các bài toán về hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10

Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
A.Lý thuyết
I.Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số
cho trước và a
≠
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0, trùng với đt y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a
≠

0)
• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong
đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng
y = ax + b và có tung độ dương
• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đt y = ax +b

II.Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
Hàm số có dạng y = ax
2
(a
≠
0)
b. Tính chất
Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
1
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0)

Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
III.Kiến thức bổ sung
1. Mặt phẳng tọa độ.
+) điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0
+) điểm nằm trên truc tung thì có hoành độ bằng 0
+) điểm nằm bên phải trục tung có hoành độ dương.
+) điểm nằm bên trái trục tung có hoành độ âm.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất thì hoành độ và tung độ đều dương.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ hai thì hoành độ âm và tung độ dương.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ ba thì hoành độ và tung độ đều âm.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ tư thì hoành độ dương và tung độ âm.
2. Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2

( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
B.Bài tập
I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(x
A
; y
A
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi y
A
= f(x
A
).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax
2
biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm
A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2
2

a = 1
2
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y
= -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
. (1)
(d
2
) : y

= a
2
x + b
2
. (2)
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) (d
1
) cắt (d

2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)
d) (d
1
) (d
2
) a
1
a
2
= -1
2) Tọa độ giao điểm của hai đườn thẳng là nghiệm của hệ gồm hai phương trình (1)
và (2).
Ví dụ 3: Cho 3 hàm số: y = x + 2 (d1)
y = -x – 2 (d2)
y = -2x + 2 (d3)

a) Vẽ đồ thị của 3 hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Cho biết (d1) cắt (d2) tại A, (d1) cắt (d3) tại B, (d3) cắt (d2) tại C. Tìm tọa độ các
điểm A,B,C.
c) Tính diện tích của ABC
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tọa độ giao điểm nhờ giải hpt
c) S
ABC =
S
ABE
+ S
CBE
hoặc S
ABC
= S
ABD
+ S
CBD
III.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại, kết hợp điều kiện hệ số
góc khác nhau để tìm ra tham số .
Ví dụ 4: ( Ví dụ 3 trang 37 trong tài liệu)
Cho 3 đường thẳng:
3
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
(d
1
): y = x + 2 (d

2
): y = 2x + 1 (d
3
): y = (m
2
+ 1) x + m
a) Tìm giá trị của m để (d
3
)//(d
2
).
b) Tìm các giá trị của m để 3 đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm
IV. Tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng.
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm không có tham số.
Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào phương trình đường vừa lập để tìm tham số.
Ví dụ 5:
a) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1).
b) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5).
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx
2
(c 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx
2
= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx
2
để tìm
tung độ giao điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là Parabol ( P )
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định a , b sao cho đường thẳng y = ax +b song song với đường thẳng y = – x +5 và
cắt Parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Ví dụ 7 ( trang 37 trong tài liệu)
Cho hàm số y = x
2
(P) và hàm số y = x + 2 (d)
4
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một mặt
phẳng tọa độ.
b) Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện
tích tam giác AOB.
c*) Tìm điểm M trên (P) để MA = MB
d*) Tìm điểm N trên cung AB của (P) sao cho tam
giác ANB có diện tích lớn nhất.
Ví dụ 8: Tìm m để (P): y = x
2
cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành
độ x
A
; x

B
thoả mãn x
A
(1+ x
A
) + x
B
(x
B
+1) =2
VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x
0
;y
0
)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x
0
;y
0
vào công thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2

).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
0
;y
0
) và tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x
0
;y
0
) nên có phương trình :
y
0
= ax
0
+ b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx
2

(c 0) nên:
Pt: cx
2
= ax + b có nghiệm kép
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.
Ví dụ 9:
Cho (P): y = x
2
5
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(
1
2
−
;-2) và tiếp xúc (P). Tìm tọa độ các
tiếp điểm.
b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường x – y + 2014=0 và tiếp xúc
với (P)
VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
1. Cách tìm điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m
Gọi (x
o
; y
o
) là điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m ta có
y
o
= ax
o

+ b với mọi m
Đưa phương trình về dạng A.m = B với mọi m
A 0
B 0
=

⇔

=

. Từ đó tìm được x
o
; y
o
=> Kết luận
Ví dụ 10 (VD 2- Trang 36 trong tài liệu)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + 2.
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) bằng 1.
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất.
Bài toán về hàm số bậc nhất
Bài tập 1
Cho hàm số y = (2m + 1)x + 3m – 2 có đồ thị là (d)
a)Tìm m để
1. Hàm số đồng biến, nghịch biến.
2. Đồ thị hàm số tạo với Ox một góc nhọn, tù.
3. Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;2).
4. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 5.
5. (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.
6. (d) cắt (d’): y = 2x +3 tại một điểm trên trục tung .

