Đề cương ôn thi vào lớp chuyên Toán

Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
cng ụn tp thi tuyn sinh vo lp 10 chuyờn Toỏn THPT
Phn I: Lớ thuyt
Hc k lớ thuyt cỏc chng 1, 2, 3, 4 ca i s v 1, 2, 3 ca Hỡnh hc
Bi tp: Xem li cỏc bi trong SGK v SBT (chỳ ý cỏc bi tp *)
Phn II: Bi tp
A. Mt s bi tp v rỳt gn biu thc
Bài 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a,
9
196
49
16
81
25
b,
81
34
2.
25
14
2.
16
1
3
c.
567
3,34.640
d,
22
511.8106,21

Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:
a, 8+2
15
; b, 10-2
21
; c, 12-
140

d, 5 +
24
; e, 14+6
5
; g, 8-
28
Bài 3. Phân tích thành thừa số các biểu thức sau:
a, 1 +
1553 ++
b,
21151410 +++
c,
6141535 +
d, 3 +
8318 ++
e, xy +y
1xx ++
g, 3+
x
+9 -x
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a, (

10238 +
)(
4,032
)
b, ( 0,2
3.)10(
2

+ 2
2
)53(
c, (
714228 +
).
7
+ 7
8
d, ( 15
+50
5
4503200
) :
10
e, 2
422
)1(5)3(2)32( +
g, (
6:)
3
216

28
632



h,
57
1
:)
31
515
21
714
(


+


i,
1027
1528625
+
++
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a,
ba
ba
1
:
ab

abba
=

+
( a, b >
0 và a

b )
b, ( 1+
a1)
1a
aa
1)(
1a
aa
=



+
(a > 0 và a

1);c, (
a
a1
aa1
+


)(

a1
a1


)
2
=1 (a
> 0 và a

1)
d,
a
bab2a
ba
.
b
ba
22
42
2
=
++
+
(a+b>0, b

0)
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a,
2
a4a129a9 ++

với a = -9 ; b, 1 +
4m4m
2m
m3
2
+

với
m<2
c,
a4a25a101
2
+
với a=
2
; d, 4x-
1x6x9
2
++
với x=-
3
e, 6x
2
-x
6
+1 với x =
2
3
3
2

+
Trang 1
i s
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Bi 7:Rút gọn Các biểu thức sau:
42
44
2

+
=
x
xx
A
144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22
++

+
=
xx
x
x
x
x
x
B
xy
y
yx
yx
yx
yx
C


+



+

=
2
2222
xxxxx
D

+








+










+
+

=

1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1









+
+

=
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
E

a
x
xa
a
x
xa
F 22
22
+
+
+
+
=
Gợi ý:

Khi làm các bài toán này cần:
- Đặt ĐKXĐ?
- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đợc
P N BI 7:
1
2
2
1
2
2
khix
A
khix




=


<


2
1 2
B
x
=

2 y

C
x y
=

1
D
x
=
1x
E
x

=
B. Mt s bi toỏn kốm theo dng rỳt gn
1/ Tớnh toỏn biu thc i s
Phng phỏp: Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:
+Rút gọn biểu thức P(x).
+ Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn
Mt s vớ d:
xx
xxx
A
32
96
2
2

++
=
Tính giá trị của A biết

18=x
.
22
1
22
1


+
=
aa
B
Tính giá trị của B biết(a-6)(a-
3)= 0
4
5
:
2
3
2
2
22

+


+
=
xxx
x
x
x
x
C
Tính giá trị của C biết 2x
2
+3x
=0
12
12
:
1
1
.
1
1
1
2
2
3
++
+

+
++

+

=
xx
x
x
xx
x
x
x
D
Tính giá trị của D biết x=
2007
2005
( )
9
961
2
2

++
=
x
xxx
E
Tính E biết
16=x
Trang 2
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
4
4ã2
2
2


=
xx
xa
F
Tính F biết x=
a
a
+
1
.
Đáp án:
1
khi 3

3

3
(2 3)
x
x
A
khi x
x x

=
<

;
4
2
B
a

=
+
& B=-4/5
( 2) 2
&
5 5
x
C C
x
+
= =
1
1

x
D
x
+
=

1
x -3
3

1- x
khi x < -3
x -3
x
khi
x
E



=
2/ Tỡm giỏ tr ca bin khi bit giỏ tr ca biu thc
Phng phỏp: Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)
+ Giải phơng trình P(x) =a.
Mt s vớ d:

+

+









=
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a

a
a
a
A
a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a
để A=0








+











+
+

=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
B
Tìm x khi
B=6/5








+

+
+=
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
C
a) Tính C biết x=
324 +
b)Tìm x khi C
>1.

