Chuyên đề Hàm số lũy thừa, Mũ và Logarit Trần Đình Cư

TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯNG
SĐT: 0978421673-TP HUẾ

HÀM SỐ LŨY THỪA-HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LOGARIT

Chương II-GT 12

* Phân loại và phương pháp giải bài tập
* Các bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến
nâng cao
* Hệ thống bài tập phong phú và đa dạng
* Các bài tốn luyện thi đại học

Huế, 2012


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT ...............2
BÀI 1. LŨY THỪA ...........................................................................................................2
DẠNG 1: Tính lũy thừa với số mũ nguyên ..................................................................3
DẠNG 2: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ ............................................................................4
DẠNG 3: Lũy thừa với số mũ thực ..............................................................................4
DẠNG 4: So sánh ..........................................................................................................5
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức, đẳng thức và bất đẳng thức ..................................6
BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA ..........................................................................................7
DẠNG 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số ............................................9
DẠNG 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ...............................................10

DẠNG 3: So sánh các số .............................................................................................10
DẠNG 4: Làm quen với giải phương trình, bất phương trình lũy thừa ...................11
BÀI 3. LƠGARIT ...........................................................................................................12
DẠNG 1: Tính tốn về logarit ....................................................................................15
DẠNG 2: So sánh hai số logarit..................................................................................17
DẠNG 3: Tìm( Giải phương trình) ............................................................................18
DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ......................................................19
BÀI 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT ................................................................20
DẠNG 1: Tìm tập xác định của hàm số .....................................................................23
DẠNG 2: Tính đạo hàm và giới hạn ..........................................................................24
DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình .............26
DẠNG 6: Tìm GTLN và GTNN .................................................................................27
DẠNG 7: Vẽ đồ thị ......................................................................................................28
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .....................................31
PHƯƠNG TRÌNH MŨ ...................................................................................................31
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .......................................................................................38
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ: .................................................................................43
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .......................................................................46
BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT ............................................................52
BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: ........................................................................54
BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT ..............................................................56
HỆ PHƯƠNG TRINHG MŨ VÀ LÔGARIT ....................................................................60
ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM GẦN ĐÂY 2009-2011......................................................69

1
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
BÀI 1. LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. KHÁI NIỆN LŨY THỪA:
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
Cho n là một số nguyên dương , a là một số thực tùy ý. Lũy thừa bậc n của a là
tích của n thừa số a.

a n  a.a...a  n thừa số 
Với a  0 thì

a 0  1; a  n 

1
an

Trong biểu thức a m , a được gọi là cơ số, số nguyên m là số mũ
Chú ý: b n  a khơng có nghĩa.
2. Tính chất của lũy thừa:
 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a .a  a






a
;

 a
a



; (a )  a
 

. 

; (ab)  a .b






 a
a
;    
b
b

 a > 1 : a   a     ; 0 < a < 1 : a   a    
 Với 0 < a < b ta có:

am  bm  m  0 ;

am  bm  m  0

Chú ý:
 Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
 Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho b n  a .
 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:
2
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

n

ab  n a . n b ;

m n

n

a na

(b  0) ;
b nb

n

a p   n a  (a  0) ;
p

a  mn a
p q
 thì n a p  m aq ( a  0) ; Đặc biệt
n m

Neáu

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì

n

a  mn a m

n

anb.
n

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì

anb.

Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu

n

a.

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Cho số thực a dương và số hữu tỉ   0 , trong đó x . Lũy thừa a với số mũ r là số
m

ar xác định bởi ar  a n  n a m
5. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C  A(1  r )N
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tính lũy thừa với số mũ ngun
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

 7
a) A   1   
 8
3

3

2

 2
 7
.    .  7  .   
 7
 14 

 18 .2 . 50 
c) C 
 25 . 4  . 27

7

4

 3 . 15 .8
b) B 
9 .  5  .  6 
2

2

3

4

5

6

6

4

4

1256.  16  .  2 
3

2

d) D 

2
253  5 





3

4

Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:

3
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

a 1   b  c 

1

 b2  c2  a2 
2
.1 
 . a  b  c 
1

2bc
a 1   b  c  


DẠNG 2 : Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Bài 1. Thực hiện các phép tính:
3
2

a) A  4  8

 

