Chương 4-CƠ HỌC VẬT RẮN ppsx

Chương 4
CƠ HỌC VẬT RẮN

GIỚI THIỆU
4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
4.2. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY
QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH.
4.3. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN
GIẢN
4.4. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT
TRỤC CỐ ĐỊNH
4.5. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
CỦA VẬT RẮN QUAY
4.6. CON QUAY (tham khảo)

Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó
khoảng cách giữa các chất điểm trong hệ
luôn không đổi trong quá trình chuyển động.
Định nghĩa vật rắn:

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
CỦA VẬT RẮN
Có hai loại: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay
1) Chuyển động tịnh tiến:
Là chuyển động mà quỹ đạo của mọi chất điểm trong vật
rắn là những đường thẳng song song nhau.
* Đặc điểm:
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật
rắn có cùng vectơ vận tốc và cùng vectơ gia tốc.

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
CỦA VẬT RẮN (tt)
Chứng minh:
A
r
r
A
B
x
O
AB
B
r
r
y
B A
r r AB
= +
r r
( )
A B
dr dr d AB
dt dt dt
⇒ = +
r r
A B
v v=
r r

C

v
= =
r

A B C
dv dv dv
dt dt dt
⇒ = = =
r r r

A B C
a a a= = =
r r r
(Vận tốc tại mọi điểm như nhau)
(gia tốc tại mọi điểm như nhau)

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN (tt)
1
1
n
i i
i
C
n
i
i
m r
r
m
=

=
=
∑
∑
r
r
1
1
n
C i i
i
r m r
m
=
=
∑
r r
a) Vật rắn là hệ gồm n chất điểm (khối lượng phân bố rời rạc):
C
r
r
m
n
x
y
z
C
m
2
m

1
O
1
r
r
i
m
: khối lượng của chất điểm thứ i
i
r
r
: Vectơ vị trí của chất điểm thứ i
m : khối lượng của hệ (phân bố rời rạc)
1
1
n
C i i
i
z m z
m
=
=
∑
1
1
n
C i i
i
x m x
m

=
=
∑
,
1
1
n
C i i
i
y m y
m
=
=
∑
,
2) Khối tâm của vật rắn:

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
CỦA VẬT RẮN (tt)
0
C
r =
r
O
x
M
m
r
C
R

><
Vị trí của khối tâm C được xác định bởi biểu thức sau:
0MR mr⇔ + =
r
r
0MR mr⇔ − + =
m
R r
M
⇔ =
Xét VD:
Nếu gốc tọa độ trùng khối tâm:
0
C
r =
r
1
0
n
i i
i
m r
=
=
∑
r
i
r
r
: Vectơ bán kính nối liền khối tâm

đến chất điểm thứ i.

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
CỦA VẬT RẮN (tt)
1
1
n
C i i
i
r m r
m
=
=
∑
r r
b) Vật rắn là hệ có khối lượng phân bố liên tục:
Từ:
1
C
m
r rdm
m
=
∫
r r
r
r
dm
m
x

y
O
1
C
m
x xdm
m
=
∫
,
1
C
m
y ydm
m
=
∫
,
1
C
m
z zdm
m
=
∫

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN (tt)
c) Đặc điểm của khối tâm:
C
C

dr
v
dt
=
r
r
1
1
n
i
i
i
dr
m
m dt
=
=
∑
r
- Vận tốc của khối tâm:
1
1
n
i i
i
m v
m
=
=
∑

r
{
1
1
n
i
i
p
p
m
=
=
=
∑
r
r
1
1
n
C i i
i
r m r
m
=
=
∑
r r
C
p mv
=

r r
(Động lượng của vật rắn)
(biểu thức liên hệ giữa động lượng vật rắn với vận
tốc khối tâm).

4.1. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN (tt)
C
C
dv
a
dt
=
r
r
1
1
n
i
i
i
dv
m
m dt
=
=
∑
r
{
1
1

i
n
i i
i
F
m a
m
=
=
=
∑
r
r
- Gia tốc của khối tâm:
1
1
n
i
i
F
m
=
=
∑
r
F
m
=
r
C

F ma=
r
r
F
r
: tổng hợp lực tác dụng lên vật rắn.
m: khối lượng của vật rắn.
C
a
r
: gia tốc của khối tâm.
(1)
(1)
: Là phương trình chuyển động tịnh tiến (biểu thức liên hệ giữa hợp
lực tác dụng lên vật rắn và gia tốc khối tâm).
3) Chuyển động tổng quát của vật rắn (tham khảo GT)
Bao gồm chuyển động tịnh tiến vừa chuyển động quay.

