ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3

TRNG THPT CHUYấN
Lấ QUí ễN
T : Toỏn - Tin
THI TH I HC LN III NM HC 2009 -2010
Mụn : Toỏn Khi: A+B
Thi gian lm bi : 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt )
BI
Cõu 1: (2 im)
Cho hm s
4 2
2 1 (1)y x mx m= - + +
( m l tham s)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 1.
2. Xỏc nh m hm s (1) cú 3 im cc tr ng thi cỏc im cc tr ca
th hm s to thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng 1.
Cõu 2: (2 im)
1. Gii phng trỡnh:
8 8 2
1 1
sin os cos 2 os2
2 2
x c x x c x- = -
2. Gii h phng trỡnh:
4 2
4 3 0
0
log log
x y
x y
ỡ
- + =

ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
Cõu 3: (3 im)
1. Trong mt phng vi h trc ta Oxy cho A(4;3), ng thng (d) :
x y 2 = 0 v (d): x + y 4 = 0 ct nhau ti M. Tỡm
( ) ( ')B d v C dẻ ẻ
sao cho
A l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MBC.
2. Trong khụng gian cho hai ng thng :
2
1 2 2
1
2
1
: 1 : 2
3
0
x t
x
d y v d y t
z t
z
ỡ

ỡ
= +
=
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ù ù
= =
ớ ớ
ù ù
ù ù
= +
ù ù =
ù
ợ ù
ợ
a. Chng minh rng d
1
, d
2
chộo nhau v vuụng gúc vi nhau.
b. Lp phng trỡnh ng vuụng gúc chung gia d
1
v d
2
.
3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB=2; AD=

2 2
v
SA =2 vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Gi M, N ln lt l trung im ca AD v
SC, I l giao im ca BM v AC. Chng minh rng mt phng (SAC) vuụng gúc vi
mt phng (SMB). Tớnh th tớch ca khi t din ANIB.
Cõu 4: (3 im)
1. Tớnh tớch phõn:
8
3
ln
1
x
I dx
x
=
+
ũ
2. Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin
3
2
n
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ố ứ
bit rng:
n
+
ẻ Â

tha món :
6 7 8 9 8
2
3 3 2
n n n n n
C C C C C
+
+ + + =
3. Cho cỏc s thc x,y dng thay i tha món: x
2
+ y
2
= 1.Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc:
1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )P x y
y x
= + + + + +
Ht
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
Tổ : Toán - Tin

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM HỌC 2009 -2010
Môn : Toán – Khối: D
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 1 (1)y x mx m= - + +
( m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Xác định m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của
đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
8 8 2
1 1
sin os cos 2 os2
2 2
x c x x c x- = -
2. Giải hệ phương trình:
4 2
4 3 0
0
log log
x y
x y
ì
- + =
ï
ï

ï
í
ï
- =
ï
ï
î
Câu 3: (3 điểm)
1. Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M. Tìm
( ) à ( ')B d v C dÎ Î
sao cho
A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC.
2. Trong không gian cho hai đường thẳng :
2
1 2 2
1
2
1
: 1 à : 2
3
0
x t
x
d y v d y t
z t
z
ì
ì
= +

=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï ï
= =
í í
ï ï
ï ï
= +
ï ï =
ï
î ï
î
a. Chứng minh rằng d
1
, d
2
chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Lập phương trình đường vuông góc chung giữa d
1
và d
2
.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=
2 2
và

SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Câu 4: (3 điểm)
1. Tính tích phân:
2
ln ln(ln )
e
e
x x
I dx
x
+
=
ò
2. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)
n
có tỉ số hai hệ số liên tiếp
bằng
7
15
.
3. Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x
2
+ y
2
= 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )P x y

y x
= + + + + +
Hết
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III
Môn: Toán A,B- Năm học: 2009 – 2010
Câu ý Nội dung Điểm
1 1 m=1 ta có y = x
4
-2x
2
+ 2
+ TXĐ:
D = ¡
+
lim
x
y
®±¥
=+¥
+ y’=4x
3
– 4x
0
' 0
1
x
y
x
é
=

