tai lieu on thi tot nghiep hay

Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN I. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
(5 tiết)
VẤN ĐỀ I: ĐẠO HÀM
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm
( )
( ) ( )
x
y
x
xfxxf
xfy
xx
x
∆
∆
=
∆
−∆+
=
′
=
′
→∆→∆ 0
00
0
0
limlim
0

2. Các quy tắc tính đạo hàm
3. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hệ quả
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm và phương trình tiếp tuyến
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số
a)
3 2
3 3 2y x x x= + + −
; b)
4 2
4 1y x x= + −
; c)
2 1
2
x
y
x
−
=
+
;
d)
2
2 3
1
x x
y
x
− −
=

−
; e)
3
sin (2 1)y x= +
; f)
cos .lny x x=
;
g)
2 1x
y e
+
=
; h)
2
2
1
x
x
y
e
−
=
+
.
Bài 2. Chứng minh rằng:
a. Với hàm số y = x.sinx, ta có xy – 2(y’ – sinx) + xy” = 0;
b. Với hàm số y = ln(sinx), ta có
' "sin tan 0
2
x

y y x+ + =
.
Bài 3. Cho hàm số
( )
2
32
−
−
=
x
x
xf
có đồ thị là (C).
a. Tính đạo hàm của hàm số tại x
0
= 3;
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 4. Cho đường cong (C) có phương trình
( )
x
xfy
3
==
. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này:
a. Có hệ số góc bằng -3;
b. Song song với đường phân giác thứ hai của góc toạ độ.
VẤN ĐỀ II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.
2. Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

+ Nếu
( )
' 0,f x x I≥ ∀ ∈
và
( )
0' =xf
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I
+ Nếu
( )
' 0,f x x I≤ ∀ ∈
và
( )
0' =xf
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x
3
– 3x
2
+ 2 b) y = -x
4
+ 4x
2
– 3 c)
1
2
x
y
x

+
=
−
d)
2
75
2
−
+−
=
x
xx
y
e)
3
2
xy =
f)
( )
π
2x0 sin2 <<−= xxy
g) y = x – e
x

Baøi 1. Cho haøm soá
( ) ( )
3 2
1
2 2 2 2 5
3

m
y x m x m x
−
 
= − − + − +
 ÷
 
1
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

a. Đònh m để hàm số luôn luôn đồng biến
b. Đònh m để hàm số luôn luôn nghòch biến
Bài 2. Đònh m để hàm số
mx
mmxx
y
2
32
22
−
+−
=
đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó.
Bài 3. . Tìm m để hàm số
( ) ( )
3
1
231
3
2

3
+−+−−= xmxm
mx
y
luôn luôn đồng biến trên tập xác đònh
VẤN ĐỀ III: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm cực trị của hàm số
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại
x
o
. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại
x
o
thì
'( ) 0f x =
o
.
2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng
( )
,a b
chứa điểm
x
o
. Khi đó
a. Nếu
( )
'( ) 0, ;f x x a x< ∀ ∈

o
và
( )
'( ) 0, ;f x x x b> ∀ ∈
o
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm
x
o
.
b. Nếu
( )
'( ) 0, ;f x x a x> ∀ ∈
o
và
( )
'( ) 0, ;f x x x b< ∀ ∈
o
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm
x
o
.
3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:
a. Quy tắc 1:
+ Tìm
( )
xf
′
.
+ Tìm các x
i

(i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
+ Xét dấu
( )
xf
′
. Nếu
( )
xf
′
đổi dấu khi x đi qua điểm x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i

b. Quy tắc 2:
+Tính
( )
xf
′
.
+ Tìm các nghiệm x
i
(i = 1,2,…) của phương trình
( )
0=
′
xf
.
+ Tìm
( )

xf
′′
và tính
( )
i
xf
′′
.
* Nếu
( )
0
i
f x
′′
<
thì hàm số đạt đại tại điểm x
i
* Nếu
( )
0
i
f x
′′
>
thì hàm số đạt tiểu tại điểm x
i
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 3x
2

– 2x
3
b)
3
2
2
4
+−= x
x
y
c)
2
1
2
−
−−
=
x
xx
y
d)
3
152
2
−
−−
=
x
xx
y

Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 3 b) y = 3x
5
– 125x
3
+ 2160x c) y = sin2x – x
Bài 3. Định m để hàm số
1
2
2
−
+−
=
x
mxx
y
có cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3)
Bài 4. Định a, b để hàm số
bax
x
y +−=
2
4
2
đạt cực trị bằng -2 tại x = 1
2

Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

Bài 5. Cho hàm số:
4 2
(1 ) 2 1
4 2
x mx
y m x m= + + + + −
(m là tham số)
a. Đònh m để hàm số có 1 cực trò;
b. Đònh m để hàm số có 3 cực trò.
Bài 6: Tìm m để hàm số
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
(m là tham số) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu
Bài 7: Cho hàm số y = x
4
- 2mx
2
+ m
4
+ 2m (m là tham số). Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các
điểm cực đại và cực tiểu lập thành 1

∆
đều.
VẤN ĐỀ IV: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
2. Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
[ ]
;a b

+Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x
thuộc đoạn
( )
;a b
tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
+ Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, , , , ,
n
f x f x f x f a f b
.
+ So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn
[ ]
;a b
, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn

[ ]
;a b
.
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm só :
a)
22
2
−+= xxy
b)
,
1
2
x
xx
y
++
=
trên
( )
0;∞−

c)
52
24
+−= xxy
trên [-3;2] d)
2
100 xy −=
trên [-8;6]

e) y = x
2
.e
x
trên [-3;2] f)
1sinsin
1sin
2
++
+
=
xx
x
y
VẤN ĐỀ V: ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cơng thức chuyển hệ toạ độ
Giả sử
( )
;I x y Oxy∈
o o
. Cơng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
x x X
y y Y
= +


= +


o
o
2. Phương trình đường cong đối với hệ toạ độ mới
Phương trình đường cong
( )y f x=
đối với hệ toạ độ IXY là:
( )Y f X x y= + −
o o
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
3
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

Bài 1. Cho đường cong (C) có phương trình
1
2
x
y
x
+
=
−
và điểm
(2;1)I
. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong
phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối
xứng của (C)

Bài 2. Cho đường cong (C) có phương trình
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
và điểm
(1;5)I
. Viết công thức chuyển hệ toạ độ
trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là
tâm đối xứng của (C)
Bài 2. Chứng minh đường cong (C) có phương trình
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
có tâm đối xứng I và tìm tâm đối xứng đó.
Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ

OI
uur
và viết phương trình của đường cong (C) đối với
hệ toạ độ IXY.
VẤN ĐỀ VI: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số y = f(x)
1. Nếu
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
x x
x x
x x
x x
f x
f x
f x
f x
−
−

+
+
→
→
→
→
= +∞


= −∞

⇒

= +∞


= −∞


đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
2. Nếu
( )
( )
0
0
lim

lim
x
x
f x y
f x y
→+∞
→−∞
=

⇒

=

đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
3. Nếu
( )
( )
lim ( ) 0
lim ( ) 0
x
x
f x ax b
f x ax b
→+∞
→−∞


− + = 
 

⇒

− + =
 
 

đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
* Chú ý: Cách tìm các hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b

( )
( )
( )
( )
x
x
lim ,b lim
lim ,b lim
x
x
f x
a f x ax
x
f x
a f x ax
x

→+∞ →+∞
→−∞ →−∞

= = −
 

 


= = − 

 


II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:
a)
1
52
−
−
=
x
x
y
b)
23
532
2
2

+−
+−
=
xx
xx
y
c)
1
52
2
++
+
=
xx
x
y
d)
2
33
2
−
+−
=
x
xx
y
Bài 2. Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:
a)
12
2

++= xxy
(ĐS: tiệm cận xiên của nhánh phải:
( )
xy 21+=
, tiệm cận xiên của nhánh trái:
( )
xy 21−=
)
b)
2
1
.
x
exy =
(ĐS: Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên
4
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

VẤN ĐỀ VII: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xét sự biên thiên của hàm số.
a. Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu có) của hàm số.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào
bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số
+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. Chỉ ra trục và tâm đối của
đồ thị (khơng cần chứng minh).
II. MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ.
Bài tốn 1. Giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Hãy tìm các giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x
0
* Thay x
0
vào một trong hai hàm số ta có y
0
.
* Tọa độ giao điểm là M(x
0
,y
0
).
Nhận xét: Số giao điểm của (C
1
) và (C
2

