Ma trận_ Định thức pps

1
Chơng 2
Ma trận_ Định thức

2.1 Ma trận
1. Khái niệm về ma trận
Định nghĩa 2.1: Ma trận cấp mìn là một bảng chữ nhật gồm m.n số trên trờng K đợc xếp thành m
hàng và n cột.
Mỗi ma trận đợc ký hiệu bởi một chữ cái in hoa. Ma trận A đợc ký hiệu là
A=














mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211
(2_1)
Hoặc:
A= (a
ij
)
m
ì
n
(i=
m,1
;j=
n,1
) (2_2)
Trong đó a
ij
là phần tử nằm trên hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A, i gọi là chỉ số hàng j gọi là
chỉ số cột của a
ij
.
Nếu m=n, A đợc gọi là ma trận vuông cấp n, và ký hiệu A=(a
ij
)
nxn
. Khi đó các phần tử nằm trên đ-

ờng chéo từ góc trên bên trái xuống góc dới bên phải: a
11
,a
22
, ,a
nn
, gọi là các phần tử trên đờng chéo
chính, các phần tử nằm trên đờng chéo từ góc trên bên phải xuống góc dới bên trái: a
1n
,a
2n-1
, ,a
n1
gọi
là các phần tử trên đờng chéo phụ. Ta gọi tổng các phần tử trên đờng chéo chính là Vet(A), vậy:
Vet(A)=a
11
+a
22
+ +a
nn
Ví dụ 2.1: Ma trận cấp 3
ì
4 thực:
A=

45,652
45104
0248
Có: a
11
=8 a
12
=4 a
13
=2 a
14
=0
a
21
=4 a
22
=10 a
23
=5 a
24
=4
a
31
=2 a
32

=5 a
33
=6,5a
34
=4
Ma trận vuông cấp 3 phức:
B=
1 2 3 1
12 2 2
3 4 9 2 12
+
+
+ +










i i i
i i i
i i

Có Vet(B)=1+i+i+12=13+2i.
Một ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không, ký hiệu là .
=

0 0 0
0 0 0
0 0 0
















Một ma trận vuông cấp n mà các phần tử trên đờng chéo chính đều bằng 1 và mọi phần tử còn lại
đều bằng 0 gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là I
I=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

2. Các phép toán trên ma trận
a. Hai ma trận bằng nhau
Hai ma trận A,B đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử tơng ứng bằng nhau,
ký hiệu A=B. Nh vậy:
A=(a
ij
)
m
ì
n
=B=(b
ij
)
m
ì
n
a
ij
=b

ij
(i=
m,1
;j=
n,1
) (2_3)
b. Phép cộng ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp A=(a
ij
)
m
ì
n
và B=(b
ij
)
m
ì
n
, tổng của A và B là một ma trận cùng cấp
C=(c
ij
)
m
ì
n
, ký hiệu: C=A+B với:
c
ij
=a

ij
+b
ij
(i=
m,1
;j=
n,1
) (2_4)
Nh vậy muốn cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử tơng ứng của hai ma trận với nhau.
Các tính chất : Từ tính chất của phép cộng hai số ta có các tính chất sau của phép cộng ma trận
1. Tính giao hoán: A+B=B+A
2. Tính kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C)
3. A+ = +A=A
c. Phép nhân một số với một ma trận
Tích của một số k với một ma trận A=(a
ij
)
m
ì
n
là một ma trận C=(c
ij
)
m
ì
n
,ký hiệu C=k.A, với:
c
ij
=k.a

ij
(i=
m,1
;j=
n,1
) (2_5)
Nh vậy muốn nhân một số với một ma trận ta nhân số đó với mọi phần tử của ma trận.
Các tính chất:
1. Tính kết hợp: (k.t)A=k(t.A)
2. Tính phân bố với phép cộng ma trận: k.(A+B)=k.A+k.B
3. Tính phân bố với phép cộng các số: (k+t).A=k.A+t.A
d. Phép trừ ma trận
Ta gọi hiệu của hai ma trận cùng cấp A và B là một ma trận cùng cấp C, ký hiệu: C=A-B, với:
C=A+(-1).B (2_6)
e. Phép nhân ma trận
Ta gọi tích của ma trận A=(a
ik
)
m
ì
n
cấp mìn với ma trận B=(b
kj
)
n
ì
p
cấp nìp là một ma trận C=(c
ij
)

m
ì
p
cấp mìp ký hiệu: C=A.B mà các phần tử c
ij
đợc xác định nh sau:
c
ij
=
a b
ik kj
k
n
=

1
(i=
m,1
;j=
p,1
) (2_7)
Nh vậy c
ij
bằng tổng của tích các phần tử trên hàng i của ma trận A với các phần tử tơng ứng trên cột j
của ma trận B.
Ma trận C có số hàng bằng số hàng của ma trận A, có số cột bằng số cột của ma trận B.
Ví dụ 2.2: Cho A và B là các ma trận:
a. A=

1021
1510
4321
B=














1 2
0 1
2 2
1 4

Khi đó tích C=A.B có các phần tử là:
c
11
=1.(-1)+2.0+3.2+4.1=9 c
12
=1.2+2.1+3.(-2)+4.4=14
c
21
=0.(-1)+1.0+5.2+1.1=11 c
22
=0.2+1.1+5.(-2)+1.4=-5
c
31
=(-1)(-1)+2.0+0.2+1.1=2 c
32
=(-1).2+2.1+0(-2)+1.4=4
hay C=
9 14
11 5
2 4

b. A=
1 2
0 1






, B=
2 1
1 0







AB=
4 1
1 0

, BA=
2 3
1 2






Tính chất:
1. Tính kết hợp: (A.B).C=A.(B.C)
2. Tính phân bố với phép cộng:
Chng 2 2
(A+B).C=A.C+B.C A(B+C)=AB+AC
3. Với mọi ma trận vuông A cấp n thì
a. A.I=I.A=A
b. A
k
=A.A A (k lần)
Trong đó A
0
=I , còn I là ma trận đơn vị cùng cấp với A.
Chúng ta chứng minh cho tính kết hợp: Giả sử các ma trận có các cấp tơng ứng là: A=(a
ik
)
m
ì
n
,

B=(b
kl
)
n
ì
p
, C=(c
lj
)
p
ì
q
. Đặt
D=(A.B).C =(d
ij
)
m
ì
q
, D=A.(B.C)=(d
ij
)
m
ì
q
Khi đó:
d
ij
=
a b c a b c

ik kl
k
n
lj ik kl lj
k
n
l
p
l
p
= ===







=
1 111
=

= = = =

=
n
k
p
l
n
k
p
l
ljklikljklik
cbacba
1 1 1 1
(i=
m,1
;j=
q,1
)
Từ đó có D=D hay phép nhân ma trận có tính kết hợp.
Chú ý :
1. Ví dụ 2.2.b chứng tỏ phép nhân ma trận không giao hoán. Khi đó một ma trận vuông giao
hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp ta gọi là ma trận vô hớng.
2. ứng dụng các phép toán trên ma trận ta có thể lập đa thức trên các ma trận vuông. Cho đa
thức P
n
(x)=a
0
+a
1
x+ +a

n
x
n
và ma trận vuông A cấp m, khi đó:
P
n
(A)=a
0
I+a
1
A+ +a
n
A
n
gọi là một đa thức trên A. Hiển nhiên P
n
(A) cũng là một ma trận vuông cấp n.
Ví dụ 2.3: Cho P
2
(x)=2+x-x
2
và A=

