Thi thử ĐH 2010 lần 2 - Thanh Oai B - Hà Nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn: Toán. Khối A, B.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I. (2 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x
= − +
(1).
1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện
tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).

Câu II. (2 điểm)
1) Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
.
2) Giải phương trình lượng giác:
2
1 sin 2
1 t an2x
os 2
x
c x
−
+ =
.
Câu III. (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

cosy x
=

và
2
2
3
4
y x x
π
π
= − −
Câu IV . (1 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
) thuộc
đường thẳng B
1
C
1

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA
1
và B
1
C
1
theo a.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
4 4
3
2 2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
Câu VI . (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(3; 0), đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0,
đường thẳng d
2
: x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt d
1
, d
2
lần
lượt tại A và B sao cho MA = 2MB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0,
(Q): 2x – y + z + 7 = 0, đường thẳng d:
1 7

3
1 2
x t
y t
z t
= +


=


= −

. Viết phương trình mặt cầu (S) cắt (Q)
theo thiết diện là hình tròn có diện tích bằng
20
π
và có tâm là giao của d với (P) .
Câu VII . (1 điểm) Giải hệ phương trình :
2
3
2
2 16
log log ( )
y x
x y
y xy
+

=



=


HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………………………….……. Số báo danh: ……………
Đề thi thử lần 2
(Tháng 03 năm 2010)
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 TRƯỜNG THPT THANH OAI B
THÁNG 03 NĂM 2010
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I.1
Với m = 1 hàm số là:
4 2
2 1y x x
= − +
+) TXĐ: R
+) Giới hạn, đạo hàm:
lim lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= = +∞
3
0
' 4 4 ; ' 0
1

x
y x x y
x
=

= − = ⇔

= ±

+) BBT:
x -
∞
- 1 0 1 +
∞
y' - 0 + 0 - 0 +
y +
∞
1 +
∞
0 0
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0), (1; +
∞
); nghiechj biến trên các khoảng
(-
∞
; - 1), (0; 1)
Hàm đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 1, cực tiểu tại x =
±

1, y
CT
= 0
+) ĐT: Dạng đồ thị
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15
-10
-5
5
10
15
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2
+) Ta có y’ = 4x
3
– 4m
2
x ; y’ = 0

⇔
2 2
0x
x m
=


=

; ĐK có 3 điểm cực trị : m
≠
0
+) Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m
4
), C(m ; 1 – m
4
) ;
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m
4
).
+)
5
4
1
. 32 2
2
ABC
S AI BC m m m m= = = = ⇔ = ±
V
(tm)

0,25
0,25
2,25
0,25
II.1
+) ĐK:
1x
≥ −

( ) ( )
( ) ( )
2
3 2 1 2 4 3 2 1 1 3 1 1 0
1 1 2 3 0
x x x x x x x x x x
x x x
+ + + = + + + ⇔ + − − + + − =
⇔ + − − + =
0
0
1 1 0
( )
1 1
3 2
3 / 4
x
x
x x
tm
x x

x x
x
=



≥

+ = =


⇔ ⇔ ⇔




= =


+ =






= −





0,25
0,25
0,5
II.2
+) K:
,
4 2
x k k Z

+
2
2
1 sin 2
1 t an2x os 2 sin 2 os2 1 sin 2
os 2
x
c x xc x x
c x

+ = + =
2
sin 2 sin 2 sin 2 . os2 0x x x c x =
sin 2 (sin 2 os2 1) 0x x c x =
sin 2 0
2
( , )
sin 2 os2 1
;
2 4

x k
x
k l Z
x c x
x l x l




=

=




=


= + = +


+) Kt hp K ta c nghim ca phng trỡnh l
, ;( , )
2
x k x l k l Z


= =
0,5

0,25
0,25
III
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15
-10
-5
5
10
15
Chng minh c hai ng cú ỳng hai giao im honh
2


v
3
2

2 2 3
2
2 3 2

2
3 1 3 4
2
2 cos 2. sinx 4
4 3 2 4 3
2
S x x x dx x x x








= + + = + + = +
ữ




0,25
0,25
0,5
IV
Do
)(
111
CBAAH
nên góc

HAA
1

là góc giữa AA
1
và (A
1
B
1
C
1
), theo giả thiết
thì góc
HAA
1

bằng 30
0
. Xét tam giác vuông AHA
1
có AA
1
= a, góc
HAA
1

=30
0

2

3
1
a
HA =
. Do tam giác A
1
B
1
C
1
là tam giác đều cạnh a, H thuộc B
1
C
1
và
2
3
1
a
HA =
nên A
1
H vuông góc với B
1
C
1
. Mặt khác
11
CBAH
nên

