Chuỗi Fourier và tích phân Fourier docx

Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

Chương 8
Chuỗi Fourier và
tích phân Fourier

8.1. Chuỗi Fourier 275

8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier 276
8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức 279
8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier 282
8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier 284
8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier 288
8.1.6. Thí dụ 289
8.2. Tích phân Fourier 290
8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier 290
8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier 293
8.3. Biến đổi Fourier 295
8.3.1. Định nghĩa 295
8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 296

8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 297
8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier 299

8.4. Một số ví dụ về ứng dụng 301

8.4.1. Bộ lọc điện 301
8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại 302

8.1. Chuỗi Fourier

Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với
khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây
là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật
lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ, cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất
nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng
ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu.
276
Giải tích các hàm nhiều biến


Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị
đó.
8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier
Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn
trên đoạn
[,]ππ− là chuỗi lượng giác

0
1
[cos sin ]
2
nn
n
a
anxbnx

∞
=
++
∑
,
trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây
1
( )cos , 0,1,2,3,
n
afxnxdxn
π
π
π
−
==
∫

1
( )sin , 1, 2,3,
n
bfxnxdxn
π
π
π
−
==
∫
.
Tổng riêng của chuỗi này là
0

1
() [ cos sin ]
2
n
nkk
k
a
Sx a kx b kx
=
=+ + =
∑

1
1
[1 2 (cos cos sin .sin )] ( )
2
n
k
kt kx kt kx f t dt
π
π
π
=
−
=+ +
∑
∫
=
1
1

[1 2 cos ( )] ( )
2
n
k
kt x f tdt
π
π
π
=
−
=+ −
∑
∫
.
Để ý rằng
1
sin[(2 1) / 2]
12 cos
sin( / 2)
n
k
nu
ku
u
=
+
+=
∑
khi 2um
π

≠ , m ]∈ , ta suy ra
1
() ( ) ()
2
nn
Sx Dt xftdt
π
π
π
−
= −
∫
,
trong đó
()
()
21
sin
2
()
sin
2
n
n
u
Du
u
+
=
, có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế

phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễ thấy rằng nhân
Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2
π
và
0
1
() 1
n
Dudu
π
π
=
∫
.
Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
277

01
() () ()
1
n
n
Sx Sx Sx
n
σ
+++
=
+
,

01
() () ()
()
1
n
n
D
xDx Dx
x
n
Φ
+++
=
+
,
và gọi
()
n
x
Φ là nhân Fejer, còn ( )
n
x
σ là tổng Fejer, và từ các công thức tích
phân Dirichlet ta có
1
() () ( )
2
nn
x
ufx udu

π
π
σΦ
π
−
=+
∫
.
Bổ đề.
Nhân Fejer ()
n
x
Φ có những tính chất sau đây:
(i) Nhân Fejer
()
n
x
Φ
là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ
2
π
;
(ii) () 0,
n
x
xΦ ≥∀ ;
(iii)
1
() 1
2

n
xdx
π
π
Φ
π
−
=
∫
;
(iv) Với mỗi (0, )δπ∈ ta có
||
lim max ( ) 0
n
n
x
x
δπ
Φ
→∞
≤≤
= .
Chứng minh. Từ định nghĩa ta có
00
1
(1)() () sin[(21)/2]
sin( / 2)
nn
nk
kk

nxDx kx
x
Φ
==
+= = +=
∑∑

22
00
11
2sin[(2 1) / 2]sin( / 2) [cos cos( 1) ]
2sin ( /2) 2sin ( /2)
nn
kk
kx x kx kx
xx
==
=+=− +
∑∑

2
22
1cos( 1) 2.sin[( 1)/2]
2sin ( /2) 2sin ( /2)
nx nx
xx
− ++
== .
Từ đây suy ra
2

2
sin [( 1) /2]
()
(1)sin(/2)
n
nx
x
nx
Φ
+
=
+
.
Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0. Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái
có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra (0) 1
n
nΦ =+. Từ công thức
trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii). Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân
nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra
từ nhận xét sau đây:
278
Giải tích các hàm nhiều biến


2
22
|| ||
sin [( 1) /2]
11
max ( ) max

1
sin(/2) ( 1)sin(/2)
n
xx
nx
x
n
xn
δπ δπ
Φ
δ
≤≤ ≤≤
+
= ≤
+
+
.
Bổ đề đã được chứng minh xong.
Định lý. (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [,]
π
π− và () ()
f
fππ− =
thì tổng Fejer ()
n
x
σ hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khi n →∞.
Chứng minh
. Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một
hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2

π
). Từ bổ đề trên ta suy ra
11
|() ()| (). () ()( )
22
nnn
f
x x f x udu u f x udu
ππ
ππ
σΦΦ
ππ
−−
− = − +=
∫∫

11
()[ () ( )] ()| () ( )|
22
nn
ufxfxudu ufxfxudu
ππ
ππ
ΦΦ
ππ
−−
= − + ≤−+
∫∫
.
Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số. Suy ra,

với mỗi số 0ε > cho trước, tồn tại số 0
δ
> sao cho
||
(; ): max| () ( )| /3
−≤
= −≤
xy
ffxfy
δ
ϖδ ε .
Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn,
ta có
111
|() ()|
222
n
fx x
δ
δπ
π
δδ
σ
πππ
−
−−
−≤ ++
∫
∫∫
.

