ON TN PHAN SO PHUC QUA HAY

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC
A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn
2
1i = −
.
Kí hiệu
z a bi
= +
• i: đơn vò ảo, • a: phần thực, • b: phần ảo.
Chú ý:
o
z a 0i a= + =
được gọi là số thực
(a )∈ ⊂¡ £
o
z 0 bi bi= + =
được gọi là số ảo
o
0 0 0i= +
vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi
2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z ' a ' b'i
= +
với
a, b,a',b'∈¡

a a'
z z '
b b'
=

= ⇔

=

3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức
z a bi= +
và
z ' a ' b'i= +
với
a, b,a',b'∈¡

( ) ( )
z z ' a a ' b b' i
+ = + + +
( ) ( )
z z' a a ' b b' i
− = − + −
o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b
)∈¡
4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức
z a bi
= +
và
z ' a ' b 'i
= +

với
a, b,a',b'∈¡

( ) ( )
z.z' aa' bb' ab' a 'b i
= − + +
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z a bi
= −
o
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
o z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
6. Môđun của số phức z = a + bi
o
2 2
z a b zz OM= + = =
uuuur
o
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
o
z.z' z z' , z z' z z ' z,z'= + ≤ + ∀ ∈£
7. Chia hai số phức.
o Số phức nghòch đảo của z (z
)0≠
:
z
z

z
2
1
1
=
−
o Thương của z’ chia cho z (z
0)≠
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
−
o Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,

z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==






II. CÁC DẠNG TOÁN
Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a.
z i (2 4i)(3 2i)= + − +
; b.
3 3
z ( 1 i) (2i)= − + −
; c.
( )
2
z 1 i

1 i
= + +
−
Giải.
a.
z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i= + − + = + − = −
Phần thực a = 14; Phần ảo b =
7
−
; môđun
z 7 5=
b.
3 3
z ( 1 i) (2i) 2 2i ( 8i) 2 10i= − + − = + − − = +
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun
z 2 26=
c.
( )
2
z 1 i 1 i 1 i 2
1 i
= + + = + + − =
−
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun
z 2=
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a. (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
b. (2 + i)
3

– (3 – i)
3
c.
−
1
2 3i
d.
−
3
(2 3i)
e. (1 + i)
2
– (1 – i)
2
f.
( ) ( )
+ − −
2 2
3 i 3 i
g. (2 + i)
3
– (3 – i)
3
h.
+ − −
+ − −
2 3
3 2
(1 2i) (1 i)
(3 2i) (2 i)

i.
( )
2
4 5
3 2
2
−
− +
+
i
i
i
j. ( 1- 2 i ) +
i
i
+
+
2
1
k.
−3 2i
i
l.
( ) ( )
[ ]
.)25(223
3
iii
−−−+
m.

− −
−
+
3 2
1
i i
i i
n.
i
i
i
i −
−
+
− 2
1
3
o.
+ +
+
− −
3 2i 1 i
1 i 3 2i
p.
( )
)32(41
43
ii
i
+−

−
2. Tính
a.
i21
3
+
b.
i
i
−
+
1
1
c.
mi
m
d.
aia
aia
−
+
e.
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
f. 2i(3 + i)(2 + 4i)
g. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)

h.
ai
bia +
i. (2 – i)
4
j.
i
2
3
2
1
1
−
k.
i
i
i
63
45
34
+
+
+−
l.
( ) ( )
i
ii
+−
+
2

21
32
m.(3 – 2i)(2 – 3i)
n. (2 + 3i)
2
o. (2 – 3i)
3
p.
i
i
+
+
1
24
q.
2 i (1 i)(4 3i)
3 2i
+ + + −
+
r.
(3 4i)(1 2i)
4 3i
1 2i
− +
+ −
−
s.
3 i
i
−

+ (5 – i)
2
t.
2 2i 1 2i
1 2i 2 2i
+ +
+
− −
Bài toán 2. Tính
2012
(1 i)+
Giải.
1006
2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006
(1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2
 
+ = + = = = = − = −
 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính.
a.
2 3 2009
1 i i i i+ + + + +
b.
100
(1 )i
−
c.
2008 2008
(1 ) (1 )+ + −i i

Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết
2x yi 3 2i x yi 2 4i+ − + = − + +
Giải.
2x 3 x 2 x 4
2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i
y 2 4 y y 1
− = + =
 
+ − + = − + + ⇔ − + + = + + − ⇔ ⇔
 
+ = − =
 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm các số thực x và y biết:
a. (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i c. (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i
b. (2 – x) – i
2
=
3
+ (3 – y) i
d. (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i
Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
a.
z i z 2 3i+ = − −
; b.
z 3 1+ ≤
Giải. Đặt
z x yi= +
, khi đó:
a.

z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i+ = − − ⇔ + + = + − − ⇔ + + = − + −

2 2 2 2
x (y 1) (x 2) (y 3) x 2y 3 0⇔ + + = − + − ⇔ + − =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng
x 2y 3 0+ − =
b.
2 2 2 2
z 3 1 x yi 3 1 x 3 yi 1 (x 3) y 1 (x 3) y 1+ ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn
2 2
(x 3) y 1+ + ≤
tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
a.
43 =++ zz
b. 2|z – i| =
izz 2+−
c.
3 4z z i
= − +
d.
1
z i
z i
−
=
+
e.

1 2z i− + =
a. z + 2
z
= 2 – 4i
b.
0
2
=− zz
f.
0
2
=+ zz
g.
2 z i z+ = −
h.
z
= 1
i.
z
=
iz 43+−
j.
10)_2( =− iz
và
'.zz
= 25
k.
z

≤

1
l.
z
=1 và phần ảo của z =1
m.
( )
243 =−− iz
n.
1
4
=






−
+
iz
iz
o.
1=
+
−
iz
iz
p. 1<
z
≤

2
q.
1222 −=− zzi
r. phần thực của z thuộc đọan
[0;1], phần ảo của z thuộc đoạn
[-1;2]
c.
izz 422 −=+
d.
0
2
2
=+ zz
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Căn bậc hai của số phức
o
z 0=
có một căn bậc hai là 0
o
z a=
là số thực dương có 2 căn bậc 2 là
a±
o
z a=
là số thực âm có 2 căn bậc hai là
a .i±
o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho
2 2
2

x y a
w z
2xy b

− =
= ⇔

=

(a, b, x, y
)∈¡
2. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, A
0≠
).
Tính
2
B 4AC∆ = −
o
0∆ >
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B
z ,
2A
− ± ∆
=
o
0∆ <

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B i
z ,
2A
− ± ∆
=
o
0=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
B
z z
2A
= = −
3. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0≠
).
Tính
2
B 4AC∆ = −
o
0≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
B
z ,
2A

− ±δ
=
,
(
δ
là 1 căn bậc hai của
)∆
o
0=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
B
z z
2A
= = −
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a.
4−
; b.
3 4i
−
(NC)
Giải.
a. Hai căn bậc hai của
4−
là
4 .i 2i± − = ±
b. Gọi
w x yi= +

là căn bậc hai của
3 4i−
, ta có:
2
2 2 4 2
2 2
2
x 2
x 1 ( ) x 2
x y 3 x 3x 4 0
y 1
x y 3
x 2
x 4
2 2
2xy 4
x 2
y y
2
2
y
x x
y
y 1
x
x
 =




= −  =



 
− = − − =




= −

− =
    = −
=



⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    

= −
= −
= − = −


   

= −
 


= −
 
=





loại
Vậy
3 4i
−
có hai căn bậc hai là
2 i−
và
2 i− +
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8;3;
9−
;
11−
; -I; -2i; 2i; 4i
2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)
5 12i− +
;
8 6i+
;
33 56i−