ê
= Û
ê
=±
ë
BBT
x
- ¥
-1 0 1
+¥
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+¥
1
2
1
+¥
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (
- ¥
;-1) và (0;1)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và ( 1;
+¥
)
0.5
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
1x =±
giá trị cực tiểu của hàm số là
( 1) 1y ± =
Hàm số đạt cực đại tại điểm
0x =

giá trị cực đại của hàm số là
(0) 2y =
0.25
10
8
6
4
2
-2
-4
-15
-10
-5
5
10
15
x
1
-1
-2
2
0.25
2 Ta có y’ = 4x
3
– 4mx = 4x(x
2
–m)
y’ = 0
2
0x

x m
é
=
ê
Û
ê
=
ë
điều kiện để hàm số có 3 cực trị : y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
Û
m > 0.
0.25
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
2
2
(0; 1)
( ; 1)
( ; 1)
A m
B m m m
C m m m
ì
-
ï
ï
ï
ï
- + -
í
ï

ï
ï
- - + -
ï
î
Ta thấy
·
4
2
4 3
4 3
2
( ; )
1
os
. 1
( ; )
AB AC m m
AB m m
ABAC m m m
c BAC
AB AC m m m
AC m m
= = +
ì
ï
-
- + -
ï
ï

= = =
í
ï
+ +
- -
ï
ï
î
uuur
uuuruuur
uuur
0.25
· ·
2
3
2 2
2
sin 1 cos
1
( ) 0 2
m m
BAC BAC
m
BC m m m
= - =
+
= + + =

3
3

3
3 2
2 1
2
sin
2
1
1
1
2
1
2 1 0 ( 1)( 1) 0
1 5
2
BC m m
R
A m
m m
m
m
R
m
m
m m m m m
m
+
= = =
+
+
Þ = =

é
=
ê
ê
Û - + = Û - + - = Û
- +
ê
=
ê
ë
0.5
2
2
điểm
1
Giải phương trình:
8 8 2
1 1
sin os cos 2 os2
2 2
x c x x c x- = -
PT
4 4 4 4 2
2
2
2
1 1
(sin os )(sin os ) cos 2 os2
2 2
1 1

os2 (1 sin 2 ) os2 ( os2 1)
2 2
os2 (1 os 2 ) os2 ( os2 1)
os2 ( os 2 os2 ) 0
os2 0
4 2
os2 1
2
x c x x c x x c x
c x x c x c x
c x c x c x c x
c x c x c x
k
x
c x
k
c x
x k
p p
p
p
Û + - = -
Û - - = -
Û - + = -
Û + =
é
ê
= +
é
=

ê
ê
Û Û Î
ê
ê
=-
ê
ë
= +
ê
ê
ë
¢

0.25
0.25
0.5
2
Giải hệ phương trình:
4 2
4 3 0
0
log log
x y
x y
ì
- + =
ï
ï
ï

í
ï
- =
ï
ï
î
Điều kiện :
4
2
0
1
1
0
log
log
x
x
y
y
ì
ï
³
ì
ï
³
ï
ï ï
Û
í í
ï ï

³
³
ï
î
ï
ï
î
0.25
Với điều kiện trên hệ đã cho tương đương với:
2
4 2 4
4 2
4 3 0
4 3 0
log log log
log log
x y
x y
x y y
x y
ì
- + =
ì
ï
- + =
ï
ï
ï
ï ï
Û

í í
ï ï
= =
=
ï ï
ï
î
ï
î
0.25
2
2
2
2
4 3
1
4 3
3
x y
x y
x y
y
x y
y y
y
ì
ï
=
ï
ì

ì
= -
ï
=
ï
ï
ï ï ï
é
Û Û Û
=
í í í
ï ï ï
ê
=
= -
ï ï ï
î
î
ê
ï
=
ë
ï
î
0.25
Tập nghiệm của hệ phương trình là:
( ) ( )
{ }
1;1 ; 9;3S =
0.25

