MA TRẬN_ ĐỊNH THỨC ppsx

Chơng 2
Ma trận_ Định thức

2.1 Ma trận
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm về ma trận
Ma trận A có m hàng n cột đợc ký hiệu là
A=














mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211

hoặc: A= (a
ij
)
m
ì
n
(
njmi ,1,,1 ==
)
Ma trận không, ký hiệu , ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I.
Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta gọi: Vet(A)=

=
n
i
ii
a
1
2. Các phép toán trên ma trận
a. Hai ma trận bằng nhau
A=(a
ij
)
m
ì

n
=B=(b
ij
)
m
ì
n
a
ij
=b
ij
(
njmi ,1,,1 ==
)
b. Phép cộng hai ma trận
Tổng C=A+B với A=(a
ij
)
m
ì
n
và B=(b
ij
)
m
ì
n
, là một ma trận cùng
cấp C=(c
ij

)
m
ì
n
, có: c
ij
=a
ij
+b
ij
(
njmi ,1,,1 ==
)
Tính chất :
1. Tính giao hoán: A+B=B+A
2. Tính kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C)
3. A+ = +A=A
c. Phép nhân một số với một ma trận
C=k.A, với: c
ij
=k.a
ij
(
njmi ,1,,1 ==
)
Tính chất:
1. Tính kết hợp: (k.t)A=k(t.A)
2. Tính phân bố với phép cộng ma trận: k.(A+B)=k.A+k.B
3. Tính phân bố với phép cộng các số: (k+t).A=k.A+t.A
d. Phép trừ hai ma trận C=A-B=A+(-1).B

e. Phép nhân hai ma trận
Với A=(a
ik
)
m
ì
n
, B=(b
kj
)
n
ì
p
, C=(c
ij
)
m
ì
p
=A.B trong đó:
44
c
ij
=
a b
ik kj
k
n
=

1
(
njmi ,1,,1 ==
)
Tính chất:
1. Tính kết hợp: (A.B).C=A.(B.C)
2.Tính phân bố với phép cộng:
(A+B).C=A.C+B.C A(B+C)=AB+AC
3. Với mọi ma trận vuông A cấp n thì
a. A.I=I.A=A
b. Ta có : A
k
=A.A A (k lần) với quy ớc A
0
=I
f. Đa thức trên các ma trận vuông
Cho đa thức P
n
(x)=a
0
+a
1
x+ +a
n
x
n

và ma trận vuông A cấp m, khi đó:
P
n

(A)=a
0
I+a
1
A+ +a
n
A
n
gọi là một đa thức trên A.
g. Chuyển vị
Chuyển vị của A=(a
ij
)
m
ì
n
là A
T
=(a
ij
)
n
ì
m
=(a
ji
)
n
ì
m

3. Một số ma trận dạng đặc biệt
a. Ma trận tam giác trên U và ma trận tam giác dới L
U=
u u u
u u
u
n
n
nn
11 12 1
22 2
0
0 0

L=
l
l l
l l l
n n nn
11
21 22
1 2
0 0
0

















c. Ma trận đối xứng
A đối xứng nếu: A
T

=A, phản đối xứng nếu: A
T
=-A.
Ma trận vuông đối xứng thực A=(a
ij
)
nxn
gọi là xác định dơng
nếu x=(x
i
)
nx1
ta có x
T
Ax0, dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=.
d. Ma trận khối
Các đờng thẳng đứng và các đờng nằm ngang sẽ chia một
ma trận A thành các khối hình chữ nhật, mà mỗi khối là một ma
trận có cấp nhỏ hơn cấp của ma trận A, khi đó ta gọi A là ma trận
khối.
Các phép toán trên ma trận khối thực hiện nh những ma trận
thờng, hoặc có thể thực hiện theo các quy tắc ma trận khối.
B. Bài tập
1. Thực hiện các phép nhân ma trận sau
45
a.
1 3 2
3 4 1
2 5 3

2 5 6
1 2 5
1 3 2










b.

410
321
2 1
3 3
1 0

21
03
2. Cho P
2
(x)=2+x-x
2
và A=








11
21
Tính P
2
(A).
3. Cho A=







1 2
1 3

tìm A
3
=A.A.A
4. Cho A=
2 1
3 1








. Tìm A
n
và tính (A)=2.I+A-3A
2
+A
3
.
5. Tính A
n
biết A=
2 1
3 2

6. Cho B=
cos sin
sin cos
x x
x x







. Tính B
n
và (B)=2.I+B-2B
2
+B
3
.
7. Cho C=
mmì

00 000
10 000

00 100
00 010
Tìm C
m
.
8. Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và A.B=B.A. Chứng
minh rằng
a a. (A+B)(A-B)=A
2
-B
2
b. A
n+1
-B
n+1
=(A

n
+A
n-1
B+ +AB
n-1
+B
n
)(A-B)
9. Chứng minh rằng, nếu AB=BA (A
0
=B
0
=I )thì:
a. (A+B)
2
=A
2
+2.A.B+B
2
b. (A+B)
n
=
C A B
n
k n k k
k
n