;
3 4i− +
; 3+4i; 5 – 12i
Bài toán 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
(3 2i)z 4 5i 7 3i− + + = −
; b.
z
2 3i 5 2i
4 3i
+ − = −
−
Giải.
a.
3 8i 25 18
(3 2i)z 4 5i 7 3i (3 2i)z 3 8i z i
3 2i 13 13
−
− + + = − ⇔ − = − ⇔ = = −
−
b.
z z
2 3i 5 2i 3 i z (3 i)(4 3i) 15 5i
4 3i 4 3i
+ − = − ⇔ = + ⇔ = + − = −
− −
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
i

i
z
i
i
+
+−
=
−
+
2
31
1
2
b. 2iz + 1 – i = 0
c. (1 – i )z + 2 – i = 2z + i
d. ( iz –1 )( z + 3i )(
z
– 2 + 3i) = 0
e. ( 2 i)
z
– 4 = 0
f.
( )
4 5i z 2 i− = +
g.
( ) ( )
2
3 2i z i 3i
− + =
s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z

t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
h.
3 5i
2 4i
z
+
= −
i.
(2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
j. (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i)
k. (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i
l. (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i.
m.
1 1
z 3 i 3 i
2 2
− = +
 
 ÷
 
n.
0)
2
1

](3)2[( =+++−
i
izizi
Bài toán 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a.
2
7z 3z 2 0+ + =
; b.
2
3x 2x 1 0− + − =
Giải.
a.
2
7z 3z 2 0+ + =
2
b 4ac 47 0∆ = − = − <
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
− + ∆
− +
= = = − +
2
b i
3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14

− − ∆
− −
= = = − −
b.
2
3x 2x 1 0− + − =
2
' b ' ac 2 0∆ = − = − <
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b' i '
1 2.i 1 2
x i
a 3 3 3
− + ∆
− +
= = = −
−
2
b' i '
1 2.i 1 2
x i
a 3 3 3
− − ∆
− −
= = = +
−
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.

01.3
2
=+− xx
b.
02.32.23
2
=+− xx
c.
2
3 2 0x x− + =
d.
2
3 2 0
+ + =
x x
e.
2
1 0+ + =x x
f. z
4
–8 = 0
g. x
3
– 1 = 0
h. z
3
+ 1 = 0
i. z
4
+ 4 = 0

j. 5z
2
– 7z + 11 = 0
k. z
2
- 2
3
z + 7 = 0
l. z
3
– 8 = 0
m.z
2
+ z +7 = 0
n. z
2
– z + 1 = 0
o. z
2
+ 2z + 5 = 0
p. 8z
2
– 4z + 1 = 0
q. x
2
+ 7 = 0
r. x
2
– 3x + 3 = 0
s. x

2
–5x +7=0
t. x
2
–4x + 11 = 0
u. z
2
– 3z + 11 = 0
2. Giải phương trình sau trên trường số phức
a. z
4
– 5z
2
– 6 = 0
b. z
4
+7z
2
– 8 = 0
c. z
4
– 8z
2
– 9 = 0
d. z
4
+ 6z
2
+ 25 = 0
e. z

4
+ 4z – 77 = 0
f. 8z
4
+ 8z
3
= z + 1
g. z
4
+ z
3
+
2
1
z
2
+ z + 1 = 0
h. z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0
i.
4 3 7
2
z i

z i
z i
− −
= −
−
j.
3 2
1 1 1
0
2 2 2
z z z
+ + − =
Bài toán 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a.
2
x (3 4i)x 5i 1 0− + + − =
; b.
2
z 2iz 2i 1 0− + − =
Giải.
a.
2
x (3 4i)x 5i 1 0− + + − =
2 2
b 4ac 3 4i (1 2i) 0∆ = − = − + = + ≠
Gọi
δ
là một căn bậc hai của
∆
, ta có

1 2i
δ = +
Do
0∆ ≠
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b 3 4i 1 2i
x 2 3i
2a 2
− + δ + + +
= = = +
2
b 3 4i (1 2i)
x 1 i
2a 2
− − δ + − +
= = = +
b.
2
z 2iz 2i 1 0− + − =
2 2
' b ' ac 2i (1 i) 0∆ = − = − = − ≠
Gọi
'δ
là một căn bậc hai của
'∆
, ta có
' 1 iδ = −
Do
' 0

