Chương IV - Bài 4: Công thức nghiệp của phương trình bậc hai

Kiểm tra bài cũ:
1. Giải phương trình sau bằng cách biến đổi phương trình
thành phương trình có vế trái là một bình phương, còn vế
phải là một hằng số.
HÃy điền số thích hợp vào chỗ (...) để được lời giải phương
trình theo cách giải nói trên
3x2 + 7x + 1


3x



x2

2

x

2

+ 7x
+

7
x
...

+ ...x. 7
...3

⇔ x + 2.x. 7 + ...
6
2

= 0
=

⇔

...

=−

1

⇔

...

1
= −
3

1
7
= − +  
6
3

⇔
2

7

x+ 
6

7
x+
6

[

x1 =

x2 =

2

= ...
= ±


Kiểm tra bài cũ:
2. a, Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn ?
b, Trong các phương trình sau, phương trình nào là phư
ơng trình bậc hai một Èn ? ChØ râ hƯ sè a, b, c cđa mỗi phư
ơng trình ấy
A. 5x2 - 9x + 2 = 0

B. 2x3 + 4x + 1 = 0
a = 5, b= - 9, c= 2

C. 3x2 + 5x = 0

a = 3, b= 5, c= 0

D. 15x2 - 39 = 0
a = 15, b = 0 , c= - 39

* Đối với phương trình dạng câu C, câu D ở trên
( có b = 0 hoặc c = 0) ta giải như thế nào?


Kiểm tra bài cũ:
1. Giải phương trình sau (Bằng cách biến đổi phương trình
thành phương trình có vế trái là một bình phương, còn vế
phải là một hằng số )
HÃy điền số thích hợp vào chỗ (...) để được lời giải phương
trình theo cách giải nói trên
3x2 + 7x + 1
⇔

3x

⇔

x2

2

⇔ x

2

+ 7x
+

7
x
...

+ ...x. 7
...3

⇔ x + 2.x. 7 + ...
6
2

= 0
=

⇔

...

=−

1

⇔

...

1
= −
3

1
7
= − +  
6
3

⇔
2

7

x+ 
6

7
x+
6

[

x1 =

x2 =

2

= ...
= ±


Tiết 53: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Dựa vào các bước biến đổi
đà có của phương trình
3x2+ 7x+1=0

3x2 + 7x = - 1
⇔
x2 + 7 x = − 1
3
3
1
⇔ x2+ 2.x. 7 = −
3
2.3
⇔ x2+ 2.x.

7
6
2
2

+

7
 
6

2

=

1
−
3

7
+ 6
 

1. C«ng thøc nghiƯm:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
⇔ ax2 + bx = - c
⇔ x2 +

(1)

b
c
x=−
a
a

⇔ x 2 + 2.x. b = − c
2

2.a
a
2
2
b
b 
c  b 

x 2 + 2 x.
+  = − + 
⇔
2a  2a 
a  2a 

7
1 49 37

=
⇔
⇔ x+ ữ = +
6
3 36 36

Em hÃy biến đổi phương

trình tổng quát về dạng có vế

trái là bình phương của một
biểu thức, vế phải là hằng số ?

2

b
b2 c

x+  = 2 −
2a 
4a
a

2
b 
b 2 − 4ac

x+  =
2a 
4a 2


(2)


Tiết 53: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

1. C«ng thøc nghiƯm:
ax2 +bx +c = 0 (a ≠0)
⇔ ax2 +bx = - c

⇔ x2 +

(1)

b
c
x=−
a
a

Nh­ vËy, chóng ta ®· biến
đổi phương trình (1) thành 2
b
c
+ 2.x.
=
x
phương trình (2) có vế trái là
2.a
a
2
2
một bình phương của một
b
b
c b 

x 2 + 2 x.
+  = − +
biểu thức, còn vế phải là một

2a 2a 
a  2a 
2
h»ng sè.
b 
b2 c

x+  = 2
Ta có thể khai phương hai
2a
4a
a

2
vế để tìm ®­ỵc x ch­a ?
b
b 2 − 4ac
⇔



x+  =
2a 


Ng­êi ta kÝ hiÖu

4a

2

∆=b2-4ac

(2)


Ta có:

2

b


x+ = 2
2a
4a


(2)

?1 HÃy điền những biểu thức thích hợp vào các chỗ trống (...) dưới đây:

b
x+
= ...
2a

a) Nếu >0 thì từ phương trình (2) suy ra

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = ...,

b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2) suy ra

x2 = ...

b
x+
= ...
2a

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x = ...
?2

HÃy giải thích vì sao khi < 0 thì phương trình vô nghiệm.


