DẠNG SONG TUYẾN TÍNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG pptx

Chơng 7
Dạng song tuyến tính
dạng toàn phơng
7.1 Dạng song tuyến tính
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho E là một không gian tuyến tính trên R.
Định nghĩa: ánh xạ f: Eì ER đợc gọi là một dạng song
tuyến tính trên E nếu : x,x,y,yE và ,àR ta có:
(i) f(x+x,y)=f(x,y)+f(x,y)
(ii) f(x,y)= f(x,y)
(iii) f(x,y+y)=f(x,y)+f(x.y)
(iv) f(x, ày)= àf(x,y)
Không gian tuyến tính trên R gọi là không gian tuyến tính thực.
2. Biểu thức của dạng song tuyến tính
Định lý: Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) trong không gian
tuyến tính thực n chiều E trên cơ sở {e
1
,e
2
, ,e
n
}cho trớc đợc
biểu diễn duy nhất dới dạng
f(x,y)=
a x y
ij i j
j
n
i
n

==

11

trong đó a
ij
=f(e
i
,e
j
), còn x=(x
1
,x
2
, ,x
n
);y=(y
1
,y
2
, ,y
n
) là toạ độ
của x và y trong cơ sở đã cho.
3. Ma trận của dạng song tuyến tính
Định nghĩa: Với mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) trên không
gian tuyến tính n chiều E với cơ sở {e
1
,e
2

, ,e
n
},ta gọi
248
A=
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2

với a
ij
=f(e
i
,e
j
) (i,j=1,2, ,n)
là ma trận của f(x,y) trên cơ sở {e
1
,e
2
, ,e
n
}.
Hệ quả: Mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) trên cơ sở
{e
1
,e
2
, ,e
n
} cho trớc xác định duy nhất một ma trận A và ngợc
lại mỗi ma trận vuông A xác định duy nhất một dạng song tuyến
tính trên cơ sở{e
1
,e
2
, ,e
n
}. Khi đó f(x,y) có dạng:

f(x,y)=(x
1
,x
2
, ,x
n
)
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2

y
y
y
n
1
2













=x
T
Ay
4. Dạng song tuyến tính đối xứng
Định nghĩa: Dạng song tuyến tính f(x,y) đợc gọi là dạng song
tuyến đối xứng nếu x,yE f(x,y)=f(y,x).
Hệ quả : Dạng song tuyến tính f(x,y) đối xứng khi và chỉ khi
ma trận của f là ma trận đối xứng.
Định nghĩa

a. Dạng song tuyến tính đối xứng f(x,y) đợc gọi là xác định d-
ơng nếu xE: f(x,x)0 và f(x,x)=0 x=
b. Ma trận đối xứng A cấp n đợc gọi là xác định dơng nếu
xR
n
: x
T
Ax0 và x
T
Ax=0 x=
Hệ quả: f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng có ma trận A.
f(x,y) xác định dơng khi và chỉ khi A xác định dơng.
Định nghĩa: Dạng song tuyến tính f(x,y) gọi là phản đối xứng
nếu f(x,y)=-f(y,x).
Hệ quả
1. Ma trận của dạng song tuyến tính phản đối xứng là một ma
trận phản đối xứng: A=-A
T
.
2. Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) đều có dạng:
249
f(x,y)=
1
2
[f(x,y)+f(y,x)]+
1
2
[f(x,y)-f(y,x)] =g(x,y)+h(x,y)
trong đó g(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng, h(x,y) là dạng
song tuyến tính phản đối xứng.

5. Phép chuyển cơ sở
Định lý: Trong không gian tuyến tính thực E cho hai cơ sở
I={e
1
,e
2
, ,e
n
} và W={
1
,
2
, ,
n
}
T=(t
ij
)
nxn
là ma trận chuyển từ cơ sở I sang cơ sở W. Giả sử dạng
song tuyến tính f(x,y) có ma trận A trong cơ sở I và có ma trận B
trong cơ sở W. Khi đó: B=T
T
AT
Hệ quả r(A)=r(B)
Định nghĩa: Ta gọi hạng của một dạng song tuyến tính f là
hạng ma trận của f trên một cơ sở tuỳ ý của E.
7.2 Dạng toàn phơng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa và biểu thức của một dạng toàn phơng

Định nghĩa: Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính đối xứng
trên không gian tuyến tính thực E khi đó hàm f(x,x) đợc gọi là
một dạng toàn phơng trên E.
Khi đó trên không gian tuyến tính thực n chiều E dạng toàn
phơng f(x,x) có dạng:
f(x,x)=
a x x
ij i j
j
n
i
n
==

11
=(x
1
,x
2
, ,x
n
)
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2

1 2
















x
x
x
n
1
2

=x
T
Ax
Trong đó x=(x
1
,x
2
, ,x
n
) là toạ độ của x trong cơ sở đã cho và
A là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng tơng ứng.
Ta cũng gọi A là ma trận của dạng toàn phơng, hiển nhiên A
là ma trận đối xứng.
Do tính đối xứng của ma trận A nên có thể viết:
f(x,x)=
a x x
ij i j
j
n
i
n
==

11

=
a x
ii i
i
n
2
1=

+2
a x x
ij i j
i j n1 <


Chú ý
250
1. Các hệ số a
ij
trong dạng toàn phơng đợc xác định thông qua
dạng song tuyến đối xứng sinh ra nó: a
ij
= f(e
i
,e
j
) (i.j=1, ,n).
2. Dạng song tuyến đối xứng tơng ứng đợc xác định từ dạng
toàn phơng bởi công thức sau:
f(x,y)=
1

2
[f(x+y,x+y) -f(x,x)-f(y,y)]
2. Dạng chính tắc của dạng toàn phơng
Định nghĩa: Trong không gian tuyến tính thực n chiều E
nếu tìm đợc một cơ sở W={
1
,
2
, ,
n
}để trên cơ sở đó f(x,x) có
dạng:
f(x,x)=