∆ ≠
, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
b' ' i 1 i
z 1
a 1
− + δ + −
= = =
2
b' ' i (1 i)
z 1 2i
a 1
− − δ − −
= = = − +
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC)
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. x
2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0
b. (z
2
+ i)(z
2
– 2iz - 1) = 0
c.
( )
2
1 2 0
+ + − − =
x i x i

d. 2z
2
– iz + 1 = 0
e. z
2
+ (-2 + i)z – 2i = 0
f. z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
g. z
2
+ ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
h.
( )
2
2 8 14 23 0x i x i
− + + − =
i.
( ) ( )
2
5 14 2 12 5 0
− − − + =
z i z i
j.
2
80 4099 100 0− + − =z z i
k.
( ) ( )
2
3 6 3 13 0+ − − + − + =z i z i

l.
( )
2
cos sin cos sin 0.
− + + =
z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
m.
( )
4 2
8 1 63 16 0− − + − =z i z i
n.
( )
4 2
24 1 308 144 0
− − + − =
z i z i
o. ( 1 – i)x
2
– 2x – (11 + 3i) = 0
p. ( 1 + i)x
2
– 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0
q. z
2
+ 18z + 1681 = 0
2. Giải các hệ phương trình :
a.




−=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b.



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
c.
2 2
1 2

1 2
5 2
4

+ = +

+ = −

z z i
z z i
d.
2 2
4 0
2

+ + =

+ =

u v uv
u v i
e.
2
1
 − =


− = −



z i z
z i z
C. DẠNG LƯNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. (NC)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Dạng lượng giác của số phức.
z =
r(cos i sin )ϕ+ ϕ
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b
, z 0)∈ ≠¡
o
2 2
r a b= +
là môđun của z
o
ϕ
là một acgumen của z thỏa
a
cos
r
b
sin
r

ϕ =




ϕ =



2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos
isin ) , z ' r'(cos ' isin ')ϕ+ ϕ = ϕ + ϕ
thì :
o
z.z' r.r '[cos( ') isin( ')]
= ϕ+ϕ + ϕ+ϕ
o
z r
[cos( ') isin( ')]
z' r '
= ϕ−ϕ + ϕ−ϕ
3. Công thức Moa-vrơ :
*
Nn ∈
thì
n n
[r(cos isin )] r (cos n isin n )
ϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
Nhân xét:
n
(cos isin ) cosn isin nϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ
4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
)sin
ϕϕ
i+
(r > 0) là
(cos sin )
2 2

r i
ϕ ϕ
+
và
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
− + = + + +
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a.
z 2 2i= −
; b.
z 1 3.i= − −
Giải.
a.
z 2 2i= −
o Mô đun
2 2
r a b 2 2= + =
o Gọi
ϕ
là một acgumen của z ta có
1
cos
2
1
4

sin
2

ϕ =

π

⇒ ϕ = −


ϕ = −


Dạng lượng giác
z 2 2 cos isin
4 4
 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   
 
b.
z 1 3.i= − −
o Mô đun
2 2
r a b 2= + =
o Gọi
ϕ

là một acgumen của z ta có
1
cos
2
2
3
3
sin
2

ϕ = −

π

⇒ ϕ = −


ϕ = −


Dạng lượng giác
2 2
z 2 cos isin
3 3
 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   

 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a.
i.322 +−
b. 4 – 4i
c. 1 –
i.3
d.
4
sin.
4
cos
ππ
i−
e.
8
cos.
8
sin
ππ
i−−
f.
)1)(3.1( ii +−
g.
1 3
1
−
+
i

i
2. Thực hiện phép tính
a. 5
)
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6
(cos
ππππ
ii ++
b.
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
c. 3(cos20
o
+ isin20
o
)(cos25
o
+ isin25

o
)
d.
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
ππ
ππ
i
i
+
+
3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a.
31 i−

b. 1 + i
c.
)1)(31( ii +−
d.
i

i
+
−
1
31
e.
)3.(.2 ii −
f.
i22
1
+
g. z =
ϕϕ
cos.sin i+
Bài toán 2. Tính:
a.
( )
6
10
(1 i) 3 i− +
; b.
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
Giải.
a.

