TÍCH PHÂN BỘI docx

Chơng 2
Tích phân bội
2.1 tích phân hai lớp
1. Bài toán dẫn đến tích phân hai lớp
Hãy tính thể tích vật thể, giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt trụ có
đờng sinh song song trục Oz tựa trên đờng cong L thuộc mặt phẳng
Oxy và mặt trên S có phơng trình:
z=f(x,y)
trong đó z=f(x,y) là hàm số xác định, liên tục, không âm trong một
miền D đóng, bị chặn, có biên là L.
Hình 1
Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọi
tên và diện tích của các mảnh nhỏ đó là:
S
1
, S
2
, , S
n
Lấy mỗi mảnh nhỏ đó làm đáy, dựng các hình trụ mà mặt xung
quanh song song trục Oz. Nh vậy vật thể đã cho đợc chia thành n
vật thể nhỏ có mặt trên giới hạn bởi mặt S. Trên mỗi S
i
lấy tuỳ ý
điểm M
i
(x
i
,y
i
) (i=

n,1
), nếu đờng kính d
i
của S
i
khá nhỏ vật thể
nhỏ thứ i có thể tích thể xấp xỉ:
iiii
SyxfV ).,(
do đó có thể xem thể tích V của vật thể xấp xỉ:
44

=

n
i
iii
SyxfV
1
),(
(1)
Phép xấp xỉ càng chính xác nếu nếu n càng lớn và S
i
có đờng kính
càng nhỏ. Khi cho
n
sao cho maxd
i
0 thì tổng

=

n
i
iii
Syxf
1
),(
sẽ dần tới thể tích V của vật thể đã cho.
2. Định nghĩa tích phân hai lớp
Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên một miền đóng và bị chặn D.
Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên
và diện tích của các mảnh nhỏ đó là:
S
1
, S
2
, , S
n
Trên mỗi mảnh S
i
lấy tuỳ ý điểm M
i
(x
i
,y
i
) (i=
n,1
). Tổng

=
=
n
i
iiin
SyxfI
1
),(
(2)
đợc gọi là tổng tích phân của hàm z=f(x,y) trên miền D. Gọi d
i
là đ-
ờng kính của mảnh S
i
, nếu khi cho
n
sao cho maxd
i
0 mà
I
n
dần đến một giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia miền
D và cách chọn các điểm M
i
(x
i
,y
i
) thì I đợc gọi là tích phân hai lớp

hay tích phân kép của f(x,y) trên D và ký hiệu:

=
D
dSyxfI ),(
(3)
D đợc gọi là miền lấy tích phân, f(x,y) gọi là hàm dới dấu tích phân,
nếu tích phân (3) tồn tại ta nói hàm f(x.y) khả tích trên miền D.
Vì tích phân kép nếu tồn sẽ tại không phụ thuộc cách chia miền
D nên ta có thể chia miền D bằng các lới hình chữ nhật, khi đó yếu
tố diện tích dS=dxdy do đó ta có:

=
D
dxdyyxfI ),(
(4)
Chú ý:
(i) Ngời ta chứng minh đợc rằng nếu hàm số f(x,y) liên tục trên
miền đóng và bị chặn D thì nó khả tích trên D.
45
(ii) Thể tích của vật thể trong bài toán tính thể tích đợc tính bằng
công thức:
V=

D
dxdyyxf ),(
(iii) Diện tích của miền D đợc tính theo công thức:
S=

D

dxdy
3. Tính chất của tích phân hai lớp
Tích phân kép cũng có các tính chất giống tích phân xác định.
Với giả thiết các tích phân kép đợc nhắc đến đều tồn tại, sau đây ta
sẽ phát biểu mà không chứng minh các tính chất của tích phân kép.
(i)
[ ]

=
D D D
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),(,(),(
(ii)

=
DD
dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(.
( k là hằng số)
(iii) Nếu miền D có thể chia thành hai miền D
1
, D
2
không dẫm
lên nhau thì:


+=
21
),(),(),(
DDD
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf

(vi) Nếu f(x,y)g(x,y), (x,y)D thì:


D D
dxdyyxgdxdyyxf ),(),(
(v) Nếu m, M tơng ứng trị nhỏ nhất và trị lớn nhất của f(x.y) trên
miền D và S là diện tích của miền D thì:
mS


D
dxdyyxf ),(
MS
(vi) Định lý về giá trị trung bình: Nếu f(x,y) là hàm số liên tục
trên miền đóng và bị chặn D thì trong D tồn tại ít nhất một điểm
M(,) sao cho:

=
D
Sfdxdyyxf ).,(),(

4. Tính tích phân hai lớp trong toạ độ Đề Các
46
a. Miền D là miền chữ nhật
Giả sử f(x,y) là hàm liên tục, không âm trên miền chữ nhật:
D=
{ }
dycbxayx ,),(

Khi đó:

D
dxdyyxf ),(
là thể tích của vật thể V. Gọi S(x) là diện tích của thiết diện của mặt
phẳng vuông góc với trục Ox với vật thể tại mỗi x[a,b], khi đó
theo công thức tính thể tích vật thể của tích phân xác định ta có:
V=

D
dxdyyxf ),(
=

b
a
dxxS )(
(5)
Do S(x) là yếu tố diện tích nên ta có:

=
d
c
dyyxfxS ),()(
(6)
Theo giả thiết f(x,y) là hàm liên tục trên miền D nên S(x) là hàm
liên tục trên [a,b] nên S(x) khả tích trên [a,b]. Thay (6) vào (5) ta
có:

D
dxdyyxf ),(
=

b
a
d
c
dydxyxf ),(
Ta có thể viết:

D
dxdyyxf ),(
=

b
a
d
c
dyyxfdx ),(
(7)
Nếu gọi S(y) là diện tích của thiết diện của mặt phẳng vuông góc
với trục Oy với vật thể tại mỗi y[c,d], khi đó ta có:

D
dxdyyxf ),(
=

d
c
b
a
dxyxfdy ),(
(8)
Ngời ta chứng minh đợc công thức (7) và (8) vẫn đúng khi f(x,y)
liên tục và có dấu tuỳ ý trên D.
47
Hình 2
Chú ý: Nếu f(x,y)=f
1
(x).f
2
(y) thì ta có:

D
dxdyyxf ),(
=

b
a
d
c
dyyfdxxf )(.)(
21
Ví dụ 2.1: Tính I=

+

D
yx
dxdy
2
)(

D là miền chữ nhật: {1x3, 1y2}.
Ta có: I=







+
=
+
3
1
2
1
3
1
2
1
2
1
)(
dx

yx
yx
dy
dx
=

=
+
+
=






+

+
3
1
3
1
5
6
ln
2
1
ln
2

1
1
1
x
x
dx
xx
b. Miền lấy tích phân là hình thang cong
Nếu D={axb, y
1
(x)yy
2
(x)} ta có:

=
D
b
a
xy
xy
dyyxfdxdxdyyxf
)(
)(
2
1
),(),(
(9)
Thật vậy, khi f(x,y)0 với mỗi x[a,b], gọi S(x) là diện tích hình
thang cong có cạnh [y
1

(x),y
2
(x)], khi đó:
48

=
D
b
a
dxxSdxdyyxf )(),(
Do S(x)=

)(
)(
2
1
),(
xy
xy
dyyxf
, thay vào ta có:

=
D
b
a
xy
xy
dyyxfdxdxdyyxf
)(

)(
2
1
),(),(
Công thức vẫn đúng khi f(x,y) có dấu thay đổi.
Tơng tự, nếu D={cyd, x
1
(y)xx
2
(y)} ta có:

=
D
d
c
yx
yx
dxyxfdydxdyyxf
)(
)(
2
1
),(),(
(10)
Hình 3
Ví dụ 2.2: Tính I=


D
dxdyyx )(

, với D là miền giới hạn bởi
các đờng: y=x và y=2-x
2
(Hình 4).
49
Hình 4
Để tìm giao điểm của hai đờng ta có phơng trình:
-x
2
-x+2=0
điểm giao của hai đờng là: (x=-2, y=-2); (x=1, y=1). Trên hình vẽ
ta chọn công thức (9) đợc:
I=