4.1 CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN (TT)
4) Chuyển động quay quanh trục của vật rắn:
* Đặc điểm:
Khi vật rắn chuyển động quay quanh một đường
thẳng cố định (trục quay) thì:
∆
Mọi chất điểm của vật rắn vạch những đường
tròn có tâm tại trục quay.
Trong cùng một khoảng thời gian, mọi chất điểm
của vật rắn đều quay được cùng một góc .
θ
Tại cùng một thời điểm bất kỳ, mọi chất điểm

của vật rắn đều có cùng vận tốc góc và
cùng gia tốc góc .
d
dt
θ
ω
=
2
2
d d
dt dt
ω θ
β
= =
i i
a r
β
= ×
r
r r
i i
v r
ω
= ×
r r r
,
Tại một thời điểm, vectơ vận tốc thẳng và vectơ
gia tốc tiếp tuyến của các chất điểm có khác
nhau sẽ khác nhau, vì:
i

r
r
Bài Tập 1 tr. 111
1
r
r
1
v
r
∆
1
m
1
a
r
ω
r
β
r
1
m
′
θ

4.2 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
∆
1
m
F

r
F
r
t
F
r
n
F
r
1
r
r
F
r
F
r
F =
r
F
r
+
F
r
n t
F F
= +
r r
Nhận xét :
F
r

: không làm vật rắn quay.
n
F
r
: cũng không làm vật rắn quay.
t
F
r
: là lực làm vật rắn quay.
Khi xét lực tác dụng lên vật rắn ta chỉ xét thành
phần lực tiếp tuyến của quỹ đạo .
F
r
t
F
r

4.2 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH(tt)
1) Vectơ mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay:
L r p= ×
r
r r
i i i
L r p= ×
r
r r
1 1
n n
i i i

i i
L L r p
= =
= = ×
∑ ∑
r r
r r
Với:
i i i
p m v=
r r
L
r
//
i
L
r
Độ lớn:
Vectơ mômen động lượng của vật rắn quay quanh trục:
,
i i i
v r
ω
= ×
r r r
0 2 2
1 1 1
sin 90
n n n
i i i i i i i

i i i
L r p m r m r
ω ω
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
= I
L I
ω
=
Đặt:
2
1
n
i i
i
I m r
=
=
∑
: Mômen quán tính của VR đối với
trục quay
(1)
L
r
//
ω
r
vì
L I

ω
=
r
r
(đặc trưng cho khả năng bảo
toàn chuyển động
quay)
i i i
v r
ω
=
∆
i
v
r
i
m
i
p
r
i
r
r
ω
r
i
L
r
i
F

r
Bài tập 2 tr.111

4.2 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH(tt)
2) Vectơ mômen lực của vật rắn đối với trục quay:
M r F
= ×
r r
r
r
r
F
r
O
M
r
i i i
M r F= ×
r r
r
Mômen lực của vật rắn đối với trục quay:
Mômen lực của một chất điểm đối
với trục quay:
i
m
1 1
n n
i i i
i i

M M r F
= =
= = ×
∑ ∑
r r r
r
Nhắc lại:
∆
i
v
r
i
m
i
p
r
i
r
r
ω
r
i
F
r
i
M
r

4.2 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH(tt)

3) Phương trình cơ bản của vật rắn quay
quanh một trục cố định:
dL Mdt
=
r r
dL
M
dt
=
r
r
(2)
Lấy đạo hàm theo t biểu thức (1):
dL d
I I
dt dt
ω
β
= =
r
r
r
(3)
Thay (2) vào (3):
M I
β
=
r
r
: phương trình cơ bản của VR quay

quanh một trục cố định.
∆
i
v
r
i
m
i
p
r
i
r
r
ω
r
i
F
r
β
r
i
M
r
dL
M
dt
=
r
r
Nhắc lại:

Bt 4.112

4.3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN
ĐƠN GIẢN
Mômen quán tính của vật rắn quay quanh một trục cố định:
2
1
n
i i
i
I m r
=
=
∑
(dành cho vật rắn gồm các chất điểm phân
bố rời rạc)
Thông thường, vật rắn được phân bố liên tục:
2
m
I r dm=
∫
Với: r là khoảng cách từ dm đến trục quay
Đây là công thức tổng quát để tính mômen quán tính của vật rắn quay
quanh một trục cố định.
dm là phần tử vi phân khối lượng của vật rắn, ta tính dm như thế nào???

