Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác pptx

Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1 : CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng 1 : Tìm tập xác ñịnh của hàm số lượng giác
• Tập xác ñịnh của hàm số là tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.
• Các hàm số y = sinx và y = cosx có tập xác ñịnh là R.
• Hàm số y = tanx có tập xác ñịnh D =
\ ,
2
k k
π
π
 
+ ∈
 
 
ℝ ℤ
.
• Hàm số y = cotx có tập xác ñịnh D =
{
}
\ ,k k
π
∈
ℝ ℤ
.

Bài 1 : Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau :
a) y =

1
sin 2
cos
x
x
+
b) y =
2 sin3
x
−

c) y =
3cos
sinx.cos
x
x
d) y =
2tan3 5
os6 sin3
x
c x x
−

Giải :
a) Hàm số ñược xác ñịnh khi cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2 + kπ.
Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D =
\ ,
2
k k
π

π
 
+ ∈
 
 
ℝ ℤ
.
b) Ta có : 2 – sin3x > 0 , ∀x ∈ R. Do ñó tập xác ñịnh là D = R.
c) Hàm số ñược xác ñịnh khi : sinx.cosx ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ ⇔ x ≠ kπ/2
Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D =
\ ,
2
k
k
π
 
∈
 
 
ℝ ℤ
.
d) Hàm số xác ñịnh khi :
os6 0
os6 0
sin3 0 sin12 0
sin6 0
12
os3 0
c x
c x

k
x x x
x
c x
≠

≠

π

≠ ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠
 
≠


≠

.
Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D =
\ ,
12
k
k
π
 
∈
 
 
ℝ ℤ
.

Bài 2 : Tìm tập xác ñịnh của các hàm số :
a) y =
tan 3
4
x
π
 
+
 
 
b) y =
t 6 5
3
co x x
π
 
− +
 
 

Giải:
a) Hàm số xác ñịnh khi :
3
4 2 12 3
x k x k
π π π π
+ ≠ + π ⇔ ≠ +

Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D =
\ ,

12 3
k
k
π
π
 
+ ∈
 
 
ℝ ℤ
.
b) Hàm số xác ñịnh khi :
6
3 18 6
x k x k
π π π
− ≠ π ⇔ ≠ −
.

Vậy tập xác ñịnh của hàm số là D =
\ ,
18 6
k
k
π
π
 
− ∈
 
 

ℝ ℤ
.
Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
Dạng 2 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác.
Phương pháp:
Tìm tập xác ñịnh D của hàm số
Với mọi x ∈ D : + Nếu
( )
( ) ( )
x D
f x
f x f x
− ∈

⇒

− =

là hàm số chẵn.
+ Nếu
( )
( ) ( )
x D
f x
f x f x
− ∈

⇒


− = −

là hàm số lẻ.
Chú ý : ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung là trục ñối xứng, ñồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ O
làm tâm ñối xứng. Hàm số y = cosx là hàm chẵn và các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là hàm
lẻ.

Bài tập : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :
a) y = −4cos2x b) y = sin
3
4x – 3sinx
c) y =
tan cot2
sin
x x
x
+
d) y = 3sinx + 2cosx – 1
Giải
a) Hàm số y = −4cos2x có tập xác ñịnh D = R
Với mọi x∈ D thì −x ∈D và f(−x) = −4cos(−2x) = −4cos2x = f(x).
Vậy f(x) là hàm số chẵn.
b) Là hàm số lẻ.
c) Là hàm số chẵn.
d) Tập xác ñịnh : D = R
Với mọi x ∈D thì −x∈D. Ta có : f(−x) = 3sin(−x) + 2cos(−x) – 1 = −3sinx + 2cosx – 1.
Suy ra f(−x) ≠ f(x) và f(−x) ≠ −f(x). Vậy f(x) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số
lẻ.