1
2
2
2
)(
x
x
dyyxdx
=

1
2
2
2
2
22
2
1
dxyxy
x
x
x
x
=
dxxxx
x

++
1
2
23
4
22
2
3
2
=
20
81

Ví dụ 2.3: Tính I=

+
D
dxdyyx )(
, với D là miền xác định bởi
các đờng y=0, y=(x+1)
2
, x=siny (Hình 5).
Hình 5
Đờng y=(x+1)
2
hay x=
1y
và x=siny cắt nhau tại x=0,y=1;
đờng y=0 và x=siny cắt nhau tại x=y=0. Ta chọn công thức (10)
đợc:

I=







+=+


1
0
1
0
sin
1
2
sin
1
)(
2
1
)( dyyxdxyxdy
y
y
y
y

50
=
[ ]

++
1
0
22
)1()(sin
2
1
dyyyyy

=
[ ]

+=+++
1
0
2
2
15
4
122sin2sin
2
1


dyyyyyyyy
c. Miền lấy tích phân giới hạn bởi đờng cong kín

Giả sử miền lấy tích phân D giới hạn bởi đờng cong kín L mà
mỗi đờng thẳng song song với trục Ox đều cắt L tại không quá hai
điểm. Dựng hình chữ nhật
{axb, cyd}
mà các cạnh của nó tiếp xúc với L tại các điểm M,N,P,Q(Hình 6).
Hình 6
Các điểm M,P chia biên L của D thành hai cung
^
MNP
và
^
MQP

có phơng trình theo thứ tự:
y=y
1
(x), y=y
2
(x)
do đó ta có thể tính tích phân theo công thức:

=
D
b
a
xy
xy
dyyxfdxdxdyyxf
)(
)(

2
1
),(),(
Các điểm N, Q chia biên L của D thành hai cung
^
NMQ
và
^
NPQ

có phơng trình theo thứ tự là:
x=x
1
(y), x=x
2
(y)
51
do đó ta có thể tính tích phân theo công thức:

=
D
d
c
yx
yx
dxyxfdydxdyyxf
)(
)(
2
1

),(),(
Ví dụ 2.4: Đổi thứ tự lấy tích phân:
I=

x
x
dyyxfdx
1
2
1
),(
Biểu diễn hình học miền lấy tích phân:
D=






xy
x
x
1
,21
Vẽ các đờng x=1, x=2, y=
x
1
, y=x ta đợc (Hình 7):
Hình 7
Vì đờng cong bên dới không trơn nên ta chia miền D thành hai

miền D1 và D2, do y=x và y=
x
1
cắt nhau tại y=1 nên ta có:
D1=






2
1
,1
2
1
x
y
y
D2=
{ }
2,21 xyy
Vậy ta có:
52
I=

+
2
1
22

1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy
Qua ví dụ trên ta thấy, khi tính tích phân ta nên chọn thứ tự tích
phân sao cho cách tính đơn giản hơn.
Chú ý: Xét miền lấy tích phân D đối xứng qua trục Oy (đối xứng
với biến x), khi đó:
(i) Nếu hàm lấy tích phân lẻ đối với x, tức là f(-x,y)=-f(x,y) thì:

=
D
dxdyyxf 0),(
(ii) Nếu hàm lấy tích phân chẵn đối với x, tức là f(-x,y)=f(x,y),
gọi D1 là nửa bên phải trục Oy của D thì:

=
1
),(2),(
DD
dxdyyxfdxdyyxf
Tơng tự ta có kết quả đối với miền đối xứng qua Ox ( đối xứng
với biến y).
Ví dụ 2.5: Tính I=

+
D
dxdyxy
y
x
2
2cos
, trong đó D là miền
giới hạn bởi các đờng y=0, y=-x
2
+4 (Hình 8).
Hình 8
Giao điểm của hai đờng là nghiệm của phơng trình:
-x
2
+4=0, x
1
=-2, x
2
=2
53
I=