MỘT VÀI CÁCH TÌM dm
dm
dv
ρ

=
dm dv
ρ
=
ρ
Nếu vật được phân bố theo dạng hình khối thì mật độ khối lượng kí hiệu là :
Nếu vật được phân bố theo dạng mặt phẳng thì mật độ khối lượng kí hiệu là :
σ
dm
dS
σ
=
dm d
λ
=
l
Nếu vật được phân bố theo dạng chiều dài thì mật độ khối lượng kí hiệu là :
λ
dm
d
λ
=
l
dm dS
σ
=

4.3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN
ĐƠN GIẢN
2

1
12
I m= l
2 2
2 2
2 2
dm
m
I x Sdx x d x
ρ
=
− −
= =
∫ ∫
l l
l l
123
l
a) Đối với thanh đồng chất có trục quay vuông góc với thanh tại tâm:
2
−
l
2
l
dm
2
m
I r dm=
∫
m: khối lượng của thanh

ρ
: mật độ khối lượng của thanh
S: tiết diện của thanh
l
: chiều dài của thanh
O
x
dx
x
dm dV
ρ
=
dm dV
ρ
⇔ =
∫ ∫
m V
ρ
⇔ =
S
ρ
=
l
m
S
ρ
⇒ =
l
dV Sdx
ρ ρ

= =

4.3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN
ĐƠN GIẢN
b) Mômen quán tính của vòng tròn (O,R) đối với trục quay là trục của vòng tròn:
2
i i i
I m R
=
c) Mômen quán tính của đĩa tròn (O,R) đối với trục quay là trục của đĩa:
2
2
mR
I =
d) Mômen quán tính của trụ rỗng và trụ đặc đối với trục quay thẳng đứng và
đi qua tâm của mặt trụ:
Trụ rỗng: Chia trụ rỗng thành n vòng tròn, tính I cho một vòng thứ i là:
2
I mR=
2
I mR=
Trụ đặc: Chia trụ đặc thành n đĩa tròn, tính I cho một đĩa tròn thứ i là:
2
2
i i
i
m R
I =
2
2

mR
I =

e) Mômen quán tính của hình nón đối với trục quay đi qua tâm O của mặt đáy:
4.3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN
ĐƠN GIẢN
2
3
10
I mR=
f) Mômen quán tính của hình cầu đối với trục quay đi qua tâm:
2
2
5
I mR=
g) Mômen quán tính đối với một trục bất kỳ không qua khối tâm:
2
C
I I ma
∆ ∆
= +
: Định lý Steiner – Huyghens
I
∆
∆
: Là mômen quán tính của VR đối với trục (không qua khối tâm)
: Là mômen quán tính của VR đối với trục (đi qua khối tâm)
C
∆
C

I
∆
: khối lượng vật rắn
m
: khoảng cách từ trục đến trục
a
∆
C
∆
Bt 3 tr.111

4.4 ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH
MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
2 2 2
1 1
2 2
i i i i i i
K m v m r
ω
= =
2
1
2
tt C
K mv=
Động năng khi vật rắn quay:
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 2 2

n n n
q i i i i i i i
i i i
K m v m r m r
ω ω
= = =
⇒ = = =
∑ ∑ ∑
Động năng khi vật rắn chuyển động tịnh tiến:
Động năng khi vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay:
2 2
1 1
2 2
tt q C
K K K mv I
ω
= + = +
2
1
2
q
K I
ω
=

4.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG
LƯỢNG CỦA VẬT RẮN
dL
M
dt

=
r
r
L I const
ω
= =
r
r
1) Trường hợp một vật rắn:
Ví dụ:
Nếu:
0M =
r
2) Trường hợp hệ nhiều vật rắn quay quanh một trục: (Tham khảo)
Động tác xoay người (trên mặt băng) của các vận động viên trượt
băng nghệ thuật.

Bài tập về nhà
Xác định mômen quán tính của thanh đồng chất có chiều
dài , mật độ khối lượng , tiết diện S và khối
lượng m, cho trường hợp trục quay tại một đầu thanh
theo hai cách:
a) Sử dụng công thức tổng quát.
b) Sử dụng công thức Steiner-Huyghens.
l
ρ