Đối với tích phân ở giữa ta có đánh giá
11
()| () ( )| (; ) ()
22
nn
u f x f x u du f u du
δδ
δδ
ΦϖδΦ
ππ
−−
− + ≤≤
∫∫

1
(; ) () .
23
n
fudu
π
π
ε
ϖδ Φ
π
−
≤ <
∫

Dễ thấy rằng hàm f bị chặn bởi một số M nào đó cho nên, từ tính chất (iv) trong
bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên

n
ε
đủ lớn sao cho với nn
ε
≥ thì 2 tích phân
còn lại đều nhỏ hơn
/3ε
, và tổng hợp lại ta có
|() ()| ,
n
f
xx nn
ε
σε−≤ ∀≥
.
Định lý đã được chứng minh xong.
Nhận xét. Ta đã biết rằng chuỗi Fourier của một hàm liên tục không nhất thiết hội
tụ tại mỗi điểm, và do đó khả năng thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier của nó là
rất mỏng manh. Tuy nhiên, định lý trên đây đã đưa ra một phương pháp mới, thiết
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
279

lập lại hàm số không phải trực tiếp từ tổng riêng của chuỗi Fourier, mà từ các trung
bình cộng của chúng (tức là các tổng Fejer). Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó
không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều, tới chính hàm f. Như vậy, việc
nghiên cứu các chuỗi phân kỳ cũng có lúc đem lại hiệu quả bất ngờ.
Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ (không nhất thiết là chuỗi lượng
giác) bằng cách thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và khảo sát tính
hội tụ của chúng được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng.
8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức

Ta đã biết thế nào là đa thức đại số bậc n. Bây giờ ta có thêm khái niệm đa
thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng
22
0
1
cos sin , 0
n
kk nn
k
AAkxBkxAB
=
++ +≠
∑
.
Định lý. (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [,]
π
π− và () ()
f
fππ− =
thì, với mỗi 0
ε
> , tồn tại đa thức lượng giác ()Tx sao cho
|() ()| , [ ,]fx Tx x
ε
ππ− < ∀∈− .
Chứng minh. Suy ra từ định lý trên, vì mỗi tổng Fejer cũng là một đa thức lượng
giác.
Định lý
. (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thì, với mỗi
0ε >

,
tồn tại đa thức đại số
()
P
x sao cho
|() ()| , [,]
f
xPx xab
ε
− < ∀∈
.
Chứng minh. Dùng phép đổi biến
ba
x
at
π
−
=+
với [0, ]t
π
∈ , ta được hàm số
()
*( )
ba
f
tfa t
π
−
=+
xác định trên đoạn [0,π]. Thác triển hàm này về phía trái

trục số theo công thức
*( ) ( )
f
tft− = ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn
[,]ππ− và thỏa mãn *( ) *( )ff
π
π− = . Từ định lý trên, với mỗi số 0
ε
> , ta tìm
được đa thức lượng giác
()Tx thỏa mãn điều kiện
| *() ()| /2, [ , ]ftTt t
ε
ππ− < ∀∈− .
Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích, khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa
(hội tụ đều trên toàn trục số), cho nên tồn tại số tự nhiên n
ε
sao cho với mọi
nn
ε
≥ đa thức Taylor bậc n của ()Tx, ký hiệu là ()
n
P
t , thỏa mãn điều kiện
|() ()| /2, [ ,]− < ∀∈−
n
Tt P t t
ε
ππ
.

Lấy đa thức () ()
n
P
tPt
ε
= ta có
280
Giải tích các hàm nhiều biến


| *() ()| | *() ()| | () ()|
22
ft Pt ftTt Tt Pt
ε
ε
ε
−≤ −+ − <+=.
Quay trở về với biến
x , tức là lấy
x
a
t
ba
π
−
=
−
, ta có
()
() , [,]

xa
f
xP xab
ba
πε
−
− < ∀∈
−
,
trong đó
()
x
a
P
ba
π
−
−
rõ ràng là một đa thức. Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét.
Định lý trên cho thấy rằng, với mọi hàm f liên tục trên đoạn [a,b], ta
luôn tìm được
dãy đa thức ()
n
P
x hội tụ đều trên đoạn này tới hàm f. Và từ đây suy
ra rằng mọi
hàm liên tục trên đoạn luôn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ
đều
của các đa thức (trên đoạn đó).

Điều này, theo một nghĩa nào đó, cho thấy rằng các hàm liên tục (vốn được
đưa ra một cách trừu tượng và tổng quát) cũng không quá khác biệt với các đa
thức, vốn rất quen thuộc với chúng ta. Và ngoài ra, nó cũng làm thỏa mãn những
người hay hình dung một hàm liên tục như một “biểu thức” nào đó.
Định nghĩa. Một hệ các hàm số
12
, , , ,
n
ϕϕ ϕ xác định trên đoạn [a,b] được
gọi là
đầy đủ
đối với họ hàm số ℜ theo nghĩa
xấp xỉ đều
nếu như mọi hàm trong
họ này có thể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ
nói trên với độ chính xác tuỳ ý
.
Nghĩa là, với mỗi0
ε > , tồn tại hữu hạn các hàm
i
ϕ
và các số ( 1, 2, , )
i
ikλ =
sao cho
11
| ( ) [ ( ) ]| , [ , ]
kk
f
xx xabλϕ λϕ ε− ++ < ∀∈ .

Từ các định lý trên ta có các mệnh đề sau.
Mệnh đề. Hệ các hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , ,cos ,sin ,
x
xxx nxnx
là
đầy đủ
theo nghĩa
xấp xỉ đều
đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [,]ππ− và
nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này.
Chứng minh
. Suy ra từ định lý Weierstrass I.
Mệnh đề. Hệ các hàm lũy thừa
2
1, , , , ,
n
xx x là đầy đủ đối với tập các hàm
liên tục trên đoạn bất kỳ
(theo nghĩa xấp xỉ đều).
Chứng minh
. Suy ra từ định lý Weierstrass II.
Chú ý. Hệ các hàm lượng giác không thể là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với
họ các hàm liên tục trên đoạn [ , ]
π
π− (bởi vì nếu không thì từ tính chất
() ()
TTππ− = của các đa thức lượng giác sẽ kéo theo ( ) ( )
f
f
π

π− = với mọi hàm
liên tục
f ).
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
281

Người ta coi độ lệch toàn phương trung bình giữa 2 hàm f và g xác định trên
đoạn [
a,b] là đại lượng
2
[() ()]
b
a
f
xgxdx−
∫
.
Đại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g
(hay là của g so với f ).
Định nghĩa. Một hệ các hàm số
12
, , , ,
n
ϕϕ ϕ xác định trên đoạn [a,b] được
gọi là
đầy đủ
đối với họ các hàm số
ℜ
theo nghĩa
xấp xỉ toàn phương trung bình

nếu như, với mỗi hàm f
∈
ℜ
và với mọi số
0
ε
>
, tồn tại một tổ hợp tuyến tính
hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so với
hàm f nhỏ hơn
ε.
Mệnh đề.
Hệ các hàm lượng giác
1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , ,cos ,sin ,
x
xxx nxnx

là
đầy đủ
theo nghĩa xấp xỉ
toàn phương trung bình
đối với tập các hàm liên tục
trên đoạn [,]
ππ− và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này.
Chứng minh. Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta
suy ra, với mỗi số 0
ε > , tồn tại đa thức lượng giác ( )Tx sao cho
|() ()| /2, [ ,]fx Tx x
ε

