Các phương pháp giải phương trình vô tỷ

Phòng giáo dục đào tạo Đan Ph
Phòng giáo dục đào tạo Đan Ph
ợng
ợng
Tr
Tr
ờng THCS Ph
ờng THCS Ph
ơng Đình
ơng Đình
sáng kiến kinh nghiệm
một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ
trong trờng thcs

Họ và tên: Đinh Công Hải
Trờng trung học cơ sở Phơng Đình
Năm học 2008 -2009
1
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
độc lập- tự do- hạnh phúc
độc lập- tự do- hạnh phúc
..................................
..................................


sáng kiến kinh nghệm giáo dục tiên tiến
sáng kiến kinh nghệm giáo dục tiên tiến
tên sáng kiến
một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ
trong trờng thcs

sơ yếu lý lịch
sơ yếu lý lịch


Họ và tên :Đinh công Hải.
Họ và tên :Đinh công Hải.


Ngày sinh :02/04/1974.
Ngày sinh :02/04/1974.


Chức vụ :giáo viên.
Chức vụ :giáo viên.


Năm vào ngành:10/1996.
Năm vào ngành:10/1996.


Đơn vị công tác:Tr
Đơn vị công tác:Tr
ờng THCS Ph
ờng THCS Ph
ơng Đình-Huyên Đan Ph
ơng Đình-Huyên Đan Ph
ợng.
ợng.

Trình độ chuyên môn: Đại học toán.
Trình độ chuyên môn: Đại học toán.


Hệ đào tạo :chính quy.
Hệ đào tạo :chính quy.
2
a. mở đầu
I/. Lí do chọn đề tài :
Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành khoa học tự
nhiên cũng nh trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội.
Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí .Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức cơ bản,những kĩ năng
tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng t duy logic,một phơng
pháp luận khoa học .
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập toán đòi
hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy học góp phần
hình thành và và phát triển t duy của học sinh .Đồng thời thông qua việc học toán học
sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải bài tập
toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ .
Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q thành
tập số thực R .Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai thác phân tích
đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán về giải phơng trình vô tỉ
là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng cha chặt chẽ mà còn mắc nhiều
sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ thừa, đa biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt
đối .
Vì vậy phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng trình vô tỉ
là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục tình trạng trên về
giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn toán của học sinh ở trờng
THCS.

ii/. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao năng lực
học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải
quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ.
Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp học
sinh giải đợc một số bài tập .
3
Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải phơng trình
vô tỉ trong quá trình dạy học .
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp dụng thành
thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học
toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ .Đồng thời góp phần nâng cao chất l-
ợng giáo dục .
iii. Phạm vi nghiên cứu- Đối tợng nghiên cứu :
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng trình vô tỉ
đối với học sinh THCS.
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các giờ
luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm và cho các kì thi ở trờng ,thi vào cấp 3.
iv. Các phơng pháp nghiên cứu và tiến hành :
1. Phơng pháp nghiên cứu :
Tham khảo thu thập tài liệu
Phân tích,tổng kết kinh nghiệm .
Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh .
2.Phơng pháp tiến hành :
Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc phục
những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải .
b- nội dung đề tài
i/ Cơ sở lý luận:
Trong đề tài đợc đa ra một số phơng trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ của học

sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản áp dụng để làm bài
tập .
Rút ra một số chú ý khi làm từng phơng pháp .
Chọn lọc một số bài tập hay gặp phù hợp cho từng phơng pháp giải , cách biến đổi.
Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ .
4
Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải
phơng trình vô tỉ. Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình trạng định hớng
giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc
tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra.
ii/ Tình hình thực tế
1.Kết quả tình trạng khi cha thực hiện :
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi thấy kết
quả tiếp thu về giải phơng trình vô tỉ nh sau:
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
20 50% 14 35% 5 12,5% 1 2,5%
2. Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc trang bị các
phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến
kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em càng khó giải quyết.
iii/ Nội dung và phơng pháp tiến hành
1/. Khái niệm phơng trình vô tỉ
Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
2/. Các ví dụ :
a)
11
=
x

c)
3
+
xx
1
2
+
xx
=3
b)
2173
=++
xx
d)
4
1
1
1
1
3
3 2
3 2
3
=
+




x

x
x
xx
3/.Phơng pháp chung :
Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình .
- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
4/. Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản:
5
a/. Ph ơng pháp1 : nâng lên luỹ thừa (Bình phơng hoặc lập phơng hai vế
phơng trình ):
Giải phơng trình dạng :
)()( xgxf
=
+ / các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
11
=+
xx
(1)
ĐKXĐ : x+1

0

x

-1
Với x

-1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì
x-1

0

x

1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0

x(x-3) = 0



=
=
3
0
x
x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x

1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
131
=+
xx


xx
=
131
( 1) ĐKXĐ :





013
01
x
x







13
1

x
x


1

13

x
(2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :

2
)13(1 xx
=

017027
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
10
1
=
x
và
17
2
=
x
.Chỉ có