=

0

c. áp dụng tính
n








30
13
10. Chứng minh rằng không tồn tại A,B thoả mãn đẳng thức:
46
AB-BA=I
11. Tìm các ma trận vuông cấp hai X thoả mãn:
a. X
2
= b. X
2
=I
12. Chứng minh rằng A,B là hai ma trận vuông cùng cấp thì
vet(A+B)=vet(A)+vet(B)
13. Cho ma trận khối A=
B C
I

, trong đó các ma trận
trong khối đều có cấp nxn chứng minh rằng nếu B-I không suy
biến thì với k1 ta có:
A
k
=
B B i B I C
I
k k
( )( )






1

14. Cho ma trận khối A=
B
C I

Dùng quy nạp toán học tìm biểu thức của A
k
.
15. Thực hiện nhân hai ma trận sau bằng cả hai cách, dùng ma
trận khối và không dùng ma trận khối

1 0 1
1 1 2
2 1
0 1
1 0 1
1 1 0
2 1 0
0 1 1
1 2
0 1
2 1
1 1

16. Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các
ma trận tam giác dới cấp nxn đóng đối với các phép toán cộng,
nhân ma trận và nhân một số với một ma trận.
17. Nếu ma trận vuông A cấp nxn phân tích đợc thành tích:
A=L.U trong đó L là ma trận tam giác dới , U là ma trận tam
giác trên, thì ta nói A có một phân tích L.U. Giả sử A một phân
tích LU, tìm biểu thức liên hệ giữa a
ij
với l

ij
và u
ij
.
18. Chứng tỏ ma trận A=
0 1
1 1






không có phân tích LU.
19.Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông đối xứng xác
định dơng cấp n thì tồn tại duy nhất một ma trận tam giác dới L
47
mà A có phân tích A=L.L
T
, tìm biểu diễn các phần tử của L qua
các phần tử của A.
C. Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn
1. a.

792
0103
551
b.










618
1016
2. Ta có: A
2
=

11
21








11
21
=










12
41
Vậy P
2
(A)=2

10
01
+








11
21
-

12
41
=









41
24
3. A
3
=








379
161

4. Ta có A=
2 1
3 1








, A
2
=










23
11
, A
3
=

10
01
=-I
A
4
=










13
12
=-A, A
5
=

23
11
=-A
2
, A
6
=I
Vậy: n=6k:A
n
=








10
01

n=6k+1:A
n
=










13
12
n=6k+2:A
n
=










23
11

n=6k+3:A
n
=










10
01
n=6k+4:A
n
=










13
12

n=6k+5:A
n
=










23
11
(A)=










79
32
5. Ta có: A
2

=A.A=
2 1
3 2








2 1
3 2








=
1 0
0 1

= I
Nếu n=2k ta có A
n
=A
2k
=A
2
A
2
A
2
=I
Nếu n=2k+1 ta có A
n
=A
2k
.A=A
2
A
2
A
2
A=IA=A
48
6. a. Ta cã: B
2
=
cos sin
sin cos
x x

x x
−






cos sin
sin cos
x x
x x
−






=
cos cos sin sin cos sin sin cos
sin cos cos sin sin sin cos cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x
− − −
+ − +







=
cos sin
sin cos
2 2
2 2
x x
x x
−






Gi¶ sö : B
n-1
=
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
n x n x
n x n x
− − −
− −







1 1
1 1
ta cã: B
n
=
cos( ) sin( )
sin( ) cos( )
n x n x
n x n x
− − −
− −






1 1
1 1
cos sin
sin cos
x x
x x
−







=
cos( ) cos sin( ) sin cos( ) sin sin( ) cos
sin( ) cos cos( ) sin sin( ) sin cos( ) cos
n x x n x x n x x n x x
n x x n x x n x x n x x
− − − − − − −
− + − − − + −






1 1 1 1
1 1 1 1
=
cos sin
sin cos
nx nx
nx nx
−






ϕ(B)=









+−++−
+−−+−+
xxxxxx
xxxxxx
3cos2cos2cos23sin2sin2sin
)3sin2sin2(sin3cos2cos2cos2
7. C
n
=





