+


+






+



+
=
1
2
11
1
:
1
1
1
1

2
x
x
x
xx
x
x
x
D
a) Tính D khi x=
324 +
b)Tìm x để D=-
3
E=















+

1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x

a) Tính E khi x=
14012 +
b) Tính x khi E
>5
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
F
x x x x
+
= +
+ +
a)Rút gọn F b)Tính x để
F=1/2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 2 3

1 3
x x x
G
x x

=
+
a)Rút gọn G
c)Tính G khi
223 +=x
b)Tìm x để G
>1
ỏp ỏn:
1
; 1
a
A a
a

= <
;a=1
1
; 4;
4
3 1
x x
B x x
x
+
= = =

1 6 3 3
; ; 1 or x < -2
1 3
x x
C C x
x
+ + +
= = >

Trang 3
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
2
;
1
x
D
x

=
+
2 1
; 0
2
x
E x
x

= < <
;

7 9 5
2 3
x x
F
x x
+
=
+
2 3 2 2 1
; 2 x < -1;G =
1
2 2 1
x
G x or
x
+
= > =
+
+
3, Tỡm giỏ tr ca bin x bit P(x) tha món iu kin no ú
Phng phỏp: Trớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào
điều kiện nêu ra của bài toán mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?
Ta cần đa biểu thức rút gọn về dạng : R(x)= f(x)+
( )
a
g x
sau đó lập luận:

( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay M

là ớc của a (a là hằng số)
Mt s vớ d:
1)
( ) ( )
2
2
4 2 3
6 9
x x x
A
x x

=
+
a) Rút gọn A
b)Tính xZ để AZ?
2)
xxxx
x
B

+
+

+
+
=
2
1
6

5
3
2
2
Rút gọn B, Tính xZ để BZ?
3)
2
2
:
11

+








+
+



=
a
a
aa
aa

aa
aa
C
a)Tìm a để biểu thức C không xác
định
b)Rút gọn C
c) Tính aZ để C Z?
4)
11
1
1
1
3


+
+
+

=
x
xx
xxxx
D

a)Rút gọn và tính giá trị của D khi
x=5
b)Tìm giá trị nguyên dơng của x để
DZ ?
5)E=

+
1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x
:
x
x 2+
Tính xZ để E Z?

Đáp án:
4
3
3
A
x
=

;
4 2
1
2 2
x
B
x x

= =

;
2 4 8
2
2 2
a
C
a a

= =
+ +
;
( )

2
1 1D x= +
;
2 4
1
2 2
x
E
x x

= =
+ +
BI TP TNG HP
Bài 1. Chứng minh rằng:
a)
( )
2004200522006.20051
2
=+
b)
2725725
3
3
=+
c)
ab
a
a
b
a

b
abaabb
a
bba
aba 11
1.
2
23223
2
32
2
+
=

+

+

Bài 2. Cho B=









+

++
+
+


1
1
1
1
1
2
:1
x
x

xx
x
xx
x
a) Rút gọn B
b)CMR : B>3 với mọi
x>0 ;x
1
.
Trang 4
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Bài 3. Cho C=
632ab
6
632
32
+++


+
+
ba
ab
baab
ba
a) Rút gọn C b) CMR nếu C=
81
81

+

b
b
thì
3
b
a
.
Bài 4. Cho
( )
xxbb
xb
xb
xxbb
xb
xb
D
+
+

=
2
.
a) Rút gọn D b) So sánh D với
D
.
Bài 5. Cho












+

= 1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
E
a) Rút gọn E. b) Tìm x để
2
EE >
. c) Tìm x để
4
1
>E
Bài 6. Cho
ab
ba
bab
b
bab

a
F
+


+
+
=

a) Tính F khi a=
324;324 =+ b
b) CMR nếu
5
1
+
+
=
b
a
b
a
thì F có giá trị không đổi.
Bài 7. Cho biểu thức: A
1
= (
x1
1
x1
1
+