Câu
3
1 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M. Tìm
( ) à ( ')B d v C dÎ Î
sao
cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC.
M(3;1):
( ) ( ; 2) ( ') ( ';4 ')B d B t t C d C t tÎ Þ - Î Þ -
A là tâm đường tròn ngoại tiếp
2 2
2 2
6
' 2
MA AB t
t
MA AC
ì
ì
ï
= =
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
=
ï
î

ï
î
B(6;4) và C(2;2)
0.25
0.5
0.25
2
Trong không gian cho hai đường thẳng :
2
1 2 2
1
2
1
: 1 à : 2
3
0
x t
x
d y v d y t
z t
z
ì
ì
= +
=
ï
ï
ï
ï
ï

ï
ï ï
= =
í í
ï ï
ï ï
= +
ï ï =
ï
î ï
î
a. Chứng minh rằng d
1
, d
2
chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Lập phương trình đoạn vuông góc chung giữa d
1
và d
2
.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(1;1;3) (2;0;0)
ó: d
(0;0;1) (1;2;0)
, ( 2;1;0)

, . 3 0
(1; 1;3)
& éo .
qua A qua B
tac d
VTCP u VTCP u
u u
u u AB
AB
d d ch nhau
ì ì
ï ï
ï ï
í í
ï ï
ï ï
î î
ì
é ù
ï
= -
ï
ê ú
ï é ù
ë û
Þ =- ¹
í
ê ú
ë û
ï

ï
-
ï
î
Þ
ur uur
ur uur
ur uur uuur
uuur
0.25
1 1 2 2 2
2 2 1
1
1 1 1 1
2 2 2
2
2 2
(1;1;3 ) (2 ;2 ;0)
( 1;2 1; 3)
3
. 0 3 0
ó
1
1 4 2 0
. 0
5
M t d N t t d
MN t t t
t
MN d MN u MN u t

Ta c
MN d t t
t
MN u MN u
+ Î + Î
+ - - -
ì
=-
ï
ì ì
ï ï
ì ì
ï
^ ^ = - - =
ï ï
ï ï
ï
ï ï ï ï
Û Û Û Û
í í í í í
ï ï ï ï ï
^ + + - =
=
^ =
ï ï
ï ï ï
î î
ï ï
î î
ï

î
uuur
uuur ur uuur ur
uuur uur uuur uur
0.25
(1;1;0)
6 3
( ; ;0)
11 2
5 5
( ; ;0)
5 5
M
MN
N
ì
ï
ï
-
ï
Þ Þ
í
ï
ï
ï
î
uuur
0.25
Đường vuông góc chung MN có phương trình:
6

1
5
3
1
5
0
x t
y t
z
ì
ï
ï
= +
ï
ï
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï

î
0.25
3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=
2 2
và
SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông
góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

j
H
I
S
A
B
C
D
M
N
·
·
·
·
·
·
·
0
0
1

( . . )
2
90
90
( ) ( ) ( )
AM AB
ABM BCA c g c do
AB BC
ABM BCA
ABM BAC BCA BAC
AIB MB AC
MB SA MB SAC SBM SAC
= =
Þ =
+ = + =
= Û ^
^ Þ ^ Û ^
V : V

0.5
Gọi H là trung điểm của AC. Ta có HN là đường trung bình của
SACV
( ) ( ) 1
2
SA
HN ABCD NH ABI NHÞ ^ Þ ^ = =
0.25
1 1 2 2
. . . ( )
3 6 9

NABI ABI
V NH S NH AI BI dvtt= = =
V
0.25
1
Tính tích phân:
8
3
ln
1
x
I dx
x
=
+
ò
Đặt
8
8
3
3
ln
2 1
1
1
(2 1ln ) 2 6ln8 4ln3 2
x u dx
du
x
dx

dv
v x
x
x
I x x dx J
x
ì ì
=
ï ï
ï ï
=
ï ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
= +
ï ï
+
ï ï
î î
+
Þ = + - = - -
ò
0.5
Tính
8
3

1x
J dx
x
+
=
ò
Đặt
3 3
2
2 2
2 2
2
1 2
1 1
t t
t x J tdt dt
t t
= + Þ = =
- -
ò ò
0.25
3
3
2
2
1 1 1
(2 ) (2 ln ) 2 ln 3 ln 2
1 1 1
20ln 2 6ln3 4
t