) bằng số nghiệm phương trình f(x) = g(x) .
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm và
nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
Giả sử hai hàm số lần lượt có hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết:
1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M(x
0
;y
0
).
Cách giải: Tìm f’(x) và áp dụng công thức tiếp tuyến:
y – y
0
= f’(x

0
)(x – x
0
).
2) Đường thẳng d có hệ số góc k.
Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x
0
là hoành độ tiếp điểm áp dụng câu 1)
3) Đường thẳng d đi qua A(x
A
;y
A
).
Cách giải: *Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – x
A
) + y
A
*Điều kiện để d tiếp xúc (C) là hệ:



=
+−=
k)x('f
y)xx(k)x(f
AA
Phải có nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số: y =
2

36
2
+
−+−
x
xx

1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.ø
Bài 2: Cho hàm số: y = -x
3
- 3x
2
+ 2.
1)Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2)Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình: x
3
+3x
2
+ 1 + m = 0 (1).
5
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn. Chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất .
Bài3. Cho hàm số f(x) =
2
2
x
x
−

+
1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
2)Tìm điểm thuộc đồ thò có toạ độ nguyên
Bài 4: Cho hàm số y= x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 . (C
m
), m là tham số
1)Khảo sát và vẽ đồ thò (C
1
) của hàm số khi m=1
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
1
), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 1).
3)Tìm m để đồ thò của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt ;
Bài 5: Cho hàm số
)(
12
22
m
C
mx
mmxx
y
−
++−

=
, (m là tham số)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C
1
) của hàm số khi m = 1
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
1
) tại điểm A(2; 2)
4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. Cho hàm số
1
)2(
2
−
−
=
x
x
y
(C)
a. Đường thẳng (
∆
) qua A(-1;0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và (
∆
);
b. Gọi M là điểm di động trên (C). CMR: Tích số các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không
đổi.
Bài 2. Cho hàm số: y = -x
3

- 6x
2
- 9x +4 (C). Đường thẳng (
∆
) qua A(4;0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số
giao điểm của (
∆
) và (C).
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 9x (C), đường thẳng (
∆
): y=k(x-4) + 4
Tìm k để (
∆
) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 4. Cho hàm số
x
xx
y
−
+−
=
1
44
2
(C), đường thẳng (
∆

) qua A(0;3) có hệ số góc k. Đònh k
a. (
∆
) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của (C);
b. (
∆
) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 nhánh của (C).
Bài 5. Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
(C).
Với những giá trò nào của m thì đường thẳng (D): y = m - x cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. CMR: Khi đó cả 2 giao
điểm đều thuộc 1 nhánh của (C).
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
- 2(m-4)x + 2m + 8 (C
m
). Đònh m để (C
m
):
a. Cắt Ox tại 1 điểm duy nhất;

b. Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt;
c. Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
6
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

Bài 7. Cho hàm số y = x
3
- mx
2
- m (C
m
). Đònh m để:
a. (C
m
) tiếp xúc Ox;
b. (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Bài 8. Cho hàm số
22
43
2
−
+−
=
x
xx
y
(C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Bài 9. Cho hàm số y = -x

3
+ 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp:
a. Tại giao điểm của (C) với trục Ox;
b. Tiếp tuyến song song đường thẳng y = -9x +1.
Bài 10. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x - 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a. Tại giao điểm của (C) và đường thẳng y = -2;
b. Tiếp tuyến kẻ từ A(2;-4).
Bài 11. Cho hàm số:
1
1
3
−
+−=
x
xy
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc đường thẳng
2
3
1
+= xy
.
Bài 12. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1
2
2
−
+−
=

x
xx
y
xuất phát từ A(2;2).
Bài 13. Cho (Cm) y=1/3 x
3
-mx
2
+(2m-1)x-m+2 ;
1)Khảo sát và vẽ (C2) với m=2;
2)Tìm các điểm cố đònh của (Cm);
3)Tìm m để hàm số có 2 cực trò có hoành độ dương;
4)Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) đi qua điểm A(4/9;4/3);
5)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi (C2); y=0;x=1;x=0 quay quanh trục O
x.
Bài 14: Cho hàm số y=
1
12)1(2
2
+
−+++
x
mxmx
(Cm) . Tìm m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác đònh
Bài 15. Cho hàm số y= x
4
+2(m-2)x
2
+m
2