+
D
dxdyxy
y
x
2
2cos



+
=
DD
ydxdyxdxdy
y
x
2
3
2cos
Vì miền D đối xứng qua Oy, f(x,y)=

2cos
3
+y
x
là hàm lẻ của x nên

=
+
D
dxdy
y
x
0
2cos
3
, còn f(x,y)=x
2
y là hàm chẵn của x nên:
I=

+
+






=
2

0
4
0
2
0
4
0
222
2
2
2
x
x
dxyxydydxx
=

=+=+
2
0
2
0
246222
)168()4( dxxxxdxxx
105
1024
5. Đổi biến trong tích phân hai lớp
a. Công thức đổi biến trong tích phân hai lớp
Xét tích phân:

D

dxdyyxf ),(
trong đó f(x,y) là hàm liên tục trên miền D.
Thực hiện phép đổi biến:



=
=
),(
),(
vuyy
vuxx
(11)
Nếu:
(i) x(u,v), y(u,v) là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của
chúng liên tục trong miền đóng D của mặt phẳng Ouv.
(ii) Các công thức (11) xác định một song ánh từ miền D lên
miền D của mặt phẳng Oxy.
(iii) Định thức Jacôbi
54
J=
0
''
''
),(
),(
=
vu
vu
yy

xx
vuD
yxD

trong miền D trừ ra tại một số hữu hạn điểm.
Khi đó ngời ta chứng minh đợc công thức đổi biến trong tích
phân kép:

D
dxdyyxf ),(
=

'
)),(),,((
D
dudvJvuyvuxf
(12)
Ví dụ 2.6:
(i) Tính I=

D
xydxdy
, trong đó D là miền giới hạn bởi các đờng
hypebol: xy=1, xy=3 và các đờng parabol: y
2
=2x, y
2
=4x (Hình 9a).
Hình 9a Hình 9b
Đặt

=
=
v
x
y
uxy
2
hay







==
==

3
1
3
1
3
3
1

3
2
3
2
vuuvy
vu
v
u
x
miền D trở thành miền D trong mặt phẳng Ouv (Hình 9b):
D={1u3, 2v4}
55
J(u,v)=
=
),(
),(
vuD
yxD
v
vuvu
vuvu
3
1
3
1
3
1
3
1
3

2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
4
3
2
3
1
3
1
=
−
−−
−−−
Do ®ã I=
∫ ∫
=
3
1
4
2
2ln
2

1
3
1
dv
v
u
du
(ii) TÝnh I=
∫∫
+
−
D
yx
yx
dxdye
, trong ®ã D lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c ®-
êng: x=0, y=0, x+y=1 (H×nh 10a).
§Æt



=+
=−
vyx
uyx
hay








−=
+=
)(
2
1
)(
2
1
uvy
vux
Ta ®îc miÒn D’ giíi h¹n bëi c¸c ®êng: u+v=0, v-u=0, v=1 (H×nh
10b).
J=
2
1
),(
),(
=
vuD
yxD
Do ®ã I=
∫ ∫
−
−
−=
1
0

1
)(
4
1
2
1
eeduedv
v
v
v
u
56
Hình 10a Hình 10b
Chú ý: Phép đổi biến trong (i) làm cho miền lấy tích phân đơn
giản hơn, phép đổi biến trong (ii) làm cho hàm lấy tích phân đơn
giản hơn.
Ví dụ 2.7: Tính

D
ydxdy
, trong đó D là miền giới hạn bởi các
đờng y=0 và đờng Xycloit (Hình 11):




