Các bài toán về hàm số và đồ thị chọn lọc

Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
A.Lý thuyết
I.Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số
cho trước và a
≠
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0, trùng với đt y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a
≠

0)
• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong
đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng
y = ax + b và có tung độ dương
• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đt y = ax +b

II.Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
Hàm số có dạng y = ax
2
(a
≠
0)
b. Tính chất
Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0)
Đồ thị hàm số y = ax
2

(a
≠
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
III.Kiến thức bổ sung
1. Mặt phẳng tọa độ.
+) điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0
+) điểm nằm trên truc tung thì có hoành độ bằng 0
+) điểm nằm bên phải trục tung có hoành độ dương.
+) điểm nằm bên trái trục tung có hoành độ âm.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất thì hoành độ và tung độ đều dương.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ hai thì hoành độ âm và tung độ dương.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ ba thì hoành độ và tung độ đều âm.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ tư thì hoành độ dương và tung độ âm.
1
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
2. Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2

( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
B.Bài tập
I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(x
A
; y
A
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi y
A
= f(x
A
).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax
2
biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm
A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2
2

a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y
= -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
. (1)
(d
2
) : y

= a
2
x + b
2
. (2)
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) (d
1
) cắt (d
2
) a

1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)
d) (d
1
) (d
2
) a
1
a
2
= -1
2) Tọa độ giao điểm của hai đườn thẳng là nghiệm của hệ gồm hai phương trình (1)
và (2).
Ví dụ 3: Cho 3 hàm số: y = x + 2 (d1)
y = -x – 2 (d2)
y = -2x + 2 (d3)
a) Vẽ đồ thị của 3 hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Cho biết (d1) cắt (d2) tại A, (d1) cắt (d3) tại B, (d3) cắt (d2) tại C. Tìm tọa độ các

điểm A,B,C.
c) Tính diện tích của ABC
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tọa độ giao điểm nhờ giải hpt
c) S
ABC =
S
ABE
+ S
CBE
hoặc S
ABC
= S
ABD
+ S
CBD
2
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
III.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại, kết hợp điều kiện hệ số
góc khác nhau để tìm ra tham số .
Ví dụ 4: ( Ví dụ 3 trang 37 trong tài liệu)
Cho 3 đường thẳng:
(d
1
): y = x + 2 (d
2
): y = 2x + 1 (d

3
): y = (m
2
+ 1) x + m
a) Tìm giá trị của m để (d
3
)//(d
2
).
b) Tìm các giá trị của m để 3 đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm
IV. Tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng.
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm không có tham số.
Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào phương trình đường vừa lập để tìm tham số.
Ví dụ 5:
a) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1).
b) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5).
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx
2
(c 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx
2
= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx
2
để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P).

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là Parabol ( P )
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định a , b sao cho đường thẳng y = ax +b song song với đường thẳng y = – x +5 và
cắt Parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Ví dụ 7 ( trang 37 trong tài liệu)
Cho hàm số y = x
2
(P) và hàm số y = x + 2 (d)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một mặt
phẳng tọa độ.
b) Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện
tích tam giác AOB.
c*) Tìm điểm M trên (P) để MA = MB
d*) Tìm điểm N trên cung AB của (P) sao cho tam
giác ANB có diện tích lớn nhất.
3
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Ví dụ 8: Tìm m để (P): y = x
2
cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành
độ x
A
; x
B
thoả mãn x

A
(1+ x
A
) + x
B
(x
B
+1) =2
VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x
0
;y
0
)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x
0
;y
0
vào công thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x

1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
0
;y
0
) và tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x
0
;y
0
) nên có phương trình :
y
0
= ax
0
+ b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0) nên:
Pt: cx

2
= ax + b có nghiệm kép
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.
Ví dụ 9:
Cho (P): y = x
2
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(
1
2
−
;-2) và tiếp xúc (P). Tìm tọa độ các
tiếp điểm.
b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường x – y + 2014=0 và tiếp xúc
với (P)
VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
1. Cách tìm điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m
Gọi (x
o
; y
o
) là điểm cố định của đồ thị hàm số với mọi m ta có
y
o
= ax
o
+ b với mọi m
Đưa phương trình về dạng A.m = B với mọi m
A 0
B 0

=

⇔

=

. Từ đó tìm được x
o
; y
o
=> Kết luận
Ví dụ 10 (VD 2- Trang 36 trong tài liệu)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + 2.
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) bằng 1.
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất.
Bài toán về hàm số bậc nhất
Bài tập 1
Cho hàm số y = (2m + 1)x + 3m – 2 có đồ thị là (d)
4
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
a)Tìm m để
1. Hàm số đồng biến, nghịch biến.
2. Đồ thị hàm số tạo với Ox một góc nhọn, tù.
3. Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;2).
4. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 5.
5. (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.
6. (d) cắt (d’): y = 2x +3 tại một điểm trên trục tung .
7. (d) cắt (d’’):x + 2y = 5 tại một điểm trên trục hoành .
8. (d) cắt (d

