Chuyen de toa do trong mat phang-Lop 10- hay

Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
PHNG PHP TO TRONG MT PHNG.
Chuyên đề 0 : Véc t v t a véc t.
A. Tóm tắt lí thuyết.
I. Ta véc t.
1. Định nghĩa
( ; ) . .u x y u x i y j
= = +
r r r r
2. Các tính cht.
Trong mt phng
Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y
= =
r r
, ta có :
a.
( '; ')u v x x y y
+ = + +
r r
;
b.
( . ; . )ku k x k y
=
r
;
c.
. . ' . 'u v x x y y
= +

r r
;
d.
2
2 2 2 2
' 'u x x u x x
= + = +
r r

e.
. 0 . ' . ' 0u v u v x x y y
= + =
r r r r
;
f .
,u v
r r
cùng phng
' '
x y
x y
=
;
g.
'
'
x x
u v
y y
=

=

=

r r
.
3. Ví d .
Ví d . Cho
1
5 ; 4 .
2
u i j v ki j
= =
r r r r r r
Tìm
k

,u v
r r
cùng phng.
Lời giải.
Ta có
,u v
r r
cùng phng

4
1
5

2
k
=


k=
2
5
.Vậy k=
2
5
III Toạ độ của điểm.
1.Định nghĩa.
( ; ) ( ; ) . .M x y OM x y OM x i y j= = = +
uuuur uuuur r ur
2. Mối liên hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ véc tơ.
1
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Trong mt phng to
Oxy
cho ba im
( ; ); ( ; ); ( ; )
A A B B C C
A x y B x y C x y
. Khi đó:
a.
2 2
( ; ) ( ) ( )
B A B A B A B A

AB x x y y AB x x y y
= = +
uuur uuur
.
b. To trung im
I
ca on
AB
là :
( ; )
2 2
A B A B
x x y y
I
+ +
.
c. To trng tâm
G
ca
ABC

là :
( ; )
3 3
A B C A B C
x x x y y y
G
+ + + +
.
d. Ba im

, ,A B C
thng hàng
,AB AC
uuur uuur
cùng phng.
Chú ý:Trong tam giác ABC :
a) Trọng tâm G là giao điểm của 3 đờng trung tuyến của tam giác
b) Trực tâm H là giao điểm của 3 đờng cao của tam giác
c) Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đờng trung trực
d) Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đờng phân giác của các góc.
+) Trung tuyến AM: ĐI qua đỉnh A và trung điểm M của cạnh đối diện BC
+) đờng cao AH : ĐI qua đỉnh A và vuông góc với cạnh đối diện BC
+) đờng trung trực của cạnh BC: Vuông góc với BC tại trung điểm của BC( đờng
trung trực của BC có thể không đI qua A)
+) đờng phân giác của góc ABC: chia góc ABC thành 2 góc bằng nhau
( xem lại các kiến thức cũ đã học về tính chất của các đờng này-SGK toán 7)
3. Ví d .
Ví d 1. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C

a. Chng minh ba im A, B, C không thẳng hàng.(hay ABC là 3 đỉnh của
một tam giác, hay hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
không cùng phơng)
b. Tính chu vi
ABC

.
Ví d 2. Cho ba im

( 3;4), (1;1), (9; 5)A B C
.
a. Chng minh
, ,A B C
thẳng hàng ( hay
,AB AC
uuur uuur
cùng phng)
b. Tìm to
D
sao cho
A
là trung im ca
BD
.
c. Tìm to iểm
E
trên
Ox
sao cho
, ,A B E
thẳng hàng.
Ví d 3. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im
, ,A B C
to thành tam giác.
b. Tìm to trng tâm
ABC

.
c. Tìm to im
E
sao cho
ABCE
là hình bình hành
Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng.
A. kiến thức cơ bản.
1. Véc tơ chỉ ph ơng
Định nghĩa: Véc tơ
u
r
đợc gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng

nếu
0u

r r
và giá của
u
r
song song hoặc trùng với đờng thẳng

.
2
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Chúý: Nếu véc tơ
u
r

là vtcp của

thì mọi véc tơ k.
u
r
(với k#0) cũng là vtcp của

Nếu

có vtcp là
);(
21
uuu
=
r
với u
1
#0 thì

có hệ số góc là K=
2
1
u
u
Nếu đờng thẳng

có hệ số góc k thì có vtcp là
);1( ku
=
r

2.Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ chỉ ph-
ơng
);(
21
uuu
=
r
. Khi đó phơng trình tham số của

là :




+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
(1) . (
.Rt
)

3) Véc tơ pháp tuyến:
Đn: Véc tơ
n
r
đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng

nếu
0n

r r

và
n
r
vuông góc với véc tơ chỉ phơng của

* Chú ý:
- Nếu
n
r
là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

thì mọi véc tơ
.k n
r
( với
k#0) cũng là các véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

.
- Nếu

( ; )n a b
=
r
là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

thì véc tơ chỉ phơng
là
( ; )u b a
=
r
hoặc
( ; )u b a
=
r
.
- Nếu
1 2
( ; )u u u
=
r
là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

thì véc tơ pháp tuyến là
2 1
( ; )n u u
=
r
hoặc
2 1
( ; )n u u

=
r
.
4. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ pháp
tuyến
);( ban =
r
. Khi đó phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi phơng trình :
0)()(
00
=+
yybxxa
(2). (
.0
22
+
ba
)
Hay: a.x+b.y+c=0 ( 2 ) (
.0
22

+
ba
)
* Chú ý: Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng quát và ph ơng trình tham số .
a1. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (1) thì vtcp
);(
21
uuu
=

r
. Từ đó
đờng thẳng

có vtpt là
);(
12
uun
=

r
hoặc
);(
12
uun
=

r

. Và phơng trình tổng
quát của

đợc xác định bởi :

0)()(
0102
=
yyuxxu
.
a2. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng (2) thì
);( ban =

r
. Từ đó đờng
thẳng

có vtcp là
);( abu =

r
hoặc
);( abu =

r
.
Cho
0

xx =
thay vào phơng trình (2)
.
0
yy =
Khi đó ptts của

là :
3
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn




=
+=
atyy
btxx
0
0
(
t R

).
a3. Có thể chuyển từ PTTS sang PTTQ bằng cách khử tham số
Chuyển từ PTTQ sang PTTS bằng cách đặt x(hoặc y) theo tham số
5.Bổ sung một số dạng bài tập Các bài toán trong tam giác.
*Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A,biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại
BM,CN.Hãy viết pt các cạnh,tìm toạ độ B,C.