2
3

b) B  32

3
2



2
5



1

1

1



1

1

h) H  4 3  10 3  253 2 3  53



Baøi 2. Đơn giản các biểu thức sau:
1
1
1
 1
 3 1
x2  y2
x2  y2  x2y2
2y
 1
.

a)  1
1
1 


 xy 2  x 2 y xy 2  x 2 y  x  y x  y





1

2



2

1

2

4

c) a 3  b 3 . a 3  a 3 .b 3  b 3

1
1
1
 1
x 2  3y 2
x 2  3y 2

b) 

2
 1
1
xy
 x2  y2










1

1



1

1



1
 1
x2  y2

.

2



1

1

d) a 4  b 4 . a 4  b 4 . a 2  b 2



Baøi 3. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a)

4

x2 3 x ,  x  0

d)

3

23 3 2
3 2 3

b3 a

,  a, b  0 
a b

b)

5

e)

4 3

a

8

c)

f)

5

23 2 2

5

b2 b

3

b b

DẠNG 3: Lũy thừa với số mũ thực
Bài 1. Thực hiện phép tính

a) A 

23.2 1  53.54   0,01 .10 2
10 3 :10 2   0,25  10 2

c) C 

0

5

 0,01

4. 4 64.  3 2 




b) B 
3
32
5

2

3

4

81. 5 3. 5 9. 12
2

 3 3  . 18 5 27. 6





Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau:

4
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

a1,5  b1,5
 a 0,5b 0,5
0,5
0,5
2b 0,5
a) a  b
 0,5
ab
a  b 0,5

 a 0,5  2
a 0,5  2  a 0,5  1


.
 a  2a 0,5  1 a  1  a 0,5

b)

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:
a)

3

a3b

6

a6b


ab  4 ab  b
b)  ab 
:
ab
a  ab 


a x

4

 a2 4 x  x a

c) 
 a2  x  2a x 
 4

 a x  ax


d)



x xx
e) 

 4 x 3  1

  4 x3  1
 x 
 x 
 4

 4

 x  1

 x 1

3

a2  3 x 2


6

3

ax 2  3 a2 x

3

a 2  2 3 ax  3 x 2  6 x
a6 x

3

 a 3 a  2a 3 b  3 a 2 b 2 3 a 2 b  3 ab 2 
f) 

:3 a
3
3
3 2
a b 

a  3 ab



 3 a2 b  3 ab 2
1
ab  6
g) 

. a  6 b   6 a
 3 a2  2 3 ab  3 b2 3 a 2  3 b 2 


DẠNG 4: So sánh
Khi so sánh hai số ta cần phải chú ý:

 x  y neáu a  1
 ax  ay  
 x  y neáu 0  a  1
 a  b neáu m  0
 am  bm  
, với a, b  0
 a  b neáu m  0
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. So sánh hai số m, n nếu:
a) 3,2  3,2
m

n

b)

 2

m

  2

n

m

1
1
c)     
9
9

n

5
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
m

 3
 3
d) 
 

 2 

 2 

n



e)

5  1   5  1
m

n

f)



2  1   2  1
m

n

Bài 2. Có thể kết luận gì về số a nếu:
2

1

3
1
b)  2a  1   2a  1



a)  a  1 3   a  1 3

d) 1  a 
g) a

3



a

1
3

 1  a 



1
2

e)  2  a    2  a 
h) a



1

17

a

0,2

 a2

1

3
4

7

1
c)  
a



2

1
8

 1 2  1 
f)     
a a
i) a 0,25  a 



1
2

3

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức, đẳn g thức và bất đẳng thức
1


b b  1
  :  a 2  b 2  không phụ thuộc vào giá
Bài 1. Chứng minh biểu thức A   1  2


a a 


 

1
a

trị của b. Hướng dẫn: A 

Bài 2. Cho B 



 a b 
ba b 
2

ab 2 ab 1
a 2

1 2

2

1

3

a) Chứng minh B khơng phụ thuộc vào b
b) Tính giá trị của B khi a=2 . Hướng dẫn: B  a10

a1 n a  n
ab

b n b n1 ,0  a  b không phụ thuộc vào giá
Bài 3. Chứng minh biểu thức C 
n
ab
trị của a và b. Hướng dẫn: C  1
n