11
21
, tính P
2
(A).
Ta có:
A
2
=








11
21








11
21
=

12
41
Vậy
P
2
(A)=2








10
01
+

11
21
-










12
41
=

41
24
Ví dụ 2.4: Tính A
n
biết A=
2 1
3 2








Ta có:
A
2
=A.A=
2 1
3 2








2 1

3 2








=
1 0
0 1






= I
Nên nếu:
n=2k: A
n
=A
2k
=A
2
A
2
A
2

=I
n=2k+1: A
n
=A
2k
.A=A
2
A
2
A
2
A=IA=A
f. Chuyển vị
Chuyển vị của A=(a
ij
)
m
ì
n
là ma trận nhận đợc từ A bằng cách đổi hàng thành cột và đổi cột thành
hàng, ký hiệu A
T
. Nh vậy A
T
=(a
ij
)
n
ì
m

=(a
ji
)
n
ì
m
,là ma trận cấp nìm, hiển nhiên: (A
T
)
T
=A.
Ví dụ 2.5: A=
0 1
1 0
0 1
2
2
2
e e
e e
e e

, A
T
=
0 1
1
0
0 1
2
2
2
e
e e
e e
e

g. Tổ hợp tuyến tính của các cột hoặc các hàng
Cho ma trận A=(a
ij
)
m
ì
n
, gọi các ma trận cấp mì1:
Chng 2 3
a
1
=
a
a
a
m
11
21
1

a
2
=
a
a
a
m
12
22
2













a
n
=
a
a

a
n
n
mn
1
2














là các véc tơ cột của A, với mỗi cặp k số x
1
,x
2
, ,x
k
(1 kn) gọi:
x
1
.a

1
+x
2
.a
2
+ +x
k
.a
k
=
= x
1

a
a
a
m
11
21
1

+x
2

a
a
a
m
12
22
2













+ +x
k

a

a
a
k
k
mk
1
2














=
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
k k
k k
m m mk k
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2

1 1 2 2
+ + +
+ + +
+ + +
















(2_8)
Là một tổ hợp tuyến tính của k cột tơng ứng của A.
Tơng tự ta gọi các ma trận cấp 1ìn:
a
1
= ( a
11
a
12
a

1n
)
a
2
= ( a
21
a
22
a
2n
)
- - - -
a
m
= ( a
m1
a
m2
a
mn
)
là các véc tơ hàng của A, và với k số x
1
,x
2
, ,x
k
(1km ) ta gọi biểu thức:
x
1

.a
1
+x
2
a
2
+ +x
k
.a
k
là một tổ hợp tuyến tính của k hàng tơng ứng của A.
3. Một số ma trận dạng đặc biệt
a. Ma trận tam giác trên
Là ma trận vuông cấp nxn mà mọi phần tử nằm bên dới đờng chéo chính đều bằng 0, ký hiệu U,
vậy:
U=
u u u
u u
u
n
n
nn
11 12 1
22 2
0
0 0

b. Ma trận tam giác dới
Là ma trận vuông cấp nxn mà mọi phần tử nằm bên trên đờng chéo chính đều bằng 0, ký hiệu L,
vậy:
L=
l
l l
l l l
n n nn
11
21 22
1 2
0 0
0

c. Ma trận đờng chéo
Một ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử ở ngoài đờng chéo chính đều bằng 0 thì gọi là ma trận đ-
ờng chéo.
Dễ dàng thấy, nếu:
1. B=

n



00

0 0
0 0
2
1
thì B
k
=














k
n

k
k



00

0 0
0 0
2
1
Chng 2 4
2. D=














d
d
d

00

0 0
0 0
=d














1 00

0 10
0 01

là ma trận vô hớng hay nó giao hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp trong phép nhân ma trận.
d. Ma trận đối xứng
Là ma trận vuông A cấp nxn mà: A
T
= A hay
a

ij
= a
ji
(i=
n,1
; j=
n,1
).
Nếu A
T
=-A hay a
ij
=- a
ji
(i=
n,1
; j=
n,1
) thì A đợc gọi là ma trận phản đối xứng. Hiển nhiên A phản
đối xứng thì a
ii
=0 (i=
n,1
). Còn với mọi ma trận A, tích AA
T
và A
T
A là ma trận đối xứng.
Ví dụ 2.6: Cho A=
0 1

1 0
0 1
2
2
2
e e
e e
e e










khi đó với e=i tích:
AA
T
=
0 1
1 0
0 1
2
2
2
e e
e e

e e










0 1
1
0
0 1
2
2
2
e
e e
e e
e

=
1 0 2
0 1 0
2 0 1













d. Ma trận khối
(i) Phân chia một ma trận thành ma trận khối
Các đờng thẳng đứng và các đờng nằm ngang sẽ chia một ma trận A thành các khối hình chữ nhật,
mà mỗi khối là một ma trận có cấp nhỏ hơn cấp của ma trận A, khi đó ta gọi A là ma trận khối.
Ví dụ 2.7: Có thể phân ma trận A dới đây thành các khối nh sau:
A=
1 2 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1
0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0
1 0 1 2 1 0




















=
( ) ( )
1 2 1 1 0 1
1 1
0 1
1 1

1 0
1 0 1 1
1 1 0 1
0 0 1 0
1 2 1 0

Các khối của A là
A
11
=
( )
1 2
A
12
=

( )
1 1 0 1

A
21
=














1 1
0 1
1 1
1 0
A
22
=
1 0 1 1
1 1 0 1
0 0 1 0

1 2 1 0














Khi đó ta có thể viết: A=
A A
A A
11 12
21 22






.
Nh vậy mọi ma trận đều có thể xem là ma trận khối và có nhiều cách chia nó thành các khối.
(ii) Các phép toán trên ma trận khối
1. Giả sử A=(A

ij
)
nxp
, B=(B
ij
)
nxp
nếu mỗi tổng A
ij
+B
ij
có thể thực hiện thì
C=(C
ij
)
nxp
=A+B=(A
ij
+B
ij
)
nxp
.
2. Giả sử A=(A
ij
)
nxp
, B=(B
ij
)

pxm
nếu mỗi tích A
ik
.B
kj
có thể thực hiện và nếu: C
ij
=
A B
ik kj
k
p
.
=

1
thì C=A.B
Chng 2 5
Chú ý: Các phép toán trên ma trận khối rất có lợi trong việc giải phơng trình ma trận và có nhiều
ứng dụng trong kỹ thuật cơ khí và công trình. Chẳng hạn nếu A,B,C,D,P,Q,X,Y là các ma trận có số
chiều tơng thích để các phép toán ma trận cần thiết thực hiện đợc thì hệ phơng trình ma trận:



=+
=+
QDYCX
PBYAX

có thể đa về phơng trình ma trận:

DC
BA








Y
X
=








Q

P
(2_9)
và ngợc lại.
2.2 Định thức
1. Hoán vị và nghịch thế
a. Hoán vị
Cho tập các số N={1,2,3, ,n}. Ta gọi mỗi hoán vị của tập N là một song ánh: : NN từ N
vào chính nó.
Nếu
k
lk =)(