( )
6
10
(1 i) 3 i− +
( )
10
10 5
5 5
(1 i) 2 cos isin 2 cos isin 32 0 i 32i
4 4 2 2
 
 π π   π π 
       
− = − + − = − + − = − = −
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
 
       
   
 
( )
( ) ( )
6
6
6 6
3 i 2 cos isin 32. cos isin 2 1 0i 2
6 6
 π π 
 

+ = + = π + π = − + = −
 ÷
 
 
 
( )
( )
5
10
(1 i) 3 i 32i. 64 2048i⇒ − + = − − =
b.
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
( )
10
10 5
5 5
(1 i) 2 cos isin 2 . cos isin 32 i 32i
4 4 2 2
 π π  π π
   
+ = + = + = =
 ÷  ÷
 
   

 
( )
9
9
9
3 3
3 i 2 cos isin 2 cos isin 512i
6 6 2 2
 π π  π π
   
+ = + = + = −
 ÷  ÷
 
   
 
( )
10
9
(1 i) 1
16
3 i
+
⇒ = −
+
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính :
a. [
00
30sin30(cos2 i+
)]

7
b.
6
)3( i−
c.
33
1
1






−
+
i
i
d.
12
2
3
2
1









+ i
e.
2010
i 1
i
+
 
 ÷
 
f.
21
321
335








−
+
i
i
g.
5 7
cos sin (1 3 )

3 3
 
− +
 ÷
 
i i i
π π
h.
280
3
1






+−
+
i
i
i.
( )
25
1 i+
j.
( )
( )
49
50

3
1
i
i
+
+
k. (cos12
o
+ isin12
o
)
5

Bài toán 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a.
z 1 i 3= − −
; b.
1 i 3
z
1 i
−
=
+
Giải.
a.
1 i 3− −
Dạng lượng giác:
2 2
z 2 cos isin
3 3

 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   
 
Hai căn bậc hai của z là
1
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 2
2 2
 
 π π 
   
= − + − = − = − = −
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷
   
 
 
và
2
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 2
2 2

 
 π π 
   
= − − + − = − − = − + = − +
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷
   
 
 
b.
1 i 3
z
1 i
−
=
+
Dạng lượng giác
7 7
z 2 cos isin
12 12
 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   
 
Hai căn bậc hai của z là

4
1
7 7
w 2 cos isin
24 24
 π π 
   
= − + −
 ÷  ÷
 
   
 
và

4 4
2
7 7 17 17
w 2 cos isin 2 cos isin
24 24 24 24
 π π   π π 
       
= − − + − = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
   
       
   
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a. –1 + 4
i.3

b. 4 + 6
i.5
c. –1 – 2
i.6
d. 1+
34
i
e. (
3
- i)
6
f.
2004
1






+ i
i
g.
i3411+−
h.
( )
i−1
2
2

i.
4
sin
4
cos
ππ
i−
j.
3
sin
3
cos
ππ
i−
k.
4 6 5i+
l.
1 2 6i− −
CHUYEÂN ĐỀ SỐ PHỨC
Câu 5a. (1,0 điểm). Giải phương trình
2
(S) :8z 4z 1 0− + =
trên tập số phức.
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm căn bậc hai của số phức
4z i= −
c.Giải phương trình
2
4 7 0x x− + =
trên tập số phức .
Câu V.a ( 1,0 điểm ): Tính giá trị của biểu thức

2 2
(1 2 ) (1 2 )P i i= − + +
.
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Giải phương trình x
3
+ 8 = 0 trên tập số phức .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Biểu diễn số phức z =
1−
+ i dưới dạng lượng giác
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tìm môđun của số phức
3
1 4 (1 )z i i= + + −
.
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm nghiệm của phương trình
2
z z=
, trong đó
z
là số phức liên hợp của số phức z
.
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Cho số phức
1
1
i
z
i
−
=
+
. Tính giá trị của

2010
z
.
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai
2
0z Bz i
+ + =
có tổng bình
phương hai nghiệm bằng
4i−
.
Câu Va(1 điểm) Tìm môđun của số phức z = 3 − I +
( )
3
2 i−
Câu V.a ( 1,0 điểm ) Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn
điều kiện :
3 4Z Z+ + =
Câu Vb/. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)
3
- (3-i)
3
.
Câu V.a Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z
2
+ 2z + 17 = 0.
Câu VGiải phương trình sau trên tập số phức: z
3
- (1 + i)z
2