Bài 4. Cho rằng

1 1 1
   1 và ax 3  by 3  cz3
x y z

a) Hãy xác định A  ax 2  by 2  cz2
b) Chứng minh rằng A  B 
Bài 5. Chứng minh rằng số





3

52

a3b3c
1
3

 

5 2




1
3

3

là số nguyên
6

GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA
I.Khái niệm:
Hàm số y  x  ;    , đươc gọi là hàm lũy thừa
Chú ý:
Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của 
-

Với  nguyên dương thì tập xác định là R

-

Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là  \ 0

-

Với  khơng ngun thì tập xác định là  0; 

II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

 x   '  .x 1;  u  '  .u1.u '
III. Khảo sát hàm số lũy thừa:
Tập xác định của hàm số lũy thừa y  x  luôn chứa khoảng  0;  với mọi
   . Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số y  x  trên khoảng này (gọi

là tập khảo sát).
y  x ,   0

y  x ,   0

1. Tập khảo sát:  0; 

1. Tập khảo sát:  0; 

2. Sự biến thiên:

2. Sự biến thiên:

y '  x   1  0, x  0

y '  x   1  0, x  0

Giới hạn đặc biệt:

Giới hạn đặc biệt:

lim y  0; lim y  

x  0

x 

Tiệm cận: Khơng có

lim y  ; lim y  0

x  0

x 

Tiệm cận:
Trục Ox làm tiệm cận ngang
Trục Oy làm tiệm cận đứng của đồ thị

7
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

3. Bảng biến thiên:

x

3. Bảng biến thiên:

0

y'



0

y'

+

y

x



y


-



0
4. Đồ thị: Hình (với   0 )

0
4. Đồ thị: Hình (với   0 )

Đồ thị:

Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm đó trên

tồn bộ tập xác định

8
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢ I BÀI TẬP:
DẠNG 1: T ìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Ta cần nắm các tính chất sau:
Cho hàm số y  u , u  u x

 

-

Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ t huộc vào giá trị của 
Với  nguyên dương thì tập xác định là R
Với  nguyên âm hoặc bằng 0 thì hàm xác định  u  x   0

- Với  khơng ngun thì hàm xác định  u( x )  0
Chú ý:
 Hàm y  2 k u( x ) xác định khi và chỉ khi u( x )  0
 Không được lạm dụng cách viết

m

biết rằng u( x )  0
 Hàm

2n

n
m

u  x     u  x   . Chỉ viết được khi ta




n

u( x ) có đạo hàm khi u( x )  0 , nên khi tính đạo hàm



y  x 2  4 x  7 thì ta có thể viết y  x 2  4 x  7  x 2  4 x  7



1
2

Nhưng nếu đề bài yêu cầu tìm tập xác định của y  x 2  4 x  7 thì y xác
định khi và chỉ khi x 2  4 x  7  0
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:



a) y  x 2  5 x  6





c) y  x  3 x  2 x
3



3

2

b) y  x 3  27



1
2






4



d )y  x  10 x  21
2



1
4

BÀI 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:



a) y  4 x 2  3 x  1



1

; b) y  x 2  2 x  5 4 ;





c) y  x 2  4 x  2

5

Đáp số:

a) y ' 

8x  3
2 4 x 2  3x  1

1
b) y '  x 2  2 x  5
4



;
3
4

  2 x  2 ;




c) y '  5 x 2  4 x  2

  2 x  4
5 1

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
9
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133

Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

x 1
x 1

a) y  3 x 2  x  1

b) y 

d) y  3 sin(2 x  1)

e) y  cot 3 1  x 2

f) y 

h) y  11 9  6 5 x 9

i) y 

g) y  3 sin

x3
4

4

c) y 

5

x2  x  2
x2  1

1  3 2x
1  3 2x
4

x2  x  1
x2  x  1

DẠNG 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau t rên cùng một hệ trục tọa độ:

y  x 3 vaø y  x 3
1

Bài 2. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ: y  x 4 vaø y  x 4
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y  x