-5m+5 (m là tham số).
1. Tìm m để đồ thò của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt;
2. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m=1.
7
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
(2 tiết)
A. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Các kiến thức cần nhớ:
1) Hàm số mũ y = a
x
: - TXĐ: R, a
x
> 0 với mọi x.
- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔




>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨



>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng:
cba,ba
)x(g)x(f)x(g)x(f

==
)
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản - Đoán nghiệm và dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
5
1
5.25.3
1x1x2
=−
−−
b)
2655
x1x1
=+
−+
c)
3x4x2x1x
5353.7
++++
−=−
d)
82.124
5x1x5xx
22
−=−
−−−−−
e)
09.66.134.6

xxx
=+−
f)
016,0.25,62.1225
xxx
=−−
Bài 2: Giải các phương trình:
a)
1x2x2
2
x
92
+−+
=
b)
1008.5
1x
xx
=
+
c)
502.5
1x
1x2
x
=
+
−
Bài 3: Giải các phương trình:
a)

2
3 2.3 15 0
x x
− − =
b)
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =

Bài 4: Giải các phương trình:
a)
1x3xx
250125
+
=+
b)
8
2
537
7
2
537
xx
=









−
+








+
c)
( ) ( )
1 2
2 1
10 3 10 3
x x
x x
− −
+ +
− = +
Bài 6: Giải các bất phương trình:
a)

077.649
xx
<−−
b)
1x
x
1x
1x
32.25,04
++
−
≤
c)
0273.43
2x2x2
>+−
++
d)
x
x
x
5.210.72.5 −<
e)
04.66.139.6
xx2xx2xx2
222
<+−
−−−
Bài 7: Giải các bất phương trình:
a)

06,1)4,0.(2)5,2(
xx
<+−
b)
09.93.83
4x
4x
xx2
>−−
+
++
d)
x
1x
6x6
)12()12(
−
+
−
−≤+
8
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

B. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Kiến thức cơ bản:
- Định nghĩa:
y
a
axxlogy =⇔=
- Hàm số: y = log

a
x có tập xác định: x > 0,
1a0
≠<
. Tập giá trị: R
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu
1a0 ≠<
- Các công thức biến đổi:
1alog
a
=
01log
a
=
xa
xlog
a
=
log
a
(N
1
.N
2
)= log
a
|N
1
| + log
a

|N
2
|
2a1a
2
1
a
NlogNlog
N
N
log −=
blog.clogblog
caa
=
alog
1
blog
b
a
=
c
a
c
log b
log b
log a
=
|N|logNlog
aa
α

α
=
Nlog
1
Nlog
a
α
=
α
a
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:



>=
≠<
⇔=
0)x(g)x(f
1a0
)x(glog)x(flog
aa











>>
>



<<
<<
⇔>
0)x(g)x(f
1a
)x(g)x(f0
1a0
)x(glog)x(flog
aa
- Phương pháp giải thường dùng:
+ Đưa về cùng cơ số
+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
[ ]
{ }
4 3 2 2
log 2log 1 log (1 3log ) 1x+ + =
b)
log ( 6) 3
x
x + =
c)

1
log (3 5) 3
x
x
+
+ =

Bài 2: Giải các phương trình:
a) log
2
(x
2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3
b) log
3
(2 - x) - log
3
(2 + x) - log
3
x + 1 = 0
c)
3 2
1
log( 8) log( 4 4) log(58 )

2
x x x x+ − + + = +
d)
1
log 10 1 log3 log( 1)
2
x x+ − = − −

e)
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)x x− = −
f)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +

Bài 2: Giải các phương trình:
a)
3 4 12
log log logx x x+ =
b)
2 3 6
log log logx x x+ =

c) log
5
(5
x

- 1). log
25
(5
x + 1
- 5) = 1 d) log
x
(5x
2
).log
5
2
x = 1
e)
)x8(log
)x4(log
)x2(log
xlog
16
8
4
2
=
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) log
3
(x + 2) > log
x+2
81 b)
2)
4

1
x(log
x
≥−
c)
15
2
3
<
−
x
x
log
d)
13
2
3
>−
−
)x(log
xx
9
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

PHẦN III. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
(3 tiết)
I. NGUYÊN HÀM
A.KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ
1. Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu
'( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈

.
Chú ý
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
: Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K.
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1)
0dx C=
∫
;
∫
+= Cxdx
2)
1
. ( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

3)
ln . ( 0)
dx

x C x
x
= + ≠
∫

4) Với k là hằng số khác 0.
a.
cos
sin
kx
kxdx C
k
= − +
∫
; b.
sin
cos
kx
kxdx C
k
= +
∫
;
c.
kx
kx
e
e dx C
k
= +

∫
; d.
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
;
5. a.
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
; b.
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫

.
3. Các phương pháp tính nguyên hàm
a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ] [ ]
( ) '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +
∫

a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
.udv u v vdu= −
∫ ∫

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
3 2
( ) 2 3 2f x x x x= − + −
; 2.
2
( ) 3 3f x x x x= + + +
; 3.
( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + +
;
4.
2
2 1
( )
3
x
f x
x x

+
=
+ +
; 5.
3 2
( ) (2 1) 5f x x x x= + + +
; 6.
5
( ) sin .cosf x x x=
;
7.
( ) .sinf x x x=
; 8.
2
( ) .sinf x x x=
; 9.
2
( ) .cosf x x x=
;
10.
( ) (2 1).cos(3 2)f x x x= + −
; 11.
( ) .cos
x
f x e x=
; 12.
2
( ) lnf x x=
.
II. TÍCH PHÂN

1. Đònh nghóa
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −
∫
2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:
1)
∫
a
a
dx)x(f
= 0; 2)
∫
a
b
dx)x(f
= -
∫
b
a
dx)x(f
;
10
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

3)
( )
b
a

f x dx
∫
+
( )
c
b
f x dx
∫
=
( )
c
a
f x dx
∫
; 4)
∫
±
b
a
dx)]x(g)x(f[
=
∫
b
a
dx)x(f
±
∫
b
a
dx)x(g

;
5)
∫
b
a
dx)x(f.k
= k.
∫
b
a
dx)x(f
; k
R∈
2. Các phương pháp tính tích phân
a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b
b
a
u a
f u x u x dx f u du=
∫ ∫
a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
( )
( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( )
b b
b

a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
∫
3
1. (x + 11) dx
;
∫
2 2
2. (2x - 3)(x - 3x + 1) dx
;
3.
∫
x x 3
e (3e + 1) dx
;
∫
3
1
4. (x + 4)dx
;
∫
2
-2
5. x(x - 1)dx
;
6.

∫
1
2 x
0
(x + e )dx
;
7.
∫
2
2
2
1
3x + x
dx
x
;
∫
2
3
1
x + 4x
8. dx
x
;
∫
1
x
3
0
9. ( x - e )dx

.
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
π
π
∫
-
1. (2sinx - cosx)dx
;
π
∫
3
2
0
1
2. (sinx + )dx
cos x
;
3.
π
∫
4
0
cosx(1 + 2tgx)dx
;
π
π
∫
3
4
2

6
1 - sin x
4. dx
sin x
;
π
∫
2
0
cos2x
5. dx
sinx + cosx
;
π
∫
2
4
0
x
6. cos dx
2
.
π
∫
2
4
0
7. tg xdx
;
π

π
∫
4
2 2
6
dx
8.
cos xsin x
;
∫
5
9. sin xcosxdx
;
π
∫
3
2
0
10. (1 + sinx) cosxdx
;
π
π
∫
4
2
6
1
11. cotgx(1 + )dx
sin x
;

π
π
∫
3
2
2
6
cos x
12. dx
sin x
.
Bài 3. Tính các tích phân sau
∫
2
1. 2x x + 1dx
;
∫
2 3
2. 5x x - 1dx
;
∫
2
3
3x + 1
3. dx
x + x + 2
;
∫
2
4x + 2

4. dx
x + x
;
∫
2
2
0
3 3
3x
5. dx
1 + x
;
∫
2
2
1
2x - 1
6. dx
x - x + 6
;
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
π
∫
0
1. xsinxdx
;
π
∫
0
2. xcosxdx

;
∫
e
1
3. xlnxdx
;
∫
2
x
1
4. xe dx
;
π
∫
2
0
5. (x + 1)sin3xdx
;
π
∫
2
0
6. xsin xdx
;
π
∫
2
0
7. xcos xdx
;

π
π
∫
3
2
4
xdx
8.
sin x
;
π
∫
4
2
0
xdx
9.
cos x
;
π
∫
2 2
2
0
10. x cos xdx
;
π
∫
2 2
2

0
11. x sin xdx
;
∫
e
2
1
12. ln xdx
.