+

) : (
x1
1
x1
1
+


) +
x1
1

a) Rút gọn A
1
. b) Tính giá trị của A
1
khi x=7+4
3
.
c) Với giá trị nào của x thì A
1
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 8. Cho biểu thức: A
2
=
22
2
)2x()1x2(

4)1x(
++


a) Tìm x để A
2
xác định. b) Rút gọn A
2
. c) Tìm x khi A
2
=5.
Bài 9. Cho biểu thức: A
3
= (
1x
1x
1x
1x
+



+
):(
1x
1
1x
x
1x
2

2
+
+



)
a) Rút gọn A3 b) tìm giá trị của A
3
khi x=
83 +
c) Tìm x
khi A3 =
5

Bài 10. Cho biểu : A
4
= (
aa
1aa
aa
1aa
+
+



):
2a
2a

+

a) Với giá trị nào của a thì A
4
không xác định. b) Rút gọn A
4
.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A
4
có giá trị tự nguyên ?
Bài 11. Cho biểu thức: B
1
=
xx
xx2
1x
x




a) Rút gọn B
1
b) Tính giá trị của B
1
khi x=3+
8
c) Tìm x để B
1

> 0 ? B
1
< 0? B
1
=0
Bài 12. Cho biểu thức: B
2
=
6a2
a3
6a2
3a
+



+
a) Rút gọn B
2
b) Tìm a để B
2
< 1? B
2
> 1?
Bài 13. Cho biểu thức: B
3
= ( 1+
1x
x
+

):(
1xxxx
x2
1x
1
+


)
Trang 5
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
a) Rút gọn B
3
b) Tìm x để B
3
> 3? c) Tìm x để B
3
=7.
Bài 14. Cho biểu thức: B
4
= (
xx
1
1x
x



):(
1x

2
1x
1

+
+
)
a) Rút gọn B
4
b) Tính giá trị của B
4
khi x=3+2
2
c) Giải phơng trình B
4
=
5
Bài 15. Cho biểu thức: B
5
= (
ab
a
ba
a

+
+
):(
ab2ba
aa

ba
a
++

+
)
a) Tìm điều kiện của a để B
5
xác định. b) Rút gọn B
5
.
c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B5 = 1, tìm giá trị của b.
Bài 16. Cho biểu thức: C
1
=
4x4x4x4x ++
a) Rút gọn C
1
b) Tìm x để C
1
= 4
Bài 17. Cho biểu thức: C
2
=
ab
ba
aab
b
bab
a +

+
+
a) Rút gọn C
2
b) Tính giá trị của C
2
khi a =
324 +
, b =
324
c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C
2
có giá trị không
đổi
Bài 18. Cho biểu thức: C
3
=
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2
+++


+
+
a) Chứng minh rằng
0b

thì C
3
có giá trị không phụ thuộc
vào b
b) Giải phơng trình C
3
= -2.
c) Tìm a để C
3
< 0? C
3
> 0?
d) Tìm giá trị nguyên của a để C
3
có giá trị nguyên.
e) Chứng minh rằng nếu C
3
= b+81/b-81,
khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 19. Cho biểu thức: C
4
= (
1x2x
2x
1x
2x
++
+

).
2
1x2x
2
+
a) Xác định x để C
4
tồn tại. b) Rút gọn C
4

c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C
4
> 0.
d) Tìm giá trị của C
4
khi x = 0,16.
e) Tìm giá trị lớn nhất của C
4
.
g) Tìm x thuộc Z để C
4
thuộc Z.
Bài 20. Cho biểu thức: C
5
=
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx

+
+
a) Rút gọn C
5
.
b) Tính giá trị của C
5
khi x =
3
, y =
2
.
c) Với giá trị nào của x, y thì C
5
= 1.
Bài 21. Cho biểu thức: D
1
= (
x1
1
1xx
x
1xx
2x

+
++
+

+

):
2
1x
a) Rút gọn D
1
.
b) Chứng minh D
1
> 0 với
1x,0x
.
Bài 22. Cho biểu thức: D
2
= (
xy
yx
yx
yx
33