10
1
=
x
thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phơng trình là
10
=
x
* Giải phơng trình dạng :
)()()( xgxhxf
=+
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
121
=+
xx

xx
++=
211
(1)
ĐKXĐ:
02
01
+

x
x

2
1


x
x


12

x
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :

xxx
++++=
22211


01
2
=+
xx
Phơng trình này có nghiệm
2
51

=
x
thoã mãn (2)

6
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
51

=
x
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
1
+
x
27
3
=+
x
(1)
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:

82).7)(1(371
3
=++++
xxxx


(x-1) (7- x) = 0
x =-1 (đều thoả mãn (1 )
x =7 (đều thoả mãn (1 )
Vậy
7;1

==
xx
là nghiệm của phơng trình .
* Giải phơng trình dạng :
=+
)()( xhxf
)(xg
Ví dụ5: Giải phơng trình
1
+
x
-
7

x
=
x

12



1
+
x
=
x

12
+

7

x
(1)
ĐKXĐ:
121
7
12
1
07
012
01

















+

x
x
x
x
x
x
x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2
)7)(12(

xx
(3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng
trình (3) ta đợc :
(x - 4)
2
= 4(- x
2
+ 19x- 84)

5x
2
- 84x + 352 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm x
1
=
5
44
và x
2

= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phơng trình.
* Giải phơng trình dạng :
=+
)()( xhxf
)(xg
+
)(xq
Ví dụ 6: Giải phơng trình :
1
+
x
+
10
+
x
=
2
+
x
+
5
+

x
(1)
7
ĐKXĐ :







+
+
+
+
05
02
010
01
x
x
x
x

5
2
10
1
x
x
x
x
x -1 (2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + 2
)10)(1(
++
xx
= x+2 + x+ 5 + 2
)5)(2(
++
xx


2+
)10)(1(
++
xx
=

)5)(2(
++
xx
(3)
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc

)10)(1(
++
xx
= 1- x Điều kiện ở đây là x

-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)






1
1
x
x
x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1).
+ / Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ
quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a

2n
= b
2n
và ngợc lại (n= 1,2,3.....)
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là
những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng
pháp khác lại với nhau .
+ / Bài tập áp dụng:
1.
4
2

x
= x- 2 4.
3
45
+
x
-
3
16

x
=1
2.
41
2
++
xx

= x+ 1 5.
x

1
=
x

6
-
)52(
+
x
3.
x

1
+
x
+
4
=3 6.
3
1

x
+
3
2

x

=
3
32 x
b /. Ph ơng pháp 2 : đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
+/ . Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
416249
2
+=+
xxx
(1)
8
ĐKXĐ:



+
+
04
016249
2
x
xx

4
0)43(
2
x
xx
x 4
Phơng trình (1)


43

x
= -x + 4






=
+=
443
443
xx
xx

=
=
0
2
x
x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x

4 ).
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
44
2
=
xx
+
168
2
+
xx
= 5 ĐKXĐ:

x
R
Phơng trình tơng đơng :
2

x
+
4

x
= 5
Lập bảng xét dấu : x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)

6-2x =5

x = 0,5(thoả mãn x

2)
+ Khi 2

x

4 ta có (2)

0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)

2x 6 =5

x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình:
314
+
xx

+
816
+
xx
= 1 ; ĐKXĐ: x

1
Phơng trình đợc viết lại là :

414)1(
+
xx
+
916)1( + xx
= 1

2
)21(

x
+
2
)31(

x
= 1



21

x
+
31

x
=1 (1)
- Nếu 1

x < 5 ta có (1)

2-
1

x
+ 3 -
1

x
= 1


1

x
=2

x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5

x

10 thì (1)

0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1)

-5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5

x

10
+ Nhận xét :
9
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải
một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần lu ý cho học
sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên
giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm .
+ /. Bài tập áp dụng
1.
96
2
+

xx
+
2510
2
++
xx
= 8
2.
12
2
++
xx
+
44
2
+
xx
=
44
2
++
xx
3.
143
++
xx
+
168
+
xx

= 5
4.
5233
++
xx
+
522

xx
= 2
2
c.Ph ơng pháp 3 : đặt ẩn phụ:
+ /. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x
2
+ 3x +
932
2
++
xx
=33
ĐKXĐ :

x

R
Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x
2
+ 3x +9 +
932

2
++
xx
- 42= 0 (1)
Đặt 2x
2
+ 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều kiện
bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y
2
+ y 42 = 0

y
1
= 6 , y
2
= -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có
932
2
++
xx
=6

2x
2
+ 3x -27 = 0
Phơng trình có nghiệm x
1
= 3, x

2
= -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình:
x
+
4
x
= 12 (ĐKXĐ : x

o)
Đặt
4
x
= y

0

x
= y
2
ta có phơng trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4
x

= 3

x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
1
+
x
+
x

3
-
)3)(1( xx
+
= 2 (1)
10