(k=
n,1
) hoán vị thờng đợc ký hiệu bằng một ma trận cấp 2xn:
=








n
lll
n

21
21

(2_10)
hay cho gọn:
={l
1
,l
2
, ,l
n
} (2_11)
Nh vậy mỗi hoán vị trên N là một cách sắp xếp n số tự nhiên 1,2, ,n, nên có n! hoán vị từ n số đã
cho.
b. Nghịch thế
Xét một hoán vị ={l
1
,l
2
, ,l
n
}, với mỗi cặp hai số (l
i
,l
j
) nếu i<j mà l
i
>l
j
hay:
(j-i). (l
j
-l

i
)<0 (2_12)
thì ta nói (l
i
,l
j
) lập thành một nghịch thế trong hoán vị .
Ví dụ 2.8: Với 3 số 1,2,3 ta lập đợc 3!=6 hoán vị:
{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2}
{1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}
Ta thấy:
{1,2,3} không có nghịch thế nào.
{2,3,1} có các nghịch thế: (2,1),(3,1).
{3,1,2} có các nghịch thế: (3,1),(3,2).
{1,3,2} có các nghịch thế: (3,2).
{2,1,3} có các nghịch thế: (2,1).
{3,2,1} có các nghịch thế: (3,2),(3,1),(2,1).
Nh vậy 3 hoán vị đầu có số nghịch thế là một số chẵn: 0,2,2, và 3 hoán vị sau có số nghịch thế là
một số lẻ: 1,1,3. Vì đổi vị trí hai phần tử trong một hoán vị cho nhau thì số nghịch thế sẽ tăng hoặc
giảm đi một số lẻ lần nên ta có các kết quả sau:
Mệnh đề: Số hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ và bằng
2
!n
.
Gọi số nghịch thế của hoán vị ={l
1
,l
2
, ,l
n

} là N(), và ký hiệu:
1 nếu N() chẵn
sgn()=(-1)
N(

)
= (2_13)
-1 nếu N() lẻ
Hàm sgn() gọi là hàm dấu của . Nh vậy với mỗi tập n số, số hoán vị có dấu dơng bằng số hoán
vị có dấu âm.
Bổ đề: Nếu hoán vị :NN có k nghịch thế thì nghịch đảo của nó:
-1
: NN cũng có k nghịch
thế, hơn nữa ma trận
=








n
lll
n

21
21
Chng 2 6

có thể đa về dạng

-1
=









n
n
21

11
2
1
1

(2_14)
bằng k phép đổi chỗ hai cột đứng cạnh nhau, trong đó ký hiệu
11
)(

=
k
k

.
2. Định nghĩa định thức
a. Định nghĩa
Cho ma trận vuông A =(a
ij
) cấp n, ta gọi định thức của A là số:
=
n
nlll
aaa )(sgn
21
21



(2_15)
Trong đó tổng lấy theo mọi hoán vị ={l
1
, ,l
n
} của {1, ,n}.
Định thức của ma trận A đợc ký hiệu: det(A) hay A.
det(A)=
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn

11 12 1
21 22 2
1 2




Nh vậy định thức của ma trận A cấp n là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử của
A lấy trên n hàng và n cột khác nhau, với dấu là dấu của hoán vị lập thành từ các chỉ số cột.
Vì det(A) là một số nên nó có thể khác hoặc bằng 0. Nếu det(A)0 ta nói rằng ma trận A không
suy biến, nếu det(A)=0 ta nói ma trận A suy biến.
b. Định thức của ma trận vuông cấp 3
A=
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33










Theo ví dụ 2.8 các hoán vị của 1,2,3, là:

1
={1,2,3} với sgn(
1
)=1
2
={2,3,1} với sgn(
2
)=1

3
={3,1,2} với sgn(
3
)=1
4
={1,3,2} với sgn(
4
)=-1

5
={2,1,3} với sgn(
5
)=-1
6
={3,2,1} với sgn(
6
)=-1
Khi đó:
det(A)=a
11

a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+a
13
a
21
a
32
-a
11
a
23
a
32
-a
12
a
21
a
33
-a
13

a
22
a
31
Nh vậy định thức của ma trận cấp 3 gồm:
Ba số hạng mang dấu dơng là:
1. Tích các phần tử trên đờng chéo chính.
2. Tích các phần tử trên tam giác có cạnh song song với
đờng chéo chính.
Ba số hạng mang dấu âm là:
1. Tích các phần tử trên đờng chéo phụ.
2. Tích các phần tử trên tam giác có cạnh song song với
đờng chéo phụ.
Với mô tả bằng hình vẽ nh sau:
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22

a
23
a
21
a
22
a
23
(2_16)
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
Đó chính là quy tắc Xariut cho định thức cấp 3.
Ví dụ 2.9: Tính định thức cấp 3
=
1 1 2
1 3 4
5 3 3

=1.3.(-3) + (-1).(-4)(-5) + 1.3.2
- 2.3.(-5) - 1.(-1).(-3) - 1.3.(-4)= -9-20+6+30-3+12=16
c. Định thức của ma trận cấp 2 và cấp 1
Vì 1,2 chỉ có các hoán vị {1,2} với sgn{1,2}=1 và {2,1} với sgn{2,1}=-1 nên với:
Chng 2 7
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
=
A=(a) có = a
3. Các tính chất của định thức
Tính chất 1: det(A)=det(A
T
)
Theo định nghĩa ta có:
det(A
T
)=


sgn()
n
n
aaa


21

21
(2_17)
Trong đó
j
j
a

là phần tử nằm ở cột thứ j và hàng thứ
j

của ma trận A. Theo bổ đề 1, n thừa số của
tích:
n
n
aaa


21
21
có thể sắp xếp lại thành dạng:
11
2
1
1

21

n
n
aaa

. Do

và

1
có cùng số nghịch
thế nên: sgn(

)=sgn(

1
), vậy :
det(A
T
)=



1
sgn(
-1
)
11
2
1
1

21

n
n
aaa

=det(A) (1_18)
Chú ý : Do tính chất 1, mọi tính chất của định thức đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngợc
lại. Vì vậy chúng ta sẽ chỉ chứng minh hoặc cho hàng hoặc cho cột.
Tính chất 2: Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) với số k thì định thức cũng đ-
ợc nhân với số k.
Ta chứng minh tính chất đối với hàng một, chứng minh tính chất đối với hàng bất kỳ hoàn toàn t-
ơng tự.
Giả sử các phần tử của hàng 1 đợc nhân với k, khi đó:
det(A)=
n
nlll
aaka ))((sgn
21
21



= k
n
nlll
aaa )(sgn
21
21

= k det(A)
Hệ quả 1: Thừa số chung của các phần tử của cùng một hàng hoặc một cột có thể đa ra ngoài dấu
định thức.
Do đó định thức có một hàng hoặc một cột gồm các phần tử bằng 0 thì bằng 0.
Tính chất 3: Nếu đổi chỗ hai cột (hoặc hai hàng) cho nhau thì định thức đổi dấu.
Nếu đổi chỗ hai cột cho nhau thì N() sẽ tăng thêm hoặc giảm đi một số lẻ lần, do đó sign() đổi
dấu với mọi , nh vậy mọi số hạng của (2_15) đều đổi dấu, vậy det(A) đổi dấu.
Hệ quả 2: Nếu có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau thì định thức bằng 0.
Ma trận A có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau, nếu ta đổi chỗ hai cột đó cho nhau, theo tính
chất 3, det(A) đổi dấu, nhng vì hai cột giống nhau nên khi đổi chỗ cho nhau ta vẫn nhận đợc A do đó
có: det(A)=- det(A). Chứng tỏ det(A)=0.
Tính chất 4: Nếu mỗi phần tử của một hàng i (hoặc cột j) là tổng của hai số, thì định thức đã cho
bằng tổng của hai định thức, mà mỗi định thức nhận đợc từ định thức ban đầu bằng cách thay phần tử
của hàng i (cột j) tơng ứng bằng một trong hai số đó.
Tơng tự tính chất hai, ta chứng minh tính chất đối với hàng một. Giả sử a
1j
=a
1j
+a
1j
Khi đó từ
(2_15):
det(A)==
n
nllll
aaaa )''')((sgn
211
211
+