+


):
yx
xy)yx(
2
+
+

a) Xác định x, y để D
2
có nghĩa. b) Rút gọn D
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
2
. d) So sánh D
2
và
2
D
.
e) Tính giá trị của D
2
khi x = 1,8 và y = 0,2.
Trang 6
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
C. H phng trỡnh
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a
.
+ Nếu a = 0 và b 0

phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0

phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :



=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế
vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng
nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)
2
2 x
x

1 -x
x
=
+

+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2

2x = - 3

x =
2
3

Với

x =
2
3
thay vào (* ) ta có (
2
3
)
3
+
2
3
+ 1 0
Vậy x =
2
3
là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
+ Nếu m

2 thì (1)

x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m

Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23

y =
4
7x - 23
= 6 2x +
4
1 x
Vì y

Z

x 1

4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
Trang 7
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
B ài 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=


+ =

b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =


=

c)
2x y 3
5 y 4x
=

+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1
1, 7
x x y

+ =

+

+ =

+


B ài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1
=


+ =

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
B ài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2

+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2
17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
B ài 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =


+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
B ài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y n
nx my 1
=


+ =


có nghiệm là
( )
1; 3
.
B ài 7 : Cho hệ phơng trình
( )
a 1 x y 4
ax y 2a

+ + =


+ =


(a là tham số).
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y

2.
B ài 8 : Cho hệ phơng trình :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Giải và biện luận pt theo m.
Trang 8
Trường THCS Huỳnh Khương Ninh Đinh Võ Bảo Châu 9a2
B µi 9 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
B µi 10 : Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ
thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách
nhau 28 km. Tính vận tốc của mỗi xe.

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
B µi 11 : Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc
11 giờ trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
B µi 12 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5
4
4
giờ thì đầy bể.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6
giờ nữa mới nay
bể . Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
B µi 13 : Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20
0
C để được hỗn hợp 10 lít 40
0
C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :




=+
=+
400 20y 100x
10 y x

⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
B µi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%.
Lại thêm 300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính
nồng độ axít trong dung dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :








=
+
+
=
+
+
%40%100.
500 y
200) (
%50%100.
200 y
200) (
x
x

⇔




=
=
1000 y
400x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
D. Ứng dụng của định lí Viète
A.Ki ế n th ứ c c ầ n ghi nh ớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax
2

+ bx + c = 0 (1) trong đó
a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào
(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một
nghiệm duy nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
– 4ac hoặc
∆
/
= b
/2
– ac
Trang 9
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
*

< 0 (

/
< 0 ) thỡ phng trỡnh (1) vụ nghim
*

= 0 (

/
= 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x
1,2
= -
a
b
2
(hoc x
1,2
= -
a
b
/
)
*

> 0 (

/
> 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a
b
2

; x

2
=
a
b
2
+
(hoc x
1
=
a
b
//

; x
2
=
a
b
//
+
)
2. nh lý Viột.
Nu x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại: Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1
x
2
= p thỡ hai s ú l nghim
(nu có ) của phơng trình bậc 2:
x

2
S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của
phơng trình .Ta có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu( x
1
< 0 < x
2
)

p < 0
Hai nghiệm cùng dơng( x
1
> 0 và x
2
> 0 )

>
>

0
0
0
S
p
Hai nghiệm cùng âm (x
1
< 0 và x
2
< 0)







<
>

0
0

0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)






>
=
>
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2
= 0)

<
=
>
0
0
0
S
p
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -

a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0
thì phơng trình có nghiệm
Trang 10
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x

1
+ x
2

- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x
2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả
mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến
đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2

2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x

2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2

2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2

2
1
xx
xx
x
x
x
x +
=+
=
p
pS 2
2

*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2

*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều
kiện
0

)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1

cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

0
(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn
x = x
1

vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng
trình bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để ph-
ơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng
trình (nh cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ
tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ
đó tìm đợc nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9

+ Nếu
/

> 0

m
2
9 > 0

m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2
nghiệm phân biệt:
x
1

= m + 1 -
9
2
m
x
2
= m + 1 +
9
2
m
+ Nếu
/

= 0

m =

3
Trang 11
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2
m
x
2

= m + 1 +
9
2
m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0

m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0

x = -
2
1
* Nếu m 3

0

m

3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt
số
/

= m
2
(m 3)(m 6) = 9m 18

- Nếu
/

= 0

9m 18 = 0

m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/

=
a
b
= - 2
- Nếu
/

> 0

m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=

3
23


m
mm
- Nếu
/

< 0

m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2
1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
3
23

m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
53
)x -
15
= 0
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1