7. (d) cắt (d’’):x + 2y = 5 tại một điểm trên trục hoành .
8. (d) cắt (d
1
): y = 5x + 3 tại một điểm có hoành độ 3.
9. (d) cắt (d
2
): x – 3 y = 6 tại một điểm có tung độ -2.
6
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
10.(d) // (d
3
): x – y = 4.
11.(d) cắt (d
4
): x + 2y = 2 .
12.(d) trùng (d
5
) : x – 2 y = 5.
13.(d) vuông góc (d
6
): 2x + y = 2.
14.(d) cắt đường thẳng y = 2mx +3m+ 2 tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất.
15.Khoảng cách từ O đến (d) là 2.
b)Cho m = 2, tìm hệ số góc và tung độ gốc của (d).
c)Khi m = 3, vẽ đồ thị hàm số và tìm góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox.
d)Khi m= 3 tìm giao điểm của (d) với đường thẳng y=3x + 3.
e)Tìm đỉêm cố định của đồ thị hàm số với mọi m.
g) Khi m= - 3 tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ.
h)Khi m = -1, điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(1;2), B(-5;0).
Bài tập 2

a)Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy : y=x + 1; y = 2x – 1; y = 4x – 5.
b)Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy : y = x – 1 ; 3y = x + 3; y = 2mx - 1.
Bài tập 3
c) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1).
d) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5).
Bài tập 4
Cho hai đường thẳng y = 2x + m - 1 , y = x + 2m. Tìm tập hợp các giao điểm của hai
đường thẳng trên.
Bài tập 5 Cho A(2;1), B(1;2), C(2;4), D(2m + 1 ; m – 3)
a) Xác định giao điểm của AB với hai trục toạ độ.
b) Tìm m để A, C, D thẳng hàng.
c) Xác định trực tâm H của tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ điểm E để ABCE là hình bình hành.
Bài tập 6
Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.
a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x?
b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 45
o
?
Bài tập 7
7
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Tìm m ,n để hai đường thẳng (2m + 2)x -3ny = 4 và x + (m +n)y = 5 cắt nhau tại
điểm M(-1;2)
Bài tập 8
Tìm m để đường thẳng 3mx + ( m – 2)y = 4 đi qua giao điểm của hai đường thẳng y
= x – 1 ; 3y = x + 3
Bài tập 9
Bốn đường thẳng sau có đồng quy không : 3x + 2y = 13; 2x + 3y = 7; x – y = 6; 5x –

0y = 25
Bài tập 10
Cho hàm số y = 2x + 3. Gọi A,B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần
lượt là 4; -1. Hãy xác định khoảng cách AB và diện tích tam giác OAB
Bài tập 11
Xác định a để đồ thị hàm số y = 2x – 1 cắt đường thẳng ax + 3y = 5 tại một điểm có
toạ độ nguyên.
Các bài toán về hàm số bậc 2
Bài số 1:
Cho hàm số y =f(x) = x
2
có đồ thị là (P)
1. Nêu tính chất của hàm số trên.
2. Tính
( )
( )
2
f 2 ;f 3 ;f
3
æ ö
÷
ç
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç

è ø
3. Tính y khi x = -3; 4; 1/3
4. Tính giá trị của hàm số khi
2
x 2 2;x
3
-
=- =
5. Tìm x để f(x) = 3; -3; 0
6. Tìm x để hàm số nhận giá trị -2; 9; 0
7. Vẽ đồ thị hàm số .
8. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(-2;-4); B(-3;9); C(-1/2; -1)
9. Tìm m để D(m; 2m+3) thuộc đồ thị hàm số
10.Tìm m để f(m+2) = 4
11.Gọi A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là 3;-2. Viết phương
trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm của AB với hai trục toạ độ.
8
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
12.Viết phương trình đường thẳng đi qua (1;2) và tiếp xúc với parabol trên.
13.Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y + x= 3 và tiếp xúc với
parabol trên.
14.Tìm m để (P) không có điểm chung với đường thẳng y = 2x + m – 3
15.Tìm m để (P) tiếp xúc với đường thẳng y = mx – 1. Xác định toạ độ tiếp điểm.
16.Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng y – x = 2
17.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành độ x
A
;
x
B
thoả mãn x

A
(1+ x
A
) + x
B
(x
B
+1) =2
18.Gọi x
1
; x
2
là hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 3x +1. Tính giá trị của
biểu thức:
( ) ( )
1 2
3 3
1 2
1 x 1 x
x x
- -
+
19.Tìm các điểm của (P) cách đều hai trục toạ độ.
20.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = mx + 2m – 3 tại hai điểm ở hai phía của trục tung.
21.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y =2 mx + 2m + 3 tại hai điểm A, B có hoành độ x
A
;
x
B
thoả mãn:

•
2 2
A B
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
•
( ) ( )
2 2
B A
1 x 1 x- + -
đạt giá trị lớn nhất.
22. Cho A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là 2; -1. Xác định m
để A, B, C (m-2; 3m +3) thẳng hàng.
23.Tìm m để đường thẳng y = 2mx + 1 – 2m cắt (P) tại hai điểm phân biệt thoả mãn
2008 2008
A B
x x 2+ =
24.Tìm các điểm trên (P) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi
khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
25.Chứng minh rằng : (P) luôn cắt đường thẳng y = 2mx +2m + 1 tại một điểm cố định
với mọi giá trị của m.
26.Xác định m để hai đường thẳng x+y=3 và x+3y = m + 2 cắt nhau tại một điểm thuộc
(P) .
Bài số 2: Cho các hàm số y = x
2
có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng
nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
9

Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O)
Bài số 3: Cho Parabol (P):
2
2
x
y =
và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2)Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
A>KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1)Các phương pháp giải HPT
- Phương pháp thế
- Phương pháp cộng
- Phương pháp đặt ẩn phụ
-Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A
( )
0 0
;x y
0 0
axy b⇔ = +
- Đường thẳng y = ax + b và đường thẳng y =a’x +b’ song song khi
'
'
a a
b b
=



≠

-Giải phương trình bậc nhất 1 ẩn
-Giải và biện luận phương trình 1 ẩn px=q
- Định lý Bơdu
-Hệ phương trình tương đương
…………
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:
DẠNG I : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1 Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
10
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1)



=−
=−
536
324
yx
yx
2)




=+
=+
1064
532
yx
yx
3)



=+
=+−
1425
0243
yx
yx
4)



=−
=+
1423
352
yx
yx
5)






=+−
=+−
15)31(
1)31(5
yx
yx
6)



=+
=+
53
3,01,02,0
yx
yx
7)





=−+
=
010
3
2
yx

y
x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1)



=−+
=−+
xyyx
xyyx
4)5)(54(
6)32)(23(
2)



=−++
=−++
5)(2)(
4)(3)(2
yxyx
yxyx
3)



−+=−+
+−=+−
12)1(3)33)(1(

54)3(4)42)(32(
xyyx
yxyx
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
1)







=+
=+
1
158
12
111
yx
yx
2)







=
+

−
+
=
+
+
+
1
2
3
2
4
3
2
1
2
2
xyyx
xyyx
3)







=
+
−
+

=
+
−
+
9
4
5
1
2
4
4
2
1
3
yx
x
yx
x

Bµi 4. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2
2 2
4 4 4
2( 8) 0
x y xy
x y xy

+ + =



+ − + =


( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2001)

2. Một số bài toán quy về giải hệ phương trình
Bài 1: Cho hệ phương trình
5
2
mx ny
x y n
− =


+ =

Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm:
11
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên

( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm
1998)
Bài 2:
a)Định a, b biết phương trình ax
2
-2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
b)Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax
2

+ bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
Bài 4:
Định m để đồ thị các hàm số y =x + 2;y =2x - 1và 3x + 2y = 4 và
y =(m-2)x +m+3 đồng quy ( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2003)
Bài 5:
Cho đa thức f(x) =( 2a + b + 2)x – (3 –a +3b).Tìm a,b biết đa thức trên bằng đa thức 0
Bài 6:
Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m
2
) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng.
Bài 7:
Cho các hệ phương trình:
3 10
4 9
x y
x y
− =


− =

(I) và
8 5
6 (2 3 ) 16
mx y n
x n m y
+ = −



+ − =

(II)
Tìm m;n để hệ phương trình (I) tương đương với hệ phương trình (II)
( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2000)
Bài 8:
Cho các hàm số y = 2x – 2 và y=(m+1)x -
2
m
- m
Tìm m để các đồ thị hàm số trên là các đường thẳng song song
( Bộ đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2014)
12
3
4 2 3
x
y

= −


= +


Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
DẠNG II: TÌM THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM DUY NHẤT ,VÔ
NGHIỆM ,CÓ VÔ SỐ NGHI ỆM
Biến đổi hệ đã cho




=+
=+
///
cybxa
cbyax
về dạng
/ / /
( )(1)
(2)
px q py q
a x b y c
= =


+ =

Hệ có nghiệm duy nhất
⇔
phương trình (1) có nghiệm duy nhất
⇔
p
≠
0
Hệ vô nghiệm
⇔
phương trình (1) vô nghiệm
⇔

0
0
p
q
=


≠

Hệ có vô số nghiệm
⇔
phương trình (1) có vô số nghiệm
⇔
0
0
p
q
=


=

Để chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số ta chứng minh p
≠
0
Bài 1:
Cho hệ phương trình:




=+
=+
8
94
myx
ymx
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 2:
Cho hệ phương trình :
9 3
x my o
mx y m
− =


− = −

Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm,có vô số
nghiệm
Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Biến đổi hệ đã cho



=+
=+
///
cybxa
cbyax

về dạng
/ / /
(1)
(2)
px q
a x b y c
=


+ =

Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu p=0: (1) trở thành 0x = q
- Nếu q = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu q
≠
0 thì hệ vô nghiệm
13
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
ii) Nếu p
≠
0 thì (1)
⇒
x =
q
p
, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ
phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:




+=−
=−
)2(64
)1(2
mmyx
mymx
Từ (1)
⇒
y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6
⇔
(m
2
– 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
i) Nếu m
2
– 4
≠
0 hay m
≠
±
2 thì x =
2
32
4
)2)(32(
2
+

+
=
−
−+
m
m
m
mm
Khi đó y = -
2+m
m
. Hệ có nghiệm duy nhất: (
2
32
+
+
m
m
;-
2+m
m
)
ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x
∈
R
iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m
≠
±

2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (
2
32
+
+
m
m
;-
2+m
m
)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x
∈
R
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1)



+=+
−=+
1
13
mmyx
mymx
2)




=+
−=+
4
104
myx
mymx
3)



+=−
−=−−
52
13)1(
myx
mmyxm
DẠNG III: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Các bước làm:
-Tìm tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (nếu cần), rồi từ đó tìm
x,y theo tham số
-Thay x,y vào điều kiện cho trước rồi tìm tham số
-Kết luận
14
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Bài 1: Cho hệ phương trình
2 5
2 5
x y m
x y

+ =


− = −

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm (x;y)sao cho
x
y
là số nguyên
( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 1997)
Bài 1:
Cho hệ phương trình



=+
−=+
4
104
myx
mymx
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>
0, y > 0
(Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho A(x;y)
thuộc góc phần tư thứ (I) )
Bài 2:
Cho hệ phương trình :




+=−
−=−−
52
13)1(
myx
mmyxm
a) Giải hệ phương trình m = 2
b) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 3:
Cho hệ phương trình
2 3 1
2 2 8
x y m
x y m
+ = +


+ = −

a) Giải hệ phương trình khi m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) với thoả mãn x=3y
c) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) với thoả mãn xy > 0
( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2002)

Bài 4:
15
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Cho hệ phương trình:



=−
=+
43
9
ymx
myx
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Bài 6:
Cho hệ phương trình