0 000

1 000

0 10 0
0 01 0
n<m, C
n
=θ víi mäi n≥m.
Cét n+1
8. a. (A+B)(A-B)=A
2
-B
2
(Nh©n b×nh thêng)
b. A
n+1
-B
n+1
=(A
n
+A
n-1
B+ +AB

n-1
+B
n
)(A-B)
Nh©n vÕ ph¶i råi íc lîng.
9. a. (A+B)
2
=A
2
+2.A.B+B
2
(Nh©n b×nh thêng)
b Víi m=1 ®¼ng thøc ®óng.
Gi¶ thiÕt ®¼ng thøc ®óng víi m-1, khi ®ã
49
(A+B)
m
=(A+B)
m-1
(A+B)=(
C A B
m
k m k k
k
m


=

1
1
0
1
)(A+B)
=
C A B
m
k m k k
k
m


=


1
0
1
+
C A B
m
k m k k
k
m

+
=

1
1 1
0
1
=
C A
m
m k


1
0
+
( )
C C A B C B
m
k
m
k m k k
m
m m
k
m




=

+ +

1 1
1
1
1
1
1
vì
C C C C
m m m
m
m
m


= = = =
1
0 0
1
1
1

C C C
m
k
m
k
m
k

+ =
1
1
1
nên (A+B)
m
=

=

m
k
kkmk
m
BAC
0
c. Viết
3 1
0 3






=
3 0
0 3

+
0 1
0 0







Đặt các ma trận tơng ứng là A,B,C ta có :A=B+C với B
là ma trận đờng chéo. Do BC=CB, áp dụng a. đợc
A
n
=(B+C)
n
=
C A B
n
k n k k
k
n

=

0
Vì B
n
=
3 0
0 3
n
n






và C
0
=I,C
1
=C ,C
k
= (k >1)
Thay vào b. ta đợc
A
n
=(B+C)
n
= B
n
+n B

n-1
C
=
3 0
0 3
n
n






+n
3 0
0 3
1
1
n
n








0 1
0 0

=
3 3
0 3
1n n
n
n







10. Đặt C=AB, D=BA ta có:
c
11
=a
11
b
11
+a
12
b
21

+ +a
1n
b
n1
c
22
=a
21
b
12
+a
22
b
22
+ +a
2n
b
n2

c
nn
=a
n1
b
1n
+a
n2
b
2n
+ +a

nn
b
nn
Cộng hai vế ta đợc
Vet(C)=

==
++
n
k
knnk
n
k
kk
abab
11
11

=d
11
+ +d
nn
=Vet(D)
Từ đó Vet(AB-BA)=0 còn Vet(I)=n nên AB-BAI.
50
11. a. X=

00
00
và X=










a
c
a
ca
2
b. X=

10
01
và X=












a
b
a
ba
2
b0
12. Ta có:

)()()()(
111
BVetAVetbabaBAVet
n
i
ii

n
i
ii
n
i
iiii
+=+=+=+

===
13. Dùng quy nạp và khai triển (B
n
-I)=(B
n-1
+B
n-2
+ +B+I)(B-I)
14. Quy nạp và khai triển (B
n
-I)=(B
n-1
+B
n-2
+ +B+I)(B-I):

( )

=

IIBIBC
B
A
k
k
k
1
)(

15.
( )( )

61
10
12
20
232
104
233
313
52721
16. Giả sử A=(a
ij
) và B=(b
ij
) là hai ma trận tam giác trên, khi
đó: a
ij
=b
ij
=0 khi (j<i:1j<in) do đó: c
ij
=a
ij
+b
ij
=0 (j<i:1j<in),

vậy C=A+B là ma trận tam giác trên.

0
1
==

=
n
k
kjikij
bac
do



>=
<=
jkkhib
ikkhia
kj
ik
0
0
(j<i:1j<in)
Vậy C=A.B là ma trận tam giác trên.
Tơng tự cho ma trận tam giác dới.
17. Giả sử A có phân tích A=L.U

, hay
51

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
=

nnnn
lll
ll
l


0
0 0
21
2221
11

nn
n
n
u
uu
uuu
00

0

222
11211
Khi đó theo quy tắc nhân ma trận ta có:

),1,(
1
njiula
n
k
kjikij
==

=
nhng do:



<=
<=
kjkhiu
kikhil
kj
ik
0
0
Nên ta có:
),1,(
),min(
1
njiula
ji
k
kjikij
==

=
18. Từ biểu thức ma trận

0 1
1 1

=
















22
1211
2221
11
0
0
u
uu
ll

l
ta có:
l
11
u
11
=0 , l
11
u
12
=1 suy ra l
11
0 và u
11
=0
l
21
u
11
=1 suy ra u
11
0 vô lý.
19. Giả sử A có phân tích A=L. L
T
, hay