= 1 , x
2
=
2
2009
=
a
c
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 ,
x
2

= -
17
204
=
a
c
= - 12
c) x
2
+ (
53
)x -
15

= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
53
) = -
3
+
5
Trang 12
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
x
1
x
2
= -
15
= (-
3
)
5

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1
= -
3
, x
2
=
5

(hoặc x
1
=
5
, x
2
= -
3
)
d ) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0 có : ac = - 6
7
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x

2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có






==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1
2 1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x

2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2
Hoặc x
2
=
3
1+m
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0

m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0

x = - 1
* m 3

0

m

3 (*)

=
=

3
22
1
2
1
m
m
x
x

Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2
2
B =

21
xx
C=
1
1
1
1
21

+
xx
D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1
x
và
1
1
2
x

Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)

2
2x
1
x
2
= S
2
2p = 9 2(-7) = 23
+ (x
1
x
2
)
2
= S
2
4p => B =
21
xx
=
374
2
= pS

+ C =
1
1
1
1
21

+
xx
=
9
1
1
2
)1)(1(
2)(
21
21
=
+

=

+
Sp
S
xx
xx

+ D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x

1
) = 9x
1
x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x
1
x
2

= 10x
1
x
2
+ 3 (x
1
2
+ x
2
2
)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S

2
+ 4p = - 1
b)Ta có :
S =
9
1
1
1
1
1
21
=

+
xx
(theo câu a)
Trang 13
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
p =
9
1
1
1
)1)(1(
1
21
=
+
=
Spxx

Vậy
1
1
1
x
và
1
1
2
x
là nghiệm của hơng trình :
X
2
SX + p = 0

X
2
+
9
1
X -
9
1
= 0

9X
2
+ X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình :
x

2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:


= (k -1)
2
4(- k
2
+ k 2) = 5k
2
6k + 9 = 5(k
2

-
5
6
k +
5
9
)
= 5(k
2
2.
5
3
k +
25
9
+
25
36
) = 5(k -
5
3
) +
5
36
> 0 với mọi giá trị của k.
Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

p < 0

- k
2
+ k 2 < 0

- ( k
2
2.
2
1
k +
4
1
+
4
7
) < 0

-(k -
2
1
)
2

-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x

1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x
1
+ x
2
= k 1 và x
1
x
2
= - k

2
+ k 2
x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k
2
+ k 2)]
= (k 1) (4k
2
5k + 7)
= (k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
]

Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0

(k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
] > 0


k 1 > 0 ( vì (2k -
4
5
)
2
+
16
87
> 0 với mọi k)

k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với
mọi m
3. Tìm m để
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của phơng
trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là
x
1
= 1 , x

2
= - 9
2. Có
/

= (m + 1)
2
(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5
Trang 14
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
= m
2
+ 2.m.
2
1
+
4
1
+
4
19
= (m +
2
1
)
2

+
4
19
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2

4x
1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1
)
2
+
4
19
]
=>
21
xx
= 2
4
19
)
2
1
(

2
++m

4
19
2
=
19
khi m +
2
1
= 0

m = -
2
1
Vậy
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2
9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm
phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x
2
- 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0

x = 1
+ Nếu : m + 2

0 => m

- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình
bậc hai có biệt số :

= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m

2
4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
+
+
m
m
=
1
42
42
=
+
+
m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2

)2(2
512
+

=
+

=
+

m
m
m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m

- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để
nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x
1
= x
2


3 =
2
3

+

m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2


1= 3.
2
3
+

m
m


m + 2 = 3m 9

m =
2
11
(thoả
mãn điều kiện m

- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x
2
20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2

=
15
5
=
3
1
(thoả mãn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0

x =
4
3
Trang 15
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
+ Nếu m

0 .Lập biệt số
/

= (m 2)
2
m(m-3)
= m
2
- 4m + 4 m
2
+ 3m
= - m + 4
/

< 0

- m + 4 < 0

m > 4 : (1) vô nghiệm
/

= 0

- m + 4 = 0

m = 4 : (1) có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
2
1
2
242
/
=

