PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.21 KB, 7 trang )

Các cách giải phơng trình vô tỷ trong chơng trình đại số 9
A. Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô
tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phơng trình vô tỷ
thừơng xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Có rất nhiều phơng
pháp giải phơng trình . Với đề tài này tôi chỉ xin đợc trao đổi cùng các bạn về các
phơng pháp giải phơng trình vô tỷ một ẩn mà ở đó chứa các căn thức bậc hai là
chủ yếu và mở rộng hơn là các căn bậc ba, bậc bốn, bậc năm mà giải nó chúng ta
phải đa về hệ phơng trình.
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9 , tôi thấy phơng trình vô tỷ là một trong những
phơng trình mà khi giải ngời làm toán phải định hớng đợc nên giải theo cách nào
cho phù hợp và nhanh gọn. Vì vậy khi học sinh giải các phơng trình vô tỷ , để có
một định hớng rõ ràng và việc tìm ra lời giải quả thật không phải là công việc đơn
giản. Trong khi bồi dỡng học sinh giỏi cũng nh ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi
chuyển cấp, đòi hỏi ngời giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo.
Chính vì thế tôi đã tổng hợp lại một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ cho học
sinh nh sau:
b. giải quyết vấn đề
I. Cơ sở thực tiễn:
ở chơng trình đại số 9 .Học sinh đã biết áp dụng định nghĩa căn bậc hai số học , sử dụng
hằng đẳng thức
AA
=
2
, các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải. Tuy nhiên cha có hệ
thống phơng pháp giải nên học sinh còn lúng túng.
II. Khảo sát thực tiễn của đề tài:
1. Số liệu thống kê:
Khi cha áp dụng đề tài, giáo viên ra bài tập giải phơng trình vô tỷ, ta thấy:
*
4

1
số em giải đúng
*
4
1
số em giải cha đúng
*
2
1
số em không giải đợc
2. Phân tích:
* HS không giải đợc hoặc giải sai kết quả do:
+ Cha biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phơng trình nh: Bình phơng hai
vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức...
+ Cha có phơng pháp cụ thể để giải phơng trình.
+ Cha nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phơng trình thiếu nghiệm
hoặc thừa nghiệm.
III. Đề xuất- giải pháp
Ngô Thị Huệ Anh Trờng thcs bình thịnh -hà tĩnh
1
Các cách giải phơng trình vô tỷ trong chơng trình đại số 9
* Giúp HS:
+ Hình thành cho HS có kỹ năng giải phơng trình vô tỷ
+ Đa ra một số phơng pháp giải cho HS khá, giỏi
iV. Nội dung
1* Một số vấn đề về lý thuyết
+ Khái niệm về phơng trình vô tỷ: Ta gọi phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn trong
dấu căn
2* Một số phơng pháp giải
1. Phơng pháp 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học

=

=
ax
x
xa
2
0
Ví dụ 1: Giải phơng trình
xx
=+
43
Giải
Ta có :
xx
=+
43

+=

43
0
2
xx

x
Giải x
2
=3x+4 ta đợc x=-1 ; x=4. Đối chiếu với điều kiện x
0

thì nghiệm của phơng trình
là x=4
2. Phơng pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức
AA
=
2
để đa phơng trình vô tỷ về
phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 2: Giải phơng trình :
44444
=++
xxxx
(2)
Giải :
Với điều kiện : x
4

ta có :
(2)

444444444
=++++
xxxx

( )
2
24
+
x
+
( )
424
2
=
x

24
+
x
+
424
=
x
42424
=++
xx
vì
4024
+
xx
* Nếu
8024

xx

thì ta có :
8442
==
xx
(thoã mãn)
* Nếu
8024
<<
xx
thì ta có :
4444224
==++
xx
. Vậy phơng trình có vô
số nghiệm x thoã mãn
84

x
Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm
3. Phơng pháp 3: Bình phơng hai vế của phơng trình vô tỷ đã cho để có phơng
trình hữu tỷ .
Ví dụ 3: Giải phơng trình :
25352
=+
xx
(3)
Giải
Ngô Thị Huệ Anh Trờng thcs bình thịnh -hà tĩnh
2
Các cách giải phơng trình vô tỷ trong chơng trình đại số 9