J dt t
t t t
I
-
= + + = + = + -
- + +
= - -
ò
0.25
2
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
3
2
n
x
x
æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
biết rằng:
n
+
Î ¢

thỏa mãn :
6 7 8 9 8
2
3 3 2
n n n n n
C C C C C
+
+ + + =
Đk
, 9n n
+
Î ³¢
6 7 7 8 8 9 8
2
7 8 8 9 8
1 1 1 1 2
8 9 8
2 2 2
9 8 9 6
2 2 2 2
( ) 2( ) ( ) 2
2
2
6 9 15
n n n n n n n
n n n n n
n n n
n
n n n n

gt C C C C C C C
C C C C C
C C C
C C C C n n
+
+ + + + +
+ + +
-
+ + + +
Û + + + + + =
Û + + + =
Û + =
Û = Û = Û - = Û =
0,25
Khi đó
( )
15
30 5
15 15
3 3
6
15 15
0 0
2 2
2
n k
k
k
k k k
k k

x C x C x
x x
-
-
= =
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ = =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
å å
0,25
Số hạng không chứa x tương ứng với:
30 5
0 6
6
k
k
-
= Û =
0,25
Só hạng không chứa x phải tìm là:
6 6
12
2 320320C =

0,25
3 Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x
2
+ y
2
= 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )P x y
y x
= + + + + +
D ô
2 2
1 1 4 2 2
2 2 2 4
2 2
4 2 ( ) 4 3 2
( )
2( )
B Tc si
x y
P x y x y x y
x y y x x y x y x y
x y
x y
x y
= + + + + + + ³ + + + + = + + + +
+ + +
+ + + = +
+

+
³
Dấu “=”
1
2
x yÛ = =
Vậy
1
min 4 3 2
2
P x y= + Û = =
0.5
0.25
0.25
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III
Môn: Toán D- Năm học: 2009 – 2010
Câu ý Nội dung Điểm
1 1 m=1 ta có y = x
4
-2x
2
+ 2
+ TXĐ:
D = ¡
+
lim
x
y
®±¥
=+¥

+ y’=4x
3
– 4x
0
' 0
1
x
y
x
é
=
ê
= Û
ê
=±
ë
BBT
x
- ¥
-1 0 1
+¥
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+¥
1
2
1
+¥
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (
- ¥

;-1) và (0;1)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và ( 1;
+¥
)
0.5
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
1x =±
giá trị cực tiểu của hàm số là
( 1) 1y ± =
Hàm số đạt cực đại tại điểm
0x =
giá trị cực đại của hàm số là
(0) 2y =
0.25
10
8
6
4
2
-2
-4
-15
-10
-5
5
10
15
x
1
-1

-2
2
0.25
2 Ta có y’ = 4x
3
– 4mx = 4x(x
2
–m)
y’ = 0
2
0x
x m
é
=
ê
Û
ê
=
ë
điều kiện để hàm số có 3 cực trị : y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
Û
m > 0.
0.25
Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
2
2
(0; 1)
( ; 1)
( ; 1)
A m

B m m m
C m m m
ì
-
ï
ï
ï
ï
- + -
í
ï
ï
ï
- - + -
ï
î
Ta thấy
·
4
2
4 3
4 3
2
( ; )
1
os
. 1
( ; )
AB AC m m
AB m m

ABAC m m m
c BAC
AB AC m m m
AC m m
= = +
ì
ï
-
- + -
ï
ï
= = =
í
ï
+ +
- -
ï
ï
î
uuur
uuuruuur
uuur
0.25
· ·
2
3
2 2
2
sin 1 cos
1

( ) 0 2
m m
BAC BAC
m
BC m m m
= - =
+
= + + =

3
3
3
3 2
2 1
2
sin
2
1
1
1
2
1
2 1 0 ( 1)( 1) 0
1 5
2
BC m m
R
A m
m m
m

m
R
m
m
m m m m m
m
+
= = =
+
+
Þ = =
é
=
ê
ê
Û - + = Û - + - = Û
- +
ê
=
ê
ë
0.5
2
2
điểm
1
Giải phương trình:
8 8 2
1 1
sin os cos 2 os2