Phơng pháp: (Bài toán thứ nhất trong tam giác.)
b1:Tìm toạ độ trọng tâm G(x
G
;y
G
) của ABC
b2:Tham số hoá toạ độ của B(x
B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) theo ptrình BM,CN.
b3:Tìm toạ độ của B,C:áp dụng cthức:
3
A B C
G
x x x
x
+ +
=
;
3
A B C
G
y y y
y
+ +

=
b4:Viết pt các cạnh.
v í dụ1 :cho tam giác ABC có A(-2;3) và hai đờng trung tuyến BM: 2x-y+1=0
Và CN: x+y-4=0.
Viết phơng trình AB;BC;CA
Lời giải.
Theo bài, toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:
2 1 0 1
4 0 3
x y x
x y y
+ = =



+ = =

.vậy G(1;3)
Vì B thuộc đờng thẳng BM nên giả sử B(x
B
;y
B
) thì :2x
B
-y
B
+1=0

y
B

=2x
B
+1.
Vậy B(x
B
;2x
B
+1).
Tơng tự, C(x
C
;y
C
) với

x
C
+y
C
-4=0.

y
C
=4-

x
C
.Vậy C(x
C
;4-

x
C
).
Mặt khác , vì G(1;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

2
1
5
2
3
33 (2 1) (4 ) 2 1
3
3
B C
B C
B
CB C B C
x x
x x
x
xx x x x
+ +

=

+ =
=

=+ + + =



=


.Vậy B(2;5) và C(3;1)
+>Phơng trình cạnh AB,BC,CA: Tự viết.
*Dạng 2:Tam giác ABC ,biết đỉnh A và 2 đờng cao BH,CK.Lập phơng trình
AB.BC,CA.Tìm toạ độ B,C.
Phơng pháp: ( Bài toán thứ hai trong tam giác)
b1: Lập pt cạnh AB:-ĐI qua A
-AB vuông góc với CK
Lập pt cạnh AC: -ĐI qua A
-AC vuông góc với BH
b2:Tìm toạ độ điểm B,C
b3:Lập pt cạnh BC
ví dụ2:Tam giác ABC có A(1;2) và hai đờng cao BH:x+y+1=0 ; CK: 2x+y-2=0
Lập phơng trình 3 cạnh AB.BC.CA
Lời giải.
4
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Theo bài, đờng thẳng AB đI qua A(1;2) và vuông góc với CK:2x+y-2=0
Vậy AB có pttq là: 1.(x-1)-2.(y-2)=0 hay AB : x-2y+3=0
Tơng tự, AC đI qua A(1;2) và vuông góc với BH : x+y+1=0
Vậy AC có pttq là: 1.(x-1)-1.(y-2)=0 hay AC : x-y+1=0

Do đó, toạ độ điểm B là nghiệm hệ ptrình:

5
x-2y+3=0
3
x+y+1=0 2
3
x
y

=







=


vậy B(-5/3; 2/3)
Tơng tự, Toạ độ của C là nghiệm của hệ pt:

1
x-y+1=0
3
2x+y-2=0 4
3
x

y

=







=


vậy C(1/3; 4/3)
Do đó, phơng trình cạnh BC là: .
*Dạng 3:Tam giác ABC,biết đỉnh A,đờng cao BH,trung tuyến CK.Lập pt các cạnh
Phơng pháp: ( Bài toán thứ ba trong tam giác)
b1:lập đợc ngay pt cạnh AC đI qua A và vuông góc với BH.Từ đó tìm đợc C
b2:Tham số hoá toạ độ B(x
B
;y
B
); K(x
K
;y
K
) theo phơng trình BH,CK
Tìm toạ độ B nhờ:
2
2

A B
K
A B
K
x x
x
y y
y
+

=



+

=


b3:Lập pt cạnh AB.BC
v í dụ3 :Viết phơng trình các cạnh
ABC
biết
(4; 1)A
và đờng cao

( ) : 2 3 0BH x y =
; trung tuyến
( ) : 2 3 0.CK x y+ =
Lời giải.

Theo bài,AC đI qua A(4;-1) và vuông góc với
( ) : 2 3 0BH x y =
nên AC:3x+2y-10=0
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:

3x+2y-10=0 6
2x+3y=0 4
x
y
=



=

vậy C(6;-4)
Giả sử B(x
B
;y
B
) ta phảI có: 2x
B
-3y
B
=0 vậy y
B
=
2
3
B

x
vậy B(x
B
;
2
3
B
x
)
Tơng tự toạ độ của K(x
K
;-
2
3
K
x
).Theo bài , vì K là trung điểm của AB nên:

2
2
A B
K
A B
K
x x
x
y y
y
+

=



+

=


hay
4
11
2
2 4
8
2
4 2 3
5
1 ( )
2
3
4
3 2
B
K
K
K B
K B
B
K

B
x
x
x
x x
x x
x
x
x
+

=


=

=




+ =
+


=
=

vậy B(-5/4;-5/6)
+)Lập pt của AB.BC:
5
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
*Dạng 4:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,ACvà biết trọng tâm G.Lập ptcạnh còn lại
Phơng pháp: ( Bài toán thứ t trong tam giác)
( Trọng tâm là giao 3 đờng trung tuyến của tam giác)
b1:tìm đợc ngay toạ độ điểm A
Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ :
2.AG GM=
uuur uuuur
b2:Tham số hoá toạ độ của B(x
B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) theo phơng trình AB,AC
b3:Tìm toạ độ của B.C nhờ:
2
2
B C
M
B C
M
x x

x
y y
y
+

=



+

=


b4:lập pt của BC.
ví dụ 4:Tam giác ABC,biết AB:x+y-1=0;AC: x-y+3=0 và trọng tâm G(1;2).Lập BC
lời giải.
theo bài toạ độ A là nghiệm của hệ pt:
x+y+1=0 2
x-y+3=0 1
x
y
=



=

vậy A(-2;1)
Gọi M(x;y) là trung điểm của BC ,vì G là trọng tâm nên:

2.AG GM=
uuur uuuur
5
3 2.( 1)
2
1 2.( 2) 5
2
x
x
y
y

=

=




=


=


vậy M(5/2; 5/2)
Vì B thuộc AB nên toạ độ B(x
B
;y
B

) với x
B
+y
B
+1=0 hay B(x
B
;-1-x
B
)
Tơng tự điểm C có dạng C(x
C
;x
C
+3)
Mà M(5/2;5/2) là trung điểm của BC nên ta có:
2
2
B C
M
B C
M
x x
x
y y
y
+

=

+

=


hay
5
5
1
2 2
41 3 3
5
2 2
B C
B C
B
CB C B C
x x
x x
x
xx x x x
+

=

+ =
=

= + + + =



=


vậy B(1;-2) ; C(4;7)
+)phơng trình BC
*Dạng 5:Tam giác ABc,biết hai cạnh AB,AC và trực tâm H.Lập pttq của BC
Phơng pháp: ( Bài toán thứ năm trong tam giác )
((Trực tâm là giao của 3 đờng cao của tam giác)
b1:tìm toạ độ điểm A
b2: Tham số hoá toạ độ của B(x
B
;y
B
) theo AB
b3:Tìm toạ độ của B:
Vì H là trực tâm nên
HB
uuur
là VTPT của AC.Vậy
HB
uuur
.
AC

u
uuur
=0
b4:Phơng trình cạnh BC : Qua B
Có
HA
uuur
là véc tơ pháp tuyến.
ví dụ 5:Tam giác ABC biết AB:5x-2y+6=0 và AC: 4x+7y-21=0 và H(0;0) là trực
tâm của tam giác.Lập pt cạnh BC.
6
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
LG: Toạ độ của A là nghiệm của hệ pt:
5 2 6 0 0
4 7 21 0 3
x y x
x y y
+ = =