+ (3 + i)z - 3i = 0
Câu V.a Giải phương trình :
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
Câu V.a Cho số phức
1 3z i= +
.Tính
2 2
( )z z+
4. Giải phương trình sau đây trong  : 3x
2
− x + 2 = 0
Câu V.a Tính giá trị của biểu thức Q = ( 2 +
5
i )
2
+ ( 2 -
5
i )
2
.
Câu V.b Giải phương trình sau trên tập số phức: (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0

Câu V.a Cho số phức:
( ) ( )
2
1 2 2z i i= − +
. Tính giá trị biểu thức
.A z z
=
.
Câu V.b Giải phương trình sau trên tập số phức:
2
4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
+ +
 
− + =
 ÷
− −
 
1. Tìm modul và argumen của số phức sau
2 3 16
1 .z i i i i= + + + + +
2. Thực hiện các phép tính sau:
a.
(3 )(3 )i i i− +
b.
2 3 (5 )(6 )i i i+ + + −
Câu V.a (1,0 điểm)
Giải phương trình sau trên tập sô phức :

2
5 2 2 0− + =z z
1) Tính giá trị của biếu thức
( ) ( )
22
5252 iiA −++=
1) Tìm modul cùa số phức:
( )
3
141 iiz −++=
1) Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
9698100
141413 iiii +−+=+
5a ( 1.0 điểm) Tìm mođun của số phức Z. Biết rằng:

2
1
−
+
z
z
= i
Câu 5b ( 1.0 điểm) Viết dạng lượng giác số phức z =
3
- i
Câu 5a ( 1.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa dộ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện :
iz +−1
<
1

Câu 5b ( 1.0 điểm). Tìm số phức Z thỏa điều kiện:
z.
z
+ 3( z-
z
) = 4 – 3i
Câu V a. (1 điểm). Tìm môđun của số phức
3
1 4 (1 )
= + + −
z i i
.
Câu V.a ( 1,0 điểm ) Tính giá trị của biểu thức
2 2
(1 2 ) (1 2 )P i i= - + +
.
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm số phức z, biết
z
= 3
10
và phần ảo của z bằng 3 lần phần thực của nó.
Câu V.a (1,0 điểm )
Cho số phức :
z x yi= +
. Tìm
;x y
sao cho :
( )
2

8 6x yi i+ = +
Câu V.b (1,0 điểm )
Giải phương trình :
2
4 0x x− + =
trên tập số phức
Câu 5a. (1,0 điểm). Giải phương trình
( )
1 0x y x y i+ + − + =
Câu 5b. (1,0 điểm). Tìm số phức z sao cho
( )
. 3 5 6z z z z i
+ − = +
Câu V.a (1,0 điểm)
Tìm môđun của số phức : z = 3 − 5i + ( 2 + i )
3
Câu V. b (1,0 điểm)
Viết số phức sau đây dưới dạng lượng giác :
i
i
−
+
1
3
Câu Va. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
i
i
.21−
.
Câu Vb. (1 điểm). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (7 – 3i)

2
- (2 – i)
2
Câu Vb.(1 điểm). Cho số phức z = x + yi (x, y
)R∈
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
2
– 2z + 4i
Câu V a.(1 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức : z
4
– 1 = 0.
Câu V b.(1 điểm). Biểu diễn số phức z = 1 – i.
3
dưới dạng lượng giác.
Câu V a.(1 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức: z
4
– z
2
– 6 = 0
Câu Vb.(1 điểm). Tính
( )
8
3 i+
Câu Va. (1 điểm). Giải phương trình: x
2
– 2x + 5 = 0 trong tập số phức C.
Câu Vb.(1 điểm). Cho số phức z = x + yi (x, y τηυοχ R ) . Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z
2
– 2z + 4i .

Câu Vb.(1 điểm). Cho số phức z = x + yi (x, y  R . Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z – 2z + 4i