đề và đáp án HSG 12 tp hai phong

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ DỰ BỊ
Số báo danh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
LỚP: 9 THCS
Ngày thi: / / 2010
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề này có 05 bài gồm 01 trang
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: A = 1-
( )( )
12
1
1
2
1
12
−
−−
⋅









+
−+
+
−
+−
x
xxx
xx
xxxx
x
xx
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của biểu thức A khi x =
( )
3
3
3
3
12
12
−
⋅+
Bài 2: (5 điểm)
a. Giải phương trình:
2
2
11
5
5

x
x
x
−=






+
b. Giải hệ phương trình:



−=
=+
xyx
yxy
64
10)3(
2
Bài 3: (3 điểm)
Cho a, b, c là các số dương có tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B =
bcac
ab
abcb
ac
caba

bc
222222
555
+
+
+
+
+
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M
≠
B) và N là điểm
thay đổi trên cạnh CD (N
≠
D) sao cho
NADMABMAN +=
. BD cắt AN, AM lần lượt
tại P, Q. Chứng minh rằng:
a. Năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b. Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay đổi.
c. Tỉ số
PQMN
APQ
S
S
không thay đổi khi M, N thay đổi.
Bài 5: (2 điểm)
Cho các số dương x, y, z có tổng bằng
2
. Chứng minh rằng:

9
35
222
>
++
+
++
zyx
zxyzxy
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
LỚP: 9 THCS
Ngày thi: 24/ 03/ 2010
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề này có 05 bài gồm 01 trang
Bài 1: 4 điểm)
Cho biểu thức: P =
1212
1
1
1
2
−
+

−+
−
⋅








−
+
−
−
−+
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P khi
4
x
=
( )( )

21139
62562049625
−
−−+
Bài 2: (5 điểm)
a. Giải phương trình:
6
23
13
253
2
22
=
++
+
+− xx
x
xx
x
b. Giải hệ phương trình:
( )



−=
=+
xyy
yxx
54
43

2
Bài 3: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =








+
+
+
+
+
⋅+++
z
yx
y
xz
x
zy
xzzyyx ))()((
Với x, y, z là ba số thực dương thay đổi có tổng bằng
2
.
Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi
nhưng luôn đi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M

và N. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E khác A. MC cắt NB tại
F. Chứng minh rằng:
a. Hai tam giác ACN và MBA đồng dạng; hai tam giác MBC và BCN đồng dạng.
b. Tứ giác BMEF nội tiếp được trong một đường tròn.
c. Khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A thì đường thẳng EF luôn luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài 5: (2 điểm)
Trên một đường tròn cho 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kì trong 6 điểm này
đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh
rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.
Hết