2

Gi¶i:

b 
∆

x+  = 2
2a 
4a


(2)

b

∆
x+
=±
2a
2a
−b− ∆
−b+ ∆
, x2 =
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm: x1 =
2a
2a
b
=0
b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2) suy ra x +
2a
?1 a) Nếu > 0 thì từ phương trình (2) suy ra

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép
?2

b
x=
2a

Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
(vì phương trình (2) vô nghiệm do vế phải là một số âm còn
vế trái là một số không âm )


Từ kết quả ?1 và ?2 ,với phương trình bậc hai

ax2 +bx +c = 0 (a ≠0) vµ biƯt thøc = b2 - 4ac
Với điều kiện nào của thì:
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt? > 0
+ Phương trình có nghiệm kép?
+ Phương trình vô nghiệm ?

∆ =0
∆ <0


Kết luận chung:

Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)
vµ biƯt thøc ∆ = b2 - 4ac :
ã Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b
b+
x1 =
x2 =
,
2a
2a

b
ã Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
2a
ã Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Các bước giải một phương trình bậc hai:

Từ kết luận trên, c.
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, theo các em để giải một phư
ơng
Bước 2: TÝnh ∆. tr×nh bËc hai, ta cã thĨ thùc hiƯn qua
Bước 3: Kếtnhững bước nào? phương trình.
luận số nghiệm của
Bước 4: Tính nghiệm theo công thức nếu phương trình có nghiÖm.


2.áp dụng:

Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 5x - 1 = 0

Bước 1: Xác định
các hệ số a, b, c ?
B­íc 2: TÝnh ∆ ?

Gi¶i:
a= 3,

b= 5,

c= - 1

∆ = b2- 4ac
=52- 4.3.(-1)

Bước 3: Kết luận số
nghiệm của phương
trình ?

B­íc 4: TÝnh nghiƯm
theo c«ng thøc?

=25 + 12 = 37 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b+
5 + 37 − 5 + 37
=
=
x1 =
2.3
6
2a
− b − ∆ − 5 − 37 − 5 − 37
x2 =
=
=
2.3
6
2a


Bài tập 1:
áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:
a) 5x2 - x + 3 = 0
b) - 4x2 + 4x - 1 = 0
c) x2 - 7x - 2 = 0
Gi¶i:
a) 5x2 - x + 3 = 0

a= 5 , b = -1 , c = 3
∆ = b2- 4ac=(-1)2- 4.5.3
= 1 - 60 = -59 < 0
Phương trình vô nghiệm.

b) - 4x2 + 4x - 1 = 0
a= - 4, b = 4, c = - 1
∆ = b2 - 4ac =162 - 4.(-4).(- 1)
= 16 - 16 = 0
Phương trình có nghiệm kép

b
4
1
=
=
x1= x2 = −
2.(−4) 2
2a


c) x2 - 7x - 2 = 0
a=1, b = -7, c =- 2
∆= b2 - 4ac
= (-7)2 - 4.1.(- 2)
=49 +8 =57 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biÖt

− b + ∆ − (−7) + 57 7 + 57
x1 =

=
=
2a
2.1
2
− b − ∆ − (−7) − 57 7 − 57
=
=
x2 =
2 .1
2
2a


Bài tập 2: Khi giải phương trình 15x2 - 39 = 0.
Bạn Mai và Lan đà giải theo hai cách như sau:
Bạn Mai giải:

15x2 - 39 = 0
15x2 = 39

Bạn Lan giải:
15x2 - 39 = 0
a=15, b = 0, c = -39
∆=b2 - 4ac = 02 - 4.15.(-39)
= 0 + 2340 = 2340 >0
Phương trình có 2 nghiệm ph©n biƯt

39 13
x =

=
⇔
15 5
13
⇔
x=±
5
65 x = − b + ∆ = 0 + 2340 = 36.65 = 65
1
x1 =
⇔
2a
2.15
30
5
5
− 65 x2 = − b − ∆ = 0 − 2340 = 36.65 = 65
x2 =
2a
2.15
30
5
5
2

Cả hai cách giải trên đều đúng. Em nên chọn
cách giải nào ? V× sao?


