợp:
3; 3; 3x x x
= > <
.
Đs:
)
13
; 3;
6
S
= −∞ − ∪ + ∞
5.
2 1x x x+ − + <
(BỘ ĐỀ SỐ 72)
HD: Biến đổi:
2 1x x x+ < + +
, đặt đk và bình phương hai
vế. Đs:
2 3
1 ;
3
S
= − + + ∞
÷
÷
6.
4 2
2 1 1x x x− + ≥ −
(BỘ ĐỀ SỐ 74)
HD:
(
)
2
2
1 1x x− ≥ −
2
1 1x x↔ − ≥ −
.
Đs:
( )
; 2 1;S = −∞ − ∪ +∞
7.
2
2 6 1 2 0x x x− + − + >
(BỘ ĐỀ SỐ 78)
HD: Biến đổi
2
2 6 1 2x x x− + > −
. Đs:
( )
3 7
; 3;
2
S
−
= −∞ ∪ + ∞
8.
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ < + +
(BỘ ĐỀ SỐ 86)
HD: Đặt
1
2
t x
x
= +
.
Đs:
6 4 2 6 4 2
0; ;
4 4
S
− +
= ∪ + ∞
÷ ÷
÷ ÷
.
9.
( ) ( )
(
)
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x+ < + − +
(BỘ ĐỀ SỐ 99)
HD: Đk:
3
1
2
x− ≤ ≠ −
,
Biến đổi:
( )
(
)
( )
2
2
4 1
2 10
1 3 2
x
x
x
+
< +
− +
3 2 3x↔ + <
.
Đs:
{ }
3
;3 \ 1
2
S
= − −
÷
10.
( ) ( )
2
4 6 2 12x x x x+ − ≤ − −
(BỘ ĐỀ SỐ 119)
HD: Đặt
( ) ( )
4 6t x x= + −
( )
0t ≥
. Đs:
4; 3 5;6S = − − ∪
11.
2
2
1 3
1
1
1
x
x
x
> −
−
−
(BỘ ĐỀ SỐ 136)
HD: Đk:
1 1x− < <
, biến đổi:
( )
2
2
1 3 1 1x x x> − − −
2 2
2 3 1x x x↔ − > −
. Đs:
2 2
1; ;1
2
5
S
= − ∪
÷
÷
÷
12.
2
1 1 2
4
x
x x+ + − ≤ −
(BỘ ĐỀ SỐ 156)
HD: Đk:
1 1x− ≤ ≤
, bình phương hai vế. Đs:
1;1S = −
13.
( )
2
1 3 2 3 2 2x x x x− + − ≥ − + −
(BỘ ĐỀ SỐ 159)
HD: Ta có:
( )
2
1 3 1 1 1 3
BĐT
x x x x
− + − ≤ + − + −
=
( )
2
2 3 2 2x x= − + −
. Đs:
5x =
.
14.
1 1x x x+ − − ≤
(BỘ ĐỀ SỐ 180)
HD: Đk
1 1x− ≤ ≤
, Biến đổi
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1x x x x x x x+ − − + + − ≤ + + − ↔
(
)
2 1 1x x x x↔ ≤ + + −
(*)
Ta có:
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 2x x x x+ + − ≤ + + + − =
Do đó (*)
0x↔ ≤
. Kết hợp ta được:
1 0x− ≤ ≤
.
1;0S = −
15.
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + ≥ − −
(BỘ ĐỀ SỐ 185)
HD: Đặt
( )
2
5 10 1 0y x x y= + + ≥
.
Đs:
( )
; 3 1;S = −∞ − ∪ + ∞
.
16.
1
2 3
1
x x
x x
+
− >
+
(BỘ ĐỀ SỐ 191)
HD: Đặt
1x
t
x
+
=
. Đs:
4
; 1
3
S
= − −
÷
.
17.
( ) ( )
2
4 4 2 2 12x x x x− − + ≤ − −
(BỘ ĐỀ SỐ 191)
HD: Đặt
( ) ( ) ( )
4 2 0t x x t= − + ≥
. Đs:
1 5x = ±
18.
1 3 4x x+ > − +
(ĐH BÁCH KHOA HN – 1995)
HD: Biến đổi
1 4 3x x+ + + >
, đk, bình phương hai vế.
Đs:
( )
0;S = + ∞
19.
2 2 2
3 1 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + ≤ + +
(ĐH BÁCH KHOA HN – 2000)
HD: Giải tương tự bài 2. Đs:
1; 5x x= − = −
.
20.
2
1 2 1 2 2x x x− + + ≥ −
(ĐH XÂY DỰNG HN 1992)
HD: Đk:
1 1
2 2
x− ≤ ≤
, bình phương hai vế. Đs:
0x =
.
21.
2
3 4 2
2
x x
x
− + − +
<
(ĐH XÂY DỰNG HN 1997)
HD: Đk:
4
1 , 0
3
x x− ≤ ≤ ≠
. Xét hai trường hợp
1 0x− ≤ <
và
4
0
3
x< ≤
. Đs:
)
9 4
1;0 ;
7 3
S
= − ∪
.
