Các dạng phương trình đường thẳng trong KG

C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vỊ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
D¹ng 1 : ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
u
r
= (a; b; c).
Ph¬ng ph¸p: PT tham sè cđa ®êng th¼ng d lµ:
a
: b
c
= +


= + ∈


= +

¡
o
o
o
x x t
(d) y y t ; t
z z t
Chó ý: NÕu abc

0≠
th× (d) cã PT chÝnh t¾c lµ:
0
b c
− −
= =
o o
z - z
x x y y
a
Chó ý: §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n. VỊ nguyªn t¾c mn viÕt PT ®êng th¼ng d cÇn biÕt to¹ ®é 1 ®iĨm
thc d vµ to¹ ®é vÐc t¬ chØ ph¬ng cđa d.
D ¹ng 2 : Đường thẳng (d) đi qua 2 ®iĨm A, B.
Bíc 1: T×m
AB
uuur
Bíc 2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn
AB
uuur
lµm vÐc t¬ chØ ph¬ng.
D¹ng 3: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua A và song song víi ®êng th¼ng ∆.
B1: Tìm VTCP
r
u
cđa
∆
.
B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua A vµ nhËn
r
u

lµm VTCP.
D¹ng 4: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua ®iĨm A và vuông góc mp(α)
B1: Tìm VTPT của (α) là
r
n
.
B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn
r
n
lµm VTCP.
D¹ng 5: ViÕt PT ®ường thẳng (d) ®i qua ®iĨm A và vuông góc víi c¶ 2 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
)
B1: Tìmc¸c VTCP
1 2
,
ur uur
u u
cđa d
1
; d
2
.
B2: §êng th¼ng d có VTCP lµ:
r
u
=
1 2

,
 
 
ur uur
u u
B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ nhËn
u
r
lµm VTCP.
D¹ng 6: ViÕt PT cđa ®êng th¼ng d lµ giao tun cđa hai mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0
C¸ch 1:
B1: Gi¶i hƯ
Ax By Cz D 0
A 'x B'y C'z D' 0
+ + + =


+ + + =

t×m mét nghiƯm
0 0 0
(x ; y ;z )
ta ®ỵc 1 ®iĨm M
0 0 0
(x ; y ;z )
∈
d. (Cho 1 trong 3 Èn 1 gi¸ trÞ x¸c ®Þnh råi gi¶i hƯ víi 2 Èn cßn l¹i t×m 2 Èn cßn l¹i)
B2: §êng th¼ng d cã VTCP lµ:

b c c a a b
u ; ;
b' c' c' a' a' b'
 
=
 ÷
 
r
B3: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm M
0 0 0
(x ; y ;z )
vµ nhËn
u
r
lµm VTCP.
C¸ch 2:
B1: T×m to¹ ®é 2 ®iĨm A, B
d∈
. (T×m 2 nghiƯm cđa hƯ 2PT trªn)
B2: ViÕt PT ®êng th¼ng AB.
C¸ch 3: §Ỉt 1 trong 3 Èn b»ng t (ch¼ng h¹n x=t), gi¶i hƯ 2 PT víi 2 Èn cßn l¹i theo t råi suy ra PT tham
sè cđa d.
D¹ng 7: ViÕt PT h×nh chiÕu cđa ®êng th¼ng d trªn mp(P).
B1: ViÕt PTmp(Q) chøa d vµ vu«ng gãc víi mp(P).
B2: H×nh chiÕu cÇn t×m d’=
(P) (Q)∩
(Chó ý: NÕu
d (P)⊥
th× h×nh chiÕu cđa d lµ ®iĨm H=
d (P)∩

Dạng 8 : ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A và cắt hai đường thẳng
1
d
,
2
d

C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng (
α
) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d
1
.
B2: Tìm giao điểm B=
2
( ) dα ∩
B3: §êng th¼ng cÇn t×m lµ ®t ®i qua 2 ®iĨm A, B.
C¸ch 2:
B1: ViÕt PT mặt phẳng (
α
) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d
1