=
=
)cos1(
)sin(

tay
ttax
Hình 11
Đặt



=
=
yy
ttax )sin(

ta đợc miền lấy tích phân:
D=
{ }
)sin1(0,20 tayt

J=
),(
),(
ytD
yxD
=
)cos1(
10
0)cos1(
ta
ta
=

=x(t)
Vậy I=



)cos1(
0
2
0
)cos1(
ta
dytyadt

57
=
dtyta
ta )cos1(
0
2
2
0
)cos1(
2
1




=

2
0
3
3
)cos1(
2
dtt
a
=

+

2
0
32
3
)coscos3cos31(
2
dtttt
a
=

++

2
0
3
3

)cos)2cos1(
2
3
cos31(
2
dtttt
a
=

+

2
0
3
)
2
3
1(
2
dt
a
=

3
2
5
a

Chú ý: Tích phân các hàm: cost, cos 2t, cos
3

t trên mỗi chu kỳ của
chúng đều bằng không.
b. Tích phân hai lớp trong toạ độ cực
Từ công thức chuyển toạ độ từ toạ độ Đề các sang toạ độ cực:



=
=


sin
cos
ry
rx
ta có J=
),(
),(

rD
yxD
=
r
r
r
=



cossin

sincos
Do đó công thức tính tích phân trong toạ độ cực:

=
D D
rdrdrrfdxdyyxf
'
)sin,cos(),(


Nếu miền D giới hạn bởi:





)()(
21


rrr
ta có công thức tính tích phân hai lớp trong toạ độ cực:

=





)(

)(
2
1
)sin,cos(),(
r
rD
rdrrrfddxdyyxf
(13)
58
VÝ dô 2.8: TÝnh I=
∫∫






+
D
dxdyx
x
y
, trong ®ã D lµ miÒn giíi h¹n
bëi bÊt ®¼ng thøc: 1≤x
2
+y
2
≤2x (H×nh 12).
H×nh 12
Giao ®iÓm A, B cña hai ®êng lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:






=+
=+
xyx
yx
2
1
22
22
hay







±=
=
2
3
2
1
y
x
Suy ra trong to¹ ®é cùc ®iÓm A cã tg

3
3
π
ϕϕ
=⇒=
. Do miÒn
®èi xøng theo biÕn y nªn tÝch ph©n theo sè h¹ng
x
y
b»ng kh«ng,
f(x,y)=x lµ hµm ch½n theo y trªn D. ChuyÓn sang to¹ ®é cùc ta cã:
I=
∫∫ ∫ ∫
=
D
drdxdxdy
3
0
cos2
1
2
cos2
π
ϕ
ϕϕϕ
59
=
3
2
∫







3
0
cos2
1
3
cos
π
ϕ
ϕϕ
dr
=
∫
−
3
0
3
)1cos8(cos
3
2
π
ϕϕϕ
d
=
∫ ∫

−
3
0
3
0
4
cos
3
2
cos
3
16
π π
ϕϕϕϕ
dd
=
4
3
3
2
)cos4cos2cos43(
3
2
3
0
−=−++
∫
π
ϕϕϕϕ
π

d
Chó ý: NÕu dïng to¹ ®é cùc suy réng, ta cã phÐp ®æi biÕn:



+=
+=
ϕ
ϕ
sin
cos
0
0
bryy
arxx
(14)
Khi ®ã J=
abr
rbb
raa
rD
yxD
=
−
=
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
cossin
sincos

),(
),(
VÝ dô 2.9: TÝnh I=
∫∫








−−−
D
dxdyxy
b
y
a
x
2
2
2
2
1
, trong ®ã:
D=







≤+ 1),(
2
2
2
2
b
y
a
x
yx
60
Hình 13
Vì D là miền đối xứng qua cả Ox và Oy và f(x,y)=xy là hàm lẻ
theo x và theo y nên tích phân theo số hạng thứ hai bằng không.
Chuyển sang toạ độ cực bằng phép đổi biến:



=
=


sin
cos
by
ax
ta đợc:
I=

2
0
1
0
2
1 rdrrdab
=

abrab
3
2
)1(
3
2
1
0
2
3
2
=
Chú ý: Khi hàm dới dấu tích phân không xác định trong miền D,
ta có tích phân kép suy rộng. Cũng nh trong tích phân một lớp suy
rộng, nếu khi lấy tích phân ta đợc các nguyên hàm hữu hạn trên D
thì ta cũng chỉ việc thay cận tích phân cho nguyên hàm nhận đợc.
Ví dụ 2.10: Tính I=