22.
7 1 3 18 2 7x x x+ − − ≤ +
(ĐH MĨ THUẬT CN 1998)
HD: Biến đổi
7 1 2 7 3 18x x x+ ≤ + + −
, đặt đk và bình
phương hai vế. Đs:
[
)
9;S = + ∞
23.
( ) ( )
1 4 2x x x+ − > −
(ĐH MỎ ĐỊA CHẤT 2000)
Đs:
7
1;
2
S
= −
÷
.
24.
3
2 1 2 1
2
x x x x+ − + − − >
(HV NGÂN HÀNG HN 99)
HD: Đặt
2 0t x= − ≥
. Đs:
[
)
1;S = +∞
.
25.
3 2 8 7x x x+ ≥ − + −
(ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 2000)
HD: Đk và bình phương hai vế. Đs:
[ ] [ ]
4;5 6;7S = ∪
.
26.
2 1
4 2 2
2
x x
x
x
+ < + +
(ĐH THỦY LI 1996)
HD: Đặt
1
t x
x
= +
. Đs:
3 2 2 3 2 2
0; ;
2 3
S
− +
= ∪ + ∞
÷ ÷
÷ ÷
27.
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
(ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HN – 97)
HD: Xét hai trưởng hợp, Đs:
) )
1 2 13; 5 1 2 13;S
= − − − ∪ − + + ∞
28.
1 1
2 3
x x
x x
− −
− ≥
(ĐH MỞ HN 1999)
HD: Đặt
1x
t
x
−
=
. Đs:
1
;0
8
S
= −
÷
29.
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18x x x x x x− + + + − ≤ − +
(ĐH DƯC HN 2000)
HD: Đặt đk và đưa về tích. Đs:
(
]
17
; 5 5;
3
S
= −∞ − ∪
.
30.
4 1 2x x− − > −
(HV QUÂN Y 2000)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế.
Đs:
5 13
;1
2
S
− +
=
.
31.
3 2 8 7x x x+ ≥ − + −
(ĐH AN NINH 1997)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs:
[ ] [ ]
4;5 6;7S = ∪
32.
5 1 4 1 3x x x+ − − ≤
(ĐH AN NINH 1999)
Đs:
1
;
4
S
= + ∞
÷
.
33.
2
6 5 8 2x x x− + − > −
(ĐH QUỐC GIA HN 1997)
Đs:
[ ]
3;5S =
.
34.
2
1 1x x+ ≥ +
(ĐH QUỐC GIA HN 1997 –KHỐI A)
Đs:
(
]
;0S = −∞
.
35.
3 2 1 5x x− + + ≤
(ĐH DL THĂNG LONG 1998)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs:
2
;2
3
S
=
36.
7 13 7 11 14 1x x x+ − − ≥ +
(ĐH DL ĐÔNG ĐÔ 2000)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs:
11 1 577
;
7 7 14
S
= − +
37.
( )
2 2
2 2 1 0x x x+ − − <
(CĐ SP NT2000)
HD:
2
2
2 1 0
2 0
x
x x
− >
+ − >
. Đs:
2 2
2; ;1
2 2
S
= − − ∪
÷ ÷
÷ ÷
38.
2
1 1
2 1
2 3 5
x
x x
>
−
+ −
(ĐH SP VINH 1999)
HD: Đk
2
5
2 3 5 0 1
2
x x x x+ − > ↔ < − ∨ >
.
Đs:
3 5
1 ; 2;
2 2
x x x< < > < −
.
39.
2
3 2 3x x x− + > +
(ĐH SP VINH 1999-KHỐI D)
Đs:
7
;
9
S
= −∞ −
÷
40.
5 4 5 4 4x x− + + ≥
(ĐH QUI NHƠN 2000)
HD: Bình phương hai vế. Đs:
[ ]
0;1S =
41.
2 1 2 3x x x+ − − ≥ −
(ĐH THỦY SẢN TPHCM 1999)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs:
3
;2
2
S
=
42.
6 1 2 5x x x+ > + + −
(ĐH DL-KT-CN THHCM 2000)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs:
5
;3
2
S
=
÷
43.
3
3 1 1
3 10
x
x
x
< + −
+
(HK VIẾT NAM -1997)
HD: Biến đổi
3 3
3 10 3 1 1
x x
x x
<
+ + +
, xét hai trường hợp:
0x <
và
0x >
. Đs:
( )
0;5S =
44.
5 1 1 2 4x x x− − − > −
(ĐH KHỐI A – 2005)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế. Đs:
[
)
2;10S =
45.
( )
2
2 16
7
3
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
(ĐH KHỐI A – 2004)
HD: Đặt đk. Đs:
10 34x > −
.
46.
( )
2 2
3 2 3 1 0x x x x− − − ≥
(ĐH KHỐI – D 2002)
HD:
2
2
2
2 3 2 0
2 3 2 0
3 0
x x
x x
x x
− − =
− − >
− ≥
. Đs:
1
; 2; 3
2
x x x< − = ≥
.
47.