=
n
i
iii
xa
1
2
'
=

i i
i
n
x'
2
1=

(1)
trong đó (x
1
,x
2
, ,x
n
) là các toạ độ của x trong cơ sở
{
1
,
2
, ,
n
} thì ta nói đã đa dạng toàn phơng f(x,x) về dạng
chính tắc. Biểu thức (1) gọi là dạng chính tắc và cơ sở
W={
1
,
2
, ,
n
} gọi là cơ sở chính tắc tơng ứng của dạng toàn
phơng.
Trong cơ sở chính tắc ma trận của dạng toàn phơng có dạng đ-
ờng chéo:
B=

1
2
0 0
0 0
0 0




n













3. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc
a. Phơng pháp Lagrange
Xét dạng toàn phơng:
f(x,x)=
a x
ii i

i
n
2
1=

+2
a x x
ij i j
i j n1 <


Phơng pháp biến đổi Lagrange đa dạng toàn phơngvề dạng:
f(x,x)=
1
x
1
2
+
2
x
2
2
+ +
n
x
n
2

bằng các phép biến đổi sau:
251

1. Nếu mọi a
ii
=0 thì phải có một tích chéo chẳng hạn 2a
12
x
1
x
2
với a
12
0, dùng phép biến đổi toạ độ
x
1
= x
1
+ x
2

x
2
= x
1
- x
2
còn các toạ độ khác giữ nguyên. Khi đó ta có:
2a
12
x
1
x

2
=2a
12
x'
1
2
-2a
12
x'
2
2
hơn nữa vì a
11
= a
22
=0 nên trong biểu thức mới hệ số 2a
12
không
bị triệt tiêu do đó hệ số của
x'
1
2
0.
2. Nếu a
11
0, viết tách riêng các số hạng có chứa x
1
rồi biến
đổi các số hạng đó thành bình phơng của một tổng, khi đó:
f(x,x)=

1
11
a
(a
11
x
1
+ +a
1n
x
n
)
2
+
a x
ii i
i
n
( )1 2
2=

+2
a x x
ij i j
i j n
( )1
2 <


=

1
y
1
2
+
a x
ii i
i
n
( )1 2
2=

+2
a x x
ij i j
i j n
( )1
2 <

=
1
y
1
2
+f
1
(x,x)
Trong đó f
1
(x,x)=

a x
ii i
i
n
( )1 2
2=

+2
a x x
ij i j
i j n
( )1
2 <


là dạng toàn phơng cấp n-1.
Lặp lại quá trình trên sau nhiều nhất sau n-1 lần ta đa dạng
toàn phơng ban đầu về dạng chính tắc:
f(x,x)=
1
y
2
1
+
2
y
2
2
+ +
r

y
2
r
(r n)
Với














=

nn
x
x
x
T
y
y
y

2
1
1
2
1
, T là ma trận của cơ sở chính tắc.
Nếu đặt
r+1
= =
n
=0 thuật toán Lagrange cho định lý sau:
Định lý: Trong không gian n chiều E mọi dạng toàn phơng
f(x,x) đều đa đợc về dạng chính tắc
f(x,x)=
1
y

1
2
+
2
y
2
2
+ +
n
y
n
2

trong đó y
1
, ,y
n
là toạ độ của x trong cơ sở chính tắc {
1
, ,
n
}.
b. Phơng pháp Jacobian
Cho dạng toàn phơng f(x,x) trên cơ sở {e
1
, , e
n
}có ma trận
252
A=

a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
















. Gọi
k
=
a a a
a a a

a a a
k
k
k k kk
11 12 1
21 22 2
1 2




Lần lợt là các định thức con cấp k (k=1,2, ,n) góc trên bên trái.
Định lý: Nếu
1
,
2
, ,
n
0 thì tồn tại một cơ sở {
1
,
2
, ,
n
}
của E mà trên nó f(x,x) có dạng chính tắc.
f(x,x)=
1
y
2

1
+
2
y
2
2
+ +
n
y
2
n

Trong đó:
1
=
1
1


2
=


1
2

n
=

n
n
1

4. Luật quán tính
a. Dạng chuẩn tắc của dạng toàn phơng
Giả sử trên cơ sở {
1
,
2
, ,
n
} dạng toàn phơng f(x,x) có dạng
chính tắc: f(x,x) =
1
y
1
2
+
2
y
2
2
+ +
n
y
n
2
Dùng phép đổi biến:
z

i
=


i i i
i i
y khi
y khi

=





0
0

khi đó f(x,x) có dạng
f(x,x)=sign(
1
)
z
1
2
+sign(
2
)
z
2

2
+ +sign(
n
)
z
n
2


Và gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phơng f(x,x), còn cơ
sở tơng ứng đợc gọi là cơ sở chuẩn tắc. Nh vậy mọi dạng toàn
phơng đều đa đợc về dạng chuẩn tắc.
b. Luật quán tính
Ta gọi số các hệ số khác không trong một dạng chính tắc của
một dạng toàn phơng là số hệ số chính tắc.
Định lý: Số các hệ số chính tắc dơng và số các hệ số chính tắc
âm không phụ thuộc vào cơ sở chính tắc của dạng toàn phơng.
5. Phân loại dạng toàn phơng
253
Định nghĩa: Trong một dạng chuẩn tắc ta gọi số các hệ số d-
ơng là chỉ số quán tính dơng và số các hệ số âm là chỉ số quán
tính âm của dạng toàn phơng đó.
Định nghĩa: Dạng toàn phơng f(x,x) đợc gọi là:
1. Xác định dơng nếu f(x,x)>0 xE.
2. Tựa xác định dơng nếu f(x,x)0 xE.
3. Xác định âm nếu f(x,x)<0 xE.
4. Tựa xác định âm nếu f(x,x)0 xE.
Giả sử dạng toàn phơng f(x,x) có ma trận A, do f(x,x)=x
T
Ax