)(
111
HAACB
Kẻ đờng cao HK của tam giác AA
1
H
thì HK chính là khoảng cách giữa AA
1
và B
1
C
1
Ta có AA
1
.HK = A
1
H.AH
4
3
.
1
1
a
AA
AHHA
HK ==
1
im
V
4 4 4 4

3 2 2 2 9
2 2 2 2
c a b c a b
a b b c c a a b b c c a

+ + + + + + +
ữ ữ ữ
+ + + + + +

( )
2 2 1
2 2 9
2 2
a b c
a b b c c a

+ + + +
ữ
+ + +

1
im
A
1
A B
C
C
1
B
1

K
H
( )
1 1 1
9
2 2
2 2
b b
a c c a
b b
c a
a c
 
 ÷
 
   
⇔ + + + + + + + ≥
 ÷
 ÷  ÷
 
+
   
 
 ÷
+ +
 
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho ba số dương
( )
, ,
2 2

b b
a c c a
   
+ + +
 ÷  ÷
   
và
1 1 1
, ,
2 2
b b
c a
a c
+
+ +
rồi nhân hai BĐT cùng chiều ta có đpcm.
VI.1
+) Dạng tham số của d
1
và d
2
:
1 2
: , :
2 2 3
x t x u
d d
y t y u
= =
 

 
= − + = − −
 
+) Tọa độ A(t; - 2 + 2t), B(u; - 3 – u).
( ) ( )
3; 2 2 ; 3; 3MA t t MB u u= − − + = − − −
uuur uuur
+) TH1:
2.MA MB=
uuur uuur
: Tìm được
( )
7 16 20
, ; : 4;5
3 3 3
d
t MA VTCPd u
 
= − = − − ⇒ =
 ÷
 
uuur uur

3
: 5 4 15 0
4 5
x y
d x y
−
⇒ = ⇔ − − =

+) TH2:
2.MA MB= −
uuur uuur
: Tìm được
( )
17 8 28
, ; : 2;7
3 3 3
d
t MA VTCPd u
 
= = ⇒ =
 ÷
 
uuur uur

3
: 7 2 21 0
2 7
x y
d x y
−
⇒ = ⇔ − − =
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.2
+) Tâm I của mặt cầu là giao của d và (P) nên tọa độ I là nghiệm của hệ
phương trình:

1 7 0
3 1
(1;0;1)
1 2 0
5 4 6 0 1
x t t
y t x
I
z t y
x y z z
= + =
 
 
= =
 
⇔ ⇒
 
= − =
 
 
− + − = =
 
+) Gọi h là khoảng cách từ I đến mp(Q), ta có:
2
2 2 2
2.1 0 1 7
10 50
3
6
2 ( 1) ( 1)

h h
− + +
= = ⇒ =
+ − + −
+) Thiết diện của (Q) với mặt cầu (S) là hình tròn có diện tích bằng
2 2
20 20 . 20r r
π π π
⇒ = ⇒ =
(r là bán kính hình tròn)
+) Gọi R là bán kính mặt cầu (S), ta có
2 2 2
50 110
20
3 3
R h r
= + = + =

Suy ra phương trình mặt cầu (S):
( ) ( )
2 2
2
110
1 1
3
x y z
− + + − =
0,25
0,25
0,25

0,25
VII
+) ĐK:
0 1,0 1x y
< ≠ < ≠
+)
2
2
3
2
3 4 (1)
2 16
2log 1 log (2)
log log ( )
y x
x y
x y
y x
y x
y xy
+


+ =
=
 
⇔
 
= +
=





+) Đặt
2
2
1
1
log (2) : 2 1 2 1 0
1
2
x
t
x y
y t t t t
t
t
x y
=

=


= ⇒ = + ⇔ − − = ⇔ ⇒


= −
=



+) Với x = y, kết hợp (1) ta được x = y = 1 (loại) và x = y = 3 (nhận).
+) Với x = y
-2
, kết hợp với (1) ta được y
2
= 1 (loại), y = - 4 (loại)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y =3.
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú: - Các cách giải khác với cách giải trong đáp án mà vẫn đúng, đủ thì cũng cho
điểm tối đa.