=
n
nlll
aaa ')(sgn
21
21



+
n
nlll
aaa '')(sgn
21
21



= det(A)+det(A)
Tính chất 5: Nếu cộng vào một cột (hoặc hàng) một tổ hợp tuyến tính của các cột (hàng) khác thì
định thức không đổi.
Thật vậy, tách cột vừa nhận đợc thành cột gồm các phần tử của cột ban đầu và cột gồm các phần tử
của tổ hợp vừa cộng vào. Theo hệ quả 2 định thức thứ hai bằng không, nên có tính chất 5.
Hệ quả 3: Nếu một cột (hoặc hàng) của A là tổ hợp tuyến tính của các cột (hoặc hàng) khác thì
det(A)=0.
Chú ý: Khi tính định thức ta thờng áp dụng các tính chất trên đa định thức về dạng đơn giản rồi
mới tính.
Ví dụ 2.10: Tính định thức

Chng 2 8

=
210022002
310002003
110022001
Tách cột một thành hai cột đợc:

=
210022000
310002000
110022000
+
210022
310003
110021
Định thức thứ hai có hai cột bằng nhau nên bằng 0. Đặt 2000 làm thừa số chung cho cột một ta đợc:

=2000
210021
310001
110021
Lần lợt lấy hàng hai và hàng ba trừ hàng một đợc:
=2000
100
220
110021

=-4000
4. Khai triển định thức theo các phần tử của hàng (hoặc cột)

a. Định thức con và phần phụ đai số
Cho =det(A). Kí hiệu
ij
là định thức nhận đợc từ bằng cách bỏ đi hàng i và cột j ( hàng và
cột chứa phần tử a
ij
) và gọi là định thức con tơng ứng của phần tử a
ij
, và gọi A
ij
=(-1)
i+j

ij
là phần phụ
đại số của a
ij
.
b. Khai triển định thức theo các phần tử của hàng (và cột)
Định lý 2.1: Với mỗi hàng i hoặc cột j ta luôn có:
=
( ) =
+
==

1
11
i j
ij ij ij ij
j

n
j
n
a a A
(i=
n,1
) (2_19)
=
( ) =
+
==

1
11
i j
ij ij ij ij
i
n
i
n
a a A
(j=
n,1
) (2_20)
Chứng minh:
Ta chứng minh cho (2_19). Theo định nghĩa:
=det(A)=
n
nlll
aaa )(sgn

21
21



Với mỗi i xác định, số hạng
a a a
l l nl
n
1 2
1 2

chứa đúng một thừa số là phần tử của hàng i. Với j=
n,1
đặt a
ij
làm thừa số chung cho tất cả các số hạng chứa nó, và gọi A
ij
là hệ số của a
ij
.Khi đó:
det(A)=
a A
ij ij
j
n
=

1
(2_21)

Trơc tiên ta tính A
11
. Các tích trong det(A) chứa a
11
có dạng:
sgn()
a a a
l nl
n
11 2
2

với ={1,l
2
, ,l
n
}
Gọi
1
={l
2
,l
3
, ,l
n
} hiển nhiên N(
1
)=N() nên hệ số của a
11
là:

A
11
=
n
nll
aa )(sgn
2
1
21



Tổng lấy theo mọi hoán vị
1
của {2,3, ,n}, vậy: A
11
=
11
là định thức cấp n-1 của ma trận nhận đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1.
Tính A
ij
, từ det(A)= ta hãy đổi chỗ liên tiếp cột j cho cột j-1, sau đó đổi cột j-1 cho cột j-2, Đổi
chỗ hàng i cho hàng i-1, sau đó đổi hàng i-1 cho hàng i-2, Làm nh vậy ta sẽ đổi cột j về cột 1, đổi
hàng i về hàng 1, thứ tự các hàng và các cột khác vẫn giữ nguyên. Gọi định thức nhận đợc là , vì có
i-1 lần đổi hàng và j-1 lần đổi cột nên:
= (-1)
i-1
(-1)
j-1
=(-1)

i+j

Chng 2 9
Mà A
11
=
11
trong đó
11
là định thức cấp n-1 nhận đợc từ bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1, đó cũng chính là
định thức nhận đợc từ bằng cách bỏ đi hàng i cột j, hay
11
=
ij
. Nh vậy ta đợc:
A
ij
=(-1)
i+j

ij
(2_22)
chứng tỏ A
ij
là phần phụ đại số của a
ij
. Thay (2_22) vào (2_21) định lý đợc chứng minh.
Tơng tự ta có công thức tính theo các phần tử của cột j:
det(A)=
a A

ij ij
i
n
=

1
(2_23)
Ta thấy định lý trên cho phép tính định thức cấp cao qua các định thức cấp thấp.
Hệ quả 4:
a.
a A
kj ij
j
n
=

1
=0 với ik (2_24)
b.
a A
ik ij
i
n
=

1
=0 với jk (2_25)
Trong (2_24) ta đã thay hàng i bởi hàng k, nên nó là định thức có hàng i và hàng k giống nhau.
Trong (2_25) ta đã thay cột j bởi cột k, nên nó là định thức có cột j và cột k giống nhau nên chúng
bằng 0.

Ví dụ 2.11: Khai triển định thức cấp 3 theo hàng 1 ta đợc:
det(A)=a
11
a a
a a
22 23
32 33
- a
12
a a
a a
21 23
31 33
+a
13

a a
a a
21 22
31 32
=a
11
(a
22
a
33
-a
23
a
32

)-a
12
(a
21
a
33
-a
23
a
31
)+a
13
(a
21
a
32
-a
22
a
31
)
=a
11
a
22
a
33
+a
12
a

23
a
31
+a
13
a
21
a
32
-a
11
a
23
a
32
-a
12
a
21
a
33
-a
13
a
22
a
31
cũng là khai triển theo Xariut.
Ví dụ 2.12: Liên tiếp khai triển theo cột 1 định thức tam giác trên:
=

u u u
u u
u
n
n
nn
11 12 1
22 2
0
0 0




= u
11
u u
u
n
nn
22 2
0



= u
11
u
22
u

nn
(2_26)


Nh vậy định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử trên đờng chéo chính.
Tơng tự liên tiếp khai triển theo hàng một của định thức tam giác dới và định thức ma trận chéo ta
đợc:

=
nnnn
lll
ll
l


0
0 0
21
2221
11
l
11
l
nn
,
nn
d
d
d
00

0 0
0 0
22
11
=d
11
d
nn
Hiển nhiên ma trận đơn vị I có định thức bằng 1.
Khi tính định thức ta thờng áp dụng các tính chất của định thức đa định thức về các dạng trên rồi
lấy kết quả.
Ví dụ 2.13 : Tính định thức:
=
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Cộng các cột vào cột 1, rồi đa 3 làm thừa số chung ta đợc:
Chng 2 10
=
3 1 1 1
3 0 1 1
3 1 0 1
3 1 1 0
=3
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

Lấy các hàng trừ đi hàng 1 ta đợc:
=3
1000
0100
0010
1111



= -3
Ví dụ 2.14: Với e =cost+i.sint C, tính định thức:
=
0 1
1
0
2
2
e
e e
e e
Lấy hàng 1 nhân với -e cộng vào hàng hai
=
0 1
1 0 0
0
2
e
e e
=
32

10
0
001
e
e
ee =
=(cost+i.sint)
3
=(cos3t+i.sin3t)
Ví dụ 2.15: Tìm x để ma trận suy biến.
A=
1
1
1 1 1
2
x x
a x










Ta có =
1
1

1 1 1
2
x x
a x

Lấy hàng hai nhân với -x rồi cộng vào hàng thứ nhất, sau đó khai triển theo hàng thứ nhất:
=
1 0 0
1
1 1 1
ax
a x
= (1 -a.x) (1-x)
Nếu x=1 hoặc x=
1
a
(a0) thì A là ma trận suy biến.
Ví dụ 2.16: Định thức Wandermon
Tính định thức dùng công thức truy toán:
W
n
=
1 1 1
1 2
1
1
2
1 1

x x x
x x x
n
n n
n
n

Lần lợt với i=
2,n
lấy hàng i-1 nhân với (-x
1
) rồi cộng vào hàng i ta đợc:
Chng 2 11
W
n
=
)( )(0