Chú ý:

1. Giải phương trình bậc hai dạng đặc biệt (b = 0 hoặc c = 0)
bằng công thức nghiệm có thể phức tạp nên ta thường giải
bằng phương pháp riêng đà biết.
2. Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) cã a vµ c trái dấu
Nếu 0 và trái dấu 4acbiệt thức = b2 - 4ac cã dÊu
⇒ ac < a c = b2 - thì > 0
như thế nào? HÃy xác định số nghiệm của phương trình?
Phương trình có 2 nghiƯm ph©n biƯt


Bài tập 3: Điền dấu X vào ô vô nghiệm, có nghiệm kép,
có hai nghiệm phân biệt tương ứng với mỗi phương
trình sau:
Phương trình

Vô
nghiệm

Có
Có 2
nghiệm nghiệm
kép
phân biệt

2x2 + 6x + 1 = 0
3x2- 2x + 5 = 0
x2 + 4x + 4= 0
2007x - 17x - 2008 = 0
2

X
X
X
X

Gi¶i thÝch
∆ = 62 - 4.2.1
= 28 > 0
∆=(-2)2- 4.3.5
= -54 < 0
= 42 - 4.1.4
=0
a và c
trái dấu


H­íng dÉn häc bµi:
Häc lý thut: KÕt ln chung: SGK
Xem lại cách giải các phương trình đà chữa
Làm bài tập15,16 /SGK tr45



Tìm chỗ sai trong bài tập 1(c):
Bài giải 1:
x2 - 7x - 2 = 0
a=1, b = - 7, c= - 2
∆=b2 - 4ac = - 72 - 4.1.(-2)
=- 49 +8 =- 41 < 0
Phương trình vô nghiệm

Bài giải 2:
x2 - 7x - 2 = 0
a=1, b = - 7, c=- 2
∆=b2 - 4ac = (- 7)2 - 4.1(-.2)
= 49 + 8 = 57 > 0
= 57

Phương trình cã 2 nghiÖm

− b + ∆ − 7 + 57 − 7 + 57
=
=
x1 =
2.1
2
2a
− b − ∆ − 7 − 57 − 7 − 57
x2 =
=
=
2a
2 .1
2


Gi¶i:

3x2 + 7x + 1 = 0

⇔

3x2 + 7x
⇔ x2 + 7 x
3
⇔ x2 + 2.x. 7
2. 3
7
2
⇔ x + 2.x.
+
6
⇔
⇔
⇔

7

x+ 
6


7
x+
6

[

= -1
= −1

3
1
= −
3
2
1
7
− +
  =
3
6

2

=

( chuyÓn 1 sang vế phải)
( chia hai vế cho 3)
( tách và thêm vào hai vế
2
với cùng một số 7
7

6


6

2

để vế trái thành một bình
phương)

12 + 49 37
=
36
36

=

7
x1 = − +
6
7
x2 = − −
6

±

37
=±
36

37
6

37 = − 7 + 37
6
6
37 7 37

=
6
6

( Khai phương hai vế
để t×m x)


Bài tập 4: Điền vào chỗ trống:
Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)
vµ biƯt thøc ∆ = b2 - 4ac
• NÕu ∆ < 0 thì phương trình... nghiệm
vô
ã Nếu ... 0 thì phương trình có nghiệm kép
=

b
x1 = x2 = ...

2a
ã Nếu ... 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
>

b+
x1 = ...
2a

,

−b− ∆

x2 =...
2a


2.áp dụng:

Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 5x - 1 = 0

a= 3,

b= 5,

c= - 1

∆ = b2- 4ac = 52- 4.3.(-1) = 25 + 12 = 37 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b + ∆ − 5 + 37 − 5 + 37
=
=
x1 =
2.3
6
2a
− 5 − 37 − 5 − 37
−b− ∆
=
=
x2 =
2.3
6

2a