Dạng toàn phương

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.87 KB, 13 trang )

Chu
.
o
.
ng 4
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
4.1
´
Anh xa
.
song tuyˆe
´
n t´ınh, da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh.
4.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa.
D
-
i

.
nh nghı
˜
a 4.1. Gia
’
su
.
’
L, M, N la` ca´c khˆong gian vecto
.
trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
K.
´
Anh xa
.
:
f : L × M → N
(x, y) → f(x, y)
d¯u
.
o
.
.
c go
.

i la` a´nh xa
.
song tuyˆe
´
n tı´nh nˆe
´
u no´ tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆo
˜
i biˆe
´
n,
nghı
˜
a la`:
(i) ∀x
1
, x
2
∈ L, ∀y ∈ M : f(x
1
+ x
2
, y) = f(x
1

, y) + f(x
2
, y);
(ii) ∀x ∈ L, ∀y ∈ M, ∀λ ∈ K : f(λx, y) = λf(x, y);
(iii) ∀x ∈ L, ∀y
1
, y
2
∈ M : f(x, y
1
+ y
2
) = f(x, y
1
) + f(x, y
2
);
(iv) ∀x ∈ L, ∀y ∈ M, ∀µ ∈ K : f(x, µy) = µf(x, y).
D
-
˘a
.
c biˆe
.
t, nˆe
´
u N = K, ta co´ d¯i
.
nh nghı
˜

a sau
D
-
i
.
nh nghı
˜
a 4.2. Gia
’
su
.
’
L, M la` ca´c khˆong gian vecto
.
trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
K.
´
Anh xa
.
song tuyˆe
´
n tı´nh:
f : L × M → K
(x, y) → f(x, y)
d¯u

.
o
.
.
c go
.
i la` da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh.
66
4.1.
´
Anh xa
.
song tuyˆe
´
n t´ınh, da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh. 67
Vı´ du
.
. Cho f : R
2
× R
2
→ R d¯u

.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh nhu
.
sau:
∀x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
f(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
+ 3x
2
y

1
la` mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh. (Ba
.
n d¯o
.
c tu
.
.
kiˆe
’
m tra)
4.1.2 Ma trˆa
.
n cu
˙’
a da
.
ng song tuyˆe
´
n t´ınh.
Cho E, F la` hai khˆong gian vector h˜u
.
u ha
.

n chiˆe
`
u trˆen tru
.
`o
.
ng K v´o
.
i hˆe
.
{e
1
, e
2
, ..., e
m
} la` co
.
so
.
’
cu
’
a E va` hˆe
.
{f
1
, f
2
, ..., f

n
} la` co
.
so
.
’
cu
’
a F . Cho:
f : E × F → K
(x, y) → f(x, y)
la` da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh, lu´c d¯o´ v´o
.
i mˆo
˜
i: x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ ··· + x
m
e

m
∈ E
va` y = y
1
f
1
+ y
2
f
2
+ ··· + y
n
f
n
∈ F , ta co´:
f(x, y) = f(
m

i=1
x
i
e
i
,
n

j=1
y
j
f

j
) =
m

i=1
n

j=1
x
i
y
j
f(e
i
, f
j
)
D
-
˘a
.
t f(e
i
, f
j
) = a
ij
, i = 1, m, j = 1, n. Ta co´:
f(x, y) =
m


i=1
n

j=1
a
ij
x
i
y
j
.
Ma trˆa
.
n c˜o
.
m × n:
A =




a
11
a
12
. . . a
1n
a
21

a
22
. . . a
2n
··· ··· ··· ···
a
m1
a
m2
. . . a
mn




d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` ma trˆa
.
n cu
’
a da
.
ng song tuyˆe
´

n tı´nh f theo hai co
.
so
.
’
{e
1
, e
2
, ..., e
m
}
cu
’
a E va` {f
1
, f
2
, ..., f
n
} cu
’
a F .
´
U
.
ng v´o
.
i mˆo
˜

i da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh f chı
’
co´ mˆo
.
t va` chı
’
mˆo
.
t ma trˆa
.
n d¯ˆo
´
i
v´o
.
i mˆo
.
t c˘a
.
p co
.
so
.
’
cho tru
.

´o
.
c cu
’
a E va` F , ngu
.
o
.
.
c la
.
i mˆo
.
t ma trˆa
.
n cho tru
.
´o
.
c
chı
’
xa´c d¯i
.
nh mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´

n tı´nh.
Vı´ du
.
. Trong c˘a
.
p co
.
so
.
’
chı´nh t˘a
´
c cu
’
a R
2
va` R
3
da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh
f : R
2
× R
3
→ R co´ biˆe
’
u th´u

.
c to
.
a d¯ˆo
.
la`
f(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
+ 3x
2
y
1
− x
2
y
2
− 6x
2
y
3
,
Ba`i gia
’
ng D

-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
68 4. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
∀x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
, y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
.