)( )(0
1 11
1
2
12
2
2
112
xxxxxx
xxxx

n
n
n
n
n




Đa các thừa số chung ra ngoài và khai triển theo cột 1:
W
n
=(x
2
-x
1
) (x
n
-x
1
)
1 1 1
2 3
2
2
3
2 2

x x x
x x x
n
n n
n
n
Hay:
W
n
=(x
2
-x
1
) (x
n
-x
1
) W
n-1
Trong đó W
n-1
là định thức Wandermon cấp n-1 không chứa x
1
. Tiến hành liên tiếp các bớc nh trên
ta đợc:
W
n
=

<

nji
ij
xx
1
)(
(2_27)
Chú ý: Khi gặp định thức dạng Wandermon ta có thể áp dụng trực tiếp công thức (2_27).
Ví dụ 2.17:
Coi x
1
=1, x
2
=3, x
3
=5, x
4
=7 ta có:
==
333
222
444
333
222
7531
7531
7531
1111
7.5.3

7531
7531
7531
7531
=3.5.7.(3-1)(5-1)(7-1)(5-3)(7-3)(7-5)=2
3
.3.4
2
.5.6.7
Ví dụ 2.18: Tính định thức đa về dạng tam giác trên:
D
n
=
x a a a
a x a a
a a a x
a a a a
n
n
n
1 2 1
1 2 1
1 2 3
1 2 3
1
1
1
1

Lần lợt nhân cột cuối với -a
1
,-a
2
, ,-a
n
rồi cộng tơng ứng vào các cột
n,1
:
=
x a a a a a a a
x a a a a a
x a
n n
n n
n





1 1 2 2 3 1
2 2 3 1
1
0 1

0 0 0 1
0 0 0 0 1





=
( )x a
i
i
n

=

1

Ví dụ 2.19: Tính định thức:
V
n
=
a x x x
x a x x
x x a x
x x x a
n
1
2
3

Với a
i
x (i=
n,1
)
Lấy các hàng trừ đi hàng đầu
Chng 2 12
=
a x x x
x a a x
x a a x
x a a x
n
1
1 2
1 3
1
0 0
0 0
0 0

Đa a
1
-x từ cột 1,a
2
-x từ cột 2, ,a
n
-x từ cột n làm thừa số chung
V
n
=(a
1
-x)(a
2
-x) (a
n
-x)
1 001

0 101
0 011

321
1



xa
x

xa
x
xa
x
xa
a
n
Lấy tất cả các cột cộng vào cột 1 ta sẽ đợc định thức dạng tam giác trên nên bằng tích các phần tử
trên đờng chéo chính
V
n
=(a
1
-x)(a
2
-x) (a
n
-x)









++

+

xa
x
xa
x
xa
a
n

21
1
Ví dụ 2.20: Tính định thức áp dụng các định thức đã biết:
C
n
=
0

0
0
xxx
xxx
xxx

với x=cost-i.sint C.
áp dụng V
n
với a
1
=a
2
= =a

n
=0 ta đợc
C
n
=(n-1) (-1)
n-1
.x
n
Cũng có thể thực hiện: Cộng các cột vào cột một, sau đó lấy các hàng trừ đi hàng một, ta đa định
thức về dạng tam giác trên. Thay x=cost-i.sint ta đợc:
C
n
=(n-1)(-1)
n-1
(cost-i.sint)
n
=(n-1)(-1)
n-1
(cosnt-i.sinnt)
Ví dụ 2.21: Tính
U
n
=
0 1

01
01
11 110
xxx
xx x

xxx
Nếu x=0 khai triển theo cột n ta đợc U
n
=0.
Nếu x0 nhân hàng 1 và nhân cột 1 với x đợc:
U
n
=
1
2
x
0
0
0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x





Theo ví dụ 2.20 ta đợc: U
n
=
1
2
x
C

n
=(n-1).(-1)
n-1
.x
n-2
.
Chng 2 13
5. Định lý Laplace
Cho ma trận vuông cấp n: A=(a
ij
)
n
ì
n
và một số k: 1 k n. Với các số nguyên:
1 i
1
<i
2
< <i
k
n
1 j
1
<j
2
< <j
k
n
Ký hiệu định thức con cấp k của ma trận nhận đợc bằng cách lấy các phần tử nằm trên các hàng

i
1
,i
2
, ,i
k
, và các cột j
1
,j
2
, ,j
k
của ma trận A là:
( )


A
j j
i i
k
k
1
1
(2_28)
Định thức con cấp n-k của ma trận nhận đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi các hàng i
1
,i
2
, ,i
k

và các
cột j
1
,j
2
, ,j
k
là:
k
k
ii
jj
A


1
1
)(
(2_29)
Định lý 2.2:(Định lý Laplace)
Với mọi k mà 1kn và với các chỉ số hàng i
1
,i
2
, ,i
k
cố định
bất kỳ: 1i
1
<i

2
< i
k
ta có:
det(A)=

+++++

k
kk
jj
jjii


1
11
)1(
k
k
ii
jj
A


1
1
)(
k
k
ii

jj
A


1
1
)(
(2_30)
Tổng lấy theo tất cả các bộ j
1
,j
2
, ,j
k
có thể thoả mãn: 1j
1
<j
2
< <j
k
n
Công thức (2_30) gọi là công thức khai triển định thức theo k
hàng i
1
,i
2
, ,i
k
, nó cũng đúng cho khai triển theo k cột j
1

,j
2
, ,j
k
Chứng minh: Chuyển hàng i
1
về hàng 1 định thức đổi dấu i
1
-1 lần, chuyền hàng i
2
về hàng 2 định
thức đổi dấu i
2
-2 lần, , chuyển hàng i
k
về hàng k định thức đổi dấu i
k
-k lần, khi đó tổng số lần đổi
dấu của định thức sẽ là (i
1
-1)+ +(i
k
-k) lần. Thực hiện đổi hàng nh vậy ta đa về chứng minh trờng hợp
i
1
=1,i
2
=2, ,i
k
=k, hay:

Det(A)=
n
nlll
aaa )(sgn
21
21



(2_31)
=

++

k
k
jj
jj


1
1
)1(
k
jj
k
A
1

1

)(
k
jj
k
A
1

1
)(
(2_32)
Trong đó:

k
jj
k
A
1

1
)(
=
k
k
kjkj
jj
aa
aa

1
1
11

k
jj
k
A
1

1
)(
=
nk
nk
njnj
jkjk
aa
aa



1
1
11
+
+
++
(2_33)
Dễ thấy (2_31) và (2_32) đều là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử trên n hàng

và n cột khác nhau của A cha kể dấu. Vì vậy để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng tỏ mỗi số hạng
của (2_31) cũng là số hạng của (2_32).
Xét một số hạng của (2_31)
B=sgn(
nkk
nllkkll
aaaa )
11
11
+
+

(2_34)
Trong đó:









+
=
+ nkk
llll
nkk

1 1

11

(2_35)
Gọi j
1
,j
2
, ,j
k
là k số sao cho 1j
1
<j
2
< <j
k
n và (l
1
,l
2
, ,l
k
) là một hoán vị của (j
1
,j
2
, ,j
k
).
Trong chuyển j
1

về 1, chuyển j
2
về 2, , chuyển j
k
về k để (l
1
,l
2
, ,l
k
) là một hoán vị của (1,2, ,k),
khi đó sẽ sinh ra j
1
+j
2
+ +j
k
nghịch thế và trở thành:








+
=
+
''