+ = =

vậy A(0;3)
Vì B(a;b) thuộc AB nên 5a-2b+6=0 suy ra b=
5 6
2
a +
.hay B(a;

5 6
2
a +
)
Mặt khác, H là trực tâm nên HB

AC.suy ra
HB
uuur
là VTPT của AC. suy ra :
HB
uuur
.
AC
u
uuur
=0

7.a-4.
5 6
2
a +
=0

a=-4.Vậy B(-4;-7)
Tơng tự,
HA
uuur
là VTPT của BC. Vậy PTTQ của BC là:
0.(x+4)-3.(y+7)=0 hay : -3(y+7)=0 hay y+7=0

*Dạng 6:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,AC và I là tâm đờng tròng ngoại tiếp tam
giác.Lập pt cạnh BC.
Phơng pháp: ( Bài toán thứ sáu trong tam giác)
( Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao 3 đờng trung trực của 3 cạnh ).
b1:Tìm ngay đợc toạ độ của A
Gọi M là trung điểm cạnh AB.Vì I là trực tâm nên IM vuông góc với AB.

M
Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB
b2:Gọi N là trung điểm của AC.Vì I là trực tâm nên IN

AC.

N
Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC
b3:Lập pttq của BC khi biết B,C.
ví dụ 6:tam giác ABc,biết AB:x+y-1=0 ; AC: 2x-y-2=0 và I(1;1) là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác.Lập pttq của BC.
LG: theo bài có A(1;0)
Gọi M(x
M
;y
M
) là trung điểm của AB.Ta có x
M
+y
M
-1=0 vây M(x
M
;1-x

M
)
Vì IM vuông góc với AB nên
IM
uuur
.
AB
u
uuur
=0
Hay: (x
M
-1).(-1)+(-x
M
).1=0 hay x
M
=1/2.Vậy M(1/2;1/2)
Tơng tự,trung điểm N(x
N
;2x
N
-2) của AC có toạ độ thoả mãn
IN
uur
.
AC
u
uuur
=0 .N(7/5;9/5)
Mặt khác,vì M là trung điểm của AB nên suy ra B(0;1)

Tơng tự , vì N là trung điểm cuủa AC nên suy ra C(9/5;18/5)
Vây pttq của BC là :
*Dạng 7:Tìm điểm đối xứng M của M qua đờng thẳng

PP: b1: Lập pt của d qua M và d vuông góc với

b2:Gọi I là giao điểm của d với

.Tìm đợc i
b3:Gọi M là điểm đối xứng với M qua

.Khi đó I là trung điểm của MM
vậy tìm đợc M nhờ:
'
'
2
2
M M
I
M M
I
x x
x
y y
y
+

=

+

=


ví dụ 7:Cho

: x+3y+2=0 và M(-1;3).Tìm điểm M đối xứng với M qua

lời giải.
7
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
gọi d là đờng thẳng qua M và vuông góc với

.Ta có
(3; 1)
d
n u

= =
uur uur
vậy pttq của d: 3.(x+1)-1.(y-3)=0 hay 3x-y+6=0
gọi I là giao điểm của d với

.Ta có toạ độ của I là nghiệm của hệ ptrình:
x+3y+2=0 2
3x-y+6=0 0
x

y
=



=

hay I(-2;0)
Giả sử M(x;y) là điểm đối xứng với M qua

.Ta có:
'
'
2
2
M M
I
M M
I
x x
x
y y
y
+

=



+

=


hay
1 '
2
' 3
2
3 ' ' 3
0
2
x
x
y y
+

=

=




+ =


=

.Vậy M(-3;-3)
b. Luyện tập.
B i 1. Vit phng trình tổng quát hoặc PT tham số của đởng thẳng:
a) i qua hai đim M(1;-1) v N(3;2).
b) i qua A(1;-2) v song song v i đng thng 2x - 3y - 3 = 0.
c) i qua đim P(2;1) v vuông góc v i đng thng x y + 5 = 0.
d) Đi qua
(1;1)A
và có hệ số góc
2k
=
.
B i 2. Cho tam giác ABC ,A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết PT tổng quát :
a)các cạnh AB, AC, BC
b)Đờng cao AH và Trung tuyến AM
c)Đờng thẳng qua A và song song với BC
d)Đờng trung trực của AC
e)Đờng trung bình của tam giác song song với cạnh BC
Bài 3.Cho hình chữ nhật ABCD biết: A(1,3) ,B(2;-1)
và cạnh DC có ptrình: 2x+y-2=0
a) lập pt các cạnh AB,BC,AD
b) Tìm toạ độ của C,D
Bài 4:Xem lại các ví dụ .Làm các bài tơng tự.
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
A. Tóm tắt lí thuyết.
I. Bài toán: Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai đờng thẳng
1 2
;

có phơng trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ): 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
II. Phơng pháp.
8
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
1.Cách 1:
Xét hệ phơng trình
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =


+ + =

(1)
+) Nếu hệ (1) có một nghiệm (x
0
; y
0
) thì hai đờng thẳng cắt nhau tại điểm
M(x
0
; y
0
) .
+) Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau.
+) Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi
( )
;x y
thì hai đờng thẳng trùng nhau
2.Cách 2:
Nếu
1 2
1 2
a a
b b

thì hai đờng thẳng cắt nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c

=
thì hai đờng thẳng song song nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
= =
thì hai đờng thẳng trùng nhau.
Chú ý :Nếu bài không quan tâm đến toạ độ giao điểm thì nên dùng cách 2
b. Các dạng bài tập cơ bản.
Dạng 1. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong
trờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y
+ = + =
.
b)
1 2
1 4
: 2 4 10 0; : ( )
2 2
x t
x y t R
y t
=

+ =

= +

c)
1
1 5 6 5 '
: ( ) : ( ' )
2 4 2 4 '
2
x t x t
t t R
y t y t
= = +



= + =

Ă
Dạng 2. Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
2 2
1 2
:( 3) 2 1 0; : ( 1) 0m x y m x my m
+ + = + + =
Tìm
m
để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2

: 1 0; : 2 0mx y m x my
+ = + + =
Biện luận theo
m
vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.
A. tóm tắt lí thuyết.
1.Định nghĩa:- hai đờng thẳng
1 2
;

cắt nhau tạo thành 4 góc.Nếu
1

và
1


không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong 4 góc đó đợc gọi là góc giữa hai đ-
ờng thẳng
1

và
1

, kí hiệu là:
( )
1 2
,

.Nếu
1 2

thì góc giữa
1


và
1

là 90
0
.
Nếu
1 2
//

hoặc
1 2

thì ta quy ớc
( )
1 2
, 0
o
=
9
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Nhận xét: 0