nên f xác định dơng khi và chỉ khi A xác định dơng. Khi đó theo
định lý Jacobian ta có tiêu chuẩn phân loại dạng toàn phơng:
Hệ quả : (Tiêu chuẩn Sylvester)
1. f(x,x) xác định dơng nếu chỉ số quán tính dơng của f bằng
n hay:
1
>0 ,
2
>0, ,
n
>0
2. f(x,x) xác định âm nếu chỉ số quán tính âm của f bằng n
hay:
1
<0 và
k

k+1
<0 (k=1,2, ,n-1)
3. f(x,x) tựa xác định dơng nếu chỉ số quán tính âm bằng
không và chỉ số quán tính dơng nhỏ hơn n.
4. f(x,x) tựa xác định âm nếu chỉ số quán tính dơng bằng
không và chỉ số quán tính âm nhỏ hơn n.
B. Bài tập
1. Kiềm tra các ánh xạ sau là dạng song tuyến tính:
a. f: R
n
ì R
n
R, với x=(x

1
,x
2
, ,x
n
), y=(y
1
,y
2
, ,y
n
)
f(x,y)=x
1
y
1
+x
2
y
2
+ +x
n
y
n
b. E là tập các hàm khả tích trên [a,b], x(t),y(t) E
f(x,y)=
x t y t dt
a
b
( ) ( )

2. Gọi T
2
(t)={x(t)=a
0
+a
1
cost+a
2
sint: t[-1,1]}, và
f(x,y)=


1
1
)().( dttytx
Chứng tỏ f(x,y) là một dạng song tuyến tính. Tìm ma trận của f
trên một cơ sở của T
2
(t).
254
3. Trong R
3
với cơ sở chính tắc I={e
1
,e
2
,e
3
} cho dạng song

tuyến tính f(x,y)=x
1
y
1
+2x
2
y
2
+3x
3
y
3

a. Tìm ma trận của f trên cơ sở I={e
1
,e
2
,e
3
}
b. Tìm ma trận của f trên cơ sở W={
1
,
2
,
3
} với

1
=

1
1
1











2
=
2
1
1

3
=
1
1
1












4. Tìm ma trận của các dạng song tuyến tính, những dạng
song tuyến nào là song tuyến đối xứng, lập dạng toàn phơng t-
ơng ứng.
a. f(x,y)=x
1
y
1
+2x
1
y
2
+2x
2

y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y
3
b. f(x,y)=x
1
y
1
+x
1
y
2
+2x
2
y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y
3

c. f(x,y)=x
1
y
1
+2x
1
y
2
+2x
2
y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y
3
+x
1
y
3
+2x
2
y
3
5. Trên P
3

(t)={x(t)= a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+a
3
t
3
:t[0,1] }
Cho dạng song tuyến f(x,y)=
x t y t dt( ) ( )
0
1


a. Chứng tỏ f(x,y) xác định dơng.
b. Tìm ma trận của f(x,y) trên cơ sở {e
1
=1,e
2
=t,e
3
=t
2
,e
4

=t
3
}
6. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc, tìm ma trận chuyển,
cơ sở chính tắc, chỉ số quán tính và xác định phép biến đổi biến
cũ qua biến mới
a. f(x,x)=x
2
1
+6x
1
x
2
-4x
1
x
3
+5x
2
2
-12x
2
x
3
-4x
2
x
4
+4x
2

3
-8x
3
x
4
-x
2
4
b. f(x,x)=x
2
1
+2x
1
x
2
+2x
2
2
+4x
2
x
3
+5x
2
3

c. f(x,x)=x
2
1
-4x

1
x
2
+4x
2
2
-4x
1
x
3
+x
2
3
d. f(x,x)=x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3

e. f(x,x)=x
2
1
+2x

1
x
2
+2x
1
x
3
+x
2
2
+4x
2
x
3
+x
2
3
f. f(x,x)=x
2
1
+ x
1
x
2
+ x
2
x
3
+x
2

x
4
7. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc bằng phép biến đổi
Jacôbian. Tìm các chỉ số quán tính và ma trận của phép chuyển
cơ sở từ cơ sở ban đầu về cơ sở chuẩn tắc.
a. f(x,x)= 2x
2
1
+2x
1
x
2
+4x
1
x
3
+x
2
2
+5x
2
3
b. f(x,x)= x
2
1
+4x
1
x
2
-4x

1
x
3
+x
2
2
+x
2
3
c. f(x,x)= 2x
2
1
-2x
1
x
2
+4x
1
x
3
+x
2
2
+2x
2
3
255
8. Đa dạng toàn phơng sau về dạng chuẩn tắc
a. 2x
2

1
+2x
1
x
2
+2x
2
2
-4x
2
x
3
+3x
2
3

b. x
2
1
-2x
1
x
2
+5x
2
2
+x
2
x
3

+x
2
3
c. x
1
x
2
+2x
2
2
+4x
1
x
3
+2x
2
x
3
+2x
2
3

d. x
2
1
+2x
1
x
2
+4x

1
x
3
+2x
2
x
3
+2x
2
3
e. x
1
x
2
+4x
1
x
3
+2x
2
x
3
+2x
2
3
Tìm cơ sở chuẩn tắc của mỗi dạng toàn phơng.Những dạng toàn
phơng nào là xác định dơng.
9. Xác định nguyên để dạng toàn phơng là xác định dơng
f(x,x)= x
2

1
+ 2x
2
2
+8x
2
3
+2 x
1
x
2
- 4x
2
x
3
10. Xác định để dạng toàn phơng là xác định dơng.
a. f(x,x)=x
2
1
+2x
2
2
+x
2
3
+2x
1
x
2
+4x

2
x
3

b. f(x,x)=x
2
1
+x
2
2
+2x
1
x
2
-4x
2
x
3
c. f(x,x)=x
2
1
+2x
1
x
2
+2x
2
2
+4x
2

x
3
+5x
2
3

d. f(x,x)=x
2
1
+2x
1
x
2
+2x
2
2
+2x
2
x
3
+x
2
3
11. Tìm các giá trị của a để ma trận sau xác định dơng
a.
1
1
1
a a
a a

a a










b.










a
a
a
12
14
21
c.