πππ− < ∀∈−
.
Từ đây ta suy ra
2
[() ()]
2
f x T x dx dx
ππ
ππ
ε
ε
π
−−
− <=
∫∫
.
Mệnh đề đã được chứng minh xong.
Nhận xét.
Trong chứng minh trên, vì để sử dụng được tính đầy đủ của hệ các hàm
lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm liên tục nhận giá trị
như nhau tại 2 đầu mút của đoạn. Sau này ta sẽ thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ toàn
phương trung bình, hệ các hàm lượng giác không những là đầy đủ trong lớp hàm
liên tục nói chung (nhận các giá trị bất kỳ tại 2 đầu mút cuối của đoạn), mà còn là
đầy đủ trong lớp hàm rộng hơn hẳn: lớp các hàm với bình phương khả tích. Và
trong lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa toàn phương trung bình, các tổng
riêng Fourier sẽ thể hiện được đầy đủ các ưu thế của mình, chứ không bị “yếu thế”
(so với tổng riêng Fejer) trong phép xấp xỉ đều như đã thấy trước đây. Lớp của
những hàm này thường được ký hiệu là
2
[,]L

π
π− .
Mệnh đề.
Hệ các hàm lũy thừa
2
1, , , , ,
n
xx x
là đầy đủ đối với tập các hàm
liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa
xấp xỉ toàn phương trung bình
.
Chứng minh. Tương tự như mệnh đề trên.
282
Giải tích các hàm nhiều biến


8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier
Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng. Khi ấy
tính khả tích của một hàm số không kéo theo tính khả tích của bình phương của nó
(và ngược lại). Thí dụ, hàm
() 1/ | |
f
xx= là khả tích trên đoạn [1,1]− , còn bình
phương của nó thì không. Tuy nhiên, nếu hàm
f chỉ có một số hữu hạn các điểm
đặc biệt (điểm không xác định) và là khả tích Riemann trên mọi đoạn bất kỳ không
chứa các điểm này thì từ tính khả tích của
2
f

suy ra tính khả tích của
f
, vì ta luôn
có
2
||(1 )/2ff≤ + .
Đối tượng chính mà chúng ta nghiên cứu trong phần này sẽ là những hàm khả
tích cùng với bình phương của nó trên đoạn [ , ]
π
π− , và ta gọi chúng một cách
ngắn gọn là hàm với bình phương khả tích.
Kết quả sau đây cho chúng ta thấy rằng tổng Fourier bậc n là xấp xỉ toàn
phương trung bình tốt nhất trong số các xấp xỉ bởi đa thức lượng giác bậc n của
hàm bình phương khả tích.
Định lý.

Cho f là hàm số với bình phương khả tích trên đoạn [,]ππ− . Nếu
()
n
Sx là tổng Fourier bậc n của f thì
22
()
[ () ()] min [ () ()]
n
nn
Tx
f
x Sxdx fx Txdx
ππ
ππ−−

− = −
∫∫
,
trong đó minimum ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác ()
n
Txcó bậc không
quá n.
Nếu
011
, , , , , ,
nn
aab ab
là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳng thức
Bessel sau đây:
2
22 2
0
1
1
() ()
2
nn
n
a
ab fxdx
π
π
π
∞
=

−
++≤
∑
∫
.
Chứng minh
. Với
0
1
() cos( ) sin( )
2
n
nkk
k
A
Tx A kx B kx
=
=+ +
∑
, sử dụng tính vuông
góc của hệ các hàm lượng giác, ta có
2
222
0
1
[()]
2
n
nkk
k

A
Tx dx A B
π
π
π
=
−





=+ +






∑
∫

cho nên
2
[() ()]
n
f
xTxdx
π
π−

− =
∫
2
222
0
1
()
2
n
kk
k
A
fxdx A B
π
π
π
=
−





++ +−







∑
∫

Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
283


0
1
2 ( ) ( )cos( ) ( )sin( )
2
n
kk
k
A
f
xdx A f x kxdx B f x kxdx
ππ π
ππ π
=
−− −


− ++=



∑
∫∫ ∫

=
2
222
0
1
()
2
n
kk
k
A
fxdx A B
π
π
π
=
−





++ +−






∑

∫

00
1
2
2
n
kk kk
k
aA
aA bB
π
=




++=






∑

()
22
22222
00 0

11
()
() ( ) ( ) ( ).
22
nn
kk kk kk
kk
Aa a
fxdx A a B b a b
π
π
ππ
==
−

−

=+ +− + −−++



∑∑
∫

Từ đây suy ra
2
[() ()]
n
f
xTxdx

π
π−
−
∫
đạt giá trị cực tiểu khi đa thức ()
n
Tx trùng với
tổng riêng Fourier ( )
n
Sx (bậc n) của f , tức là phần thứ nhất của định lý đã được
chứng minh.
Phần thứ 2 là hiển nhiên, vì rằng từ công thức trên ta suy ra
2
222 2
0
1
11
() ( ) [ () ()] 0
2
n
nn n
n
a
fxdx a b fx Sxdx
ππ
ππ
ππ
=
−−
− ++= −≥

∑
∫∫
,
và cho n tiến ra vô cùng ta có ngay điều phải chứng minh.
Nhận xét. Bất đẳng thức Bessel cho thấy rằng đối với hàm có bình phương khả
tích thì chuỗi
2
22
0
1
()
2
nn
n
a
ab
∞
=
++
∑

là hội tụ.
Định lý.
Nếu f là hàm liên tục trên đoạn
[,]
π
π−
và nhận cùng một giá trị ở 2
đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier
011

, , , , , ,
nn
aab ab của f thỏa mãn
đẳng thức Parseval sau đây:
2
222
0
1
1
() ( )
2
kk
k
a
f
xdx a b
π
π
π
∞
=
−
=+ +
∑
∫
.
Chứng minh. Ta biết rằng hệ các hàm lượng giác là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn
phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [ , ]
π
π− có giá trị tại 2