0

( )
1 2
,

90
0
2.Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ.
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ): 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
Khi đó góc giữa hai đờng thẳng
( )
1 2

,
đợc xác định theo công thức:
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
=
+ +
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ ph-
ơng( hoặc véc tơ pháp tuyến ) của chúng.
b. Các dạng bài tập.
Dạng 1. Xác định góc giữa hai đờng thẳng.
Ví dụ1: Xác định góc giữa hai đờng thẳng trong các trờng hợp sau:

( )
1 2
:3 2 1 0; :
7 5
x t
x y t R
y t
=

+ =

=

( ) ( )
1 2
'
: : '
9 1
1 3
'
5 5
2 2
x t
x t
t R t R
y t
y t
=
=





=
= +



ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2

: 3 7 0; : 1 0x y mx y
+ = + + =
Tìm
m
để
( )
1 2
, 30
o
=
.
Lg:góc giữa hai đờng thẳng đợc xác định theo
1 2
2 2 2 2
3 1
( , )
( 3) ( 1) . 1
m
cos
m

=
+ +

Theo bài có:
0 2
2 2
3 1 3 1
3
30 3( 1) 3 1

2
2. 1 2. 1
m m
cos m m
m m

= = + =
+ +

2 2 2 2
1
3( 1) ( 3 1) 3 3 3 2 3 1 2 3 2
3
m m m m m m m + = + = + = =
Dạng 2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc và tạo với đ-
ờng thẳng cho trớc một góc nào đó.
Ví dụ 1: Cho
ABC
cân đỉnh
A
. Biết
( ) ( )
: 1 0; : 2 3 5 0AB x y BC x y+ + = =
.
Viết phơng trình cạnh
AC
biết nó đi qua
( )
1;1M
.

Lời giải:
Giả sử AC qua M(1;1) và có véc tơ pháp tuyến là:
n
r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*).
10
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Khi đó pt AC: a(x-1)+b(y-1)=0 hay : ax+by-a-b=0
Theo bài,tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B=C hay:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1.2 1.( 3) 2. ( 3). 2 3
1
( , ) ( , )
2. 13
1 1 . 2 ( 3) . 2 ( 3) . 13
a b a b
AB BC AC BC
a b a b
+ +
= = =
+ + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2. 2 3 2.(2 3 ) 8 24 18a b a b a b a b a b a ab b + = + = + = +
2 2
7 24 17 0a ab b + =

chọn a=1 suy ra b=1 hoặc b=7/17
Với a=1,b=1 ta có AC: x+y-2=0 ( loại vì AC//AB)
Với a=1,b=7/17 ta có: AC: x+7/17y-24/17=0 thoả mãn.
Kết luận : AC: x+7/17y-24/17=0
ví dụ 2*: Cho
ABC
đều, biết:
( )
2;6A
và
( )
: 3 3 6 0 BC x y
+ =
Viết phơng trình các cạnh còn lại.
Lời giải:
Giả sử AB qua A(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là:
n
r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*).
Khi đó pt AB: a(x-2)+b(y-6)=0 hay : ax+by-2a-6b=0
Giả sử AC qua A(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là:
n
r
=(c;d), k:
2 2
#0c d+

(**).
Phơng trình AC: cx+dy-2c-6b=0
(AB,BC)=60
0

0
2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
1
60
2
. 12
. ( 3) ( 3)
a b a b
cos
a b
a b

= =
+
+ +
2 2
12( ) 2. 3 3a b a b + =
(1)
(AC,BC)=60
0
0
2 2
2 2 2 2

3 3 3 3
1
60
2
. 12
. ( 3) ( 3)
c d c d
cos
c d
c d

= =
+
+ +
2 2
12( ) 2. 3 3c d c d + =
(2)
(AB.AC)=60
0

2 2 2 2
2 2 2 2
1
. 2.
2
.
ac bd
a b c d ac bd
a b c d
+

= + + = +
+ +

(3)
Từ (1),(2),(3) có hệ ptrình:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
12( ) 4.( 3 3 ) ( 3 ) 0;(1')
12( ) 4.( 3 3 ) ( 3 ) 0;(2')
( ).( ) 4( ) ( ).( ) 4( 2 );(3')
a b a b b b a
c d c d d d c
a b c d ac bd a b c d a c abcd b d

+ = =


+ = =


+ + = + + + = + +


Từ hệ trên,ta tìm a,b thoả mãn (*).Tìm c,d thoả mãn (**).
Từ pt (1) chọn b=0 suy ra a=1.Thế vào pt (3) ta đợc 3c
2
-d
2
=0.Từ pt này chọn d=

3
suy ra c
2
=1.Thế d vào pt (2) suy ra c=1
Vậy có a=1,b=0,c=1,d=
3
Kết luận: AB: x-2=0 AC: x+
3
y-2-6.
3
=0
Ví dụ 3: Cho hình vuông
ABCD
biết
( )
3; 2A
và
( )
: 7 27 0BD x y+ =
.
Viết phơng trình các cạnh và các đờng chéo còn lại.
11
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Lời giải.
+)PT đờng chéo AC.
Vì ABCD là hình vuông nên AC

BD.Vậy
(7;1) (1; 7)

AC BD AC
AC BD u n n = = =
uuur uuur uuur uuur uuur
Vậy pttq của AC: x-7y-11=0
+)Tìm toạ độ đỉnh C.
Gọi I là giao của hai đờng chéo,ta có toạ độ C là nghiệm của hệ:
7 27 0 4
7 11 0 1
x y x
x y y
+ = =



= =

.Vậy I(4;-1).
Vì ABCD là hình vuông nên I là trung điểm của AC.suy ra C(11;0).
+)Tìm toạ độ điểm B
Giả sử B(x
B
;y
B
),vì B thuộc BD nên: 7x
B
+y
B
-27=0

y

B
=27-7x
B
.Hay B(x
B
;27-7x
B
)
Mà ABCD là hình vuông nên
AB CB

.