2 2
x c x x c x- = -
PT
4 4 4 4 2
2
2
2
1 1
(sin os )(sin os ) cos 2 os2
2 2
1 1
os2 (1 sin 2 ) os2 ( os2 1)
2 2
os2 (1 os 2 ) os2 ( os2 1)
os2 ( os 2 os2 ) 0
os2 0
4 2
os2 1
2
x c x x c x x c x
c x x c x c x
c x c x c x c x
c x c x c x
k
x
c x
k
c x
x k
p p

p
p
Û + - = -
Û - - = -
Û - + = -
Û + =
é
ê
= +
é
=
ê
ê
Û Û Î
ê
ê
=-
ê
ë
= +
ê
ê
ë
¢

0.25
0.25
0.5
2
Giải hệ phương trình:

4 2
4 3 0
0
log log
x y
x y
ì
- + =
ï
ï
ï
í
ï
- =
ï
ï
î
Điều kiện :
4
2
0
1
1
0
log
log
x
x
y
y

ì
ï
³
ì
ï
³
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
³
³
ï
î
ï
ï
î
0.25
Với điều kiện trên hệ đã cho tương đương với:
2
4 2 4
4 2
4 3 0
4 3 0
log log log
log log
x y
x y
x y y

x y
ì
- + =
ì
ï
- + =
ï
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= =
=
ï ï
ï
î
ï
î
0.25
2
2
2
2
4 3
1
4 3
3
x y

x y
x y
y
x y
y y
y
ì
ï
=
ï
ì
ì
= -
ï
=
ï
ï
ï ï ï
é
Û Û Û
=
í í í
ï ï ï
ê
=
= -
ï ï ï
î
î
ê

ï
=
ë
ï
î
0.25
Tập nghiệm của hệ phương trình là:
( ) ( )
{ }
1;1 ; 9;3S =
0.25
Câu
3
1 Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M. Tìm
( ) à ( ')B d v C dÎ Î
sao
cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC.
M(3;1):
( ) ( ; 2) ( ') ( ';4 ')B d B t t C d C t tÎ Þ - Î Þ -
A là tâm đường tròn ngoại tiếp
2 2
2 2
6
' 2
MA AB t
t
MA AC
ì
ì

ï
= =
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
=
ï
î
ï
î
B(6;4) và C(2;2)
0.25
0.5
0.25
2
Trong không gian cho hai đường thẳng :
2
1 2 2
1
2
1
: 1 à : 2
3
0
x t
x
d y v d y t

z t
z
ì
ì
= +
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï ï
= =
í í
ï ï
ï ï
= +
ï ï =
ï
î ï
î
a. Chứng minh rằng d
1
, d
2
chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Lập phương trình đoạn vuông góc chung giữa d
1
và d

2
.
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(1;1;3) (2;0;0)
ó: d
(0;0;1) (1;2;0)
, ( 2;1;0)
, . 3 0
(1; 1;3)
& éo .
qua A qua B
tac d
VTCP u VTCP u
u u
u u AB
AB
d d ch nhau
ì ì
ï ï
ï ï
í í
ï ï
ï ï
î î
ì
é ù

ï
= -
ï
ê ú
ï é ù
ë û
Þ =- ¹
í
ê ú
ë û
ï
ï
-
ï
î
Þ
ur uur
ur uur
ur uur uuur
uuur
0.25
1 1 2 2 2
2 2 1
1
1 1 1 1
2 2 2
2
2 2
(1;1;3 ) (2 ;2 ;0)
( 1;2 1; 3)

3
. 0 3 0
ó
1
1 4 2 0
. 0
5
M t d N t t d
MN t t t
t
MN d MN u MN u t
Ta c
MN d t t
t
MN u MN u
+ Î + Î
+ - - -
ì
=-
ï
ì ì
ï ï
ì ì
ï
^ ^ = - - =
ï ï
ï ï
ï
ï ï ï ï
Û Û Û Û