đầu mút bằng nhau, cho nên, với mỗi0
ε
> , tồn tại đa thức lượng giác ( )Tx thỏa
mãn
2
1
[() ()]fx Tx dx
π
π
ε
π
−
− <
∫
.
284
Giải tích các hàm nhiều biến


Theo định lý trên ta có
22
11
[() ()] [() ()]
n
fx S x dx fx Tx dx
ππ
ππ
ε
ππ
−−

−≤−<
∫∫
, và
áp dụng đẳng thức (*) đối với
n
S
suy ra
22
222222
00
11
11
() ( ) () ( )
22
n
kk kk
kk
aa
f x dx a b f x dx a b
ππ
ππ
ππ
∞
==
−−
 
 
− ++≤−++=
 
 

 
∑∑
∫∫


22
11
[() ()] [() ()]
n
fx S x dx fx Tx dx
ππ
ππ
ε
ππ
−−
= −≤−<
∫∫
.
Do
ε là số dương nhỏ bao nhiêu tuỳ ý mà vế trái luôn luôn không âm (theo bất
đẳng thức Bessel), nên nó phải bằng 0 . Định lý được chứng minh.
Hệ quả. Với các giả thiết của định lý, chúng ta có
2
lim [ () ()] 0
n
n
fx S x dx
π
π
→∞

−
− =
∫
.
Chứng minh. Suy ra từ chứng minh của định lý trên.
8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier
Lưu ý rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến
chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức
0
1
() ( cos sin )
2
nn
n
a
f
xanxbnx
∞
=
≈ ++
∑

để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải.
Mệnh đề. Cho hàm f liên tục trên đoạn [,]
π
π− với () ()
f
f
π
π− = và có khai

triển Fourier là
0
1
() ( cos sin )
2
nn
n
a
f
xanxbnx
∞
=
≈ ++
∑
.
Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn
[,]
π
π− thì chuỗi Fourier của '
f
bằng
chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là
1
'( ) ( sin cos )
nn
n
f
xnanxnbnx
∞
=

≈− +
∑
.
Chứng minh
. Giả sử hàm '
f
có chuỗi Fourier là
0
1
'( ) ( cos sin )
2
nn
n
f
xnxnx
α
αβ
∞
=
≈ ++
∑

Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
285

trong đó, theo định nghĩa, ta có
0
11
'( ) [ ( ) ( )] 0ftdt f f
π

π
αππ
ππ
−
==−− =
∫
;
1
'( ).cos( ) ( )cos( ) ( )sin( ) 0 . .
n nn
n
f
tntdtftnt ftntdt nbnb
π
π
π
α
ππ
π
−
==+=+=
−
∫∫
;
1
'( ).sin( ) ( )sin( ) ( )cos( ) 0 . . .
n nn
n
f
tntdtftnt ftntdt na na

π
π
π
β
ππ
π
−
==− = − = −
−
∫∫
Mệnh đề đã được chứng minh.
Bổ đề. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (1)k − và khả vi từng khúc ở cấp k
(1)k ≥ , ngoài ra
() ()
() ()
ii
ffππ− = , với 1, , 1ik= − . Khi đó các hệ số Fourier
của f thỏa mãn
| | , | | , 1, 2,
nn
nn
kk
abn
nn
ε
ε
≤≤= ,
với các
0
n

ε > sao cho
2
1
n
n
ε
∞
=
< ∞
∑
.
Chứng minh
. Sử dụng mệnh đề trên k lần liên tiếp ta thu được
()
1
() ( cos sin )
k
nn
n
f
xnxnxαβ
∞
=
≈ +
∑
,
trong đó, phụ thuộc vào k chẵn hay lẻ, ta có hoặc là
,
kk
nnnn

na nbαβ=± =±
,
hoặc là ,
kk
nnnn
nb naαβ=± =± . Đặt
22
nnn
ε
αβ=+ và áp dụng bất đẳng thức
Bessel cho hàm
()
()
k
f
x ta suy ra chuỗi
2
1
n
n
ε
∞
=
∑
là hội tụ. Ngoài ra

22
||| |/ / /
kkk
nn nn n

an nnααβε= ≤ +=
và tương tự như vậy đối với
n
b . Bổ đề đã được chứng minh.
Định lý. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (1)k − và khả vi từng khúc ở cấp
k
(1)k ≥ , ngoài ra
() ()
() ()
ii
ff
π
π− = , với
1, , 1ik= −
. Khi đó chuỗi Fourier
của f
hội tụ đều
đến hàm f trên đoạn [,]
π
π− , và ngoài ra
1/ 2
|() (;)|
n
n
k
fx S xf
n
η
−
−≤ ,

286
Giải tích các hàm nhiều biến


trong đó
n
η là dãy số hội tụ đến 0 và (; )
n
Sxf là tổng riêng Fourier bậc n của
hàm f.
Chứng minh
. Giả sử
0
1
() ( cos sin )
2
mm
m
a
f
xamxbmx
∞
=
≈ ++
∑
,
0
1
(; ) ( cos sin )
2

n
nmm
m
a
Sxf a mx b mx
=
=+ +
∑
.
Theo bổ đề ta có
| | , | | , 1, 2,
mm
mm
kk
abm
mm
εε
≤≤= , và chuỗi
2
1
m
m
ε
∞
=
∑
là hội
tụ. Ta đánh giá phần dư của chuỗi so với tổng Fourier như sau
111
|()| ( cos sin ) (| || |) 2

m
nmm mm n
k
mn mn mn
rx a mx b mx a b A
m
ε
∞∞∞
=+ =+ =+
=+≤ + ≤ =
∑∑∑
.
Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski ta dễ dàng suy ra
2
2
111
11
2.2
nm m
kk
mn mn mn
A
mm
εε
∞∞∞
=+ =+ =+
= ≤
∑∑∑
.
Để ý rằng

2
1
nm
mn
γ
ε
∞
=+
=
∑
tiến tới 0 khi n tiến ra vô cùng, và
22221
11
1
11
(2 1).
m
kkkk
kn mn
mn
dx dx
mxxkn
∞
∞∞
−
=+ =+
−
≤≤=
−
∑∑