; b) y  x

4


3

Bài 4.
a) Hãy vẽ đồ th ị hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ y  x 5 vaø y  x 5
5

b) Từ câu a, hãy vẽ đồ thị các hàm số sau: y  x vaø y  x 5
1

Bài 5. Từ đồ thị y  x 3 hãy vẽ các đồ thị
1

1

a) y  x 3 ;

1

b)y  x 3  1;

c) y  x 3

DẠNG 3: So sánh các số

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. So sánh các cặp số sau:
a)

 0,01

 2

vaø 10 

d) 5300 vaø 8200

 2

2



b)   vaø  
4
4
e)  0,001

0,3

6

vaø

c) 52 3 vaø 53
3

100

f) 4

2

2

và  0,125

 2

10
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit

g)

k)

 2

3

và  2 

4
h)  
5

5

1

4



3  1 vaø  3  1

2
2

4

 3
l) 

 5 

 5
vaø  
 4

 2

5

i) 0,02 10 vaø 5011

 2
vaø 

 2 

 2

5

10
3

 2

m)   vaø  
2
2

DẠNG 4: Làm quen với giải phương trình, bất phương trình lũy thừa
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 4 x  5 1024

b) 81  3 x 

d) 0,2  0,008
x

e)



1
32

c) 71 x.41 x 

12  .  3 
x

x

1

6

3
f)  
2

1
28

x 2 5 x  6

1

Bài 2. Giải các phương trình sau:

 0,25 
1
a)
.322 x 8  

0,125

 8 

x

d) 5 .2  0,001
x

x

b)

52
 
2  5

e)  3 3 

2x

x1

 9 
8
c)  

125  49 

1
 
9

x 2

3 x 7

 7
 
3

2
f)  
9

x

7 x 3

 8 
. 
 27 

x



27
64

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 2 x  2 x 2  20

b) 3x  3x1  12

d) 4 x 1  4 x  4 x 1  84

e) 42 x  24.4 x  128  0

f) 4 x 1  22 x 1  48

g) 3.9 x  2.9  x  5  0

h) 3x

2

5 x  6

1

c) 5x  5x1  30

i) 4 x  2 x1  24  0

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:
x

a) 0,1  100

1
b)    3 0,04

 5

d) 7 . 49  343

1
e)  
3

x

x 2

g)



1
3  .3 
27
x

x 2

h) 27 .3
x

1 x

c) 0,3x 

100
9

1

1
9
27

f) 3x 

1

3

 1 
i)   . 3 2  1
 64 

9 3
x

11
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit

BÀI 3. LƠGARIT
I.Khái niệm logarit

1. Định nghĩa: Cho 2 số a, b dương với a khác 1. Số  thỏa mãn đẳnng thức
a  b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu logab

1

  loga b  a  b

Ví dụ 1: Tìm x
a) log

2

b) log2 x  3

x4

c) log81 x 

1
4

d) log x 25  2 b)

2x  4  4

e) log3 ( x  1)  2

f) log

g) log (2 x )  4

1
2

 3x  4 
h) log 
 1
1 5 

2

k) log2 (4 x  5)  0

l) log x 8  2

3

Chú ý: khơng có logarit của số 0 và số âm
2. Tính chất: Cho hai số dương a và b, a  0 . Ta có các tính chất sau

2
 3
 4
 5

loga 1  0
loga a  1
a

loga b
b

 

loga a  

Ví dụ 2: Tính
a) 4

log2 3

b) 3

e) log3

d) log2 4
g) (2a)

log

log

3

1
3

4

c) 2

log2 3

f) log2

1
16

1

3 a với 0  a  1
12

GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
1
1
log6 3
log8 2
log7 5  log49 3
h) 49
i) 9
4

II.Quy tắc tính logarit:
1. Logarit của một tích: a > 0; b1> 0; b2> 0, a  1

6





log a b1.b2  log a b1  log a b2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit
Ví dụ 3: Tính:
a) log12 6  log12 2

4
9

b) log 1 6  log 1 24  log 1
2

2

2

Chú ý: Cơng thức trên có thể mở rộng cho tích của n số dương:

loga  b1 .b2 ...bn   loga b1  loga b2  ...  loga bn

 a, b , b ,..., b
1

2

n

 0, a  1

2. Logarit của một thương: a > 0; b1> 0; b2> 0, a  1

 7

b 
loga  1   loga b1  log a b2
b 
 2

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit

 8

1
b



log a     log a b, 0  a  1, b  0



Ví dụ 4: Tính
a) log25 100  log25 4
b) log 2 20  log 2 6  log 2 15 .
c) log2 5  log2 10  log2 25 .
d) log3 6  log3 7  log3 14

13
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

e) log

5

10  log

5

7  log

5

14 .