. 0AB CB =
uuur uuur
( 3).( 11) (29 ).(27 ) 0
B B B B
x x x x + + =
2
8 15 0
B B
x x + =
5
3
B
B
x
x
=

=

.Vậy B(5,-8).Và D(3;6)
+)phơng trình cạnh AB. 3x+4y+17=0
+)phơng trình cạnh BC: 4x-3y-44=0
+)phơng trình cạnh CD: 3x+4y-33=0
+)phơng trình cạnh AD: 4x-3y+6=0
ví dụ 4: Cho hình vuông tâm
( )
2;3I
và
( )
: 2 1 0AB x y
=
.
Viết phơng trình các cạnh còn lại , các đờng chéo .
Lời giải.
+)phơng trình cạnh DC:
Vì ABCD là hình vuông nên AB song song với DC.suy ra
(1; 2)
DC AB
n n= =
uuur uuur
Vậy DC: x-2y+c=0. ( điều kiện c

-1)
Hơn nữa ta có:
2 2 2 2

2 6 1 2 6
( , ) ( , ) 4 5
1 ( 2) 1 ( 2)
c
d I AB d I CD c
+
= = =
+ +
1( )
9
c loai
c
=



=

.
Vậy DC: x-2y+9=0
+)phơng trình BC,AD.
Vì ABCD là hình vuông nên BC

AB.Vậy pt BC: 2x+y+a=0
Mặt khác,
2 2 2 2
2 6 1 4 3
( , ) ( , ) 7 5
1 ( 2) 1 ( 2)
a

d I AB d I CB a
+ +
= = + =
+ +
2
12
a
a
=



=

Vậy BC: 2x+y-2=0
AD: 2x+y-12=0
+)Phơng trình AC.
12
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Toạ độ của A là nghiệm hệ:
2 1 0 5
2 12 0 2
x y x
x y y
= =



+ = =

.Vậy A(5;2).Vậy AC: x+3y-11=0
+)phơng trình BD:
Toạ độ B là nghiệm hệ:
2 1 0 1
2 2 0 0
x y x
x y y
= =



+ = =

.Vậy B(1;0)Vậy BD: 3x-y-3=0
Ví dụ 5: Cho đờng thẳng
:3 2 1 0d x y + =
và
( )
1;2M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d
một góc
45
o

.
Lời giải.
Giả sử

đI qua M và có vtpt là:
n
r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*). Ta có

: ax+by-a-2b=0
Theo bài,

tạo với d một góc 45
0
nên:
0
2 2 2 2 2 2
3 ( 2 ) 3 2
2
45
2
3 ( 2) . 13.
a b a b
cos
a b a b
+

= =
+ + +

2 2 2 2
26( ) 2 3 2 5 24 5 0a b a b a ab b+ = =
.Chọn a=1 suy ra b=-5 hoặc b=1/5
Vậy có 2 pt thoả mãn: x-5y+9=0 và 5x+y-7=0
Chuyên đề 4: Khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng.
A: Tóm tắt lý thuyết SGK.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

: ax+by+c=0 và điểm M
O
(x
0
;y
0
).Khoảng
cách từ M
0
đến

,kí hiệu là d(M
0
,

) đợc tính theo công thức:
0 0
0
2 2

( , )
ax by c
d M
a b
+ +
=
+
B: Các chú ý liên quan: (Bổ sung)
Chú ý 1: Nếu đờng thẳng

: ax+by+c=0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt
phẳng có bờ là

,ta luôn có:
-Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M
1
(x
1
;y
1
) thoả mãn
ax
1
+by
1
+c>0
-Một nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M
2
(x
2

;y
2
) thoả mãn
ax
2
+by
2
+c<0
Chú ý 2:Cho hai đờng thẳng cắt nhau

1
,

2
có phơng trình :


1
:
1 1 1
0a x b y c+ + =
và

2
:
2 2 2
0a x b y c+ + =
điểm M(x;y) tuỳ ý thuộc phân giác của góc tạo bởi
1

và
2

1 2
( , ) ( , )d M d M =
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
Vậy phơng trình hai đờng phân giác tạo bởi
1

và
2

là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
Chú ý: xem lại tính chất của đờng phân giác của một góc-sgk toán lớp 7.
C Các ví dụ

13
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
v í dụ 1 :a) Tính khoảng cách từ điểm A(3;5) đến đờng thẳng

: 4x+3y+1=0
b)Tính bán kính đờng tròn (C) biết nó có tâm I(1;2) và tiếp xúc với


: 2x-3y+1=0
Lời giải.
a)áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng ta có:
2 2
4.3 3.5 1 28
28
( , )
5
25
4 3
d A
+ +
= =
+
b)Vì (c) tiếp xúc với

: 2x-3y+1=0 nên
2 2
2.1 3.2 1
3
( , )

13
2 ( 3)
d I R R R
+
= = =
+
v í dụ 2 :Cho đờng thẳng

: x-y+2=0 và 4 điểm 0(0;0) ; A(2;0);C(-1,3) ;D(-3;2)
a)Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng

b)CMR:A và C và nằm về hai phía đối với đờng thẳng

c)CMR: hai điểm C và D nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng

d)Tìm điểm O đối xứng của O qua

lời giải.
a)thay toạ độ của điểm O và A vào vế trái của

ta có:

(O)=0-0+2=2>0

(A)=2-0+2=4>0
Vậy

(0).

(A)=2.4=8>0 .vậy A và O nằm về cùng một phía đối với đ-

ờng thẳng

b)Tơng t:

(C)=-1-3+2=-2<0
vậy

(A).

(C)=4.(-2)=-8 <0.
Vậy hai điểm A và C nằm về hai phía đối với đờng thẳng

c)Tơng tự:

(D)=-3-2+2=-3<0
vậy

(C).

(D)=-2.(-3)=6 > 0
vậy hai điểm C và D nằn về cùng một phía đối với đờng thẳng

d)Tìm điểm O đối xứng của O qua

: Tự làm
v í dụ 3 :Lập phơng trình các đờng phân giác của các góc giữa hai đờng thẳng

1
: 2x+4y+7=0 và

2
: x-2y-3=0
Lời giải.
Phơng trình hai đờng phân giác của các góc giữa

1
và

2
2 2 2 2
2 4 7 2 3 2 4 7 2 3
20 5
2 4 1 ( 2)
x y x y x y x y+ + + +
= =
+ +
2 4 7 2( 2 3) 8 13 0
2 4 7 2( 2 3) 4 1 0
x y x y y
x y x y x
+ + = + =



+ + = + =

Kết luận: Có 2 đờng phân giác thoả mãn bài toán: 8y+13=0 và 4x+1=0
v í dụ 4 :Tìm phơng trình của tập hợp các điểm cách đều hai đờng thẳng

1

: 5x+3y-3=0 và

2
: 5x+3y+7=0
Lời giải.
Cách làm tơng tự ví dụ 3
14
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
* v í dụ 5 :Cho tam giác ABC có A(-6;-3); B(-4;3) ; C(9;2)
viết phơng trình đờng thẳng d chứa đờng phân giác trong của góc A của tam giác
ABC.
Lời giải.
+)Phơng trình đờng thẳng AB là: 3x-y+15=0
+)Phơng trình đờng thẳng AC là : x-3y-3=0
Phơng trình hai đờng phân giác của góc tạo bởi AB và AC là:
1
2 2 2 2
2
9 0;( )
3 15 3 3
3 15 3 3
3 15 ( 3 3) 3 0;( )
3 ( 1) 1 ( 3)
x y
x y x y
x y x y
x y x y x y
+ + =
+ =