í í í í í
ï ï ï ï ï
^ + + - =
=
^ =
ï ï
ï ï ï
î î
ï ï
î î
ï
î
uuur
uuur ur uuur ur
uuur uur uuur uur
0.25
(1;1;0)
6 3
( ; ;0)
11 2
5 5
( ; ;0)
5 5
M
MN
N
ì
ï
ï
-

ï
Þ Þ
í
ï
ï
ï
î
uuur
0.25
Đường vuông góc chung MN có phương trình:
6
1
5
3
1
5
0
x t
y t
z
ì
ï
ï
= +
ï
ï
ï
ï
ï
ï

= -
í
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï
ï
î
0.25
3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2; AD=
2 2
và
SA =2 vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông
góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

j
H
I
S
A
B
C
D
M

N
·
·
·
·
·
·
·
0
0
1
( . . )
2
90
90
( ) ( ) ( )
AM AB
ABM BCA c g c do
AB BC
ABM BCA
ABM BAC BCA BAC
AIB MB AC
MB SA MB SAC SBM SAC
= =
Þ =
+ = + =
= Û ^
^ Þ ^ Û ^
V : V

0.5
Gọi H là trung điểm của AC. Ta có HN là đường trung bình của
SACV
( ) ( ) 1
2
SA
HN ABCD NH ABI NHÞ ^ Þ ^ = =
0.25
1 1 2 2
. . . ( )
3 6 9
NABI ABI
V NH S NH AI BI dvtt= = =
V
0.25
1
Tính tích phân:
2
ln ln(ln )
e
e
x x
I dx
x
+
=
ò
Đặt
2
ln

1
2
dx
t x dt
x
x e t
x e t
= Þ =
ì
= Þ =
ï
ï
í
ï
= Þ =
ï
î
0.25
2 2 2
2
2
1 1 1
1 1 1
3
( ln ) ln
2 2
t
I t t dt tdt tdt I I= + = + = + = +
ò ò ò
0.25

Tính I
1
:
Đặt
2
2 2
1 1 1
1
ln
( ln ) 2ln 2 2ln 2 1
dt
u t
du
t
dv dt
v t
I t t dt t
ì
ï
ì
ï
=
=
ï
ï
ï
Þ
í í
ï ï
=

ï
î
ï
=
ï
î
= - = - = -
ò
Vậy
1
2ln 2 1 2ln 2
2 2
I
3
= + - = +
0.25
2 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khai triển (1+x)
n
có tỉ số hai hệ số liên
tiếp bằng
7
15
.
Ta có
(1 )
n
n k k
n
k o
x C x

=
+ =
å
Hệ số của hai số hạng liên tiếp là:
1
& (0 1, )
k k
n n
C C k n k
+
£ £ - Î ¢
0,5
Theo yêu cầu của bài toán:
1
1
7
1 1
15
15
7
7
1 15
15
k
n
k
n
k
n
k

n
C
k
C
n k
n k
C
k
C
+
+
é
é
+
ê
=
ê
=
ê
ê
-
ê
Û
ê
ê
-
ê
ê
=
ê

=
ê
ê
+
ë
ê
ë
Phân số
7
15
tối giản, nên n nhỏ nhất thì:
1 7 6
15 21
7 14
1 15 21
k k
n k n
n k k
k n
é é
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
ê ê
í í
ê ê
ï ï
- = =
ï ï

î î
ê ê
Û
ê ê
ì ì
- = =
ï ï
ê ê
ï ï
í í
ê ê
ï ï
+ = =
ê ê
ï ï
î î
ë ë
Vậy n = 21 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,5
3 Cho các số thực x,y dương thay đổi thỏa mãn: x
2
+ y
2
= 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )P x y
y x
= + + + + +
D ô

2 2
1 1 4 2 2
2 2 2 4
2 2
4 2 ( ) 4 3 2
( )
2( )
B Tc si
x y
P x y x y x y
x y y x x y x y x y
x y
x y
x y
= + + + + + + ³ + + + + = + + + +
+ + +
+ + + = +
+
+
³
Dấu “=”
1
2
x yÛ = =
Vậy
1
min 4 3 2
2
P x y= + Û = =
0.5

0.25
0.25