3. Logarit của một lũy thừa: a > 0; b> 0, a  1

 

9

loga b   log a b

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số

10 

log a

 b   1 loga b
n
n

Ví dụ 5: Cho log a b  2; loga c  3 . Hãy tính log a x , biết
a) x 
I.

2 3
a b
4
c

b) x 

a

2
c

3

b

c) x  a2 3 bc2

Đổi cơ số : Cho a > 0; b > 0. c>0, a  1 , c  1

11

log a b 

logc b

log c a

1

12 

log a b 

13

1
log  b  log a b ;   0
a


log b a

b1

Ví dụ 6:

1

a) Tính log36 2  log 1 3
2
6
b) Cho log2 3  a; log3 5  b; log7 2  c . Tính log63 50

II. Logarit thập phân, logarit tư nhiên
1. Logarit thập phân: là logarit cơ số 10
log10 b thường viết là logb hay lgb

2. Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e
14
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

loge b thường viết là lnb

Chú ý:

loga b 

log b

loga b 

log a

ln b
ln a

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP :
DẠNG 1: Tính tốn về logarit
U CẦU : Đối với dạng tốn này chẳng khó khăn gì cả. Ta chỉ cẩn
 Học thuộc công thức
 Vận dụng mơt cách linh hoạt
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức.
1) log915 + log918 – log910

1
2) 2 log 1 6  log 1 400  3log 1 3 45
2
3
3
3
3) log 1 (log3 4.log2 3)
4

Bài 2: Tính.
1) log(2  3)20  log(2  3)20 2) 3log( 2  1)  log(5 2  7)
3) ln e  ln

1
e

4) ln e 1  4 ln(e2 . e )

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
b) log5

a) log2 4.log 1 2
4

d) 4
g)

log2 3

9

log

3

2

f) 27

h) log3 6.log8 9.log6 2

7

3

a

log9 2

4

c) log a

e) log2 2 8

log a3 a.log a4 a1/3
log 1 a

1
.log27 9
25

i) 9

log8 27

2 log3 2  4 log81 5

a

log3 5

k) 81

 27

log9 36

3

4 log9 7

l) 25

log5 6

 49

log7 8

3 2 log5 4

m) 5

15
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

n) 9

1
log6 3

4

1
log8 2

1 log9 4

o) 3

4

2  log2 3

5

log125 27

p) log 6 3.log3 36

q) lg(tan10 )  lg(tan 20 )  ...  lg(tan890 )
r) log8  log 4 (log 2 16)  .log 2 log 3 (log 4 64) 




Bài 4: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu
các lơgarit.
1)



5

3

ab



2
3

 a10
2) 
6 5
 b






0,2

3)

b2
27a 7

Bài 5: Tính giá trị các biểu thức.

 1  1 log 4
log
8  log 2
1)  814 2 9  25 125  .49 7





1 log4 5

2) 16

1 log 33log 5
5
 42 2 2

 1 log7 9log7 6  log 5 4 
5
3) 72  49 2






Bài 6. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho log2 14  a . Tính

log 49 32 theo a.

b) Cho log15 3  a . Tính log25 15 theo a.
c) Cho lg3  0,477 . Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ;

1

.
log81 100

d) Cho log 7 2  a . Tính log 1 28 theo a.
2

Bài 7: Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lơgarit sau theo a và b.
1) log527

2) log515

3) log512

4) log530

Bài 8:
16
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

1) Biết log 126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.
2) Biết log 214 = a. Tính log4932 theo a
Bài 9. Cho log2 10  a; log2 7  b . Tính log2 35 theo a và b
a) Cho log3 4  a; log3 5  b . Tính log3 10 theo a và b
b) Cho log5 2  a; log5 9  b . Tính log5 6 theo a và b
DẠNG 2: So sánh hai số logarit
PHƯƠNG PHÁP:
 Khi a  1 thì log a b  loga c  b  c