+


=


+ = + =
+ +


Ta thấy rằng hai điểm B và C phải nằm về hai phía đối với đờng phân giác trong
của góc A.
Ta có
1
( )B
=-4+3+9=8>0

1
( )C
=9+2+9=20>0 vậy =8.20=160 > 0 suy ra B,C nằm về cùng 1 phía
đối với (
1

)
Ta có:
2

(B)=-4+3-3=-4<0

2

( )C
=9+2-3=8>0 . vậy
2 2
( ). ( )B C
=-4.8=-32 < 0
Vậy hai điểm B và C nằm về hai phía đối

2
Kết luận: Phơng trình đờng phân giác trong của góc A là : x+y-3=0
D Các dạng bài toán trong tam giác Tiếp
*Dạng 8:Tam giác ABC biết đỉnh A,hai đờng phân giác trong của góc B và góc
C.Lập phơng trình các cạnh.
Phơng pháp: ( Bài toán thứ 7 trong tam giác)
+)b1:Tìm điểm A
1
là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc
B.suy ra A
1
thuộc đờng thẳng BC
+)b2:Tìm điểm A
2
là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc
C.suy ra A
2
thuộc BC
+)b3:Lập pt đờng thẳng BC: khi biết B,C
+)b4: Lập pt cạnh AC,AB:
v í dụ8 :Tam giác ABC biết A(2;-1) và pt hai đờng phân giác trong của góc B và góc
C lần lợt là:
(d

B
) : x-2y+1=0
(d
C
) : 2 x-3y+6=0
Lập phơng trình các cạnh của tam giác.
Lời giải.
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua (d
B
) : x-2y+1=0.do A A
1
vuông góc với d
B

nên AA
1
có ptrình: 2x+y-3=0.Khi đó giao điểm của d
B
và A A
1
là I(1;1) là trung
điểm của A A
1
.Từ đó suy ra A
1
(0;3)
Goi A
2

làđiểm đối xứng của A qua (d
C
) : 2 x-3y+5=0.Suy ra A A
2
: 3x+2y-4=0
Khi đó toạ độ của A
2
(0;2)
Khi đó A
1
và A
2
thuộc BC.
15
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Vậy pt cạnh BC: (A
1
A
2
) là : x=0
Suy ra Toạ độ B là giao điểm của BC và d
B
.Vậy B(0;1/2).Tơng tự C(0;5/3)
+)Phơng trình AB,AC :
*Dạng 9::Tam giác ABC biết A,đờng cao BH,đờng phân giác trong của góc C.Lập
phơng trình các cạnh cuả tam giác.
Ph ơng pháp: ( Bài toán thứ 8 trong tam giác)
+) b1:Lập pt cạnh AC : vuông góc với BH và đi qua A.suy ra toạ độ điểm C
+) b2: Tìm điểm đối xứng A của A qua đờng phân giác trong của góc C

Suy ra A thuộc BC.
+) b3: Lập pt cạnh BC đi qua 2 điểm C,A
+)b4: lập pt cạnh AB: Tìm B
v í dụ 9 :Cho tam giác ABC,biết A(-1;3), đờng cao BH: x-y=0.Đờng phân giác trong
của góc C nằm trên đờng thẳng

: x+3y+2=0.Tìm phơng trình các cạnh.
Lời giải. ( Đề thi ĐH kiến trúc 1998)
Theo bài,AC vuông góc với BH.Vậy pt cạnh AC: x+y-2=0
Từ đó toạ độ C là nghiệm hệ:
3 2 0 4
2 0 2
x y x
x y y
+ + = =



+ = =

vậy C(4;-2)
Gọi Alà điểm đối xứng của A qua đờng phân giác

:x+3y+2=0.cóAA:3x-y+6=0
Có trung điểm I của AA là giao của AA với x+3y+2=0.Vậy I(-2;0).Vậy A(-3;-3)
Khi này A thuộc BC.Vậy pt BC chính là pt CA: x-7y-18=0
Suy ra toạ độ B là nghiệm của hệ
0 3
7 18 0 3
x y x

x y y
= =



= =



B(-3;-3) (trùng với A)
Phơng trình cạnh AB: 3x-y+6=0
*Dạng 10:Tam giác ABC,biết đỉnh A,đờng trung tuyến hạ từ đỉnh B,đờng phân giác
trong của góc C.Tìm phơng trình các cạnh.
Phơng pháp: ( Bài toán thứ 9 trong tam giác)
+) b1:Tìm toạ độ A là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C.
+) b2: Tham số hoá toạ độ của C(x
C
;y
C
) theo đờng phân giác trong của góc C
Tham số hoá toạ độ của B
1
(x
1
;y
1
) theo đờng trung tuyến hạ từ B.
+)b3:Tìm toạ độ của C nhờ B là trung điểm của AC.
ví dụ 10:Tam giác ABC biết A(4;4),trung tuyến BB
1

: x-3y-2=0, đờng phân giác
trong của góc C có phơng trình:

: x-2y-1=0.Lập phơng trình các cạnh.
Lời giải.
Gọi A là điểm đối xứng của A qua

: x-2y-1=0.Ta có A(6;0)
Gọi C(x
C
;y
C
) thì vì C thuộc

nên : x
C
-2y
C
-1=0 suy ra C(2y
C
+1;y
C
)
Tợng tự điểm B
1
(x
1
;y
1
) thuộc BB

1
: x-3y-2=0.Vậy B
1
(3y
1
+2;y
1
)
Mà B
1
là trung điểm của AC nên:
1 1
1
1 1
4 2 1
7
3 2
2 2
2
4
11
2 2
A C C
A C C
C
x x y
x y
y
y y y
y

y y
+ + +


= + =

=



+ +

=
= =



Vậy B(-14/2; -7/2) và C( -21;-11)
16
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
Vậy pt cạnh AB,BC,CA:
Bài 2 : Phơng trình đờng tròn.
A. Tóm t t lý thuy t.
1. Phng trình đờng tròn có tâm và bán kính cho trớc.
Trong mt phng
Oxy
cho ng tròn tâm
( ; )I a b
bán kính

R
. Khi ó phng trình
ca ng tròn là :
2 2 2
( ) ( ) .x a y b R
+ =
2.Nhận xét : ( Điều kiện để Phơng trình bậc hai là 1 PT đờng tròn)
Phơng trình
2 2
2 2 0x y ax by C+ + =
Là phơng trình đờng tròn khi và chỉ khi
2 2
0a b c+ >
.Khi đó tâm
( ; )I a b
, bán
kính
2 2
R a b c= +
.
Chú ý: Hệ số của x
2
và hệ số của y
2
của một pt đờng tròn phải bằng nhau
3.Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn.
Trong oxy cho đờng tròn (C) có tâm
( ; )I a b
, bán kính R
a) Điều kiện tiếp xúc của đờng thẳng và đờng tròn.