135
34
51
a
a
C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số
1. a. Kiểm tra theo định nghĩa, f là dạng song tuyến tính.
b. (i)
{ ( ) '( )} ( )x t x t y t dt
a
b
+

=
x t y t dt
a
b
( ) ( )

+
x t y t dt

a
b
'( ) ( )

(ii)

x t y t dt
a
b
( ) ( )

=
x t y t dt
a
b
( ) ( )

(iii)
x t y t y t dt
a
b
( ){ ( ) '( )}+

=
x t y t dt
a
b
( ) ( )

+

x t y t dt
a
b
( ) '( )

(iv)
x t y t dt
a
b
( ){ ( )}
à

=à
x t y t dt
a
b
( ) ( )

nên f là một dạng song tuyến trên E.
256
2. Gọi T
2
(t)={x(t)=a
0
+a
1
cost+a
2
sint: t[-1,1]}
Vì {1,cost,sint} là tập con của tập các hàm liên tục trên [-1,1]

nên T
2
(t) là một không gian tuyến tính trên R và {1,cost,sint}
là một cơ sở của nó. Theo 1.b
f(x,y)=


1
1
)().( dttytx
là một dạng song tuyến tính trên T
2
(t). Ta có:
a
11
=
2
1
1
=


dt
a
12
=a
21
=
=

1
1
cos tdt

0 a
13
=a
31
=
=


1
1
sin tdt

0
a
32
=a
23
=
=


1
1
sin.cos tdtt

0,a
22
=
=


1
1
2
cos tdt

1, a
33
=
=


1
1
2
sin tdt

1
Vậy với x= a
0
+a
1
cost+a
2
sint , y= b

0
+b
1
cost+b
2
sint.
f(x,y)=(a
0
,a
1
,a
2
)










100
010
002

2
1
0
b
b
b
3. a. Ma trận của f trên cơ sở {e
1
,e
2
,e
3
} là
A=
1 0 0
0 2 0
0 0 3

b. Ma trận chuyển cơ sở tử I sang W là
T=
1 2 1
1 1 1
1 1 1












và T
T
=
1 1 1
2 1 1
1 1 1

Khi đó ma trận của f trong cơ sở {
1
,
2
,
3
} là
B=T
T
AT=

634
391
416
Chú ý: Ta cũng có thể tính trực tiếp b
ij
=f(
i
,
j
).
257
4. a.Dạng song tuyến: f(x,y)=x
1
y
1
+2x
1
y
2
+2x
2
y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y

3
có ma trận B=
1 2 0
2 3 0
0 0 1










là ma trận đối xứng nên là dạng song tuyến đối xứng. Khi đó
f(x,x)=
x x x x x
1
2
1 2 2
2
3
2
4 3+ + +
là dạng toàn phơng trên R
3
.
b. f(x,y) có ma trận:

100
032
011
không đối xứng, nên
không là dạng toàn phơng.
c. f(x,y) có ma trận










100
232
121
không đối xứng nên không là
dạng toàn phơng.

5. a. Dễ dàng thấy f(x,y) đối xứng và
f(x,x)=
x t dt
2
0
1
( )

0 và chỉ bằng 0 khi x(t)0
nên f(x,y) là xác định dơng.
b. Ta có:
a
11
=
1
0
1
.dt

=1 , a
12
=
tdt
0
1

=
1
2
, a

13
=
t dt
2
0
1

=
1
3
, a
14
t dt
3
0
1

=
1
4
a
22
=
t dt
2
0
1

=
1

3
, a
23
=
t dt
3
0
1

=
1
4
, a
24
=
t dt
4
0
1

=
1
5
a
33
=
t dt
4
0
1

=
1
5
, a
34
=
t dt
5
0
1

=
1
6
, a
44
=
t dt
6
0
1

=
1
7
Vậy ma trận của f(x,y) là:
258
A=
1

1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
1
4
1
5
1
6
1
7

6.a.Bổ xung cho x
2
1
+6x
1
x
2
-4x

1
x
3
thành bình phơng đủ đợc:
f(x,x)=( x
1
+3 x
2
- 2x
3
)
2
-4 x
2
2
-4 x
2
x
4
-8x
3
x
4
- x
2
4

Bổ xung cho -4 x
2
2

-4 x
2
x
4
thành bình phơng đủ ta đợc
f(x,x)=( x
1
+3 x
2
- 2x
3
)
2
-(2x
2
+x
4
)
2
-8x
3
x
4
Đổi biến




=
+=

434
433
yyx
yyx
hay



=
+=
)(5,0
)(5,0
434
433
xxy
xxy
Khi đó f(x,x)=( x
1
+3 x
2
- 2x
3
)
2
-(2x
2
+x
4
)
2

-8
2
3
y
+8
2
4
y
Thực hiện phép đổi biến







=
+=
+=
+=
434
433
422
3211
5,05,0
5,05,0
2
23
xxy
xxy

xxy
xxxy
hay







=
+=
+=
++=
434
433
4322
43211
5,05,05,0
5,05,35,1
yyx
yyx
yyyx
yyyyx
Ta đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc
f(x,x)=y
2
1
- y
2

2
- 8y
2
3
+8y
2
4

Chỉ số quán tính q=4, ma trận chuyển từ cơ sở ban đầu về cơ sở
chính tắc là
T=
1
5,05,000
5,05,000
1020
0231

=

















1100
1100
5,05,05,00
5,05,35,11

259
Đó là ma trận của hệ cơ sở chính tắc {
1
,

2
,
3
,
4
} do đó toạ độ
của chúng trong cơ sở ban đầu và ma trận chéo B là:

1
=
1
0
0
0













2
=

0
0
2
1
2
3

3
=

1
1
2
1
2
7

4
=

1
1
2
1
2
1
B=T
-1
AT=

8000
0800
0010
0001
b. f(x,x)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+2x
3
)
2
+
2
3
x
T=

100
210
211
q=3
c. f(x,x)=(x
1
-2x
2
)
2
+(x
3
-2x
1
)
2
-4
2
1

x
T=



















110
4
1
0
2
1
2
1
00

q=3
c d. f(x,x)=2
2
3
'x
-3
2
1
'x
+
2
2
'x
T=











101
011
011
q=3
e. f(x,x)=(x

1
+x
2
+x
3
)
2
+2
2
2
x
-2
2
3
x
T=












110
110

021
q=3
d f. f(x,x)=
2
43
2
43
2
2
2
1
)()
2
()
2
( xxxx
xx
x +++

260
e T=

1000
0100
0010
005,01
7.a. Ma trận của f(x,x) là: A=
2 1 2
1 1 0
2 0 5










Ta có:
1
=2 ,
2
= 1 ,
3

=1
Vậy
1
=x
11
=
1
2
,
2
=x
22
=2 ,
3
=x
33
= 1
f(x,x)=
1
2
y
2
1
+ 2y
2
2
+ y
2
3

Để xác định {
1
,
2
,
3
} ta có:

1
= x
11
e
1
=
1
2
e
1
=(
1
2
,0,0)

2
= x
12
e
1
+ x
22

e
2
= x
12
e
1
+2e
2
Với x
12
a
21
+ x
22
a
22
= x
12
+1.2=0 x
12
=-2
vậy
2
= -2e
1
+2e
2
=(-2,2,0)

3

= x
13
e
1
+ x
23
e
2
+x
33
e
3
Lập hệ phơng trình với các ẩn cần tìm là x
13
,x
23
,x
33
với x
33
=1

2 2 1 0
0
2 51 1
13 23
13 23
13
x x
x x

x
+ + =
+ =
+ =





.
.
cho nghiệm x
13
= -2 , x
23
=2
Vậy
3
= -2e
1
+2 e
2
+e
3
=(-2,2,1)
Ma trận chuyển cơ sở T, và ma trận B của f(x,x) trong cơ sở
{
1
,
2

,
3
} là:
261
T=
1
2
2 2
0 2 2
0 0 1
− −














B=T
T
AT=
1
2

0 0
0 2 0
0 0 1














b. f(y,y)=
2
3
2
2
2
1
7
3
3
1
yyy +−
c. f(y,y)=

2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
yyy −+
8. a. f(x,x)=
2
3
2
32
2
2
1
3
)
3
4
(
2
3
)
2
(2









+






−+






+
x
xx
x
x
b. f(x,x)=(x
1
-x

2
)
2
+
2
3
2
4
2






+
x
x
+
2
3
4
15









x
c.f(x,x)=
2
3
2
3
1
2
3
2
1
)26(
4
87
8
24
2 xx
x
x
x
x
+









−−












++
d. f(x,x)=(x
1
+x
2
+2x
3
)
2
-(x
2
-x
3
)
2
-

2
3
x
e. f(x,x)=
2
1
2
21
2
3
2
1
2
3
22
2
2
2








−







+−






++ x
xx
x
x
x
9. XÐt ma trËn cña f(x,x)
A=










−
−
820

22
01
λ
λ
Ta cã:
1
∆
=1>0
2
1
2
λ
λ
=∆
=2- λ
2
>0 khi
22 <<−
λ
820
22
01
3
−
−=∆
λ
λ
=12 - 8λ
2
>0 Khi

2
3
2
3
<<−
λ
262
Vậy các giá trị nguyên để f(x,x) xác định dơng là =-1, =0
và =1.
10.a. >4 b. Không tồn tai c.
5
6

<<
5
6
d. 1<<1
11. a. Ta có
1
=1,
1101
1
1
2
2
<<>== aa
a
a
23
3

321
1
1
1
aa
aa
aa
aa
+==
=
2
1
0)12()1(
2
>>+ aaa
nên để
0,0
32
>>
thì a phải thoả mãn
2
1

<a<1, khi đó A
xác định dơng.
b.
1
=1,
2
=4-a

2
,
3
=-a
3
+8a-17. Trên [-2,2], f(a)=-a
3
+8a-17<0
nên không tồn tại a để ma trận xác định dơng.
c. Không tồn tại a để ma trận xác định dơng.
7.3 Không gian với tích vô hớng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa: Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng số
thực R. Ta nói rằng trên E xác định một tích vô hớng nếu mỗi
cặp x,yE đợc ứng với một số thực gọi là tích vô hớng của x,y
ký hiệu <x,y> thoả mãn các điều kiện:
(i) <x,y>=<y,x>
(ii) <x,y>=<x,y> R
(iii) <x+x,y>=<x,y>+<x,y>
(iv) <x.x>0 xE và <x,x>=0 x=
Khi đó E đợc gọi là không gian với tích vô hớng.
Nếu E là một không gian tuyến tính n chiều thì ta cũng gọi E
là không gian với tích vô hớng n chiều.
Hệ quả: Mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) đối xứng xác định d-
ơng là một tích vô hớng trên E. Ngợc lại, mỗi tích vô hớng <x,y>
263
là một dạng song tuyến đối xứng xác định dơng và f(x,x)=<x,x>
là một dạng toàn phơng xác định dơng trên E.
Định nghĩa: Ta gọi độ dài hay chuẩn của x là số

||x||=
< >x x,
hay <x,x>=||x||
2
1=a
thì a là véc tơ đơn vị. x,
x
x
là véc tơ đơn vị của x.
Khi đó d(u,v)= ||u-v|| gọi khoảng cách giữa hai véc tơ u,v.
2. Các tính chất đơn giản
a. Bất đẳng thức Bunhiacopski_Cauchy
<x,y> ||x|| ||y|| x,yE
b. Bất đẳng thức tam giác
||x+y|| ||x|| + ||y|| x,yE
Trờng hợp x,y trực giao <x,y>=0 ta có:
||x+y||
2
=||x||
2
+||y||
2