∫∫
,
cho nên với
2
21
nn
k
ηγ
=
−
ta có lim 0
n
n
η
→∞
= và
1/ 2 1/ 2
1
| ( ) | , 1, 2,
n
n
kk
rx n
nn
η
ο
−−




≤ ==






.
Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ (điểm) đến hàm f , cho nên
()
n
rx
cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier
(; )
n
Sxf
. Các đánh
giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định lý đã được chứng
minh.
Nhận xét.
Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc càng cao) thì
chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh, và do đó việc xấp xỉ nó bởi
đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác. Trong trường hợp riêng, khi hàm liên tục tuần
hoàn với chu kỳ
2π
là trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến
chính nó.
Định lý. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [,]
π
π− có khai triển Fourier là

Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
287

0
1
() ( cos sin )
2
nn
n
a
f
xanxbnx
∞
=
≈ ++
∑

thì, với mỗi
[,]t ππ∈− , ta có
0
1
00 0
() ( cos sin )
2
tt t
nn
n
adx
f
xdx a nx b nxdx

∞
=
=+ + =
∑
∫∫ ∫

=
0
1
sin (1 cos )
2
nn
n
at a b
nt nt
nn
∞
=




++−




∑

và chuỗi ở vế phải là hội tụ đều.

Chứng minh
. Xét hàm số
0
0
() ( )
2
t
a
F
tfxdx




= −




∫
.
Ta nhận thấy rằng nó là hàm khả vi liên tục trên đoạn [ , ]
π
π− và thỏa mãn điều
kiện( ) ()FFππ− = , cho nên theo nhận xét từ định lý trên ta suy ra chuỗi Fourier
của F hội tụ đều tới F, nghĩa là
0
1
() ( cos sin )
2

nn
n
A
F
tAntBnt
∞
=
=+ +
∑
,
trong đó, với 1, 2, ,n = ta có
sin( )
111
().cos( ) () '()sin( )
n
nt
A
F t nt dt F t F t nt dt
nn
ππ
ππ
π
πππ
π
−−
==− =
−
∫∫

0
1
0()sin()
2
n
ab
ft ntdt
nn
π
π
π
−


= −− = −


∫
,
và tương tự
n
n
a
B
n
=
.
Riêng
0
A

được tính nhờ công thức khai triển với nhận xét rằng (0) 0F = , và do đó
0
11
n
n
nn
b
AA
n
∞∞
==
= − =
∑∑
.
Như vậy
11 1
( ) sin cos sin (1 cos )
nn n n n
nn n
ba b a b
F
tntntntnt
nn n n n
∞∞ ∞
== =
 
 
=+ − =+−
 
 

∑∑ ∑
,
và từ đây ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
288
Giải tích các hàm nhiều biến


Nhận xét. Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2l (tuỳ ý) được
quy về việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2
π
nhờ phép đổi biến
/txlπ=
, chuyển đoạn
[,]ll−
thành đoạn
[,]
π
π−
.
8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier
Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức
()
1
cos
2
nxi nxi
nx e e
−
=+
và

()
sin
2
nxi nxi
i
nx e e
−
= −

ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng
0
1
11
() ( ) ( )
22 2
nxi nxi
nn n n
n
a
f x a bie a bie
∞
−
=


≈ + − ++





∑
.
Đặt
0
0
11
,(), ()
22 2
nnn nnnn
a
ccabiccabi
−
==− == + ta có
()
inx
n
n
f
xce
∞
=−∞
≈
∑
.
Lưu ý rằng cos sin
i
ie
α
αα
±

±=, ta có
11 1
( ) ()(cos sin ) ()
22 2
inx
nnn
c a b t f x nx i nx dx f x e dx
ππ
ππ
ππ
−
−−
= − = − =
∫∫
;
11 1
( ) ()(cos sin ) ()
22 2
inx
nnn
cabtfxnxinxdxfxedx
ππ
ππ
ππ
−
−−
=+= + =
∫∫
.
Do vậy, công thức trên có thể viết lại thành

1
() ()
2
inx ins
n
f
xefseds
π
π
π
∞
−
=−∞
−
≈
∑
∫
.
Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier.
Lưu ý. Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân của
một hàm nhận giá trị phức() () ()wx ux ivx=+ , với u, v là các hàm số thực, được
định nghĩa một cách tự nhiên là () () ()wxdx uxdx i vxdx
ππ π
ππ π
−−−
=+
∫∫∫
. Nếu u,v là
những hàm khả tích tuyệt đối (có nghĩa
||,||uv là khả tích) thì ta nói w là khả tích

tuyệt đối. Tích phân suy rộng (của hàm phức với biến số thực) được định nghĩa
hoàn toàn tương tự.
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
289

8.1.6. Thí dụ
Trong phần này ta chỉ nghiên cứu một ví dụ đơn giản để nắm vững thêm về lý
thuyết chuỗi Fourier. Phần thực hành tính toán trên máy sẽ cho phép chúng ta đề
cập đến những hàm phức tạp và đa dạng hơn về chủng loại.
Tìm chuỗi Fourier của hàm
()
f
xx= trên khoảng (−π,π). Sau khi cho hàm số
nhận giá trị 0 tại 2 đầu
mút của khoảng, ta
thác triển nó một cách
tuần hoàn và thu được
hàm xác định trên
toàn trục số, có đồ thị
như sau:
Vì
()
f
xx=
là hàm lẻ
nên không cần tính ta cũng có thể khẳng định được rằng
0
1
()afxdx
π

π
π
−
=
∫
= 0 ,
1
()cos
n
afxnxdx
π
π
π
−
=
∫
= 0.
Tìm
n
b theo công thức
1
()sin
n
bfxnxdx
π
π
π
−
=
∫

=
1
(1)
2
n
n
+
−
. Như vậy chuỗi
Fourier của
()
f
xx= trên khoảng (−π,π) là như sau

1
(1)
2sin
n
n
x
nx
n
∞
=
−
= −
∑
.
Để thấy được khả năng xấp xỉ của các tổng riêng của chuỗi Fourier đối với hàm số
()

f
xx= trên khoảng bằng chu kỳ, ta quan sát đồ thị hàm số cùng với các tổng
riêng này (các đồ thị được vẽ bằng máy, như đã trình bày trong các chương trước,
và sẽ được đề cập lại trong phần tính toán thực hành của chương này).
Đồ thị hàm ( )
f
xx= và tổng riêng
4
4
1
(1)
2sin
n
n
Snx
n
=
−
= −
∑
là như sau:


−π
π
0
x

H
ình 8.1

290
Giải tích các hàm nhiều biến


Hình 8.2
Đồ thị hàm ( )
f
xx= và tổng riêng thứ 12,
12
12
1
(1)
2sin
n
n
Snx
n
=
−
= −
∑
, được mô tả
trong hình vẽ sau


Hình 8.3.
Một điều dễ nhận thấy rằng các tổng riêng của chuỗi Fourier chỉ xấp xỉ tốt trên
khoảng hở (vì tại các điểm đầu mút hàm số f là gián đoạn).