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
=

nnnn
lll
ll
l


0
0 0
21
2221
11

nn
n
n
l
ll
lll
00

0

222
12111
Vì A xác định dơng nên các l
ii
đều khác 0. Xét các phần tử
trên cột j=1, vì A xác định dơng nên a
11
>0, ta có:
2
11111111
. llla ==
nên
1111
al =
1111
.
ii
lla =

nên
11
1
11
1
1
l
a
l
a
l
ii
i
==
Xét các phần tử trên cột j=2, ta có:

2
22
2
212222122122
lllllla +=+=
nên
2
212222
lal =

2221212 iii
lllla +=
nên
22

1212
2
l
lla
l
ii
i

=
(i=3,,n)
52
Với j=
n,1
ta có:


==
+==
1
1
22
1
j
k
jkjj
j
k
kjjkjj
lllla
nên

=
=
1
1
2
j
k
jkjjjj
lal


==
+==
1
11
j
k
ikjkijjj
j
k
ikjkji
lllllla
nên

=


=
1
1
1
j
k
ikjkji
jj
ij
lla
l
l
(i=j+1, ,n)
Vì các biểu thức tính l
ji
và l
ij
đều xác định duy nhất nên L là
duy nhất.
2.2 Định thức
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa định thức
Định thức của ma trận vuông A =(a
ij

) cấp n ký hiệu: det(A)
hay Alà số: =
sign a a a
l l nl
n



( )
1 2
1 2

trong đó tổng lấy theo mọi hoán vị ={l
1
, ,l
n
} của {1, ,n}. Nh
vậy định thức của ma trận A cấp n là tổng của n! số hạng, mỗi số
hạng là tích của n phần tử của A lấy trên n hàng và n cột khác
nhau, với sign()=1 nếu có số nghịch thế chẵn, sign()=-1 nếu
có số nghịch thế lẻ.
Nếu det(A)0 ta nói rằng ma trận A không suy biến, nếu
det(A)=0 ta nói ma trận A suy biến.
2. Công thức tính các định thức cấp hai và ba
a. Định thức của ma trận vuông cấp 3
det(A)=
333231
232221
131211
aaa

aaa
aaa
=a
11
a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+a
13
a
21
a
32
-a
11
a
23
a
32
-a
12
a
21

a
33
-a
13
a
22
a
31
Trong đó các thừa số và dấu đợc tính theo quy tắc Xariut
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
21
a

22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
Các số hạng dấu + Các số hạng dấu -
53
b. Định thức của ma trận cấp 2 và cấp 1
detA=
2221
1211
aa
aa
=a
11
a
22
-a
12
a

21
, det(A)=
a
= a
3. Các tính chất của định thức
Tính chất 1: det(A)=det(A
T
)
Do tính chất 1, mọi tính chất đúng cho hàng cũng đúng cho
cột và ngợc lại.
Tính chất 2: Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hay một
cột) với số k thì định thức cũng đợc nhân với số k, hay thừa số
chung của một hàng hoặc cột có thể đa ra ngoài dấu định thức.
Tính chất 3: Nếu hàng i (hay cột j) có: a
ij
=a
ij
+a
ij
, thì:
det(A) =det(A)+det(A)
trong đó A là ma trận nhận đợc từ A bằng cách thay a
ij
bởi a
ij
,
A nhận đợc từ A bằng cách thay a
ij
bởi a
ij

.
Tính chất 4: Nếu đổi chỗ hai cột (hoặc hai hàng) cho nhau thì
định thức đổi dấu.
Hệ quả: 1. Nếu có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau thì
định thức bằng 0.
2. Nếu một cột (hoặc hàng) là tổ hợp tuyến tính của
các cột khác (hoặc các hàng khác) thì định thức bằng 0.
Tính chất 5: Nếu cộng thêm vào một cột (hoặc một hàng) một
tổ hợp tuyến tính của các cột khác(của các hàng khác) thì định
thức không đổi.
Chú ý: Các tính chất nói trên đợc dùng để tính định thức.
4. Khai triển định thức theo các phần tử của hàng hoặc cột
Cho =det(A). Kí hiệu
ij
là định thức nhận đợc từ bằng
cách bỏ đi hàng i và cột j ( hàng và cột chứa phần tử a
ij
) và gọi là
định thức con tơng ứng của phần tử a
ij
, và gọi A
ij
=(-1)
i+j

ij
là
phần phụ đại số của a
ij
.