B2: ViÕt PT mặt phẳng (
β
) ®i qua điểm A và chứa đường thẳng d
2
.
B3: §êng th¼ng cÇn t×m
d ( ) ( )= α ∩ β
D¹ng 9: ViÕt PT ®êng th¼ng d song song víi d

1
vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng d
2
vµ d
3
.
B1: ViÕt PT mp(P) song song víi d
1
vµ chøa d
2
.
B2: ViÕt PT mp(Q) song song víi d
1
vµ chøa d
3
.
B3: §êng th¼ng cÇn t×m d=
(P) (Q)∩
Dạng 10: Viết PT ng thng d đi qua im A, vuụng gúc ng thng
1
d
v ct ng thng
2
d

Cách 1:
B1: Viết PT mt phng (

) qua im A v vuụng gúc ng thng d
1

.
B2: Tỡm giao im B
2
( ) d=
B3 : Đờng thẳng cần tìm là đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B.
Cách 2:
B1: Viết PT mp (

) đi qua điểm A và vuông góc với d
1
.
B2: Viết PT mp
( )
đi qua điểm A và chứa d
2
.
B3: Đờng thẳng cần tìm
d ( ) ( )=
Dng 11 : Lp ng thng d đi qua im A , song song mt phng (

) v ct ng thng d
Cách 1:
B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(

).
B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đờng thẳng d.
B3: Đờng thẳng cần tìm
d (P) (Q)=
Cách 2:
B1: Viết PT mt phng (P) qua im A v song song mt phng (

)
B2: Tỡm giao im B =
(P) d'
B3: ng thng cần tìm d đi qua hai im A v B.
D ạng 12: Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v ct hai ng thng d
1
, d
2
cho trc .
B1: Tỡm giao im A
1
d (P)=
; B
2
d (P)=
B2: d l ng thng qua hai im A v B .
Dạng 13 : Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v vuụng gúc ng thng d cho trc ti
giao im I ca d v mp( P ).
B1: Tỡm giao im I = d

( P ).
B2: Tìm VTCP
u
r
của d và VTPT
n
r
của (P) và
v u,n

=

r r r
B3: Viết PT đng thng d qua im I v cú VTCP
v
r

Dạng 14: Viết PT đờng vuông góc chung d của hai đờng thẳng chéo nhau d
1
, d
2
.
Cách 1:
B1: Tìm các VTCP
1 2
u ,u
uur uur
của d
1
và d
2
. Khi đó đờng thẳng d có VTCP là
1 2
u u ,u

=

r uur uur
B2: Viết PT mp(P) chứa d

1
và có VTPT
1 1
n u,u

=

uur r uur
B3: Viết PT mp(Q) chứa d
2
và có VTPT
2 2
n u,u

=

uur r uur
B4: Đờng thẳng cần tìm
d (P) (Q)=
. (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
Cách 2:
B1: Gọi M(x
0
+at; y
0
+bt; z
0
+ct)
1
d

; N(x
0
+at; y
0
+bt; z
0
+ct)
2
d
là chân các đờng vuông
góc chung của d
1
và d
2
.
B2: Ta có
1 1
2
2
MN d MN.u 0
t, t '
MN d
MN.u 0

=

=



uuuur uur
uuuur uur
B3: Thay t và t tìm đợc vào toạ độ M, N tìm đợc M, N. Đờng thẳng cần tìm d là đờng thẳng đi
qua 2 điểm M, N
(Chú ý : Cách 2 cho ta tìm đợc ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau)
Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đờng thẳng d
1
và d
2
.
B1: Viết PT mp(P) chứa d
1
và vuông góc với (P).
B2: Viết PT mp(Q) chứa d
2
và vuông góc với (P).
B3: Đờng thẳng cần tìm
d (P) (Q)=
Dạng 16: Lp ng thng d đi qua im A , cắt và vuụng gúc với ng thng d.
PP giải: Đây là trờng hợp đặc biệt của dạng 10.