+
D
yx
xdxdy
22
với D=






xy
x
yx
2
),(
2
Hai đờng cắt nhau tại x=0 và x=
2
2
. Chuyển sang toạ độ cực:
I=
2lncosln2
cos
sin
2
cos
4
0

cos
sin2
0
4
0
4
0
2
2
===










drdr
r
r
d
Hình 14
61
2.2 ứng dụng của tích phân hai lớp
1. ứng dụng hình học của tích phân hai lớp
a. Tính thể tích vật thể
Theo bài toán dẫn đến, nếu vật thể là một trụ cong, có mặt đáy D

nằm trong mặt Oxy, mặt trên S có phơng trình z=f(x,y)0,
(x,y)D thì:
V=

D
dxdyyxf ),(
Nếu trụ cong mà mặt trên và mặt dới có phơng trình z=f
1
(x,y) và
z=f
2
(x,y) thì thể tích là:
V=


D
dxdyyxfyxf ),(),(
21
Ví dụ 2.11: Tính thể tích của phần hình trụ x
2
+y
2
=2x, nằm trong
hình cầu: x
2
+y
2
+z
2
=4 (Hình 15).

Hình 15
Vì tính đối xứng ta có;
V=4


D
dxdyyx
22
4
Trong đó D là nửa hình tròn x
2
+y
2
-2x0, y0.
Chuyển sang toạ độ cực ta có:
62
V=4


2
0
cos2
0
2
4



rdrrd

=



cos2
0
22
2
0
)1(12 rdrd
=








2
0
cos2
0
2
3
2
)1(
3
4

dr

=
2
0
3
)sin1(
3
32


d
=






=

3
2
23
32
cos)cos1(
3
32

3
32
2
0
2
2
0



dd
Ví dụ 2.12: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi cácmặt: x
2
+y
2
=z, và
22
2 yxz +=
(Hình 16).
Hình 16
Từ phơng trình của hai mặt ta có:
(z-2)
2
=z hay z
2
-5z+4=0
Phơng trình cho nghiệm z
1
=1, z
2

=4, phần z>1 nằm bên ngoài mặt
nón, nên ta có phơng trình mặt chiếu D trên Oxy là: x
2
+y
2
=1. Vậy:
V=

+
D
dxdyyxyx )2(
2222
Chuyển sang toạ độ cực ta có:
63
V=4


2
0
1
0
2
)2(


rdrrrd
6
5
43
2

1
0
43
2


=








=
rr
r
b. Tính diện tích miền phẳng
Diện tích S của miền phẳng D cho bởi công thức:
S=

D
dxdy
Ví dụ 2.13: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đờng:
(x
2
+y
2
)

2
=2a
2
(x
2
-y
2
)
Chuyển sang toạ độ cực ta đợc phơng trình: r
2
=2a
2
cos2. Đó là ph-
ơng trình của đờng Lemniscat (hình hoa hồng hai cánh, hình 17).
Hình 17
Do tính đối xứng ta có:
S=4

==
4
0
2
4
0
2
2cos2
0
22cos4

adardrd
a
Ví dụ 2.14: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=0
và đờng Xycloit (Hình 11):
64




=
=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
Đặt



=
=
yy
ttax )sin(

ta đợc miền lấy tích phân:
D=
{ }
)sin1(0,20 tayt

J=
),(
),(
ytD
yxD
=
)cos1(
10
0)cos1(
ta
ta
=

=x(t)
Vậy S=


=
)cos1(
0
2
0
22
2
0
)cos1()cos1(
ta
dttadytadt

=

2
2
a


2
2
0
3)2coscos43( adttt =+

c. Diện tích mặt
Giả sử ta phải tính diện tích mặt S giới hạn bởi một đờng cong
kín, có phơng trình z=f(x,y), trong đó f(x.y) liên tục, có các đạo
hàm riêng liên tục.
Hình 18a Hình 18b
Gọi D là hình chiếu của S trên mặt Oxy, chia D thành n mảnh
nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tích các mảnh nhỏ đó là:
65