Khi đó với mỗi hàng i hoặc cột j ta luôn có:
=
( ) =
+
==

1
11
i j
ij ij ij ij
j
n
j
n
a a A
(i=
n,1
)
=
( ) =
+
==

1
11
i j
ij ij ij ij
i
n
i

n
a a A
(j=
n,1
)
Hệ quả :
a.
a A
kj ij
j
n
=

1
=0 với ik
54
b.
a A
ik ij
i
n
=

1
=0 với jk
5. Khai triển định thức dùng công thức Laplace
Cho ma trận vuông cấp n: A=(a
ij
)
n

ì
n
và một số k: 1 k n.
Với các số nguyên: 1 i
1
<i
2
< <i
k
n và 1 j
1
<j
2
< <j
k
n, ký
hiệu định thức con cấp k của ma trận nhận đợc bằng cách lấy
các phần tử nằm trên các hàng i
1
,i
2
, ,i
k
, và các cột j
1
,j
2
, ,j
k
của

ma trận A là:
( )


A
j j
i i
k
k
1
1
; định thức con cấp n-k của ma trận nhận
đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi các hàng i
1
,i
2
, ,i
k
và các cột
j
1
,j
2
, ,j
k
là:
k
k
ii
jj

A


1
1
)(

Định lý 2.2:(Định lý Laplace)
Với mọi k mà 1kn và với các chỉ số hàng i
1
,i
2
, ,i
k
cố định
bất kỳ: 1i
1
<i
2
< i
k
n ta có:
det(A)=

+++++

k
kk
jj
jjii

1
11
)1(
k
k
ii
jj
A


1
1
)(
k
k
ii
jj
A


1
1
)(

det(A)=

+++++

k
kk
ii
jjii


1
11
)1(
k
k
ii
jj
A


1
1
)(
k
k
ii
jj
A


1
1
)(

6. Định thức của một số ma trận dạng đặc biệt
a. Định thức của ma trận tam giác
=
nn
n
n
u
uu
uuu
00

0

222
11211
=

=
n
i
ii
u
1
, =
nnnn
ull
ll
l

0
0 0
21
2221
11
=

=
n
i
ii
l
1
Khi tính định thức, thờng hay dùng các tính chất của định thức
biến đổi đa chúng về dạng tam giác trên hoặc tam giác dới rồi áp
dụng kết quả trên.
b. Định thức của ma trận tích
Cho A,B là các ma trận vuông cấp n, và C=A.B. Ta có:
det(C)=det(A).det(B).
B. Bài tập
1. Tính định thức cấp 3 áp dụng công thức xariut
55
a.
1 1 2
1 3 4
5 3 3
−
−
− −
b.

2 1 2
1 0 2
2 2 4
−
−
c.
3 4 5
8 7 2
2 1 8
−
−
−
d.
1 2 4
2 7 2
2 1 8
− −
−
2. Chøng tá r»ng
D2=
a b a b
a b a b
1 1 1 2
2 1 2 2
+ +
+ +
= (a
1
-a
2

)(b
2
-b
1
)
3. a.Víi e =cost+i.sint ∈C, tÝnh ∆=
0
1
10
2
2
ee
ee
e

b b. Víi e=
cos sin
2
3
2
3
π π
+ i
tÝnh ∆=
1
1
1
2
2
2

ee
ee
ee
4. TÝnh ®Þnh thøc
c a.
1
1
1
2
2
2
a a
b b
c c
b.
1
1
1
a bc
b ca
c ab
c.
22
22
22
acacac
cbbccb
baabba
++
++

++
d d.
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
sin( ) sin( ) sin( )
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
− − −
+ + +
+ + +
5. T ×m x ®Ó ma trËn suy biÕn
A=
1
1
1 1 1
2
x x
a x










6. Chøng minh:

56
a.
1
1
1
1
1
1
2
2
2
a bc
b ca
c ab
a a
b b
c c
=
b.
1
1
1
2
2
2
a a
b b
c c
=
(b-a)(c-a)(c-b)

c.
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
a a
b b
c c
a b c
a a
b b
c c
= + +( )
d.
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
a b c
a b c
a b c
+ + +
+ + +

+ + +
=
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
7. TÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp bèn
a.
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
b.
2 3 4 1
4 2 3 2
3 1 4 3
−
−
−
a b c d
c.
a
b
c
d
3 0 5
0 0 2
1 2 3
0 0 0

d.
1 0 2
2 0 0
3 4 5
0 0 0
a
b
c
d
e.
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
− −
− −
f.
abcd
badc
cdab
dcba
−
−
−
−
g.
x
x

x
x
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
h.
0
0
0
0
a b c
a d e
b d f
c e f
−
− −
− − −

57
i.
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3

1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
8. Dùng công thức truy toán hoặc quy nạp tính định thức
a. Định thức Wandermon W
n
=
1 1 1
1 2
1
1
2
1 1




x x x
x x x
n
n n
n

n

b.
21000
12 000

00 210
00 121
00 012
c.
a b ab
a b ab
a b
a b ab
a b
+
+
+
+
+
0 0 0
1 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1