Dạng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số lượng giác :

Phương pháp:
Tìm tập xác ñịnh của hàm số
Dựa vào chiều biến thiên của các hàm số lượng giác cơ bản
• Hàm số y = sinx ñồng biến trên mỗi khoảng :
2 ; 2
2 2
k k
 
π π
− + π + π
 
 
và nghịch biến trên mỗi
khoảng
2 ; 2
2 2
k k
 
π 3π
+ π + π
 
 
.
• Hàm số y = cosx ñồng biến trên mỗi khoảng :
(
)
(2 1) ; 2
k k
− π π
và nghịch biến trên mỗi

khoảng
(
)
2 ;(2 1)
k k
π + π
.
• Hàm số y = tanx ñồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
 
π π
− + π + π
 
 

• Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; (k +1)π).

Bài 1 : Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các giá trị lượng giác sau ñây :
Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
a)
7
sin
24
− π
và
5
sin

12
− π
b)
17
cot
20
π
và
4
cot
5
π

Giải
a) Hàm số y = sinx ñồng biến trên khoảng
;
2 2
 
π π
−
 
 

Do ñó từ :
5 7
2 12 24 2
π − π − π π
− < < <
suy ra,
7

sin
24
− π
>
5
sin
12
− π
.
b) Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0 ; π).
Do ñó từ
4 17
0
5 20
π π
< < < π
suy ra,
17
cot
20
π
<
4
cot
5
π
.
Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau ñây trên ñoạn, khoảng ñã chỉ ra :
a) y = sin2x trên ñoạn
3

;
4 4
 
π π
−
 
 
b) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
 
π π
−
 
 

Giải
a) Với x ∈
3
;
4 4
 
π π
−
 
 
thì 2x ∈
3
;
2 2

 
π π
−
 
 

Với x ∈
;
4 4
 
π π
−
 
 
⇔
2
2 2
x
π π
− ≤ ≤
: Hàm số y = sin2x ñồng biến.
Với x ∈
;
4 4
 
π 3π
 
 
⇔
2

2 2
x
π 3π
≤ ≤
: Hàm số y = sin2x nghịch biến.
Vậy hàm số ñồng biến trên khoảng
;
4 4
 
π π
−
 
 
và nghịch biến trên khoảng
3
;
4 4
 
π π
 
 
.
b) Với x∈
;
12 6
 
π π
−
 
 

thì 3x ∈
; ;
4 2 2 2
   
π π π π
− ⊂ −
   
   

Do ñó hàm số y = tan3x ñồng biến trên khoảng
;
12 6
 
π π
−
 
 
.

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Phương pháp:
+ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
+ Dựa vào tính chất của hàm số lượng giác.
∀x∈R ta có −1 ≤ sinx ≤ 1 và −1 ≤ cosx ≤ 1.
+ Dựa vào các bất ñẳng thức ñã học.
• Cô-si : a + b ≥ 2
ab
(a, b ≥ 0), dấu “=” xảy ra khi a = b.
• Bu-nhi-a-cốp-xki : (ax + by)
2

≤ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
), dấu “=” xảy ra khi ay = bx.
• Bất ñẳng thức về giá trị tuyệt ñối :
a b a b a b
− ≤ + ≤ +
.

Bài 1: Cho hàm số y = cosπx. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên
1 3
;
4 2
 
 
 
.
Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
Giải
Với x∈[1/4 ; 3/2] thì πx ∈[π/4 ; 3π/2]. Xét 2 trường hợp :
Xét π/4 ≤ πx ≤ π ⇔ ¼ ≤ x ≤ 1 : Hàm số y = cosπx nghịch biến.
Xét π ≤ πx ≤ 3π/2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3/2 : Hàm số y = cosπx ñồng biến.
BBT : (trên ñoạn [1/4 ; 3/2]
x ¼ 1 3/2

2
2
0
y −1
Từ BBT ta có :
Hàm số ñạt GTNN tại x = 1 và miny = −1.
Hàm số ñạt GTLN tại x = ¼ và maxy =
2
2
.
Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số :
a) y = 5sin(2x + π/4) + 8 b) y =
2
4 os 3 1
c x
− +
c) y = cos
2
x – 2cosx + 3

