Phuong trinh bac hai cua he thuc Viet.doc

GV: Ngun Thµnh Tuyªn - Trêng THCS Mêng Lai - Hun Lơc Yªn
Ph¬ng tr×nh bËc hai vµ hƯ thøc vi Ðt
A/ Lý thut:
1/ C«ng thøc nghiƯm:
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
0≠
) (1)
Ta cã
∆
= b
2
– 4ac (
'∆
= b’
2
– ac)
(1) v« nghiƯm <=>
∆
< 0 (
'∆
< 0)
(1) cã nghiƯm kÐp <=>
∆
= 0 (
'∆
= 0) x
1
= x
2

=
a
b
2
−
(x
1
= x
2
=
a
b'−
)
(1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt <=>
∆
> 0 (
'∆
> 0)
x
1
=
a
b
2
∆+−
( x
1
=
a
b '∆+−

) ; x
2
=
a
b
2
∆−−
( x
2
=
a
b '∆−−
)
(1) cã nghiƯm <=>
∆
≥
0 (
'∆
≥
0)
2/ HƯ thøc Vi – Ðt:
NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 cã hai nghiƯm x
1
, x
2
th×:
S = x
1

+ x
2
=
a
b−
vµ P = x
1
.x
2
=
a
c
3/ HƯ qu¶ (nhÈm nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai):
Ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c = 0 (a
0≠
).
- NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x
1
= 1; x
2
=
a
c
- NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x
1
= -1; x
2
=

a
c−
4/ HƯ thøc Vi – Ðt ®¶o:
NÕu hai sè x, y tho¶ m·n x + y = S vµ x.y = P th× hai sè x, y lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: X
2
– SX
+ P = 0.
( ¸p dơng: ®Ĩ t×m hai sè khi biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng vµ dïng ®Ĩ lËp ph¬ng tr×nh bËc hai
khi khi biÕt tríc hai nghiƯm )
5/ Chó ý (§iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ):
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu <=> a.c < 0
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu
0
0p
≥

⇔

>

V
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng d¬ng <=>



>
≥∆
>
0
0

0
P
S
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng ©m <=>



>
≥∆
<
0
0
0
P
S
6. Điều kiện về nghiệm số của phương trình bậc hai:
Đònh lý : Xét phương trình :
2
0ax bx c+ + =
(1)

 Pt (1) vô nghiệm
⇔






≠

=
=
0
0
0
c
b
a
hoặc



<∆
≠
0
0a
 Pt (1) có nghiệm kép
⇔




=∆
≠
0
0a
Confidential Page 1 7/4/2014
1
GV: Ngun Thµnh Tuyªn - Trêng THCS Mêng Lai - Hun Lơc Yªn
 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔




>∆
≠
0
0a
 Pt (1) có hai nghiệm
⇔




≥∆
≠
0
0a
 Pt (1) nghiệm đúng với mọi x
⇔






=
=
=

0
0
0
c
b
a

Đặc biệt
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
7. So sánh một số
α
với các nghiệm của tam thức bậc hai
cbxaxxf ++=
2
)(
(
0≠a
)
[ ]
1
1
1
1
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
a.f( ) 0
x
0
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
a.f( ) 0
x

S
2
2
2
2
2
,x
x
,x
x
0
 
⇔ α <
 
< α <
 
 

 

∆ >
 
 

⇔ α >


 
< < α
 




−α <


 
1
1
1
0
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
a.f( ) 0
x
S
2
Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa
một nghiệm thuộc khoảng ( ; ) và
nghiệm
2
2
2
,x
x
0
,x



 


 

∆ >
 
 

⇔ α >

 
 
α < <
 

 

−α >
 

 
α β
[ ]

còn lại nằm ngoài đoạn [ ; ]
f( ).f( ) 0
 
 
⇔ α β <
 
 

α β
 
B/ Bµi tËp
Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: 2x
2
+ mx – 5 = 0.
a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm lµ 1. T×m nghiƯm cßn l¹i.
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm lµ -1. T×m nghiƯm cßn l¹i.
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
+ 2(m - 1)x – 2m +5 = 0.
a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tho¶ m·n:
*
1
2
2
1
x
x
x
x
+
= 2.
* x
1
+ x
2
+ 2x
1

x
2

≤
6.
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
– 2x + m + 2.
a) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu? Tr¸i dÊu?
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
, x
2
th¶o m·n:
* x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
2

≤
6.
* x
1
+ x
2
+ 4x

1
x
2
= 10.
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
– 8x + m + 5 = 0.
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2.
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt cïng dÊu d¬ng.
c) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm nµy gÊp 3 lÇn nghiƯm kia. T×m c¸c nghiƯm trong tr-
êng hỵp nµy.
Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
– 2(m + 1)x + 2m = 0.
a) Chøng tá r»ng(CTR) ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm víi mäi m.
Confidential Page 2 7/4/2014
2
GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. CTR: A = x
1
+ x
2
x
1
x
2

không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
2
+ x
2
2
- 3x
1
x
2
= 6
Bài 6: Cho phơng trình: x
2
(2m 1)x + m
2
m 2 = 0.
a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để 2x
1
x