11
Trường THPT Trần phú Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
a. Hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )y f x=
, trục
hoành và đường thẳng
,x a x b= =
là
| ( ) |
b
a
S f x dx=

∫
b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số
( )y f x=
,
( )y g x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và hai
đường thẳng
,x a x b= =
là:
| ( ) ( ) |
b
a
S f x g x dx= −
∫
2. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
a. Hàm số
( )y f x=
liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;a b
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )y f x=
, trục
hoành và hai đường thẳng
,x a x b= =
, quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
2

( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
b. Hàm số
( )x g y=
liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;c d
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )x g y=
, trục tung
và hai đường thẳng
,y c y d= =
, quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
2
( )
b
a
V g x dy
π
=
∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cđa hµm sè y = 2 - x
2
víi ®êng th¼ng (d): y = x.

Bài 2. Cho hµm sè y =
( )
3
x 1+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa
nã t¹i A(0,1).
Bài 3. Cho hµm sè y =
3x 5
2x 2
+
+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trơc Ox; Oy vµ ®êng
th¼ng x = 2.
Bài 4. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (C):
y x=
vµ c¸c ®êng th¼ng (d): x + y - 2 = 0 ; y =
0.
Bài 5. TÝnh thĨ tÝch vËt trßn xoay t¹o nªn bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 2x - x
2
, y = 0 khi ta quay
quanh:Trơc Ox.
Bài 6. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi y =
lnx
, x = 2 vµ y = 0
khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
Bài 7. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (P): y = x
2
- 2x + 2 ;tiÕp tun (d) cđa nã t¹i ®iĨm
M(3;5) vµ Oy.
Bài 8. Cho hµm sè y =

2
3x 5x 5
x 1
− +
−
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) ; tiƯm cËn cđa nã vµ x =
2 ; x= 3.
Bài 9. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y =
x
, y = 2 - x vµ y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy.
Bài 10. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y =
x
xe
, x = 1 vµ y = 0 (
0 x 1
≤ ≤
) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
12
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN IV: SỐ PHỨC
(1 tiết)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i

2
= -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=
=
⇔
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
);( bau =
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)

0 x
5. Cộng và trừ số phức :
. (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
. (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)R∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+ 'uu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→
− 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)R∈
.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔

; z là số ảo
zz −=⇔
8. Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡
:
zz
zz
z
zz
zz

z
z ''
'
'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==







13
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

10. Căn bậc hai của số phức :
z là căn bậc hai của số phức
ω

ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi







=
++
=
⇔




=
=−
⇔
x
b
y
baa
x
bxy
ayx
2
2
2
22
2
22
(a, b, x, y
)R∈
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w
0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
* Hai căn bậc hai của a < 0 là
ia.−±
11. Phương trình bậc hai Az
2

+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0≠
).
ACB 4
2
−=∆
a)
0≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là 1 căn bậc hai của
)∆
b)
0=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
2
−
12. Dạng lượng giác của số phức :
* z =
)sin(cos
ϕϕ
ir +

(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b
)0, ≠∈ zR









=
=
+=
⇔
r
b
r
a
bar
ϕ
ϕ
sin
cos
22
+
ϕ
là một acgumen của z.
+
),( OMOx=

ϕ
13. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
)'sin'(cos'',)sin
ϕϕϕϕ
irzi +=+
thì :
a)
)'sin()'[cos('.'.
ϕϕϕϕ
+++= irrzz
]
b)
)]'sin()'[cos(
''
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r
z
z
14. Công thức Moa-vrơ :
*
Nn ∈
thì
)sin(cos)]sin(cos[
ϕϕϕϕ
ninrir
nn
+=+

15. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
)sin
ϕϕ
i+
(r > 0) là
)]
2
sin()
2
[cos()
2
sin
2
(cos
π
ϕ
π
ϕϕϕ
+++=+± irir
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
b) (1 + i)
2
– (1 – i)
2
ĐS: 0 và 4
c) (2 + i)
3