9. áp dụng các tính chất của định thức đa các định thức sau về
dạng tam giác trên rồi tính
a. D
n
=
x a a a
a x a a
a a a x
a a a a
n
n
n
1 2 1
1 2 1
1 2 3
1 2 3
1
1
1
1







b. V
n

=
a x x x
x a x x
x x a x
x x x a
n
1
2
3






Với a
i
x (i=1,2, ,n)
10. Phân tích thành tổng và đặt nhân tử chung tính định thức
58
Q
n
=
x n
x n
x n
x
n
1
2

3
2 3
1 3
1 2
1 2 3





11. TÝnh ®Þnh thøc ¸p dông c¸c ®Þnh thøc ®· biÕt
a.U
n
=
0 1

01
01
11 110
xxx
xx x
xxx
b. G
n
=
x n
x n
x n
x n
+

+
+
+
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3





e c. C
n
=
0

0
0
xxx
xxx
xxx
víi x=cost-i.sint ∈C.
12. TÝnh ®Þnh thøc cÊp n
a.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
+
+

+
x
x
x




b.
1 2 3
1 0 3
1 2 0
1 2 3





n
n
n
n
−
− −
− − −
c.
x a a a a
a x a a a
a a x a a
a a a x a

n
n
n
n
+
+
+
+
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3





d.
1 321

221
311
321
−+
+
+
nx
nx
nx
n

59
e.
a a
a a
a
a a
a
n n
n
1 2
2 3
3
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1
−
−
−
+
−






f.

1 2 3 1
1 3 3 1
1 2 5 1
1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 1






n n
n n
n n
n n
n n
−
−
−
−
− −
g.
xaaa
axaa
aaxa
aaax

h.
−
−
−
−
a a
a a
a
a a
n n
1 1
2 2
3
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1






i.
0

0
0

0
yyy
xyy
xxy
xxx
k.
132
11
21




aaa
aaa
aaa
nn
n
−
13. Sö dông ®Þnh lý Laplace tÝnh ®Þnh thøc
a. ∆=
1 1 0 0 0 1
0 0 0
1 1 1
0 0 0
1 2 3
1 1 1
2 2 1 2 3 2
3 3 1
2

2
2
3
2
3
1
2
2
2
3
2
x x x
a b c
a b x x x c
a b x x x c
x x x
60
b
1 1 1 0 0 0
2 3 4 0 0 0
3 6 10 0 0 0
4 9 14 1 1 1
5 15 24 1 5 9
0 24 38 1 25 81
c.
1 1 1 0 0
1 2 3 0 0
0 1 1 1 1
0
0

1 2 3 4
1
2
2
2
3
2
4
2
x x x x
x x x x
d.
1 2 1 1
0 1 2 0
1 1 3 2
0 1 2 0
−
−
e.
−
−
−
−
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
14.Chøng tá r»ng
∆=

a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
−
− −
− − −
=(a
2
+b
2
)
2
- (b
2
c
2
-a
2
d
2
)+(ac+bd)
2
+(bd-ac)
2
-(b
2
c
2
-a

2
d
2
)+(c
2
-d
2
)
2
15. Chøng minh r»ng víi n≥3
D
n
=
nnnnn
nkkkk
nkkkk
n
cccc
cccc
babababa
babababa






321
1131211
321

1312111
++++
++++
++++
=0
16. TÝnh ®Þnh thøc cña A
2
víi:
61
A=
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a















17. Cho A là ma trận vuông cấp n có dạng A=

B C
D







trong đó B,D là ma trận vuông , chứng tỏ det(A)= det(B).det(D).
18. Chứng minh rằng với n3 thì:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
+ + +
+ + +
+ + +
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
n
n
n n n n

=0
19. Dãy Fibonaceri là dãy số 1,2,3,5,8,13, ; trong đó mỗi số
đều là tổng của hai số đứng liền trớc và hai số đầu tiên là 1 và 2.
Chứng tỏ rằng số hạng thứ n của dãy Fibonaceri bằng định thức
cấp n sau
11 0000
11 0000

00 1110
00 0111
00 0011



20. Cho A là ma trận vuông cấp n phản đối xứng, tức là A
T
=-
A. Chứng minh rằng nếu n lẻ thì A suy biến.
21. A là ma trận vuông phức sao cho
jiij
aa =
. Chứng minh
rằng det(A) là một số thực.
22. A là ma trận vuông cấp n2, A* là ma trận phụ hợp của A.
Chứng minh rằng det(A*)={det(A)}
n-1
.
C. Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn
1.a. =16 b. =4 c. =0 d. =30
2. áp dụng tính chất 3