1
,
2
, ,
n
Gọi tên và diện tích các mảnh nhỏ của mặt S có hình chiếu trên
Oxy là
i
(i=
n,1
) tơng ứng là:

S
1
, S
2
, , S
n
Trên mỗi mảnh
i
(i=
n,1
) lấy tuỳ ý điểm M
i
(x
i
,y
i
), ứng với nó
ta có điểm P
i
(x
i
,y
i
,z
i
) trên S
i
(i=
n,1
), trong đó z

i
=f(x
i
,y
i
). Qua P
i
dựng mặt phẳng
i
tiếp xúc với mặt cong S và gọi
i
(i=
n,1
) là
mảnh nằm trên
i
có hình chiếu trên Oxy là
i
(i=
n,1
). Gọi
i
là
góc giữa pháp tuyến (đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc
với mặt S) tại P
i
của mặt đã cho với trục Oz, ta có:

i
=

i
.cos
i
(i=
n,1
)
Trong đó
),('),('1
1
cos
22
iiyiix
i
yxfyxf ++
=

Nếu đờng kính d
i
của các mảnh
i
(i=
n,1
) khá nhỏ thì S
i

i
(i=
n,1
), do đó diện tích mặt S có xấp xỉ:
S=

= =

n
i
n
i
ii
S
1 1
Do đó khi cho n

sao cho max d
i
0 ta có:
S=
0max
lim
di

=
++
n
i
iiiyiix
yxfyxf
1
22
),('),('1

Theo định nghĩa tích phân hai lớp ta có:
S=

++
D
yx
dxdyyxfyxf ),('),('1
22
(15)
Ví dụ 2.15: Tính phần diện tích mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
=4 nằm trong
phần giới hạn bởi mặt trụ x
2
+y
2
=2x (Hình 19).
66
Hình 19
Do z=
22
4 yx
22
4
'
yx

x
z
x

=
,
22
4
'
yx
y
z
y

=

22
22
4
2
''1
yx
zz
yx

=++
và miền D đối xứng nên:
S=4

D
dxdy
yx
22
4
2
Trong đó D giới hạn bởi x
2
+y
2
-2x0, y0. Chuyển sang toạ độ cực
ta có:
S=8

=

2
0
cos2
0
cos2
0
2
0
2
2
48
4

dr
r
rdr
d
=16
168)sin1(
2
0
=



d
2. ứng dụng cơ học của tích phân hai lớp
a. Tính khối lợng của một bản phẳng không đồng chất
67
Cho một bản phẳng tạo thành miền D nằm trong mặt phẳng Oxy
và có khối lợng riêng tại M(x,y) là (x,y), trong đó (x,y) là một
hàm liên tục trên D.
Chia miền D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên và
diện tích của các mảnh đó là:
S
1
, S
2
, , S
n

và trên mỗi mảnh S
i
chọn tuỳ ý điểm M
i
(x
i
,y
i
) (i=
n,1
). Khối lợng
m của bản xấp xỉ bởi:

=

n
i
iii
Syx
1
),(

Gọi d
i
là đờng kính của S
i
(i=
n,1
). Khi cho n

sao cho
maxd
i
0, thì tổng có giới hạn là khối lọng m của bản. Vậy:
m=

D
dxdyyx ),(

b. Mômen quán tính của một bản phẳng
Trong cơ học, mômen quán tính I
x
, I
y
của một chất điểm có khối
lợng m đặt tại M(x,y) đối với các trục toạ độ Ox, Oy và đối với
gốc toạ độ lần lợt là:
I
x
=my
2
I
y
=mx
2

I
o
=m(x

2
+y
2
)
Xét một bản phẳng không đồng chất D trong mặt phẳng Oxy, có
khối lợng riêng là (x,y) là một hàm liên tục trên D. Từ định nghĩa
của tích phân hai lớp và các công thức tính mômen tại một điểm, ta
có công thức tính mômen quán tính của bản phẳng D đối với các
trục Ox và Oy và đối với gốc toạ độ là:
I
x
=

D
dxdyyxy ),(
2

I
y
=

D
dxdyyxx ),(
2

68