1
): y = 5x + 3 tại một điểm có hoành độ 3.
9. (d) cắt (d
2
): x – 3 y = 6 tại một điểm có tung độ -2.
10.(d) // (d
3
): x – y = 4.
11.(d) cắt (d
4
): x + 2y = 2 .
12.(d) trùng (d
5
) : x – 2 y = 5.
13.(d) vuông góc (d
6
): 2x + y = 2.
14.(d) cắt đường thẳng y = 2mx +3m+ 2 tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất.
15.Khoảng cách từ O đến (d) là 2.
b)Cho m = 2, tìm hệ số góc và tung độ gốc của (d).
c)Khi m = 3, vẽ đồ thị hàm số và tìm góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox.
d)Khi m= 3 tìm giao điểm của (d) với đường thẳng y=3x + 3.
e)Tìm đỉêm cố định của đồ thị hàm số với mọi m.
g) Khi m= - 3 tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ.
h)Khi m = -1, điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(1;2), B(-5;0).
Bài tập 2
a)Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy : y=x + 1; y = 2x – 1; y = 4x – 5.
b)Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy : y = x – 1 ; 3y = x + 3; y = 2mx - 1.
Bài tập 3
c) Chứng minh rằng ba điểm sau thẳng hàng: A(-1;-5), B(1/2; -2), C(2;1).

d) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5).
Bài tập 4
Cho hai đường thẳng y = 2x + m - 1 , y = x + 2m. Tìm tập hợp các giao điểm của hai
đường thẳng trên.
Bài tập 5 Cho A(2;1), B(1;2), C(2;4), D(2m + 1 ; m – 3)
a) Xác định giao điểm của AB với hai trục toạ độ.
b) Tìm m để A, C, D thẳng hàng.
c) Xác định trực tâm H của tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ điểm E để ABCE là hình bình hành.
Bài tập 6
Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.
a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x?
b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 45
o
?
Bài tập 7
Tìm m ,n để hai đường thẳng (2m + 2)x -3ny = 4 và x + (m +n)y = 5 cắt nhau tại
điểm M(-1;2)
Bài tập 8
Tìm m để đường thẳng 3mx + ( m – 2)y = 4 đi qua giao điểm của hai đường thẳng y
= x – 1 ; 3y = x + 3
Bài tập 9
5
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Bốn đường thẳng sau có đồng quy không : 3x + 2y = 13; 2x + 3y = 7; x – y = 6; 5x –
0y = 25
Bài tập 10
Cho hàm số y = 2x + 3. Gọi A,B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần
lượt là 4; -1. Hãy xác định khoảng cách AB và diện tích tam giác OAB

Bài tập 11
Xác định a để đồ thị hàm số y = 2x – 1 cắt đường thẳng ax + 3y = 5 tại một điểm có
toạ độ nguyên.
Các bài toán về hàm số bậc 2
Bài số 1:
Cho hàm số y =f(x) = x
2
có đồ thị là (P)
1. Nêu tính chất của hàm số trên.
2. Tính
( )
( )
2
f 2 ;f 3 ;f
3
æ ö
÷
ç
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
3. Tính y khi x = -3; 4; 1/3
4. Tính giá trị của hàm số khi
2

x 2 2;x
3
-
=- =
5. Tìm x để f(x) = 3; -3; 0
6. Tìm x để hàm số nhận giá trị -2; 9; 0
7. Vẽ đồ thị hàm số .
8. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(-2;-4); B(-3;9); C(-1/2; -1)
9. Tìm m để D(m; 2m+3) thuộc đồ thị hàm số
10.Tìm m để f(m+2) = 4
11.Gọi A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là 3;-2. Viết phương
trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm của AB với hai trục toạ độ.
12.Viết phương trình đường thẳng đi qua (1;2) và tiếp xúc với parabol trên.
13.Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y + x= 3 và tiếp xúc với
parabol trên.
14.Tìm m để (P) không có điểm chung với đường thẳng y = 2x + m – 3
15.Tìm m để (P) tiếp xúc với đường thẳng y = mx – 1. Xác định toạ độ tiếp điểm.
16.Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng y – x = 2
17.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành độ x
A
;
x
B
thoả mãn x
A
(1+ x
A
) + x
B
(x

B
+1) =2
18.Gọi x
1
; x
2
là hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 3x +1. Tính giá trị của
biểu thức:
( ) ( )
1 2
3 3
1 2
1 x 1 x
x x
- -
+
19.Tìm các điểm của (P) cách đều hai trục toạ độ.
20.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = mx + 2m – 3 tại hai điểm ở hai phía của trục tung.
21.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y =2 mx + 2m + 3 tại hai điểm A, B có hoành độ x
A
;
x
B
thoả mãn:
•
2 2
A B
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
•

( ) ( )
2 2
B A
1 x 1 x- + -
đạt giá trị lớn nhất.
6
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
22. Cho A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là 2; -1. Xác định m
để A, B, C (m-2; 3m +3) thẳng hàng.
23.Tìm m để đường thẳng y = 2mx + 1 – 2m cắt (P) tại hai điểm phân biệt thoả mãn
2008 2008
A B
x x 2+ =
24.Tìm các điểm trên (P) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi
khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
25.Chứng minh rằng : (P) luôn cắt đường thẳng y = 2mx +2m + 1 tại một điểm cố định
với mọi giá trị của m.
26.Xác định m để hai đường thẳng x+y=3 và x+3y = m + 2 cắt nhau tại một điểm thuộc
(P) .
Bài số 2: Cho các hàm số y = x
2
có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng
nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O)
Bài số 3: Cho Parabol (P):
2
2
x

y =
và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2)Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)
7