62
D2=
a a
a a
1 1
2 2
+
a b
a b
1 2
2 2
+
b a
b a
1 1
1 2
+
b b
b b
1 2
1 2
= 0 +(a
1
b
2
-a
2
b
2
)+(b

1
a
2
-b
1
a
1
) + 0 = (a
1
-a
2
)(b
2
-b
1
)
3. Lấy hàng 1 nhân với -e cộng vào hàng hai
=
0
1
10
2
2
ee
ee
e
=
0
001
10

2
ee
e
Khai triển theo hàng hai đợc
= e
3
= (cost+i.sint)
3
=(cos3t+i.sin3t)
b. =0
4. a. Khử đa về dạng tam giác trên: =(b-a)(c-a)(c-b)
b. =(b-a)(c-a)(c-b) c. =(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)
d. =
)](2sin)(2sin)(2[sin
2
1
accbba ++
5. Lấy hàng hai nhân với -x rồi cộng vào hàng thứ nhất, sau đó
khai triển theo hàng thứ nhất ta đợc
=
1
1
1 1 1
2
x x
a x
=
1 0 0
1
1 1 1

ax
a x
= (1 -a.x) (1-x)
Nếu x=1 hoặc x=
1
a
(a0) thì A là ma trận suy biến.
6.a,b,c. Biến đổi đa về dạng tam giác trên. d.Tách thành tổng.
7. a. Cộng các cột vào cột 1
=
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
=
3 1 1 1
3 0 1 1
3 1 0 1
3 1 1 0
Đa 3 làm thừa số chung của cột một, rồi lấy các hàng trừ đi hàng
một
63
=3
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
=3
1000
0100

0010
1111



= -3
b. =8a+15b+12c-19d c. =abcd d. =abcd
e. =-16 f. =-(a+b+c-d)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(b+c+d-a)
g. =(x+3)(x-1)
3
h. =(af+cd-bc)
2
i. =0
8. a.Định thức Wandermon (Dùng công thức truy toán)
Lần lợt với i=n,n-1, ,2 lấy hàng i-1 nhân với (-x
1
) rồi cộng
vào hàng i ta đợc:
W
n
=
1 1 1
0
0
2 1 1
2
2
2 1
2
1

( ) ( )

( ) ( )
x x x x
x x x x x x
n
n
n
n
n




Đa các thừa số chung ra ngoài và khai triển theo cột 1:
W
n
=(x
2
-x
1
) (x
n
-x
1
)
1 1 1
2 3
2

2
3
2 2




x x x
x x x
n
n n
n
n
= (x
2
-x
1
) (x
n
-x
1
) W
n-1
Trong đó W
n-1
là định thức Wandermon cấp n-1 không chứa
x
1
. Tiến hành liên tiếp các bớc nh trên ta đợc:
W

n
=

<

nji
ij
xx
1
)(

f b. Khai triển theo hàng 1:
=
n
21
.2


nn
, truy toán

1
12211
====
nnnn
Với
2
1
=
do đó

1+= n
n
c. Dùng quy nạp. Với n=2 ta có:
2
=
ba
abba
+
+
1
=
ba
ba


33

64
Giả sử với mọi k<n ta có:
k
=
ba
ba
kk


++ 11
, khi đó với n tuỳ ý
khai triển theo cột đầu ta đợc:

n
=(a+b)
n-1
- ab
n-2
=(a+b)
ba
ba
nn


- ab
ba
ba
nn


11
Thực hiện khai triển nhị thức
) )((
121
+++=
nnnnn
bbaababa
rồi rút gọn ta đợc:
n
=
ba
ba
nn

++ 11
9. Tính định thức đa về dạng tam giác trên
a. Lần lợt nhân cột cuối với -a
1
,-a
2
, ,-a
n
rồi cộng tơng ứng vào
các cột 1,2, ,n :
D
n
=
x a a a a a a a
x a a a a a
x a
n n
n n
n





1 1 2 2 3 1
2 2 3 1
1
0 1

0 0 0 1
0 0 0 0 1





=
( )x a
i
i
n

=

1

b. Lấy các hàng trừ đi hàng đầu
=
a x x x
x a a x
x a a x
x a a x
n
1
1 2
1 3
1
0 0
0 0

0 0








Đa a
1
-x từ cột 1, a
2
-x từ cột 2, , a
n
-x từ cột n làm thừa số chung
65
V
n
=(a
1
-x)(a
2
-x) (a
n
-x)
1 001