1
''
1
0

1 1
nkk
llll
nkk

(2_36)
Gọi








=
''
1
1

1
k
ll
k

+
=
+
''
1
2

1
nk
ll
nk

=
+
klkl
kn
nk
''
1
3

1

=










""
1

1
kn
ll
kn

Chng 2 14
Trong đó
1
là chỉ số mới của các cột (l
1
,l
2
, ,l
k
) của A trong
k
jj
k
A
1

1
)(
và
3
là chỉ số mới của các cột
(l
k+1
,l
k+2
, ,l
n
) của A trong
k
jj

k
A
1

1
)(
, đồng thời ta cũng có:

)sgn()sgn()1()sgn(
21

1

k
jj ++
=
)sgn()sgn()1(
31

1

k
jj ++
=
Nên
B=sgn(
nkk
nllkkll
aaaa )
11

11
+
+


knk
k
klnlkll
jj
aaaa


++
=
""13''11

).sgn( )sgn()1(
11
1

là một số hạng của (2_32).
Ví dụ 2.22: Tính
=
1 1 0 0 0 1
0 0 0
1 1 1
0 0 0
1 2 3
1 1 1
2 2 1 2 3 2

3 3 1
2
2
2
3
2
3
1
2
2
2
3
2
x x x
a b c
a b x x x c
a b x x x c
x x x
áp dụng định lý Laplace cho các hàng 1,2,6 ta có:
=
1 1 1
1 2 3
1
2
2
2
3
2
x x x
x x x

(-1)
(1+2+6+1+2+6)

1 1 1
1 2 3
1
2
2
2
3
2
x x x
x x x
Sử dụng công thức Wandermon ta đợc
= [(x
2
-x
1
)(x
3
-x
1
)(x
3
-x
2
)]
2
Ví dụ 2.23: Tính định thức:
=

a b c d
b a d c
c d a b
d c b a



Khai triển Laplace theo hai hàng đầu ta đợc:
=
a b
b a
a b
b a
-
a c
b d


d b
c a
+
a d
b c


d a
c b
+
b c
a d

c b
d a
-
b d
a c


c a
d b
+
c d
d c


c d
d c
=(a
2
+b
2
)
2
- (b
2
c
2
-a
2

d
2
)+(ac+bd)
2
+(bd-ac)
2
-(b
2
c
2
-a
2
d
2
)+(c
2
-d
2
)
2
Chú ý: A là ma trận vuông cấp n có dạng A=
B C
D

trong đó B,D là ma trận vuông , khi đó det(A)= det(B).det(D).
b. Định thức của ma trận tích
Định lý 2.3: Cho A,B là các ma trận vuông cấp n, và C=A.B. Ta có:
det(C)=det(A).det(B).
Chứng minh:
Giả sử A=(a
ik
)
n
, B=(b
kj
)
n
và C=A.B=(c
ij
)
n
, khi đó:
c
ij
=

=
n
k
kjik
ba
1
Với I là ma trận đơn vị, là ma trận không cấp n. Xét định thức của ma trận khối:
Chng 2 15

=
BI
A


=
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
1 00

0 10
0 01
0 00

0 00
0 00
21
22221
11211
21

22221
11211



Bằng khai triển Laplace n hàng đầu ta đợc: =det(A)det(B)
Mặt khác, thực hiện phép biến đổi: Lấy cột 1 của B làm hệ số nhân cột 1 với b
11
, cột 2 với b
21
, ,
cột n với b
n1
, rồi thêm tổ hợp tuyến tính của các cột đó vào cột n+1, (định thức không đổi).
Tơng tự, lấy cột i của B làm hệ số; nhân cột 1 với b
1i
, nhân cột 2 với b
2i
, ,nhân cột n với b
ni
, rồi
thêm tổ hợp tuyến tính của n cột đó vào cột n+i. Lần lợt thực hiện tơng tự với i=
n,2
.
Khai triển Laplace kết quả cuối cùng theo n hàng đầu ta đợc:
=
a a a c c c
a a a c c c
a a a c c c
n n

n n
n n nn n n nn
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0











=det(C)
Vậy
det(C)= det(A.B)=det(A).det(B) (2_37)
Ví dụ 2.24: Tính định thức của A
2
với:
A=
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

Ta có det(A
2
)=det(A.A
T
) với:
A.A
T
=
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

Đặt m= a
2
+b
2
+c
2
+d
2
ta đợc:
A.A
T
=
m
m
m
m
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Do đó det(A
2
)=det(A.A
T
) =m
4
=( a
2
+b
2
+c
2
+d
2
)
4

2.3. Ma trận đảo
Chng 2 16
1. Định nghĩa
Cho A là ma trận vuông cấp n, và I là ma trận đơn vị cùng cấp. Nếu có ma trận B sao cho:
A.B=B.A=I (2_38)
thì B đợc gọi là ma trận đảo của ma trận A, ta cũng nói rằng A có nghịch đảo, và ký hiệu B=A
-1
.

Từ (2_38) nếu B là nghịch đảo của A thì B cũng có nghịch đảo và nghịch đảo B
-1
=A.
2. Điều kiện tồn tại và duy nhất
Định lý 2.4: Điều kiện cần và đủ để ma trận A có nghịch đảo là A không suy biến ( det(A)0).
Điều kiện cần: Nếu A có nghịch đảo B, từ A.B=I ta có:
det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1
Vậy det(A)0 hay A không suy biến.
Điều kiện đủ: Giả sử det(A)0, ta lập ma trận A* gọi là ma trận phụ hợp của A:
A*=
A A A
A A A
A A A
n
n
n n nn
11 21 1
12 22 2
1 2

(2_39)
Trong đó A
ij
là phần phụ đại số tơng ứng của a
ij
.
Đặt
B=
*
)det(
1
A
A
, C=AB=(c
ij
)
n
(2_40)
Khi đó theo hệ quả 4:
c
ij
=

==
=
=

=
jikhiA
A
jikhi
A
Aa
A
n
k
jkik
1)det(.
)det(
1
00.
)det(
1
)det(
1
1
Hay C=I. Chứng tỏ B là ma trận đảo của A.
Hệ quả 5: Nếu A có A
-1

thì:
a. det(A
-1
)=
1
det( )A

b. A
-1
là duy nhất.
Thật vậy, từ det(A.A
-1
)=det(A).det(A
-1
)=det(I)=1 hay
det(A
-1
)=
1
det( )A

Nếu B,C đều là đảo của A khi đó:
B=B.I=B.(AC)=(B.A)C=I.C=C
Vậy B=C.
Ví dụ 2.25: Tìm ma trận X từ phơng trình ma trận:

210
123
021
X=










13
10
21
Ta có: det(A)=
210
123
021
= 150. nên có A
-1
. Từ phơng trình ma trận ta có:

X=
1
210
123
021






















13
10
21

Tính A*
Chng 2 17
A
11
=
2 1
1 2
=3 A
12
=-
3 1
0 2
=-6 A
13
=
3 2
0 1
=3
A
21
=-
2 0
1 2
=4 A
22
=
1 0
0 2
=2 A
23