đó là định lý Pythagot trong không gian có tích vô hớng.
Định nghĩa: Gọi là góc giữa x và y nếu
cos()=
< >x y
x y
,
0

Khi đó: Nếu =
2

x,y đợc gọi là hai véc tơ trực giao.
Nếu =0 hay = x,y là hai véc tơ đồng phơng.
Nếu x= hoặc y= ta quy ớc góc tuỳ ý.
Hệ quả
1. x,y trực giao <x,y>=0.
2. x,y đồng phơng x=y.
3. Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa: Ta nói hệ m véc tơ {u
1
,u
2
, ,u
m
} là một hệ trực
giao trong không gian với tích vô hớng E nếu:
< u
i
, u
j
>=
u khi j i
khi j i
i
2
0
=

264
là một hệ trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao và mọi véc tơ của hệ
đều là véc tơ đơn vị hay
< u
i
,u
j
>=
1
0
khi j i
khi j i
=





Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính.
Định nghĩa: Cho U={u
1
,u
2
, ,u

n
} là một cơ sở của không gian
với tich vô hớng n chiều E khi đó
a. U đợc gọi là cơ sở trực giao nếu hệ là trực giao.
b. U đợc gọi là cơ sở trực chuẩn nếu hệ trực chuẩn.
Hệ quả
1. Mọi cơ sở trực giao đều đa đợc về cơ sở trực chuẩn bằng
phép đổi biến:
i
=
u
u
i
i
(i=1,2, ,n)
2. I={e
1
,e
2
, ,e
n
} là một cơ sở trực giao khi và chỉ khi trên I
tích vô hớng có dạng:
<x,y>=
1
x
1
y
1
+

2
x
2
y
2
+ +
n
x
n
y
n
trong đó: x= x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ + x
n
e
n
và y= y
1
e
1
+ y
2
e

2
+ + y
n
e
n
còn
i
=<e
i
, e
i
> >0 (i=1,2, ,n)
3. Cơ sở W={
1
,
2
, ,
n
} là cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi
trên cơ sở đó
<x,y>=x
T
y= x
1
y
1
+ x
2
y
2

+ + x
n
y
n
với : x= x
1

1
+ x
2

2
+ + x
n

n
và y= y
1

1
+ y
2

2
+ + y
n

n
4. f(x,x) là dạng toàn phơng xác định dơng với ma trận A. Khi
đó tích vô hớng xác định bởi:

<x,y>=f(x,y)=x
T
Ay
nhận mọi cơ sở chính tắc của f làm cơ sở trực giao và mọi cơ sở
chuẩn tắc làm cơ sở trực chuẩn.
4. Trực giao hoá Gram_Smith
Định lý: Trong mọi không gian với tích vô hớng n chiều E đều
tồn tại cơ sở trực chuẩn.
Các bớc trực giao hoá:
1. Giả sử {e
1
,e
2
, , e
n
} là một cơ sở của E, hệ trực giao
{
1
,
2
, ,
n
} đợc xây dựng nh sau:
265
Chọn:
1
=e
1

2
= e
2
+
21

1
với
21
= -
< >
< >
e
2 1
1 1
,
,


Giả sử đã xây dựng đợc
1
,
2
, ,
k-1
là hệ k véc tơ trực giao, ta
xây dựng
k
nh sau

k
= e
k
+
k1

1
+
k2

2
+ +
kk-1

k-1

trong đó các
k1
,
k2
, ,
kk-1
là các số sau:

kj
= -
< >
< >
e
k j

j j
,
,


(j=1,2, ,k-1)
Lặp lại sau n lần ta đợc hệ n véc tơ {
1
,
2
, ,
n
} là một cơ
sở trực giao của E.
2. Với mỗi k=1,2, ,n thực hiện chuẩn hoá
*
k
=


k
k

ta thu đợc hệ {*
1
,*
2
, ,*
n
} là một cơ sở trực chuẩn của E.

5. Phần bù trực giao
Định nghĩa: Giả sử G là một không gian con của không gian
với tích vô hớng n chiều E khi đó tập
F={ yE: <y,x>=0 xG }
gọi là phần bù trực giao của G, ký hiệu FG.
Tính chất: 1. F là một không gian con và E=FG.
2.Nếu {u
1
,u
2
, ,u
r
} là một cơ sở của G và có ma trận















nrnn
r

r
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
thì F={x=(x
1
,x
2
, ,x
n
):<x,u
k
>=0 (k=1,2, ,r)}
hay F là tập các nghiệm của hệ phơng trình thuần nhất
266







=+++

=+++
=+++
0

0
0
2211
2222112
1221111
nnrrr
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

B. Bài tập
1.Chứng tỏ
a. f(x,y) = x
1
y
1
- x
1
y
2
- x
2
y
1

+2x
2
y
2
-2 x
2
y
3
-2 x
3
y
2
+8 x
3
y
3
là một tích vô hớng trên R
3
.
b. <x,y>=xycos(x,y)
là một tích vô hớng trên R
3
.
c. <x,y>= x
1
y
1
+ x
2
y

2
+ + x
n
y
n
là tích vô hớng trong R
n
và R
n
với tích vô hớng đó đợc gọi là
không gian Ơclit n chiều.
d. <f,g>=
f t g t dt( ) ( )


1
1
là tích vô hớng trên L[-1,1].
e. <x,y>= a
0
b
0
+a
1
b
1
+ +a
n
b
n

và <x,y>=

1
0
)()( dttytx

đều là tích vô hớng trên tập các đa thức
P
n
(t)={ x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n
}
với x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n
, y(t)=b
0
+b