Giải
a) ∀x∈R, ta có : −1 ≤ sin(2x + π/4) ≤ 1 ⇔ −5 ≤ 5sin(2x + π/4) ≤ 5
⇔ 3 ≤ 5sin(2x + π/4) + 8 ≤ 13
Do ñó : maxy = 13 và miny = 3.
b) ∀x∈R, ta có : 0 ≤ cos
2
3x ≤ 1 ⇔ 3 ≤ 4 – cos
2
3x ≤ 4

⇔
3
≤
2
4 – cos 3x
≤ 2
⇔
3
+ 1≤
2
4 – cos 3x
+ 1 ≤ 3.
Do ñó : maxy = 3 và miny =
3
+ 1.
c) Ta có : y = cos
2
x – 2cosx + 3 = (cosx – 1)
2
+ 2
∀x∈R, ta có : −1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ −2 ≤ cosx – 1 ≤ 0
⇔ 0 ≤ (cosx – 1)
2
≤ 4 ⇔ 2 ≤ (cosx – 1)
2
+ 2 ≤ 6
Do ñó : maxy = 6 và miny = 2.

Dạng 5: Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác.
Phương pháp.

Tìm tập xác ñịnh của hàm số.
Chứng minh tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x∈D, ta có :
x ± T ∈D và f(x + T) = f(x).
Nhận xét : Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên ñược gọi là chu kì của hàm số tuần
hoàn .
Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn có chu kì T =
2
a
π
.
Các hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hoàn có chu kì T =
a
π
.

Bài tập : Chứng minh rằng hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì của nó : y = f(x) = sin2x.

Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
Giải
Tập xác ñịnh : D = R
Với mọi x∈D ta có : x ± π∈D và f(x + π) = sin2(x + π) = sin2x = f(x).
Vậy hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì là T = π.


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản :
• sinu = sinv ⇔ u = v + k2π hoặc u = π − v + k2π (k∈Z)
• cosu = cosv ⇔ u = ±v + k2π ⇔
2

2
u v k
u v k

= + π

= − + π


• tanu = tanv ⇔ u = v + kπ
• cotu = cotv ⇔ u = v + kπ
• Với ñiều kiện m
∈
[−1 ; 1], ta có :
sinx = m ⇔ x = arcsinm + k2π hoặc x = π − arcsinm + k2π (k∈Z)
cosx = m ⇔ x = ±arccosm + k2π.
• tanx = m ⇔ x = arctanm + kπ
• cotx = m ⇔ x = arccotm + kπ
2. Chú ý :
a. Chuyển ñổi giữa sin và cos ; giữa tan và cot :
sinx = cos
2
x
 
π
−
 
 
; cosx = sin
2

x
 
π
−
 
 

tanx = cot
2
x
 
π
−
 
 
; cotx = tan
2
x
 
π
−
 
 

b. ðổi dấu hàm số lượng giác :
−sinx = sin(−x) ; −cosx = cos(π −x)
−tanx = tan(−x) ; −cotx = cot(−x)
c. Các trường hợp ñặc biệt :
sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π.
sinx = −1 ⇔ x = −π/2 + k2π.

sinx = 0 ⇔ x = kπ ⇔ cosx = ±1.
cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ ⇔ sinx = ±1.
cosx = 1 ⇔ x = k2π.
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π.
d. Ghép nghiệm (gộp nghiệm) phương trình lượng giác :
Một nghiệm của phương trình lượng giác thwongf là một họ cung và
một phương trình lượng giác thường có các nghiệm gồm nhiều họ cung như
thế ; các họ cung nhiều khi có các giá trị trùng lặp nhau nên ta thường ghép
nghiệm. ðể việc ghép nghiệm ñược nhanh và dễ dàng ta thường biểu diễn
nghiệm trên ñường tròn lượng giác và ghép các giá trị có ñiểm cuối (ngọn)
của cung trùng nhau trên ñường tròn lượng giác hoặc dựa vào hình vẽ tìm
công thức chung cho các nghiệm.
y
x
A3
A4
A1
A2
O
B3
B1
B4
B2
Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
Ví dụ :
2
( )
4
4 2

x k
x k k Z
x l

π
=

π
⇔ = ∈

π π

= +





3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN :
Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp : Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.


Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) sinx =
1
2
b) cosx =
3
2

−
c) sin2x = sin
6
x
 
π
+
 
 

d) cos(2x – 60
o
) = cos(x + 30
o
) e) sin4x = cos3x f) cos
2
x = sin
2
(3x – 15
o
)
g) tan(2x + 3) + cot(x – 1) = 0 h) sin2x +
5
.cosx = 0
Giải
a) Ta có : sinx =
1
2
⇔ sinx = sin
6

π
⇔
2
6
5
2
6
x k
x k

π
= + π


π

= + π



Vậy phương trình có nghiệm x = π/6 + k2π , x = 5π/6 + k2π.
b) Ta có : cosx =
3
2
−
= −
5
os os os
6 6 6
c c c

 
π π π
= π− =
 
 
⇔ x = ± 5π/6 + k2π
Vậy phương trình có nghiệm x = ± 5π/6 + k2π.
c) Ta có : sin2x = sin
6
x
 
π
+
 
 
⇔
2 2
2
6
6
5 2
2 2
6
8 3
x x k
x k
x x k
x k

π


π
= + + π
= + π



⇔

 
π

π π

= π − + + π
= +
 



 


Vậy phương trình có nghiệm x = π/6 + k2π , x = 5π/8 + k2π/3.
d) Ta có : cos(2x – 60
o
) = cos(x + 30
o
) ⇔
2 60 30 360 90 360

2 60 ( 30 ) 360 10 120
o o o o o
o o o o o
x x k x k
x x k x k
 
− = + + = +
⇔
 
− = − + + = +
 
 

Vậy phương trình có nghiệm x = 90
o
+ k360
o
, x = 10
o
+ k120
o
.
e) Ta có : sin4x = cos3x ⇔ sin4x = sin
2
14 7
3
2
2
2
k

x
x
x k

π π
= +

 
π
− ⇔

 
π

 
= + π



f) cos
2
x = sin
2
(3x – 15
o
) ⇔
1 os2 1 os(6 30 )
os(6 30 ) os2 os(180 )
2 2
o

o o
c x c x
c x c x c x
+ − −
= ⇔ − = − = −

Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – ðồng Tháp
Ôn tập ðại số và giải tích 11
⇔
105
45
4
150
90
4
o
o
o
o
x k
x k

= +


−

= +



g) tan(2x + 3) + cot(x – 1) = 0 ⇔ tan(2x + 3) = −cot(x − 1) = cot(1 − x) = tan
1
2
x
 
π
+ −
 
 

⇔ x =
4
2
k
π
− + π

h) sin2x +
5
.cosx = 0 ⇔ 2sinx.cosx +
5
.cosx = 0 ⇔ cosx(2sinx +
5
) = 0
⇔ cosx = 0 hoặc 2sinx +
5
= 0(VN) ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ.

Dạng 2 : Giải phương trình lượng giác cơ bản thỏa mãn ñiều kiện cho trước.
Bài 2: Giải các phương trình sau với ñiều kiện ñã chỉ ra :
a) 2sin2x = 1 với 0 < x < 2π. b) cos3x =
3
2
−
với −π < x < π.
Giải
a) Ta có : 2sin2x = 1 ⇔ sin2x = ½ = sin
6
π
⇔
12
5
12
x k
x k

π
= + π


π

= + π


(k∈Z)
Xét : x =
12

k
π
+ π
. Vì 0 < x < 2π nên 0 <
12
k
π
+ π
< 2π ⇔
1 23
0 2
12 12 12 12
k k
π π
− < π < π − ⇔ − < <

Do k ∈Z suy ra k = 0, k = 1. ( chú ý ta có thể xét thêm họ nghiệm còn lại).
Vậy ta ñược các nghiệm thỏa ñề bài là : x =
12
π
, x =
12
5π
, x =
12
13π
, x =
12
17π
.

b) Ta có : cos3x =
3
2
−
= −
5
os os os
6 6 6
c c c
 
π π π
= π− =
 
 
⇔ x = ±
5 2
18 3
k
π π
+
(k∈Z)