=-
1 2
0 1

=-1
A
31
=
2 0
2 1
=-2 A
32
=-
1 0
3 1
=-1 A
33
=
1 2
3 2

=8
Vậy A*=
3 4 2
6 2 1
3 1 8

A
-1
=
1
15
3 4 2
6 2 1
3 1 8

X=
1
15
3 4 2
6 2 1
3 1 8























13

10
21
=












1327
119
83
15
1
Ví dụ 2.26: Tính ma trận đảo của
A=

++
i
i
iii
100
210
321
Ta có det(A)=(1+i).(1-i)=2
A
11
=
i
i


10
21
=1-i A
12
=
i
i



10

20
=0 A
13
=
00
10
=0
A
21
=
i
ii

+

10
32
=-1+3i A
22
=
i
ii

++
10
31
=2
A
23
=

00
21 ii +

=0 A
31
=
i
ii

+
21
32
=-5i
A
32
=
i
ii

++

20
31
=-3-I A
33
=
10
21 ii +
=1+i
Vậy

+

+
=

i
i
iii
A
100
320
5311
2
1
1
Ví dụ 2.27:
a. Tìm ma trận đảo của ma trận cấp hai không suy biến:
A=

dc
ba
b. áp dụng giải phơng trình ma trận:
1 2
3 4






X








43
32
=
3 5

5 9






Giải: a. Vì A không suy biến nên det(A)=ad-bc

0. Khi đó dễ dàng tính đợc:
A
-1
=











ac
bd
bcad
1
Ta thấy ma trận phụ hợp A* nhận đợc từ A bằng cách đổi chỗ hai phần tử trên đờng chéo chính và
đổi dấu hai phần tử trên đờng chéo phụ.

b. Từ biểu thức đã cho ta đợc:
Chng 2 18
X=
1
43
21










3 5
5 9







1
43
32

=
1
2
4 2
3 1









3 5
5 9

23
34
=









01
11
2.4 Hạng của ma trận
1. Hạng ma trận, định thức con cơ sở, hàng và cột cơ sở
Xét ma trận A cấp mìn:
A=
a a a
a a a
a a a

n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
















và k là một số nguyên mà 1 k min (m,n).
Ta gọi định thức con cấp k của ma trận A là định thức cấp k lập bởi các phần tử nằm trên giao của k
hàng và k cột của ma trận A.
Định nghĩa 2.4: Giả sử A có ít nhất một phần tử a
ij
0 , khi đó ta sẽ tìm đợc một số nguyên dơng r
sao cho thoả mãn hai điều kiện:
1. Ma trận A có định thức con cấp r khác 0.

2. Mọi định thức con cấp r+1 và các định thức con cấp cao hơn đều bằng không.
Khi đó ta gọi số r là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A), hạng của ma trận quy định bằng 0.
Định nghĩa 2.5: Nếu hạng của ma trận A bằng r ta gọi mọi định thức con cấp r khác 0 của A là
định thức con cơ sở, các hàng của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các hàng cơ sở , các cột
của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các cột cơ sở.
Nh vậy theo định nghĩa, để tìm hạng của ma trận A ta lần lợt đi tính định thức con cấp k (1 k
min (m,n)) của nó và chọn ra số r là cấp cao nhất của định thức con khác không. Để tìm các hệ cột và
hàng cơ sở của A ta chọn ra mọi định thức con cấp r khác không của nó để xác định các hệ cột và
hàng cơ sở.
Cách tìm hạng của ma trận và các hệ cột và hàng cơ sở của nó theo định nghĩa nh vậy rất phức tạp,
vì vậy ta sẽ đa ra một cách tính đơn giản bằng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận.
2. Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
Các phép biến đổi sau gọi là các phép biến đổi sơ cấp của ma trận:
a. Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận cho nhau.
b. Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không.
c. Thêm vào một hàng hay một cột tổ hợp tuyến tính của các hàng hoặc các cột khác.
Ngời ta cũng gọi các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi Gauss. Dựa vào các tính chất của
định thức ta chứng minh đợc:
Định lý 2.5: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.
Chứng minh:
a. Nếu chỉ đổi hàng và cột của các định thức con cơ sở của A cho nhau thì phép biến đổi thứ nhất
chỉ làm thay đổi dấu của các định thức con. Nếu đổi hàng hoặc cột của một định thức con cơ sở với
một hàng hoặc cột không thuộc nó ta vẫn chọn hàng hoặc cột bị đổi ra vào hệ hàng hoặc cột cơ sở,
do đó định thức con cơ sở không đổi mà chỉ làm thay đổi thứ tự các cột hoặc hàng trong định thức
con con sở.
b. Khi nhân một số khác không với các phần tử của hàng hoặc cột cơ sở thì định thức con cơ sở đợc
nhân với số đó, nh vậy định thức con cơ sở đó không suy biến, vậy hạng ma trận không thay đổi.
c. Nếu cộng tổ hợp tuyến tính của các hàng hoặc cột cơ sở vào một hàng hoặc cột còn lại của định
thức con cơ sở thì định thức con cơ sở không đổi. Nếu cộng tổ hợp tuyến tính của hàng hoặc cột nào
đó của A vào hàng hoặc cột của một định thức con cơ sở mà làm cho nó bằng không, ta thay hàng

(hoặc cột) đó bằng chính tổ hợp vừa cộng vào, ta sẽ đựoc một định thức khác không. Vậy hạng A
không đổi.
3. Quy tắc tìm hạng của ma trận
Từ định lý 2.4 để tìm hạng ma trận ta dùng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận đa ma trận ban
đầu về dạng đơn giản nhất, mà từ đó dễ dàng nhận ra định thức con cấp cao nhất khác không do đó
tìm đợc hạng của A. Cụ thể:
Chng 2 19
(i) Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp của ma trận để đa ma trận về dạng có số các phần tử có
chỉ số hàng bằng chỉ số cột khác 0 nhiều nhất. Khi đó hạng của A bằng số phần tử có chỉ số hàng
bằng chỉ số cột khác 0(a
ii

0).
(ii) Nếu chỉ dùng phép biến đổi thứ ba cho hàng khi đó hạng của A bằng số hàng khác không của
ma trận kết quả, hơn nữa từ ma trận kết quả ta dễ dạng nhận ra đợc các hệ cột cơ sở của A.
(iii) Nếu chỉ dùng phép biến đổi thứ ba cho cột khi đó hạng của A bằng số cột khác không của ma
trận kết quả, hơn nữa từ ma trận kết quả ta dễ dạng nhận ra đợc các hệ hàng cơ sở của A.
Ví dụ 2.28: Cho ma trận:
A=
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2

Tìm hạng, các hàng và các cột cơ sở của A?
Giải: Nhân hàng 1 với (-2) rồi cộng vào hàng hai, cộng hàng một vào hàng ba ta đợc:
1 3 4 2
0 7 7 0
0 5 5 0













Chia hàng hai cho 7 sau đó nhân hàng hai với 5 rồi cộng vào hàng 3 đợc:
1 3 4 2
0 1 1 0
0 0 0 0

Ta thấy A chỉ có định thức con cấp 2 khác không, mọi định thức con cấp 3 đều bằng không. vậy
r(A)=2. Các hệ cột cơ sở của A là: cột 1 và 2, cột 1 và 3, cột 2 và 3, cột 2 và 4, cột 3 và 4.
Tơng tự thực hiện biến đổi theo cột, lần lợt nhân cột 1 với 3, -4, -2 rồi cộng vào cột 2,3,4 ta đợc:
1 3 4 2
2 1 1 4
1 2 1 2

0551
0772
0001
Cộng cột hai vào cột ba ta đợc:











0051
0072
0001
Ta thấy các hệ hàng cơ sở là hàng (1,2), hàng (1,3), hàng (2,3).
Ví dụ 2.29: Tìm hạng của ma trận theo a:
A=

a
a
a
a
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1












Cộng các cột vào cột 1 , rồi lấy các hàng sau trừ đi hàng đầu:
3 1 1 1
3 1 1
3 1 1
3 1 1
+
+
+
+

a
a a
a a
a a

+
1000
0100
0010
1113
a
a
a
a
Nếu a-3 và a1 hạng của ma trận bằng 4. Nếu a=1 đợc:
Chng 2 20
4 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Hạng ma trận bằng 1. Nếu a=-3 đợc:

0 1 1 1
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4















Hạng ma trận bằng 3.
Bài tập chơng 2
A. Các phép toán trên ma trận
1. Thực hiện các phép nhân ma trận sau
a.
1 3 2
3 4 1
2 5 3

2 5 6
1 2 5
1 3 2










b.