ng thng tip xúc vi ng tròn khi v ch khi khoảng cách t tâm ng
tròn n ng thng bng bán kính ca ng tròn.
tiếp xúc (C)

d(I,

)=R
b)Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) thuộc (C).
Phuơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) là:
(x
0
-a).(x-x
0
)+(y
0
-b).(y-y
0
) =0

c) Tiếp tuyến của đờng tròn đi qua điểm A(x
a
; y
a
).
PP1: - Gi ttuyn

qua A, có VTPT
n
r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*).
Dng

: a( x-x
a
)+b(y-y
a
)=0
- ktx ca

v (C) là : d(I,

)=R
- Gii ktx, chn a,b tha k(*).
* PP2: :- Gi ttuyn

qua A, có h s góc k . Dng

: y= k(x-x
a
)+y
a
- ktx ca

v (C ) là : d(I,

)=R
- Gii ktx, tìm k. Nu có 2 giá tr k -> dng. Nu ch có 1 giá tr k thì kim
tra dng

qua A không có hệ số góc: x=x
A
có tha mãn ktx -> nhn.
d) Vi t pttt c a ờng tròn khi bi t ph ng của tiếp tuyến .
* PP: Kiểu 1:

// (d): ax+by+c=0
17
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
- Dng

: ax+by+m=0
- ktx: d(I,

)=R -> m.

Kiểu 2:


(d): ax+by+c=0
- Dng

: bx-ay+m=0
- ktx: d(I,

)=R -> m
B.Các dạng bài tập.
Dạng 1. Bài toán vi t ph ng trình ng tròn .
Víd 1.Vit phng trình ng tròn ng kính
AB
,vi
(1;1), (7;5)A B
.
Đáp s :
2 2
( 4) ( 3) 13x y
+ =
hay
2 2
8 6 12 0x y x y
+ + =
.
ví dụ 2: viết phơng trình đờng tròn Có tâm I(-2;3) và đi qua M(2;-3)
Víd3.vit phơng trình đờng tròn ngoại tiếp
ABC

, vi
( 2;4), (5;5), (6; 2)A B C

.
Đáp s :
2 2
4 2 20 0x y x y
+ =
.
Ví d 4.Vit phng trình đờng tròn có tâm
( 1;2)I
và tip xúc vi ng thng
: 2 7 0x y
+ =
. Đáp s :
2 2
4
( 1) ( 2)
5
x y
+ + =
.
Ví d 5.Vit phng trình ng tròn qua
( 4;2)A
và tip xúc vi hai trc to .
Đáp s :
2 2
( 2) ( 2) 4x y
+ + =
hoc

2 2
( 10) ( 10) 100x y
+ + =
.
Dạng2: B i toán tìm tham số để ph ơng trình d ng
2 2
2 2 0x y ax by C
+ + =
là
ph ơng trình đ ờng tròn.
Ph ơng pháp : PT trên là phơng trình đờng tròn


2 2
0a b c+ >
.
Ví d 1. Trong các phng trình sau ây, phng trình nào là phng trình ca
mt ng tròn. Xác nh tâm và tính bán kính của nó.
a.
2 2
4 2 6 0x y x y
+ + + =
. c.
2 2
6 8 16 0x y x y
+ + + =
.
b.
2 2
4 5 1 0x y x y

+ + =
. d.
2 2
2 2 3 2 0x y x
+ =

Đáp s : c )
( 3;4), 3I R
=
. d)
3 5
( ;0), .
4 4
I R
=
Ví d 2. Cho phng trình :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m
+ + + + =
.
a. Tìm iu kin ca
m
pt trên là pt ng tròn.
b. Tìm quỹ tích tâm ng tròn.
Lời giải.
Giả sử pt đờng tròn có dạng:x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a

2
+b
2
-c>0 )
a)Theo bài ta có:
2 2
2 6 3
2 2( 1) 1
11 2 4 11 2 4
a m a m
b m b m
c m m c m m

= =

= =


= + = +

vậy a
2
+b
2
-c=-m
2
-4m+5
pt đã cho là pt đờng tròn
2 2
0a b c + >

2
4 5 0 5 1m m m + > < <
18
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
b)với điều kiện: -5<m<1, thì pt đã cho là pt đờng tròn , có tâm I(-3m;m-1)
vậy toạ độ của I
1
3
1
1
3
1
3
1
I
I
I I
I
I
x m
m x
y x
y m
y m

=
=

=

=


=

vậy quỹ tích tâm đờng tròn là đờng thẳng:
1
1
3
y x=
hay: x+3y+3=0
Ví d 3. Cho phng trình
( )
m
C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y
+ + + =
.
a)Tìm
m

( )
m
C
là phng trình ca mt ng tròn.
b)Tìm

m

( )
m
C
là ng tròn tâm
(1; 3).I
Vit phng trình ng tròn này.
c)Tìm
m

( )
m
C
làng tròn có bán kính
5 2.R =
Vit phng trình ng tròn đó
d)Tìm tp hp tâm các ng tròn
( )
m
C
.
Lời giải.
Giả sử pt đờng tròn có dạng:x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a
2
+b

2
-c>0 )
a) theo bài có:
2 2( 1) ( 1)
2 2( 3) 3
2 2
a m a m
b m b m
c c
= =


= =


= =

vậy a
2
+b
2
-c=2(m
2
-4m+4)
pt đã cho là pt đờng tròn
2 2
0a b c + >
2
2( 4 4) 0 2m m m + >
b)Để

( )
m
C
là ng tròn tâm
(1; 3).I
2 2
( 1) 1 0 0
3 3 0
m m
m m m
m m



= = =


= =

khi đó pt đờng tròn là: x
2
+y
2
-2x+6y+2=0
c)
( )
m
C
làng tròn có bán kính
5 2.R =

2
2
2
2
2
7
3
3
4 21 0
2( 4 4) 5 2
7
m
m
m
m
m
m
m m
m m
m





=

=



=
=
+ =





=


vậy có 2 pt thoả mãn: x
2
+y
2
+12x-8y+2=0 hoặc x
2
+y
2
-8x+12y+2=0
d)với điều kiện: m#2 thì pt đã cho là pt đờng tròn , có tâm I(-(m-1);m-3)
vậy toạ độ của I
( 1) 1
2
3 3
I I

I I
I I
x m m x
y x
y m y m
= =

=

= =

vậy quỹ tích tâm đờng tròn là đờng thẳng:
2y x=
hay: x+y+2=0
Dạng 3:Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn.
ví dụ1 :cho đờng tròn (c) có ptrình: x
2
+y
2
-4x+8y-5=0
a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của ( c)
b) Viết pt tiếp tuyến của ( c) tại điểm A(-1;0) trên (c)
c) viết pt tiếp tuyến với (c) biết ttuyến đó vuông góc với đờng thẳng 3x-4y+5=0
lời giải.
giả sử Pt đờng tròn có dạng: x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 với điều kiện: a
2