Vˆa
.
y ma trˆa
.
n cu
’
a f trong c˘a
.
p co
.
so
.
’
chı´nh t˘a
´
c cu
’
a R
2
va` R
3
la`

1 2 0
3 −1 −6

D
-
i
.

nh nghı
˜
a 4.3. Cho E la` mˆo
.
t K− khˆong gian vector, da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh
f : E × E → K
(x, y) → f(x, y)
d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng nˆe
´

u: f(x, y) = f(y, x),
∀x, y ∈ E.
Khi d¯o´ ro
˜
ra`ng ma trˆa
.
n cu
’
a da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng la` ma trˆa
.
n d¯ˆo
´
i
x´u
.
ng.
4.2 Da
.
ng to`an phu
.
o
.

ng.
4.2.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa.
Cho E la` mˆo
.
t K− khˆong gian vector va` f la` mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i
x´u
.
ng:
f : E × E → K
(x, y) → f(x, y)
´
Anh xa
.
ω : E → K
x → f(x, x)
d¯u
.
o

.
.
c go
.
i la` mˆo
.
t da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng trˆen E.
Nˆe
´
u E la` mˆo
.
t khˆong gian n− chiˆe
`
u va` {e
1
, e
2
, ..., e
n
} la` mˆo
.
t co
.
so

.
’
cu
’
a E,
khi d¯o´ ∀x ∈ E, x =
n

i=1
x
i
e
i
, x
i
∈ K, i = 1, n.
ω(x) = f(x, x) = f(
n

i=1
x
i
e
i
,
n

j=1
x
j

e
j
) =
n

i=1
n

j=1
x
i
x
j
f(e
i
, e
j
) =
n

i=1
n

j=1
a
ij
x
i
x
j

= a
11
x
2
1
+ a
22
x
2
2
+ ··· + a
nn
x
2
n
+ 2

1≤i<j≤n
a
ij
x
i
x
j
Trong d¯o´ a
ij
= f(e
i
, e
j

) = f(e
j
, e
i
) = a
ji
, ∀i, j = 1, n.
Vˆa
.
y ω(x) = X.A.X
t
, v´o
.
i X = [x
1
, x
2
, ..., x
n
] la` ma trˆa
.
n ha`ng biˆe
’
u diˆe
˜
n toa
.
Ba`i gia
’
ng D

-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh
4.2. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng. 69
d¯ˆo
.
cu
’
a x va` A = (a
ij
) la` ma trˆa
.
n d¯ˆo
´
i x´u
.
ng go
.
i la` ma trˆa

.
n cu
’
a da
.
ng toa`n
phu
.
o
.
ng ω theo co
.
so
.
’
{e
1
, e
2
, ..., e
n
} cu
’
a E. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n A d¯u

.
o
.
.
c go
.
i la`
ha
.
ng cu
’
a da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω. Ngu
.
`o
.
i ta ch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
c r˘a
`

ng ha
.
ng cu
’
a
da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng khˆong phu
.
thuˆo
.
c va`o co
.
so
.
’
d¯a
˜
cho
.
n.
Da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo

´
i x´u
.
ng trong d¯i
.
nh nghı
˜
a d¯u
.
o
.
.
c xa´c d¯i
.
nh mˆo
.
t ca´ch
duy nhˆa
´
t bo
.
’
i da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω theo cˆong th´u
.

c sau:
f(x, y) =
1
2
[ω(x + y) − ω(x) − ω(y)]
va` no´ d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` da
.
ng d¯ˆo
´
i cu
.
.
c cu
’
a da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω.
Vı´ du
.

. Da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh
f(x, y) = x
1
y
1
− x
1
y
2
− x
2
y
1
+ 2x
1
y
3
+ 2x
3
y
1
− 5x
2
y
2
+ 4x

2
y
3
+ 4x
3
y
2
+ x
3
y
3
la` mˆo
.
t da
.
ng song tuyˆe
´
n tı´nh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng va` ma trˆa
.
n cu
’
a no´ la`


1 −1 2
−1 −5 4

2 4 1


Da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng la`:
ω(x) = x
2
1
− 2x
1
x
2
− 5x
2
2
+ 4x
1
x
3

+ 8x
2
x
3
+ x
2
3
.
4.2.2 D
-
u
.
a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh tˇa
´
c.
Trˆen K− khˆong gian vector n chiˆe
`
u E ´u
.
ng v´o

.
i mˆo
.
t co
.
so
.
’
(e) = {e
1
, e
2
, ..., e
n
}
d¯a
˜
cho, da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω co´ biˆe
’
u th´u
.
c to
.
a d¯ˆo

.
la`
ω(x) =
n

i=1
n

j=1
a
ij
x
i
x
j
v´o
.
i ∀x ∈ V va` to
.
a d¯ˆo
.
cu
’
a x trong co
.
so
.
’
(e) la` x = (x
1

, x
2
, ..., x
n
).
Ta se
˜
d¯i tı`m mˆo
.
t co
.
so
.
’
kha´c cu
’
a E sao cho to
.
a d¯ˆo
.
cu
’
a vector x = (y
1
, y
2
, ..., y
n
)
va`