1
t+ +b
n
t
n

f. <A,B>=

= =
2
1
3
1i j
ijij
ba
trên không gian các ma trận M
2x3.
2. Tìm bất đẳng thức Bunhiacopski_Cauchy của các tích vô h-
ớng trong bài tập 1.
3. Chứng minh rằng không gian véc tơ các số phức C là không
gian với tích vô hớng, với tích vô hớng đợc định nghĩa:
z
1
z
2
=x
1
x
2
+y

1
y
2
với z
1
=x
1
+iy
1
, z
2
=x
2
+iy
2
Tìm biểu thức của
z
nếu z=x+iy.
267
4. Với bất kỳ véc tơ x,y trong không gian với tích vô hớng E,
chứng minh các đẳng thc sau
(i)
x y x y x y+ + = +
2 2
2
2
2 2
(ii) <x,y>=
)(
4

1
22
yxyx +
(iii) <x,y>=
1
2
2
2
2
( )x y x y+
5. ánh xạ tuyến tính f: EF từ không gian với vô hớng E vào
không gian với tích vô hớng F đợc gọi là đẳng cự khi và chỉ khi
nó bảo toàn khoảng cách, tức là: d(f(x),f(y))=d(x,y) với bất kỳ
x,y thuộc E. Chứng minh ba điều kiện sau cho f là tơng đơng:
(i) f là đẳng cự.
(ii) f bảo toàn độ dài, nghĩa là
f x x( ) =
.
(iii) f bảo toàn tích vô hớng, nghĩa là
(f(x),f(y)>=<x,y>.
6. Chứng tỏ
a. Hệ U={ cos(2t ), cos(4t ), , cos(2nt )} là một hệ trực
chuẩn trên không gian L{-1,1}.
b.Hệ {1,t, ,t
n
} là cơ sở trực chuẩn trên P
n
(t) với tích vô hớng
<x,y>= a
0

b
0
+a
1
b
1
+ +a
n
b
n

nhng không là cơ sở trực chuẩn với tích vô hớng
<x,y>=

1
0
)()( dttytx

7. Chứng tỏ
<x,y>= x
1
y
1
+2x
2
y
2
+8x
3
y

3
- x
1
y
2
- x
2
y
1
-2x
2
y
3
- 2x
3
y
2
là một tích vô hớng trên R
3
. Tìm một cơ sở trực giao và một cơ
sở trực chuẩn bằng phép biến đổi dạng toàn phơng tơng ứng về
dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc. Kiểm tra hệ trực giao và trực
chuẩn đó bằng tích vô hớng đã cho.
8. Cho E là không gian với tích vô hớng, S là không gian con
của E sinh bởi hệ trực chuẩn: U={u
1
,u
2
, ,u
m

}, S=L(u
1
,u
2
, ,u
m
).
a. Chứng minh rằng véc tơ x của E thuộc S khi và chỉ khi
268
x=
< >
=

x u u
i i
i
m
,
1
b. Chứng minh rằng x thuộc S khi và chỉ khi yE:
<x,y>=
< >< >
=

x u u y
i i
i
m
, ,
1

9. Trong không gian với tích vô hớng, hệ cơ sở
U={u
1
,u
2
, ,u
n
} là cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi với mỗi x
thuộc E ta có x=
< >
=

x u u
i i
i
n
,
1
10. Cho S là không gian con của không gian với tích vô hớng
E sinh bởi tập các véc tơ trực chuẩn hữu hạn: S=L(u
1
,u
2
, ,u
m
)
a. Chứng minh rằng với mọi x bất kỳ thuộc S ta đều có
x
2
=

( , )< >
=

x u
i
i
m
2
1
b. Chứng minh rằng với mọi xS và yE ta có
<x,y>=
< >< >
=

x u u y
i i
i
m
, ,
1
c. Chứng minh rằng xE:
x
2

( , )< >
=

x u
i
i

m
2
1
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x thuộc L(u
1
,u
2
, ,u
m
).
11. Cho {e
1
,e
2
, ,e
n
} là hệ cơ sở trực chuẩn trong không gian
với tích vô hớng E, x là véc tơ bất kỳ thuộc E: x=x
1
e
1
+x
2
e
2
+
+x
n
e
n

. Chứng minh rằng
a. cos(
i
)=cos(x,e
i
)=
x
x x x
i
n1
2
2
2 2
+ + +
(i=1,2, ,n)
b. cos
2
(
1
)+cos
2
(
2
)+ +cos
2
(
n
)=1
12. Trong không gian Ơclid R
3

b a. Tìm các véc tơ trực giao với các véc tơ (1,2,1),(1,2,3).
b. Trực chuẩn hoá hệ véc tơ (1,1,1),(0,1,1),(0,0,2)
c. Tìm cơ sở trực giao của không gian con sinh bởi các véc
tơ: (0,1,2), (1,0,1)
269
13. Chứng tỏ
<x,y>=x
1
y
1
+2x
2
y
2
+8x
3
y
3
-x
1
y
2
-x
2
y
1
-2x
2
y

3
-2x
3
y
2

là một tích vô hớng trên R
3
. Trực chuẩn hoá hệ cơ sở sau:
e
1
=(1,0,0), e
2
=(0,1,0), e
3
=(0,0,1)
14. Chứng tỏ
<x,y>= x
1
y
1
-2 x
1
y
2
-2 x
2
y
1
+5 x

2
y
2
+2 x
2
y
3
+2 x
3
y
2
+5 x
3
y
3
là một tích vô hớng trên R
3
.
a. Tìm một cơ sở trực chuẩn của E.
b. Trực chuẩn hoá hệ véc tơ sau: (1,2,0),(1,0,3),(0,1,2)
15. Trong P
2
(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2

t[-1,1] xét tích vô hớng
<x,y>=
x t y t dt( ) ( )