1 2 3
0 1 4
2 1
3 3
1 0












3 0
1 2






2. Cho:

a. A=







1 2
1 3
tìm A
3
=A.A.A
b. A=
2 1
3 1








, B=
cos sin
sin cos
x x
x x

,
C=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

Tìm A
n
,B
n
,C
n
.Tìm (A)= 2.I+A-3A
2
+A
3
, (B)= 2.I+B-2B
2
+B
3
3. Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và A.B=B.A, chứng minh rằng:
a
a. (A+B)
2
=A
2
+2.A.B+B
2

b
b. (A+B)(A-B)=A
2
-B

2
c. (A
n+1
- I)=(A
n
+A
n-1
+ +A+I)(A-I)
4. Chứng minh rằng, nếu AB=BA thì:
(i) (A+B)
n
=
C A B
n
k n k k
k
n

=

0
(A
0
=B
0
=I )
(ii) áp dụng tính
n

30
13
5. Trong các ma trận vuông cấp hai chứng tỏ rằng nếu:
Chng 2 21
A=T








2
1
0
0


T
-1

thì:
A

n
=T








n
n
2
1
0
0


T
-1

6. a. Tính A
n
với:
A=

21
12
=
2
1








11
11








30
01

11
11
b. Tính B
4
với:
B=








21
32
=
6
1

31
33








+

320
032









31
33
7. Chứng minh rằng không tồn tại A,B thoả mãn đẳng thức:

AB-BA=I
8. Tìm các ma trận vuông cấp hai X thoả mãn:
a. X
2
= b. X
2
=I
9. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai giao hoán đợc với ma trận:
A=








11
21
10. Chứng minh rằng nếu A,B là hai ma trận vuông cùng cấp thì: vet(A+B)=vet(A)+vet(B)
11. Cho ma trận khối A=
B C
I

, trong đó các ma trận trong khối đều có cấp nxn, chứng minh
rằng nếu B-I không suy biến thì với k1 ta có:
A
k
=










I
CIBIBB
kk

1
))((
12. Cho ma trận khối A=
B
C I

Dùng quy nạp toán học tìm biểu thức của A
k
.
13. Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các ma trận tam giác dới cấp nxn đóng
đối với các phép toán cộng ma trận, nhân ma trận và nhân một số với một ma trận.
14. Nếu ma trận vuông A cấp nxn phân tích đợc thành tích: A=L.U trong đó L là ma trận tam giác
dới , U là ma trận tam giác trên, thì ta nói A có một phân tích L.U.
a. Giả sử A có một phân tích LU, tìm biểu thức liên hệ giữa a
ij
với l
ij
và u
ij
.
b. Chứng minh rằng nếu A là ma trận không suy biến có phân tích LU và l
ii
=1 (i=1,2, ,n) thì L và
U là duy nhất.
c. Chứng minh rằng nếu mọi định thức con cấp k:
a a a
a a a
a a a
k
k
k k kk
11 12 1
21 22 2
1 2
0

(k=1,2, ,n)
thì tồn tại phân tích A=LU, đồng thời nếu l
ii
0 với mọi i thì u
kk
0 với k=1,2, ,n.
15. Chứng tỏ ma trận A=
0 1
1 1






không có phân tích LU.
16. Ma trận vuông đối xứng thực A=(a
ij
)
nxn
đợc gọi là xác định dơng nếu x=(x
i
)
nx1
ta có x

T
Ax0,
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=. Chứng minh rằng nếu A là ma trận thực đối xứng và xác định dơng
thì phân tích A=LL
T
là duy nhất.
B. Định thức
Chng 2 22
17. TÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp 3
a.
2 1 2
1 0 2
2 2 4
−
−
b.
3 4 5
8 7 2
2 1 8
−
−
−
c.
1 2 4
2 7 2
2 1 8
− −
−
d.
1

1
1
2
2
2
ee
ee
ee
e.
1
1
1
2
2
2
a a
b b
c c
f.
1
1
1
a bc
b ca
c ab

g.
22
22
22

acacac
cbbccb
baabba
++
++
++
h.
420041004
320031003
220021002
g.
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
sin( ) sin( ) sin( )
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
− − −
+ + +
+ + +
c
Trong d. cho e=
cos sin
2
3
2
3
π π
+ i
18. Chøng minh:

a.
1
1
1
1
1
1
2
2
2
a bc
b ca
c ab
a a
b b
c c
=

b.
1
1
1
2
2
2
a a
b b
c c
=
(b- a)(c- a)(c- b)

c.
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
2
a a
b b
c c
a b c
a a
b b
c c
= + +( )
d.
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
a b c
a b c
a b c
+ + +
+ + +

+ + +
=
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2
19. TÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp bèn
a.
2 3 4 1
4 2 3 2
3 1 4 3
−
−
−
a b c d
b.
a
b
c
d
3 0 5
0 0 2
1 2 3
0 0 0

c.
1 0 2
2 0 0
3 4 5

0 0 0
a
b
c
d
d.
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
− −
− −

Chương 2 23
e.
−
−
−
−
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
f.
x
x
x
x
1 1 1

1 1 1
1 1 1
1 1 1

g.
0
0
0
0
a b c
a d e
b d f
c e f
−
− −
− − −
h.
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
20. TÝnh c¸c ®Þnh thøc
a.
xx
xx
xx
33
22
sincos1
sincos1
sincos1
b.
333
222
432
432
432
c.
5555
4444
3333
2222
1
1

1
1
1
dcba
dcba
dcba
dcba
dcba
d.
4
5
4
4
4
3
4
2
4
1
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
2

5
2
4
2
3
2
2
2
1
54321
11111
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
21. TÝnh c¸c ®Þnh thøc cÊp n
a.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
+
+
+
x
x
x

b.
1 2 3
1 0 3
1 2 0
1 2 3





n
n
n
n
−
− −
− − −
c.
x a a a a
a x a a a
a a x a a
a a a x a
n
n
n
n
+
+
+
+

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3





d.
x n
x n
x n
x
n
1
2
3
2 3
1 3
1 2
1 2 3





e.
x n
x n

x n
x n
+
+
+
+
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3





f.
1 321

221
311
321
−+
+
+
nx
nx
nx
n
Chương 2 24
g.

a a
a a
a
a a
a
n n
n
1 2
2 3
3
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1
−
−
−
+
−






h.
1 2 3 1
1 3 3 1

1 2 5 1
1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 1






n n
n n
n n
n n
n n
−
−
−
−
− −
i.
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x





j.

−
−
−
−
a a
a a
a
a a
n n
1 1
2 2
3
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1






k.
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 0
0 0 0 2

h.
a b ab
a b ab
a b
a b ab
a b
+
+
+
+
+
0 0 0
1 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1






22. Sö dông ®Þnh lý Laplace tÝnh ®Þnh thøc
a
1 1 1 0 0 0
2 3 4 0 0 0
3 6 10 0 0 0

4 9 14 1 1 1
5 15 24 1 5 9
0 24 38 1 25 81
b.
1 1 1 0 0
1 2 3 0 0
0 1 1 1 1
0
0
1 2 3 4
1
2
2
2
3
2
4
2
x x x x
x x x x
c.
1 2 1 1
0 1 2 0
1 1 3 2
0 1 2 0
−
−
d.
−
−

−
−
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
23. Chøng minh r»ng víi n≥3 vµ k≥ th×:
a.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
+ + +
+ + +
+ + +
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
n
n
n n n n




=0
Chương 2 25