Điều kiện:

+
053
052
x
x

3
5
3
5
2
5

x
x

x
Ta có (3) <=>
25352
+=+
xx
(3)
Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế của (3) ta đợc:
2x+5 =3x-5 +
4534
+
x
xx
=
6534
(3)
Với ĐK:
06

x
6 x
. Hai vế của(3) không âm nên ta bình phơng hai vế của (3) ta
đợc: 16( 3x-5) =36+x
2
-12x

x
2
- 60x+116=0

x=2 ; x=58.
Đối chiếu với các điều kiện
3
5

x
và
6

x
thì nghiệm của phơng trình là : x=2
Chú ý: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phơng trình đều không âm
thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này
nếu cho điều kiện
3
5

x
rồi bình phơng hai vế của (3) thì ta sẽ đợc 2x+5 +3x-5-2
( )( ) ( )( )
455352245352
=+=+
xxxxx
(3)
Bình phơng hai vế của phơng trình (3) ta đợc : x
2
- 60x+116 =0 <=> x=2 ; x=58.
Đối chiếu với các điều kiện
3
5

x
thì phơng trình có hai nghiệm x=2 ; x=58.Mà khi thử lại
ta thấy x=2 là nghiệm.
4. Phơng pháp 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phơng trình vô tỷ
đơn giản hơn.
Ví dụ 4: Giải phơng trình :
( )( ) ( )( )
321231
+++=+++
xxxxxx
(4)
Giải
Ta có (4)
23232
22
++=++
xxxxx
+
3

x
(4)
Với điều kiện :
3

x
ta có :
(4)
32.123.1

+++=+++
xxxxxx
( )( )
03211
=++
xxx

=+
=+

032
011
xx
x

=+
=+

32
11
xx
x

Ngô Thị Huệ Anh Trờng thcs bình thịnh -hà tĩnh
3
(loại)
Các cách giải phơng trình vô tỷ trong chơng trình đại số 9

=
<=

32
30x
vậy phơng trình đã cho vô nghiệm
5. Phơng pháp 5: Đặt ẩn phụ.
a) Đặt ẩn phụ để có phơng trình bậc hai
Ví dụ 5 : Giải phơng trình : 3x
2
+6x+20 =
82
2
++
xx
(5)
Giải
Ta có (5) <=> 3( x
2
+2x+8)- 4=
82
2
++

xx
Vì x
2
+2x+8=(x+1)
2
+7 => TXĐ : Mọi x
Dặt t=
82
2
++
xx
=> t
7

. Khi đó ta có : 3t
2
- 4= t
=
043
2
tt
t = -1
7
<
loại
t=
7
9
63
9

16
3
4
=<=
loại
b) Đặt ẩn phụ để có phơng trình hữu tỷ bậc cao
Ví dụ 6 : Giải phơng trình
36112
2
=+++
xxx
Giải
ĐK : x+1>0 <=>
1

x
Đặt
01
=+
ttx
=> x+1 =t
2
=> x=t
2
-1 => x
2
=t
4
-2t
2

+1.
Khi đó ta có : t
4
-2t
2
+1 +t
2
-1+ 12t -36=0

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

=+++
=

=+++
=+++
==++
=+
01832
2
018322
021823222
0361863422
03612
23
23

23
22334
24
ttt
t
tttt
ttttttt
ttttttt
ttt
<=> t=2 => x+1=4 => x=3>-1. Vậy nghiệm của phơng trình là x=3
c) Đặt ẩn phụ để có hệ phơng trình hữu tỷ đơn giản
Ví dụ 7: Giải phơng trình
262
=+
xx
Giải
Điều kiện:
6

x
Đặt a=
6
+
x
; b=
6

x
( a, b không âm) . Từ đó ta có hệ:
Ngô Thị Huệ Anh Trờng thcs bình thịnh -hà tĩnh