2
+ x
1
+ x
2


3
Bài 7: Cho phơng trình: x
2
+ 2x + 2m + 5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tính A = x
1
2
+ x
2
2
theo m.
c) Tìm m để A = 10.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y
1
=
2
1
x

, y
2
=
1
1
x
Bài 8: Cho phơng trình: x
2

+ (m + 1)x + m = 0.
a) Giải phơng trình với m = 3.
b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
= 10.
Bài 9: Cho phơng trình: x
2
2x + m 2 = 0.

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
3
10
1
2
2
1
=+
x
x
x
x

Bài 10: Cho phơng trình: 3x
2
4x + m 1 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 6.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x
1
= 3x
2
.
Bài 11:
Cho phơng trình: x

2
4x + m = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 12.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
1
2
+ x
2
2
Bài 12: Cho phơng trình: x
2
3x - m + 2 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x
1
2
+ x
2

2
= 8.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1).
Bài 13:
Cho phơng trình: x
2
2(a 1)x + 2a - 5 = 0.
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
< 1 < x
1
Bài 14:
Cho phơng trình: x
2
+ (m +1)x + m - 1 = 0.
a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để A = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
4x
1
x

2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 15: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (1).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2121
22 xxxxA
=
.
Bài tập 16 : Cho phơng trình
2 2
10 0x x m =
(1)
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của
m

0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Bài tập 17:
Cho phơng trình
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
(1) (với m là tham số)

a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2
Tìm m để biểu thức
Confidential Page 3 7/4/2014
3
GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

= +
ữ ữ

đạt giá trị lớn nhất
Bài tập 18: Cho phơng trình :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x
1

và x
2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 19:
Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Bài tập 20 :
Xét phơng trình :
4 2 2
2( 2) 5 3 0x m m + + + =
(1) với m là tham số
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2. Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Hãy tính theo m giá trị của biểu
thức M =
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + +

Bài tập 21:
Cho phơng trình
2
2( 1) 0x m x m
+ + =
( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Trong trờng hợp m > 0 và
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm
GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=
Bài tập 22 :
Xét phuơng trình mx
2
+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2

1 2 1 2
4x x x x
+ =

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số
hữu tỉ
Bài tập 23 : Tìm hai số x y biết x
2
+ y
2
= 25 và xy = 12
Bài tập 24 : Cho phơng trình x
2
- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm
1 2
,x x

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
2 2
1 2 2 1
3 3 3x x
M
x x x x
+
=
+
b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?
Bài tập 25 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình

1. 7 x
2
+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
2. 12 x
2
+70x + k
2
+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu
3. x
2
- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
Bài tập 26 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh
1. mx
2
- 2(m +1)x + m + 2 = 0
2. (m -1) x
2
+ 3m + 2m + 1 = 0
3. (1 2m) x
2
+ (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 27 : Cho phơng trình x
2
- 2m + m - 4 = 0
1. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó
2. Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng
Bài tập 28
Confidential Page 4 7/4/2014
4
GV: Ngun Thµnh Tuyªn - Trêng THCS Mêng Lai - Hun Lơc Yªn

Cho ph¬ng tr×nh x
2
- mx +1 = 0 ( m lµ tham sè )
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m = 5
2. Víi m =
5
, gi¶ sư ph¬ng tr×nh ®· cho khi ®ã cã 2 nghiƯm lµ
1 2
,x x

Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3x x x x
A
x x x x
+ +
=
+
Bµi tËp 29 : Cho ph¬ng tr×nh :
2
2 5 1 0x x
− + =
TÝnh
1 2 2 1
x x x x
+

(Víi x
1
, x
2
lµ 2 nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh)
Bµi tËp 30 : a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh
2 2
2 2 2 0x mx m
+ + − =
cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
b) Gäi 2 nghiƯm lµ x
1
, x
2
, T×m GTNN cđa biĨu thøc

1 2 1 2
2 4A x x x x
= + + −
Bµi tËp 31 :
1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh
2
4 1 0x x
− + =
cã 2 nghiƯm ph©n biƯt x
1
, x
2
LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiƯm lµ
2

1
x
vµ
2
2
x
2) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh
2
2 2 3 0x mx m− + − =
cã hai nghiƯm cïng dÊu. Khi ®ã hai
nghiƯm cïng dÊu ©m hay cïng dÊu d¬ng ?
Bµi tËp 32 :
Cho phương trình:
0232
2
=−+− mmxx
(1)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
21
1 xx <<
Bµi tËp 33 :
Xác đònh m để phương trình :
054)5(
2
=−++− mxmx
có nghiệm

[ ]
4;1∈x
Confidential Page 5 7/4/2014
5