8.2. Tích phân Fourier

8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier
Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên trục số thực. Nếu, một cách hình thức, ta
thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham
số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân sau đây (gọi là tích phân
Fourier của hàm f )
[]
0
()cos( ) ()sin( )a y yx b y yx dy
∞
+
∫
,
trong đó
1
() ()cos( )ay ft ytdt
π
∞
−∞
=
∫
,
1
() ()sin( )by ft ytdt
π
∞
−∞
=
∫

.
Dễ dàng thấy rằng
[]
0
()cos( ) ()sin( )ay yx by yx dy
∞
+=
∫

00
11
( )[cos( )cos( ) sin( )sin( )] ( )cos[ ( )] .dy f t ty xy ty xy dt dy f t y x t dt
ππ
∞∞ ∞∞
−∞ −∞
= − = −
∫∫ ∫∫

Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
291

Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính
hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân
Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của chính hàm số đó. Trước hết ta
cần kết quả bổ trợ sau
Bổ đề. Nếu hàm f là khả tích tuyệt đối trên khoảng (a,b), hữu hạn hoặc vô hạn,
thì
lim ( )cos( ) lim ( ) sin( ) 0
bb
aa

fx xdx fx xdx
νν
νν
→∞ →∞
==
∫∫
.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh hệ số Fourier của một hàm khả tích thì
tiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng (xem giáo trình Giải tích một biến).
Định lý.
Cho hàm số f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn và khả tích
tuyệt đối trên toàn trục số. Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm phải
'()
f
x
+
và đạo
hàm trái
'()
f
x
−
thì ta có
0
(0) (0)
1
()cos[ ( )]
2
fx fx
dy f t y x t dt

π
∞∞
−∞
++ −
= −
∫∫
,
trong đó (0)fx
+ , (0)−fx , theo thứ tự, là các giới hạn phải, giới hạn trái của f
tại x.
Chứng minh
. Với số 0η > , ta xét tích phân
0
1
() ()cos[( )]Sdyftyxtdt
η
η
π
∞
−∞
= −
∫∫
.
Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng
lim ( )S
η
η
→∞
. Với mỗi số 0ξ > ,
theo định lý về tích phân của tích phân phụ thuộc tham số, ta có

00
sin[ ( )]
()cos[ ( )] () cos[ ( )] () .
xt
dy ft yx t dt ftdt yx t dy ft dt
xt
ηξ ξ η ξ
ξξ ξ
η
−− −
−
− = − =
−
∫∫ ∫ ∫ ∫
(*)
(Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f , ta có thể phân chia hình hộp t
ξξ
−≤≤ ,
0 y
η
≤≤ thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đường song song với trục
Oy) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả 2 biến đến tận biên, nếu tại
biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới hạn trái của hàm).
Lưu ý rằng | ( )cos[ ( )]| | ( ) |
f
tyxt ft−≤ , cho nên do tính khả tích tuyệt đối của
hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham số y trên đoạn [0, ]
η
của tích phân sau
292

Giải tích các hàm nhiều biến


() ()cos[( )]
F
yftyxtdt
∞
−∞
= −
∫
.
Như vậy, hàm số
(,) ()cos[( )]
F
yftyxtdt
ξ
ξ
ξ
−
= −
∫

hội tụ đều (trên đoạn
[0, ]
η
) đến hàm
()
F
y
khi

ξ
→∞
. Dễ dàng chứng minh rằng
hàm
(,)
F
y
ξ
là liên tục theo y cho nên từ công thức (*), bằng cách cho qua giới
hạn dưới dấu tích phân ở vế trái, ta thu được
sin[ ( )]
1
() ()
xt
Sft dt
xt
η
η
π
∞
−∞
−
=
−
∫
.
Đặt
utx
= −
, ta có

sin( )
1
() ( )
u
Sfuxdu
u
η
η
π
∞
−∞
=+
∫
.
Bằng cách tách tích phân thành 2 khúc
0
0
∞∞
−∞ −∞
=+
∫
∫∫
và trong khúc thức nhất
ta làm phép đổi biến
ut
= −
thì ta sẽ thu được
0
sin( )
1

() [ ( ) ( )]
t
Sfxtfxtdt
t
η
η
π
∞
=++−
∫
.
Trong mục nói về tích phân Dirichlet (Chương 5) ta đã biết rằng
0
sin( )
2
t
dt
t
η
π
∞
=
∫
,
với mọi 0
η
> , cho nên
(0) (0)
()
2

fx fx
S η
++ −
− =

00
sin( ) ( 0) ( 0)
sin
1
[( ) ( )]
tfx fx
t
f
xt fxt dt dt
tt
η
η
ππ
∞∞
++ −
=++−−
∫∫


00
()(0) ()(0)
11
sin( ) sin( )
fx t fx fx t fx
tdt tdt

tt
ηη
ππ
∞∞
+ − + −− −
=+
∫∫
.
Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng cả 2 tích phân ở vế phải đều
tiến tới 0 khi η
→∞. Điều này được suy ra từ các nhận xét sau đây (chứng minh
chi tiết xin dành cho người đọc).
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
293

Do sự tồn tại của các đạo hàm phải của hàm f tại điểm x mà hàm
()(0)fx t fx
t
+ − +
liên tục từng khúc (theo biến t) tại điểm 0 và do đó nó là khả
tích (tuyệt đối) trên đoạn
[0,1]
. Do bổ đề ta có
1
0
()(0)
lim sin( ) 0
fx t fx
tdt
t