=+
−=−
162
93
ymx
myx
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm

trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Bài 7:
Cho hệ phương trình :
9 3
x my o
mx y m
− =


− = −

a)Giải hệ phương trình với m=1
b)Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m
(Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì M(x;y) luôn nằm trên một
đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau)
Bài 8:
Cho hệ phương trình :
-2mx y 4
2x+my 2
+ =


=

Giải hệ phương trình với m=2
Tính các giá trị x;y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S=x + y đạt giá trị lớn
nhất.
( Đề thi vào 10 tỉnh BN năm 2003)
16
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN
A.Lý thuyết
I. Các kiến thức liên quan:
1) Tính chất chia hết của số nguyên.
2) Tính chất của số chính phương.
3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
4) Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thì :
ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
).
II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:
- Phương pháp đánh giá
+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.
+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá
- Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.
- Đổi vai trò của ẩn
- Đưa về phương trình ước số.
- Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.
- Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.
- Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
- xy + y
2
= 2x - 3y - 2 ( 1)
Giải:
Coi (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y ta được:
y
2
+ ( 3 - x)y + ( x
2
- 2x +2 ) = 0(2)
∆ = - 3x
2
+ 2x + 1
Để phương trình (2) có nghiệm thì
∆ ≥ 0 ⇔ - 3x
2
+ 2x + 1 ≥ 0 ⇔ -1/3 ≤ x ≤ 1
mà x là số nguyên suy ra x ∈{0; 1}
+) Với x = 0 thay vào (2) ta được y
2
+ 3y + 2 = 0 ta có y
1
= - 1; y
2
= -2
+) Với x = 1 thay vào (2) ta được y
2

+ 2y + 1 = 0 ta có y
3
= - 1
17
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Kết luận: Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là : (0; -1); (0; -2); (1; -1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
+ 2y
2
+ 3xy - x -y + 3 = 0 (1)
Giải:
Viết phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được
x
2
+ ( 3y - 1)x + ( 2y
2
- y + 3) = 0 (2)
Có ∆ = y
2
- 2y -11
Xét điều kiện cần để phương trình 2 có nghiệm nguyên :
∆ là số chính phương ⇔ y
2
- 2y -11 = k
2
( k ∈N)
⇔ (y - 1)
2

- k
2
= 12 ⇔ ( y - 1 +k)(y - 1 - k) = 12
Do y - 1 + k và y - 1 - k cùng tính chẵn lẻ và y - 1 + k > y - 1 - k nên ta có bảng sau:
y - 1 + k 6 -2
y - 1 - k 2 -6
y - 1 4 -4
y 5 -3
+) Với y = 5 thay vào phương trình (2) ta được
x
2
+ 14x + 48 = 0 ta có x
1
= -8; x
2
= - 6
+) Với y = - 3 thay vào phương trình (2) ta được
x
2
- 10x

+ 24 = 0 ta có x
3
= 6; x
4
= 4
Kết luận: Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: ( -8;5); (-6;5); (6;-3); (4;-3).
Ví dụ 3:Cho phương trình:
2 2
3 (2 1) 6 11 0x p x p p

− − + − + =
( p là tham số)
Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên.
Giải:
Phân tích: nếu ta coi là phương trình bậc 2 với ẩn x thì ∆ = -8p
2
-68p -131 đến đây ta
chặn được p nhưng không thể tìm được p.
Do đó ta cần đổi vai trò của ẩn
2 2 2 2
3 (2 1) 6 11 0 2( 3) 3 11 0(*)x p x p p p x x x
− − + − + = ⇔ − + + + + =
Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x
2
+ 5x -2
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
- 2x - 11 = y
2
⇔ (x
2
- 2x -1) - y
2
= 12 ⇔ (x - 1- y)(x - 1+y) = 12
18
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x - 3y = 2xy -11⇔ (2x+3)y = 5x + 11
do x nguyên 2x + 3 ≠ 0 ⇒ y = 2+(x+5)/(2x+3)

Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên
4 4 2 2 2 2
2 4 7 5 0x y x y x y− − − − − =
(1)
( HSG Bắc Ninh 2012 – 2013)
Coi là phương trình bậc 2 ẩn x ta được
(x
2
)
2
– x
2
(y
2
+ 4) – 2y
4
– 7y
2
– 5 = 0
có ∆ = (y
2
+ 4)
2
- 4(– 2y
4
– 7y
2
– 5 ) = 9y
4
+ 36y