0 101
0 011

321
1



xa
x
xa
x
xa
x
xa
a
n
Cộng tất cả các cột vào cột 1 đợc định thức dạng tam giác trên:
V
n
=(a
1
-x)(a
2
-x) (a
n
-x)

++

+
xa
x
xa
x
xa
a
n

21
1
10. Viết định thức dới dạng:
Q
n
=
nxn
nx
nx
nx
n
++++
++++
++++
++++

030201

0 330201
0 032201
0 030211
3
2
1
Tách các cột và biểu diễn định thức dới dang tổng các định thức,
với các định thức có hai hàng tỷ lệ bằng 0, ta đợc:
=
x
x
x n
n
1
2
1 0 0
0 2 0
0 0







+
1 0 0
1 2 0

1 0
2




x
x n
n


+
nx
x
n


20

0 20
0 21
1
+ +
x n
x n
n
1
2
1 0
0 2

0 0






66
= [(x
1
-1) (x
n
-n)].
1
1
1
2
2
1 2
+

+

+ +

x x
n
x n
n

11. Tính định thức áp dụng các định thức đã biết
a. Nếu x=0 khai triển theo cột n ta đợc U
n
=0.
Nếu x0 nhân hàng 1 và nhân cột 1 với x, áp dụng C
n
đợc:
U
n
=
1
2
x
C
n
=(n-1).(-1)
n-1
.x
n-2
.
b. áp dụng Q
n
với x
k

=x+k ta đợc G
n
=
x
n n
+
+






( )1
2
x
n-1
Cũng có thể thực hiện các bớc: Cộng các cột vào cột một rồi
đa thừa số chung ra ngoài, lấy các hàng trừ đi hàng đầu ta đa
định thức về dạng tam giác trên.
c. áp dụng V
n
với a
1
=a
2
= =a
n
=0 ta đợc: C
n

=(n-1)(-1)
n-1
.x
n
Cũng có thể thực hiện: Cộng các cột vào cột một, sau đó lấy
các hàng trừ đi hàng một, ta đa định thức về dạng tam giác trên.
Thay x=cost-i.sint ta đợc:
C
n
=(n-1)(-1)
n-1
(cost-i.sint)
n
=(n-1)(-1)
n-1
(cosnt-i.sinnt)
12. a. Cộng các cột vào cột một, đặt x+n làm thừa số chung rồi
lấy các hàng trừ hàng 1:
n
=(x+n)x
n-1

b.
n
=n! (cộng hàng 1 vào các hàng còn lại)
c.
n
=
1
1

=






+

n
n
i
i
xax
(Cộng các cột vào cột 1, đặt

=
+
n
i
i
ax
1
rồi lấy các hàng trừ hàng 1).
d.
n
=(x-1)
n-1
(lấy các hàng trừ hàng 1)

e. Thực hiện các bớc sau:
1. Cộng từ hàng 2 đến hàng n-1 vào hàng 1, từ hàng 3 đến
hàng n-1 vào hàng 2, cộng hàng n-1 vào hàng n-2.
2. Đặt a
k
làm thừa số chung cho cột k (k=
n,1
).
3. Cộng các cột vào cột n.Ta đợc
67
κ
n
nn
n
n
n
a
aa
aa
aa
+
−
−
−
=∆
11 11
00

0 0
0 0

2
1
nn
n
aaaa
aa
1
1
1

11
10 10

10 10
10 01

121
1
+
−
−
−
=
−
λ ∆
n
=









+
∑
=
n
i
i
n
a
aaa
1
21
1
1

f. ∆
n
=
∏
−
=
−
1
1
)(
n

i
in
=(n-1)! ( LÊy c¸c hµng trõ hµng 1)
g. ∆
n
=[x+(n-1)a](x-a)
n-1
(lÊy c¸c hµng trõ hµng1, céng c¸c cét
vµo cét 1)
h. ∆
n
=
∏
=
+−
n
i
i
n
an
1
)1()1(
(lÊy cét1 céng vµo cét 2, ®îc cét 2
céng vµo cét 3, )
i. T¸ch cét n thµnh tæng ®îc:

xyyy
xy
xx
n

−
=∆


0 0
0 0
+
xyy
xy
xx


0
0
1

1 0
1 0
1
yyy
xy
xx
xx
n
+∆−=
−
=
1

0 0

0
1
yyy
yxy
yxyxy
xx
n
−−
−−−
+∆−
−
=
xy
xy
xy
nn
n
−
−
−
−−
−
22
1
)1(
k. XÐt f
n
(x)=a
1
+a

2
x+ +a
n
x
n-1
, gäi x
i
(i=
n,1
), ta cã:
x
i
f(x
i
)=a
n
+a
1
x
i
+ +a
n-1
1−n
i
x
, vËy:
68