– (3 – i)
3
ĐS: -16 và 37
14
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

d)
i
i
i
i −
−
+
− 2
1
3
ĐS :
2
33 −
và
2
3122 −−
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
a) z
2
– 2z + 4i ĐS: x
2
– y
2
– 2x và 2(xy – y + 2)

b)
1−
+
iz
iz
ĐS:
22
)1(
2
++
−
yx
xy
và
22
122
)1( ++
−
−
yx
xy
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
i
i
z
i
i
+
+−

=
−
+
2
31
1
2
ĐS:
i
25
4
25
22
+
b)
0)
2
1
](3)2[( =+++−
i
izizi
ĐS: -1 + i ; 1/2
c)
izz 422 −=+
ĐS: 2/3 + 4i
d)
0
2
=+ zz
ĐS: 0, i, -i

e)
0
2
2
=+ zz
ĐS: bi (b
)R∈
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện
sau: a)
43 =++ zz
ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
b)
izz −+− 1
= 2 ĐS: y =
2
31±
c) 2|z – i| =
izz 2+−
ĐS: y =
4
2
x
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn :
1
4
=







−
+
iz
iz
ĐS: 0, 1 , -1
Bài 6: Phân tích ra thứa số :
a) a
2
+ 1 ĐS: (a – i)(a + i)
b) 2a
2
+ 3 ĐS:
)32)(32( iaia +−
c) 4a
4
+ 9b
2
ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi)
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a)
i21
3
+
ĐS:
i
5
6
5

3
−
b)
i
i
−
+
1
1
ĐS: i
c)
mi
m
ĐS: -i
m
d)
aia
aia
−
+
ĐS:
i
a
a
a
a
1
2
1
1

+
+
+
−
e)
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
ĐS:
i
5
3
5
4
+
f)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
ĐS:
i
17

9
34
21
+

Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) -1 + 4
i.3
ĐS:
).23( i+±
b) 4 + 6
i.5
ĐS:
).53( i+±
c) -1 - 2
i.6
ĐS:
).32( i−±
d) -5 + 12.i ĐS:
±
(2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
a)
01.3
2
=+− xx
ĐS:
i
2
1

2
3
±
b)
02.32.23
2
=+− xx
ĐS:
)1(
6
6
i±
c) x
2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
Bài 10: Giải các hệ phương trình :
15
Trường THPT Trần phú Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

a)



−=+
+=+
izz
izz
25
4
2

2
2
1
21
ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
b)



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a)
i.322 +−
ĐS:
3
2
π
b) 4 – 4i ĐS:
4

3
π
c) 1 -
i.3
ĐS:
3
π
−
d)
4
sin.
4
cos
ππ
i−
ĐS:
4
π
−
e)
8
cos.
8
sin
ππ
i−−
ĐS:
8
5
π

−
f)
)1)(3.1( ii +−
ĐS:
12
π
−
Bài 12: Thực hiện phép tính :
a) 3(cos20
o
+ isin20
o
)(cos25
o
+ isin25
o
) ĐS:
2
23
.
2
23
i+
b) 5
)
4
sin.
4
(cos3).
6

sin.
6
(cos
ππππ
ii ++
ĐS: 15(cos
)
12
5
sin.
12
5
ππ
i+
c)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
ĐS:
6
6
.
2
2
i+

Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a)
31 i−
ĐS:






−
+






−
3
sin.
3
[cos2
ππ
i
]
b) 1 + I ĐS:







+
4
sin.
4
cos.2
ππ
i
c)
)1)(31( ii +−
ĐS:
)]
12
sin(.)
12
[cos(22
ππ
−+− i
d)
i
i
+
−
1
31
ĐS:
)]
12

7
sin(.)
12
7
[cos(2
ππ
−+− i
e)
)3.(.2 ii −
ĐS:
)
3
sin.
3
(cos4
ππ
i+
f)
i22
1
+
ĐS:
)]
4
sin()
4
[cos(
4
2
ππ

−+− i
g) z =
ϕϕ
cos.sin i+
ĐS:






−+






−
ϕ
π
ϕ
π
2
sin
2
cos i
Bài 14: Tính :
a) (cos12
o

+ isin12
o
)
5
ĐS:
2
3
2
1
i+
b) [
00
30sin30(cos2 i+
)]
7
ĐS:
24.64 i−−
c)
6
)3( i−
ĐS: -2
6
d) (1 + i)
16
ĐS: 2
8
16