2
+36 = (3y
2
+ 6)
2
nên (1) ⇔
( ) ( )
2 2 2 2
2 5 1 0x y x y
− − + + =
…
NX: Nếu vế phải của (1) là số nguyên khác 0 ta được phương trình ước số.
Ví dụ: Tìm các số nguyên dương
,x y
thoả mãn
2 2
2 7 2 7 0x xy x y y- + + - - =
(1)
Nhận xét: Nếu coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta được:
2x
2
– x(y + 7) – y
2
+ 2y – 7 = 0
Có: ∆= (y +7)
2
– 4.2(– y
2
+ 2y – 7 ) = 9y
2

+2y + 105 … Không thuận lợi.
Do đó ta coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn y ta được:
y
2
+ y(x – 2) – 2x
2
– 7x + 7= 0
Có: ∆ = (x – 2)
2
– 4(– 2x
2
– 7x + 7) = 9x
2
+24x -24
∆ không là một bình phương vậy xử lý thế nào?

Ví dụ 6:Cho phương trình :
(m – 1 )x
2
- ( 2m + 1 )x + m
2
– 2m + 4 = 0
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là
số nguyên .
Ví dụ 6: Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho phương trình :
x
2
- a
2
x + a +1 = 0 có nghiệm nguyên .

( Bắc Ninh, ngày 14/7/2001)
Giải:
19
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Với a = 0 phương trình đã cho vô nghiệm suy ra a
*
∈Ν
Giả sử x
1
,x
2
là hai nghiệm của PT đã cho.
Theo Vi-ét ta có:
2
1 2
1 2
(1)
1(2)
x x a
x x a

+ =


= +


Với a
*
∈Ν

nếu phương trình có 1 nghiệm nguyên thì nghiệm còn lại cũng là số
nguyên
Trừ từng vế của (1) và (2) ta được :
2
1 2 1 2
1x x x x a a
+ − = − −
2
1 2 2
2 1
(1 ) ( 1) 2 2 ( 2) ( 2)
( 1)( 1) (2 )( 1)
x x x a a a a a a
x x a a
⇔ − + − = − + − = − + −
⇔ − − = − +
Vì
2
1 2
0x x a
+ = >
và
1 2
. 1x x ≥
nên:
1
x
≥ 1 và
2
1x

≥
⇒
1
x
- 1
≥
0;
2
x
- 1
≥
0
⇒
(
1
x
- 1)(
2
x
- 1)
≥
0
⇒
(2 )( 1)a a
− +
≥
0
Mà a + 1 > 0
⇒
2 - a

≥
0
⇒
a
2
≤
, do a
*
N
∈
⇒
0 < a
2
≤
⇒
a
{ }
1;2
∈
+) Với a = 1 pt đã cho trở thành x
2
- x + 2 = 0 (PT này vô nghiệm)
+) Với a = 2 pt đã cho trở thành x
2
- 4x + 3 = 0
PT này có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
= 3 nguyên.

Vậy với a = 2 thì PT đã cho có nghiệm nguyên.
Bài tập:
Bài 1:Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình :
x
2
+ ax + a = 0 có nghiệm nguyên .
Bài 2:Cho phương trình :
(m – 1 )x
2
- ( 2m + 1 )x + m
2
– 2m + 4 = 0
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là
số nguyên .
Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình:
x
2
– ( 3 + 2a ) x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên.
(Vào 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002)
Bài 4: Tìm x, y nguyên thoả mãn:
7x
2
+ 13y
2
= 1820
20
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2x
6

– 2x
3
y + y
2
= 64
Chuyên ngữ Hà Nội năm 2002
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:
a) 2xy – 4x – y = 1 b) 2xy –x – y + 1 = 0
c)6x
2
+ 7y
2
= 229 d) 8x
2
– 5y
2
+ 10x + 4 = 0
Bài 7: Tìm các số hữu tỉ x để x
2
+ x + 6 là số chính phương.
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho:
2(x +y) + xy = x
2
+ y
2
Sư phạm Hà Nội năm học 2007 - 2008
21