1
1

Trực giao hoá hệ cơ sở: {1,t,t
2
}.
16. Trên R
3
tìm một cơ sở trực chuẩn với các tích vô hớng:
a. <x,y>= 4x
1
y
1
-4x
1
y
2
-4x
2
y
1
+5x
2
y
2

+2x
2
y
3
+2x
3
y
2
+5x
3
y
3
b. <x,y>= x
1
y
1
-2x
1
y
2
-2x
2
y
1
+5x
2
y
2
+x
1

y
3
+x
3
y
1
-x
3
y
2
-x
2
y
3
+5x
3
y
3
c. <x,y>=x
1
y
1
-x
1
y
2
-x
2
y
1

+4x
2
y
2
+2x
2
y
3
+2x
3
y
2
+8x
3
y
3
d. <x,y>=x
1
y
1
+2x
1
y
3
+2x
3
y
1
+x
2

y
2
+x
2
y
3
+x
3
y
2
+8x
3
y
3
e. <x,y>=x
1
y
1
+x
1
y
2
+x
2
y
1
+2x
2
y
2

+2x
2
y
3
+2x
3
y
2
+5x
3
y
3
17. Trong không gian Ơclit R
3
chứng tỏ hệ các véc tơ sau là
một cơ sở:
a. a
1
=(1,1,0), a
2
=(0,1,-1), a
3
=(0,0,1)
b. b
1
=(1,2,0), b
2
=(2,1,-1), b
3
=(1,0,1)

c. c
1
=(2,1,1), c
2
=(0,1,-1), c
3
=(3,0,1)
Trực chuẩn hoá các hệ cơ sở đó.
18. Cho G là không gian con sinh bởi tập các véc tơ
{a
1
,a
2
, ,a
m
}. Chứng minh rằng hệ cơ sở của phần bù trực giao F
của G là hệ nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất:





>=<
>=<
0,

0,
1
m
ax

ax
19. Trên không gian Ơclit R
3
cho a=(1,1,0),b=(-1,0,1)
270
a. Tìm phần bù trực giao F của G=L(a,b) và một cơ sở trực
chuẩn của R
3
chứa {a,b} và hệ véc tơ vừa tìm đợc.
b. Chứng tỏ mọi phần tử x của R
3
đều có biểu diễn duy nhất
x=y+z với yG, zF. Tìm biểu diễn của x=(1,2,1).
20. Trên không gian Ơclide R
3
và R
4
tìm cơ sở trực chuẩn của
phần bù trực giao của các không gian con sinh bởi các véc tơ sau
a. a=(1,0,1,0), b=(1,-1,0,1),c=(0,1,1,0)
b. a=(1,0,1,0),b=(1,-1,0,1),c=(0,1,1,1)
c. a=(1,0,1,-1),b=(1,0,0,1),c=(2,0,1,0)
d. a=(2,1,0,1),b=(1,2,1,0),c=(1,2,0,3)
e a=(1,0,3),b=(-1,2,1),c=(0,2,4)
f. a=(1,0,1,2),b=(1,2,01),c=(1,-1,0,2)
Trực chuẩn hoá hệ véc tơ đã cho và các véc tơ vừa tìm đợc.
21. Trên R
4
cho x=(1,3,-1,3), a=(1,-1,1,1), b=(5,1,-3,3). Tìm
yL{a,b}, zF trực giao với L{a,b} sao cho x=y+z. Biểu diễn

đó có duy nhất không?
22. Trong không gian ơclid R
4
gọi M là không gian con sinh
bởi các véc tơ u
1
=(1,5,-1,-1), u
2
=(2,-1,1,1). Hãy tìm véc tơ đơn vị
thuộc M và trực giao với v=(2,-3,0,-1).
C. Lời giải hơng dẫn hoặc đáp số
1. a. Vì f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng, vì vậy ta chỉ
cần chứng tỏ ma trận của nó xác định dơng. Ta có ma trận của f
là: A=













820
221
011

có
1
=1>0,
2
=1>0,
3
=4>0 nên f xác
định dơng.
b.c.d.e,f: Kiểm tra theo định nghĩa hoặc thực hiện tơng tự a.
2. a. Chứng tỏ
),(),(),(
2
yyfxxfyxf
b.
yxyxyx ),cos(

c.
x y x y
i i
i
n
i
i
n
i
i
n
= = =

1
2
2
1
2
1
271
d.


ì

1
1
2
1
1
2
2
1
1
)()()()( dttgdttfdttgtf

e.

===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
baba
0
2
0
2
2
0



ì

1
1
2
1
1
2
2
1
1
)()()()( dttydttxdttytx

f.

= = === =
ì

2
1
2
1
3
1
2
3
1
2
2
2
1
3
1 i i j
ij
j
ij
i j
ijij
baba
3. Hiển nhiên <z
1
,z
2
>=x
1
x
2

+y
1
y
2
là một số thực. Kiểm tra 4
tính chất ta có:
+ <z
1
,z
2
>=<z
2
,z
1
>
+ <z
1
,z
2
>=<z
1
,z
2
>
+ <z
1
+z
2
,z
3

>=<z
1
,z
3
>+<z
2
,z
3
>
+ <z,z>=x
2
+y
2
0 chỉ bằng 0 khi x=y=0.
+
22
yxz +=
, (z=x+iy)
4. Ta có
2
yx +
=<x+y,x+y>=<x,x>+2<x,y>+<y,y>=
22
yx +
+2<x,y>
2
yx
=<x-y,x-y>=<x,x>-2<x,y>+<y,y>=
22
yx +

-2<x,y>
Vậy ta có:
a.
( )
2222
2 yxyxyx +=++
b. <x,y>=
( )
22
4
1
yxyx +
c.<x,y>=
( )
222
2
1
yxyx +
5. a. f là đảng cự nên d(f(x)-f(y))=d(x-y), chọn y= ta đợc:
d(f(x)-f())=d(x-) hay
xxf =)(
b. Từ
xxf =)(
và bài 4. Ta có:
272