+b
2
-c>0
ta có: -2a=-4; -2b=8; c=-5.Vậy a=2, b=-4, c=-5 và a
2
+b
2
-c=25
19
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
a) Tâm I(2;-4) và bán kính R=5
b) giả sử

là tiếp tuyến của đờng tròn tại điểm A(-1;0).Thì

có vtpt là
IA
uur
=(-3;4)
vậy pttq của

là : -3.(x+1)+4.(y-0)=0 hay -3x+4y-3=0
c)Giả sử

là tiếp tuyến cần tìm.Vì



3x-4y+5=0 nên

: 4x+3y+c=0
mặt khác vì

là tiếp tuyến của (c) nên d(I,

)=R

2 2
4.2 3.( 4) 4
5 5 4 25
5
4 3
c c
c
+ +
= = =
+
29
21
c
c
=



=

Vậy có 2 pt tiếp tuyến thoả mãn bài toán:

: 4x+3y+29=0 và

: 4x+3y-21=0
ví dụ 2:Viết phơng trình tiếp tuyến

với đờng tròn
(c ): x
2
+y
2
-4x+6y+3=0
biết rằng

song song với đơng thẳng d : 3x-y+2006=0
lời giải.
Đờng tròn (c ) có tâm I(2;-3) và bán kính R=
10
.
Phơng trình của đờng thẳng

song song với d có dạng: 3x-y+c=0

tiếp xúc với (c ) khi và chỉ khi d(I,

)=R

2 2
1
3.2 1.( 3)
10 9 10

19
3 ( 1)
c
c
c
c
=
+

= + =

=
+

Vậy có 2 phơng trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán:
3x-y+1=0 và 3x-y-19=0
ví dụ 3:Lập phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn (c ): x
2
+y
2
-4x-2y=0
biết rằng tiếp tuyến đI qua điểm A(3;-2)
lời giải.
theo bài ( c) có tâm I(2;1) và bán kính R=
2 2
4 1 0 5a b c+ = + =
Gi tiếp tuyn

qua A, có VTPT
n

r
=(a;b), k:
2 2
0a b
+
(*).
Dng

: a( x-3)+b(y+2)=0 hay ax+by-3a+2b=0

tiếp xúc với (c )
2 2
2 3 2
( , ) 5
a b a b
d I R
a b
+ +
= =
+

2 2 2 2 2
(3 ) 5.( ) 4 4 6 0b a a b a b ab = + + =
2 2
2 2 3 0a b ab + =
Chọn a=1 suy ra b=-1/2 hoặc b=2
Vậy có 2 phơng trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là:
x-
1
2

y-4=0 và x+2y+1=0
C. B I T P.
1. Tìm phng trình ng tròn
( )C
bit rng :
a)
( )C
tip xúc vi hai trc to và có bán kính
3R =
.
b)
( )C
tip xúc vi
Ox
ti
(5;0)A
và có bán kính
3R =
.
c) Tip xúc vi
Oy
ti
(0;5)B
và i qua
(5;2)C
.
20
Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn
2. Tìm phng trình ng tròn

( )C
bit rng :
a)Tâm
(1; 5)I
và đi qua gc to .
b) Ngoi tip
OAB

vi
(4;0), (0; 2)A B
.
c) Tip xúc vi
Ox
ti
(6;0)A
và đi qua
(9;3)B
.
3. Cho hai im
( 1;6), ( 5;2)A B
. Lp phng trình ng tròn
( )C
, bit :
a) ng kính
AB
. b)
( )C
ngoi tip
OAB
.

4. Vit phng trình ng tròn i qua ba im :
a)
(8;0) , (9;3) , (0;6)A B C
. b)
(1;2) , (5;2) , (1; 3)A B C
5. Cho ng tròn
( )C
i qua im
( 1;2) , ( 2;3)A B
và có tâm trên ng thng
:3 10 0x y
+ =
.
Vit phng trình ca
( )C
.
Lời giải.
Giả sử pt đờng tròn có dạng:x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a
2
+b
2
-c>0 )
theo bài ,vì A(-1;2) thuộc (C ) nên: (-1)
2
+2+2a-4b+c=0 hay: 2a-4b+c=-5 (1)
tơng tự,vì B(-2;3) thuộc (c ) nên: (-2)

2
+3
2
+4a-6b+c=0 hay: 4a-6b+c=-13 (2)
mặt khác, tâm I(a,b) nằm trên
:3 10 0x y
+ =
nên: 3a-b+10=0 (3)
từ (1),(2),(3) ta có hệ phơng trình.

2 4 5 3
4 6 13 1
3 10 0 5
a b c a
a b c b
a b c
+ = =


+ = =


+ = =

.Thử lại a
2
+b
2
-c=(-3)
2

+1
2
-5=5>0 thoả mãn điều kiện.
Vậy pt đờng tròn cần tìm là: x
2
+y
2
+6x-2y+5=0
6. Vit phng trình ng tròn
( )C
tip xúc vi các trc to và :
a)i qua
(2; 1).A

b) Có tâm thuc ng thẳng
:3 5 8 0x y
=
.
7.Cho ba điểm A(4;3), B(2;7) và C(-3;-8)
a)Tìm toạ độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
b)Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c)gọi T là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.chứng minh T,G,H thẳng hàng
lời giải.
a)Gọi G(x
G
;y
G
) là trọng tâm tâm giác ABC ta có:
3
3

A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
+ +
=
+ +
=
hay
4 2 ( 3)
3
3 7 ( 8)
3
G
G
x
y
+ +
=
+ +
=
hay G(1;2/3)
Gọi H(x
H
;y
H

) là trực tâm của tam giác ABC, ta có:
( 4; 3)
H H
AH x y=
uuur
;
( 5; 15)BC =
uuur
;
( 2; 7)
H H
BH x y=
uuur
;
( 7; 11)AC =
uuur
Ta có H là trực tâm tam giác ABC
AH BC
BH AC








uuur uuur
uuur uuur
21

Chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng
Hình học 10: Ban cơ bản. Giáo viên: Đặng Thái Sơn

5( 4) 15( 3) 0 3 13 13
7 11 91 07( 2) 11( 7) 0
H h H H H
H H HH H
x y x y x
x y yx y
= + = =



+ = = =

vậy toạ độ của H(13;0)
b)Giả sử phơng trình đờng tròn có dạng x
2
+y
2
-2ax-2by+c=0
ta có A,B,C thuôc ( c)
16 9 8 6 0 8 6 25 5
4 49 4 14 0 4 14 53 1
9 64 6 16 0 6 16 73 59
a b c a b c a
a b c a b c b
a b c a b c c
+ + = + = =

+ + = + = =


+ + + + = + + = =

vây phơng trình đờng tròn cần tìm: x
2
+y
2
+10x-2y-59=0
c)Theo bài tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là T(-5;1)
ta có:
(18; 1)TH =
uuur
;
1
(6; )
3
TG =
uuur
.Vậy
3.TH TG=
uuur uuur
nên T,G,H thẳng hàng.
22