η
η
→∞
+ − +
=
∫
.
Trên miền 1t
≥ hàm số ()/
f
xtt+ bị chặn bởi hàm khả tích | ( ) |
f
xt+ cho nên
nó cũng khả tích, và do đó cũng theo bổ đề ta có
1
()
lim sin( ) 0
fx t
tdt
t
η
η
∞
→∞
+
=
∫
.
Vì
0

sin
x
dx
x
∞
∫
hội tụ nên
1
(0)
sin
lim sin( ) ( 0) lim 0
fx
u
tdt fx du
tu
ηη
η
η
∞∞
→∞ →∞
+
=+ =
∫∫
.
Kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh.
Nhận xét.
Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x thì tích
phân Fourier tại điểm x cho giá trị của chính hàm f.
8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier
Để việc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giả thiết rằng

f là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên. Khi ấy, theo nhận xét
đã nêu, ta có công thức Fourier sau đây:

0
1
() ()cos[( )]
f
xdyftyxtdt
π
∞∞
−∞
= −
∫∫
(*)
và do biểu thức dưới dấu tích phân theo dy là hàm chẵn theo y nên

1
() ()cos[( )]
2
f
xdyftyxtdt
π
∞∞
−∞ −∞
= −
∫∫
.
Lưu ý rằng
|()sin[( )]| |()|
f

tyxt ft−≤ cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass, tích
phân
()sin[ ( )]
f
tyxtdt
∞
−∞
−
∫

là hội tụ đều (theo y trên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y. Vì vậy,
với0
η
> , tích phân
294
Giải tích các hàm nhiều biến


()sin[ ( )]dy f t y x t dt
η
η
∞
−−∞
−
∫∫

tồn tại và, do hàm dưới dấu tích phân là lẻ theo y, tích phân này bằng 0. Tuy nhiên,
điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy rộng
()sin[ ( )]dy f t y x t dt
∞∞

−∞ −∞
−
∫∫
,
(vì nó không định nghĩa như giới hạn của tích phân với các cận đối xứng qua gốc,
mà là với các cận tuỳ ý).
Chính vì lẽ này, người ta đưa ra khái niệm giá trị chính của tích phân
()
x
dxϕ
∞
−∞
∫
(với ϕ là hàm khả tích trên các đoạn hữu hạn bất kỳ) định nghĩa như
sau
() : () : lim ()vp xdx vp xdx xdx
η
η
η
ϕϕϕ
∞∞
→∞
−∞ −∞ −





==









∫∫∫
.
Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trị chính của tích phân suy rộng
tại một điểm nào đó (chứ không nhất thiết tại
∞ như trên).
Rõ ràng, nếu tích phân hội tụ thì giá trị chính của tích phân và bản thân tích
phân là bằng nhau.
Thí dụ. Các tích phân suy rộng
x
dx
∞
−∞
∫
và
1
1
dx
x
−
∫
là không hội tụ, nhưng giá trị
chính của chúng vẫn tồn tại và bằng 0.
Trở lại với tích phân Fourier ta có

()sin[( )] 0vp dy f t y x t dt
∞∞
−∞ −∞
− =
∫∫
.
Nhân tích phân này với
2
i
π
và cộng với (*) ta suy ra
()
1
() ()
2
iy x t
f
xvp dyfte dt
π
∞∞
−
−∞ −∞
=
∫∫
.
Đây chính là một dạng khác của công thức tích phân Fourier.
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
295

8.3. Biến đổi Fourier

8.3.1. Định nghĩa
Nếu ta đặt
1
() ()
2
iyt
yftedtΦ
π
∞
−
−∞
=
∫
,
thì dạng nói trên của công thức tích phân Fourier trở thành
1
() ()
2
ixy
f
xvp yedyΦ
π
∞
−∞
=
∫
.
Người ta gọi phép ứng mỗi hàm f với hàm số

1
ˆ
(): () ()
2
iyt
f
yyvp ftedtΦ
π
∞
−
−∞
==
∫

là phép biến đổi Fourier và thường được ký hiệu là F. Nghĩa là
ˆ
[]fFf Φ
==
.
Như vậy, phép biến đổi Fourier được xác định với mọi hàm khả tích tuyệt đối.
Trong định nghĩa này, f có thể là một hàm (với biến số thực) nhận giá trị phức, và
ảnh của nó
[]
F
f
nói chung là hàm nhận giá trị phức ngay cả khi f là hàm nhận
giá trị thực.
Tương tự như trên người ta định nghĩa phép biến đổi Fourier ngược là phép
ứng mỗi hàm f với hàm số
1

() ()
2
iyt
yvp ftedtΨ
π
∞
−∞
=
∫
,
và thường ký hiệu nó là
1
F
−
. Như vậy
1
[]Ff
Ψ
−
= .
Tên gọi như trên được bắt nguồn từ mệnh đề sau.
Mệnh đề.
Nếu hàm f là liên tục, khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, và có đạo
hàm từng phía tại mỗi điểm, thì
[
]
11
[] []
F
Ff FF f f

−−


==




.
Chứng minh. Công thức
[
]
1
[]
F
Ff f
−
= cũng chính là công thức tích phân
Fourier dưới dạng khác. Ta chỉ còn phải chứng minh rằng
1
[]
F
Ff f
−


=





. Vì hàm
cosin là chẵn cho nên trong công thức tích phân Fourier (dạng thông thường) có thể
đổi vị trí giữa t và x , nghĩa là
1
() ()cos[( )]
2
f
xdyftytxdt
π
∞∞
−∞ −∞
= −
∫∫
.
296
Giải tích các hàm nhiều biến


Mặt khác, do tính lẻ của hàm sin ,
()sin[( )] 0vp dy f t yt x dt
∞∞
−∞ −∞
− =
∫∫
.
Cho nên, tích phân Fourier có thêm một dạng nữa
()
1
() ()

2
iy t x
f
xvp dyfte dt
π
∞∞
−
−∞ −∞
=
∫∫
,
hay là
11
() ()
22
iyt ixy
f
xvp ftedtedy
ππ
∞∞
−
−∞ −∞