 Khi 0  a  1 thì loga b  loga c  b  c
 Khi a  1 thì log a b  0  b  1
 Khi 0  a  1 thì log a b  0  b  1
 log a b  loga c  b  c, a  1
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. So sánh các cặp số sau:
a) log3 4 vaø log 4
c) log 3
4

1
3

b) log 0,1 3 2 vaø log 0,2 0,34

2
3
vaø log 5
5
4
2

1
1
vaø log 1
80
3
2 15  2

log6 3

log6

1
2

d) log 1

e) log13 150 vaø log17 290

f) 2

g) log 7 10 vaø log11 13

h) log2 3 vaø log3 4

i) log9 10 vaø log10 11

HD:

vaø 3

1
1
 4  log 1
80
3
2 15  2

d) Chứng minh: log 1

e) Chứng minh: log13 150  2  log17 290

17
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

g) Xét A = log 7 10  log11 13 
=

log 7 10.log 7 11  log 7 13
log 7 11

1 
10.11.7
10
11 
 log 7 .log 7  > 0
 log 7
log 7 11 
7.7.13
7
7

Bài 2. So sánh các số sau:

12
5

vaø log10 ;
5
12

b)log 5 2 vaø log 2

2
1
vaø log 2 ;
7
4
7

1
27
d )log 2 vaø log 3
3
7
3
2

d )  log 0,5 3 9 vaø log 0,3 0,34

f )log 3 6 và log 3

a)log5
c)log 1
4

4



5



1
6

29
5

DẠNG 3: Tìm x ( Giải phương trình)
Bài 1: Tìm x biết.
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63.
2) log4x =

1
log 216  2 log 4 10  4 log 4 3
3 4

Bài 2: Tìm x biết
1) logx16 = 4

2) log x 5 2  

3
5

3) log x (2. 3 2)  6

Bài 3. Tìm x biết:

1
a)log6 x  2 log6 3  log 6 5  3log 6 2
2
1
b)log5 x  2 log5 3  log 1 27  3log 5 2
3
5
1
c)log 3 x  2 log 3 3 3  log 1 625  2 log3 7
2
9
1
d )log 1 x  2 log 1 a  log 9 b4  2 log3 a2
2
3
3

18
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Bài 1. Chứng minh đẳng thức:

a)

log a n
 1  loga b;
log ab n

b)log a n 
b

log a n  log b n
log b n  log a n

Bài 2. Chứng minh nếu a 2  b 2  7ab,  a  0, b  0  thì

lg

ab 1
  lg a  lg b 
3
2

Bài 3. Chứng minh
1

a)2s inx  2 cos x  2

2
2

;

2

2

b)2s in x  2 cos x  2 2

Bài 4.
a) Biết log12 48  a,log 24 54  b. Chứng minh ab  5a  b  11
b) Cho a, b, c dương và khác 1. Chứng minh:

log a b.log b c.logc a  1 và log a b  logc b  2 loga b.logc b khi ac  b2


n
Bài 5. Chứng minh rằng log n  log n n ... n n    k , n  ,vaø n  1
  
 

k lần



19
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

BÀI 4: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I.

Hàm số mũ:
1. Định nghĩa:
Cho a  0, a  1
Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.
2. Đạo hàm của hàm số mũ: Với moïi x  ,0  a  1

ex '  ex
 eu  '  u ' eu

 a x  '  a x .ln a
 au  '  u ' au .ln a

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm sau:

1) y  e4 x  x
3) y  3

2

2) y  cos2 x.e x

x2 2 x

4) y 

2

ex

2 x

3. Khảo sát hàm số mũ

y  ax , a  1

y  a x ,0  a  1
Tập xác định D = R

y '  a x .ln a  0, x

y '  a x .ln a  0, x

x
x
lim a  0; lim a  ;
x 
x

x
x
lim a  ; lim a  0
x 
x

Tiệm cận ngang: trục Ox
BBT
X
y’

BBT
-

+
+

x
y’