ω(x) = λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ ··· + λ
n
y
2
n
(∗)
trong d¯o´ λ
i
∈ K, i = 1, n.
Da
.
ng (*) d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` da
.

ng chı´nh t˘a
´
c cu
’
a da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω, ca´c hˆe
.
sˆo
´
λ
i
, i = 1, n d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` ca´c hˆe
.
sˆo
´
chı´nh t˘a
´
c, co

.
so
.
’
cu
’
a E la` cho biˆe
’
u th´u
.
c to
.
a
d¯ˆo
.
cu
’
a ω co´ da
.
ng chı´nh t˘a
´
c d¯u
.
o
.
.
c go
.
i la` co
.

so
.
’
chı´nh t˘a
´
c. Ma trˆa
.
n cu
’
a da
.
ng
toa`n phu
.
o
.
ng ω lu´c na`y co´ da
.
ng che´o.
Ba`i gia
’
ng D
-
a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n tı´nh

70 4. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
Sau d¯ˆay la` mˆo
.
t sˆo
´
phu
.
o
.
ng pha´p d¯u
.
a mˆo
.
t da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng chı´nh

t˘a
´
c:
4.2.2.1 Phu
.
o
.
ng pha´p Lagrange.
Cho da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω trˆen K− khˆong gian vector n chiˆe
`
u E v´o
.
i biˆe
’
u
th´u
.
c to
.
a d¯ˆo
.
trong mˆo
.
t co

.
so
.
’
(e) = {e
1
, e
2
, ..., e
n
} d¯a
˜
cho la`
ω(x) =
n

i=1
n

j=1
a
ij
x
i
x
j
v´o
.
i ∀x ∈ V va` to
.

a d¯ˆo
.
cu
’
a x trong co
.
so
.
’
(e) la` x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
).
´
Y tu
.
o
.
’
ng co
.
ba
’
n cu
’
a Thuˆa
.

t toa´n Lagrange d¯ˆe
’
d¯u
.
a da
.
ng toa`n phu
.
o
.
ng ω vˆe
`
da
.
ng chı´nh t˘a
´
c la` la`m xuˆa
´
t hiˆe
.
n bı`nh phu
.
o
.
ng dˆa
`
n d¯ˆo
´
i v´o
.

i t`u
.
ng biˆe
´
n d¯ˆe
’
gia
’
m
dˆa
`
n sˆo
´
biˆe
´
n.
Nˆo
.
i dung thuˆa
.
t toa´n:
* Bu
.
´o
.
c 1. Biˆe
´
n d¯ˆo
’
i d¯ˆe

’
d¯u
.
a ω(x) vˆe
`
da
.
ng
ω(x) = a
1
x

2
1
+ ω
1
,
v´o
.
i a
1
∈ K, a
1
= 0 nˆe
´
u x
1
khˆong v˘a
´
ng m˘a

.
t trong biˆe
’
u th´u
.
c to
.
a d¯ˆo
.
cu
’
a ω, ω
1
la` biˆe
’
u th´u
.
c chı
’
ch´u
.
a x
2
, x
3
, ..., x
n
.
* Bu
.

´o
.
c 2. Biˆe
´
n d¯ˆo
’
i d¯ˆe
’
d¯u
.
a ω
1
(x) vˆe
`
da
.
ng
ω
1
(x) = a
2
x

2
2
+ ω
2
,
v´o
.

i a
2
∈ K, a
2
= 0 nˆe
´
u x
2
khˆong v˘a
´
ng m˘a
.
t trong biˆe
’
u th´u
.
c to
.
a d¯ˆo
.
cu
’
a ω
1
, ω
2
la` biˆe
’
u th´u
.

c chı
’
ch´u
.
a x
3
, x
4
, ..., x
n
.
C´u
.
tiˆe
´
p tu
.
c nhu
.
thˆe
´
, nhiˆe
`
u nhˆa
´
t sau n bu
.
´o
.
c, ω se

˜
la` tˆo
’
ng ca´c bı`nh phu
.
o
.
ng,
t´u
.
c ω co´ da
.
ng chı´nh t˘a
´
c.
Vı` ca´c bu
.
´o
.
c la` hoa`n toa`n tu
.
o
.
ng tu
.
.
nˆen sau d¯ˆay ta chı
’
cˆa
`

n trı`nh ba`y ro
˜
bu
.
´o
.
c 1. Co´ hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p (phu
’
d¯i
.
nh lˆa
˜
n nhau) sau d¯ˆay:
* Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p 1. a
11
, a

22
, a
nn
khˆong d¯ˆong th`o
.
i triˆe
.
t tiˆeu (t´u
.
c la` ω ch´u
.
a ı´t
nhˆa
´
t mˆo
.
t bı`nh phu
.
o
.
ng cu
’
a mˆo
.
t biˆe
´
n na`o d¯o´). Khˆong mˆa
´
t tı´nh tˆo
’