=





∫∫
,
đây chính là công thức cần chứng minh.
8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Mệnh đề.
Phép biến đổi Fourier (và ngược của nó) là
tuyến tính
, nghĩa là,
11 2 2 1 1 2 2
[][][]
F
f f Ff Ffλλ λ λ+= +
và
111
11 2 2 1 1 2 2
[][][]
F
ff Ff Ffλλ λ λ
−−−
+= + ;
(các công thức trên được hiểu theo nghĩa: nếu vế phải tồn tại thì vế trái tồn tại và
có đẳng thức xảy ra).
Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa.
Mệnh đề. Phép biến đổi Fourier (cũng như ngược của nó) là
phép ứng 1-1
.
Chứng minh
. Thật vậy,
[
]

[
]
11
12 1 2 12
[] [ ] [] [ ]
F
fFf FFf FFf ff
−−
= ⇒ = ⇒ =
(theo mệnh đề trong phần trên).
Mệnh đề.
Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số) là
một hàm bị chặn (trên toàn trục số), và ngoài ra
1
ˆ
| ( )| | ( )|
2
f
yfxdx
π
∞
−∞
≤
∫
.
Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa với lưu ý rằng | | 1
ixy
e
−
= .

Hệ quả. Nếu hàm khả tích tuyệt đối f và dãy hàm khả tích tuyệt đối
{}
n
f
thỏa
mãn điều kiện
Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
297

lim | () ()| 0
n
n
fx fxdx
∞
→∞
−∞
− =
∫
,
thì dãy hàm
{}
ˆ
()
n
f
y hội tụ đều đến hàm
ˆ
()
f
y trên toàn trục số thực.

Chứng minh. Suy ngay từ bất đẳng thức của mệnh đề trên.
Mệnh đề. Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số
thực là một hàm liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến ra −∞ hoặc +∞ .
Chứng minh. Ta biết rằng với một hàm
ϕ
khả tích tuyệt đối thì tìm được dãy các
hàm bậc thang
n
ϕ thỏa mãn
lim | ( ) ( ) | 0
n
n
xxdxϕϕ
∞
→∞
−∞
− =
∫
,
cho nên từ hệ quả trên ta thấy chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp các hàm bậc
thang. Mặt khác, ta lại biết rằng một hàm bậc thang bất kỳ là tổ hợp tuyến tính
(hữu hạn) của các hàm bậc thang đơn (nhận giá trị 1 trên một nửa khoảng [a,b) nào
đó và bằng 0 trên miền còn lại). Từ tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta suy
ra chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp các hàm bậc thang đơn.
Giả sử
ϖ là một hàm bậc thang đơn, nghĩa là
1
()
0
axb

x
x
abx
ϖ
khi
khi hay

≤ <


=


< ≥


.
Khi ấy ta có
11
ˆ
() (cos sin )
22
bb
ixy
aa
yedx xyixydxϖ
ππ
−
==− =
∫∫

[(sin sin ) (cos cos )]/( 2 ) 0
()/2 0
by ay i by ay y y
ba y
π
π
khi
khi


− + −≠


=


− =



.
Dễ dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vô cùng (về cả
hai phía). Mệnh đề đã được chứng minh xong.
8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến
đổi Fourier
Mệnh đề.

Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấp n là liên tục và

khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thì
()
[]()[], 0,1, ,
kk
F
fiyFfk n== ,
298
Giải tích các hàm nhiều biến


và tồn tại số 0M > sao cho |[]|
||
n
M
Ff
y
≤ .
Chứng minh
. Ta có
0
() (0) '()
x
f
xf ftdt=+
∫
,
nên, do tính khả tích của
'
f
trên toàn trục số, các giới hạn

lim ( )
x
f
x
→±∞
tồn tại và
bằng 0 (do tính khả tích của bản thân hàm
f trên toàn trục số). Sử dụng công thức
tích phân từng phần đối với tích phân Fourier ta suy ra
11
[ '] '() () () [ ]
222
ixy ixy ixy
iy
F
f f xe dx f xe f xe dx iyF f
πππ
+∞ +∞
+∞
−− −
−∞
−∞ −∞
==+=
∫∫
.
Như vậy mệnh đề đã được chứng minh với k = 1. Trường hợp tổng quát được
chứng minh dễ dàng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lưu ý rằng hàm
()
[]

n
Ff là bị chặn trên toàn trục số (theo mệnh đề ở phần
trên), cho nên tồn tại số hữu hạn
()
sup [ ]
n
y
MFf
−∞<<∞
= , vì vậy công thức thứ 2 của
mệnh đề có ngay từ công thức thứ nhất với
k = n. Mệnh đề đã được chứng minh.
Nhận xét.
Như vậy, hàm càng trơn thì biến đổi Fourier của nó càng nhanh tiến tới
0 khi biến số tiến ra vô cùng. Một điều dễ nhận thấy rằng mệnh đề vẫn đúng khi
hàm
f nhận giá trị phức. Với một chứng minh phức tạp hơn một chút, ta có thể chỉ
ra rằng mệnh đề còn đúng trong trường hợp đạo hàm bậc
n của f có hữu hạn điểm
gián đoạn loại 1.
Mệnh đề. Nếu hàm ()
f
x là liên tục và các hàm ( ), ( ), , ( )
n
f
xxfx xfx là khả
tích tuyệt đối trên toàn trục số, thì biến đổi Fourier của f là khả vi đến bậc n và
()
[ ] [ ] , 0,1, ,
kk k

iF f Fxf k n== .
Chứng minh
. Lấy đạo hàm theo tham số của tích phân
1
[] ()
2
ixy
F
ffxedx
π
+∞
−
−∞
=
∫
,
với lưu ý rằng |() | |()|
ixy
x
fxe xfx
−
= , ta thu được tích phân hội tụ tuyệt đối và
đều
trên toàn trục số và bằng ( )
ixy
ixfxedx
∞
−
−∞
−

∫
. Cho nên việc lấy đạo hàm dưới
dấu tích phân là hợp lệ. Từ công thức lấy đạo hàm này ta suy ra '[ ] [ ]
iF f F xf= ,
và mệnh đề đã được chứng minh cho trường hợp
k = 1. Trường hợp tổng quát được
chứng minh dễ dàng bằng quy nạp.