-

+
-

20
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Y

y

+

+

0

0
y

y

f(x)=2^x

8

f(x)=(1/2)^x

8

6

6

4

4
2

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

2

x

8

-2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2

-4
-6

-4

-8

-6
-8

II. Hàm số logarit:
1. Định nghĩa:
Cho a  0, a  1
Hàm số y =logax được gọi là hàm số logarit cơ số a
2. Đạo hàm của số logarit:
1
 loga x  '  x. ln a

 loga u  '  u.u ' a
ln

 ln x  '  1
x

1
 ln u  '  u .u '

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm sau:

1) y  ln



x  x2



ex  1
3) y  log2
x

2) y 

ln x
2x

4) y  log 4  ln(cos x )



3. Khảo sát hàm số logarit

21
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

y  log a x , a  1

y  log a x , 0  a  1

Tập xác định D =  0; 

y' 

1
 0, x  0
x.ln a

y' 

1
 0, x  0
x.ln a

Hàm số đồng biến trên D

Hàm nghịch biến trên D

lim y  ; lim y  ;
x 
x 0

lim y  ; lim y  ;
x 
x 0

Tiệm cận đứng : trục Oy
BBT

BBT

x

0

+

y’

+

x

0

+

y’

y

+

y

+

-

-

4

4

2

2

-10
-10

-5

5

-5

5

10

10

-2
-2

-4
-4

22
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:
DẠNG 1: Tìm tập xác định của hàm số
PHƯƠNG PHÁP: Khi tìm tập xác định cần chú ý những điều sau
 u( x )



v( x )

0  u( x )  1
xaùc định  
v( x ) xác định

0  u( x )  1
 logu ( x ) v( x ) xác định  
 v( x ) > 0






u( x )xác định
u( x )
xác định  
v( x )
 v( x )  0
u( x ) xác định  u( x )  0

u( x )xác định
u( x )
xác định  
v( x )
 v( x )  0

u( x )xác định
xác định  
v( x )
 v( x )  0

u( x )

BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y =

ex
ex  1

 2x  1 

3) y = ln 

 1 x 

2) y = e2 x 1  1
4) y = log(-x2 – 2x )

 2 x 2  3x  1 
5) y = ln(x2 -5x + 6)6) y = log2 

 1  3x 





Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số : y   log3 9  x 2  . x 2  x  2



 x2  2x 
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số : y  log 7 

 x 1 



Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số : y  log 7 3x 1  9



23

GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133


Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit





Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số : y  lg  x 2  x  1764  x 2  25





Bài 6. Xác định m để hàm số y   log3 x 2  2 x  3m 





1
2

xác định với mọi x  

DẠNG 2: Tính đạo hàm và giới hạn
PHƯƠNG PHÁP : Khi tính đạo hàm ta cần nắm một số chú ý sau :

 Các tính chất cơ bản của đạo hàm và một số công thức đạo hàm lớp
11, ở đây ta chỉ trình bày tính chất
1) ( f ( x )  g( x ))'  f '( x )  g '( x )
2) (kf ( x ))'  kf '( x )
3) ( f ( x )g( x ))'  f '( x )g( x )  f ( x )g '( x )
4) (

f (x)
f '( x )g( x )  f ( x )g '( x )
)' 
g( x )
( g( x ))2

5) (C )'  0 , với C : hằng số
 Các công thức đạo hàm lớp 12 :

(e x )'  e x

(eu )'  u '.eu

(a x )'  a x .lna

(au )'  u '.au .lna

(ln x )' 

1
x

(loga x )' 

(ln u )' 
1
xlna

u'
u

(loga u )' 

u'
u.lna

 Khi tính giới hạn ta ccaanfaps dụng các kết quả sau :

ln 1  x 
ex  1
sin x
 0;lim
 1;lim
1
x 0
x 0
x 0
x
x
x
 Nếu u  u( x ) thỏa u( x )  0, x  x0 vaø lim u( x )  0 thì
 lim

x  x0

ln 1  u( x ) 
eu ( x )  1
sin u( x )
lim
 0; lim
 1; lim
1
u ( x )  0 u( x )
u ( x ) 0
u ( x ) 0 u ( x )
u( x )
24
GV: Trần Đình Cư. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học chất lượng cao . SĐT: 01234332133