Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản potx

atx1404415245.doc Thái Minh
Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản
1. Dạng :
∫
++ dxbaxbaxxR
n
m
n
m
, ])(;)(;[
2
2
1
1
đặt ax + b = t
s
trong đó s là BCNN(n
1
;n
2
;…)
Ví dụ: Tính:
CxxxxCtttt
C
t
dt
t
tt
dt
t
ttdt

t
t
dt
tt
t
I
dttdxtxđăt
xx
dx
I
++−+−=++−+−=
+
+
−+−=
+
−+−=
+
=
+
=
=→=
+
=
∫∫∫∫
∫
|1|ln6632|1|ln6632
1
66
2
.6

3
6)
1
1
1(6
1
6
6
6:
663
23
23
2
3
23
5
56
3
2. Dạng:
∫
++ cbxax
dx
2
đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đúng rồi đưa về các tích
phân cơ bản:
Ckxx
kx
dx
C
a

x
xa
dx
+++=
+
+=
−
∫∫
||ln;arcsin
2
222
Ví dụ :
Cxx
x
dx
x
dx
I +−−=
−
=
−
=
∫∫
|
3
2
|ln
3
1
3

23
1
23
2
2
3. Dạng:
∫
++
+
;
2
dx
cbxax
BAx
Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành
tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết.

∫∫∫∫
++
−+
++
++
=
++
−++
=
++
+
cbxax
dx

a
Ab
B
cbxax
cbxaxd
a
A
dx
cbxax
a
Ab
Bbax
a
A
dx
cbxax
BAx
22
2
22
)
2
(
)(
2
2
)2(
2
;
Ví dụ:

Cxx
xx
x
dx
xx
xx
dx
xx
xxd
dx
xx
x
dx
xx
x
I
+−−+−+
+−
=
+−−
+
+−
=
+−
+
+−
+−
=
+−
++−

=
+−
+
=
∫
∫∫∫∫
4
1
)
2
5
(
2
5
|ln
2
9
65
1
6
4
25
)
2
5
(
2
9
65
1

65
2
9
65
)65(
2
1
65
5452
2
1
65
2
2
2
2
2
22
2
22
4. Dạng:
∫
++− cbxaxkx
dx
2
)(
đặt x – k =
t
1
đưa tích phân này về dạng đã biết.

Ví dụ:
C
x
x
Ctt
t
dt
Idt
t
dx
t
xđăt
xx
dx
I +++−=+++−=
+
−=−=→=
+
=
∫∫
|1
11
|ln1|ln
1
;
11
:
1
2
2

2
2
2
5. Dạng:
∫
++
dx
cbxax
xP
n
2
)(
trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n. Sử dụng đồng nhất thức sau:
∫∫
++
+++=
++
−
cbxax
dx
λcbxaxxQdx
cbxax
xP
n
n
2
2
1

2
)(
)(
Ví dụ: Tính:
dx
xx
xxx
∫
++
+++
22
432
2
23
Sử dụng đồng nhất thức :
∫∫
++
+++++=
++
+++
22
22)(
22
432
2
22
2
23
xx
dx

λxxcbxaxdx
xx
xxx
- 1 -
atx1404415245.doc Thái Minh
Lấy đạo hàm cả hai vế:
λxcbxaxxxbaxxxx
xx
λ
xx
x
cbxaxxxbax
xx
xxx
++++++++≡+++→
++
+
++
+
++++++=
++
+++
)1)(()22)(2(432
22
1
22
1
)(22)2(
22
432

2223
22
22
2
23
Đồng nhất hệ số ta có:
2
5
;
6
7
;
6
1
;
3
1
==== λcba
Vậy:
Cxxxxxxxdx
xx
xxx
++++++++++=
++
+++
∫
|221|ln
2
5
22)

6
7
6
1
3
1
(
22
432
222
2
23
{
∫
+++=
+
}||ln
2
2
Ckxx
kx
dx
6.Dạng:
∫
+ dxbxax
pnm
)(
Trong đó m;n;p là các số hữu tỷ
+ Nếu p là số nguyên đặt x = t
s

, với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích phân
về dạng tích phân hữu tỷ
+ Nếu
n
m 1+
là số nguyên, đặt a + bx
n
= t
s
với s là mẫu số của p
+Nếu
p
n
m
+
+1
là số nguyên. Đặt ax
-n
+ b = t
s
, với s là mẫu số của p.
Ví dụ:

Cxx
C
tt
dttttdtttdxxxxI
tdtdxxtxĐăt
Zcódxxxdx
x

x
I
++++=
++=+=−=+=
==+→
∈=
+
−
+=
+
=
∫∫∫
∫∫
−
−
−
3
3
5
3
35
242
2
1
3
1
3
1
3
2

3
2
2
3
1
2
1
3
1
3
1
3
3
)1(2)1(
5
6
3
6
5
6)(62.)1(3)1(.
2
3
1
;1:
2
3
1
1
3
1

:;)1(
1
.

Bài tập
1.
∫
−
−++
= dx
x
xx
I
1
11
4
22

∫
++
=
1)1(
)2
22
xx
dx
I
∫
−
=

23
)3
2
x
dx
I
∫
+
+
= dx
x
x
I
n
n
2
1
).4
dxeI
x
∫
−= 1).5
∫
−−
=
1)1(
).6
22
xx
xdx

I
∫
++
=
2
).7
2
xx
xdx
I
∫
++
= dx
xx
xe
I
x
22
arctan
1)1(
)8
∫
−
+
= dx
x
x
I
1
1

).9
∫
++
−
= dx
xx
x
I
182
35
).10
2
∫
+
=
1
).11
24
xx
dx
I
∫
+
= dx
x
x
I
1
).12
dxxxxI

∫
−+−= 23).13
2
2
02sin1).14
π
xdxxI ≤≤+=
∫
- 2 -