=

=
m
m
a
b
/

> 0

- m + 4 > 0

m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x

1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
1
0

m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3

2. (1) có nghiệm trái dấu


a
c
< 0


m
m 3
< 0












>
<



<
>

0
03
0
03
m
m
m
m












>
<



<
>
0
3
0

3
m
m
m
m
Trờng hợp



<
>
0
3
m
m
không thoả mãn
Trờng hợp



>
<
0
3
m
m


0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

/



0

0

m

4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0

4m = -9

m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/



0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc
m = -

4
9
.Sau đó thay m = -
4
9
vào phơng trình (1) :
-
4
9
x
2
2(-
4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0

-9x
2
+34x 21 = 0
có
/

= 289 189 = 100 > 0 =>

=
=
9
7
3
2
1
x
x
Trang 16
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Vậy với m = -
4
9
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc
x
2
=
9
7
(Nh phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9

vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x
1
+ x
2
=
9
34
4
9
)2
4
9
(2
)2(2
=


=

m
m
x
2
=
9
34
- x
1
=

9
34
- 3 =
9
7
Cách 3: Thay m = -
4
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3
=


=

m
m
=> x

2
=
9
21
: x
1
=
9
21
: 3 =
9
7
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện :
x
1
2
+ x
2
2
= 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép

/

= 0

k
2
(2 5k) = 0

k
2
+ 5k 2 = 0 ( có

= 25 + 8 = 33 > 0 )
k
1
=
2
335
; k
2
=
2
335 +
Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335

hoặc k
2
=
2
335 +
thì phơng trình (1) Có
nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/



0

k
2
+ 5k 2

0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2

)
2
2x
1
x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2

= 2 5k
Vậy (-2k)
2
2(2 5k) = 10

2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -
2
7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k
1
, k
2
vào
/

= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
/

= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k
2
= -
2
7
=>
/

=
8
29
4
87049
2
2
35
4
49
=

=
không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Trang 17
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Cách 2 : Không cần lập điều kiện
/

0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10 ta tìm đợc k
1
= 1 ; k
2
= -
2
7
(cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k
1
, k
2
vào phơng trình (1)
+ Với k
1
= 1 : (1) => x
2
+ 2x 3 = 0 có x
1
= 1 , x
2
= 3

+ Với k
2
= -
2
7
(1) => x
2
- 7x +
2
39
= 0 (có

= 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô
nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Bài tập về pt bậc hai
B ài 1 : Cho phơng trình : x
2
6x + 1 = 0, gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng
trình. Không giải phơng trình, hãy tính:
1) x
1
2
+ x
2
2

2)
1 1 2 2
x x x x+
3)
( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 x 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x x x x x
x x 1 x x 1
+ + +
+
.
B ài 2 : Cho phơng trình: 2x
2
5x + 1 = 0.
Tính
1 2 2 1
x x x x+
(với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
B ài 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x
2
2(m + 1)x + m

2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph-
ơng trình).
B ài 4 : Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x

2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
B ài 5 : Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1

+ x
2
= 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x
2
+ 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x
1

, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x
1
3
+ x
2
3
.
B ài 7 : Cho phơng trình : x
2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3


0.
B ài 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)

1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 9. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1
m

Trang 18
Trường THCS Huỳnh Khương Ninh Đinh Võ Bảo Châu 9a2
pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<
12
1
−m
<0





<−
>+
−
012
01
12
1
m
m
=>





<−
>

−
012
0
12
2
m
m
m
=>m<0
VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0
Trang 19
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
A. Hỡnh hc phng
Lớ thuyt
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi
gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc ( O
; R)
OM = R
M nằm trong ( O ; R ) OM < R
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng
thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) 2 d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) 1 d = R
a và ( O ; R ) không giao
nhau
0 d > R
* Của hai đờng tròn :
xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc
nhau :
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
1
d = R + r
d = R r
Haiđờng tròn không giao
nhau :
0
Trang 20
Hỡnh hc
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
+hai đờng tròn ở ngoài
nhau :
+đờng tròn lớn đựng đ-
ờng tròn nhỏ :
d > R + r
d < R -r
3 . Tiếp tuyến của đ ờng tròn :

a. Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm
chung với đờng đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó
vuông góc với bán kính đI qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì
giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng
tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn
đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành
hai phần bằng nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì
vuông góc với dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng
cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung
lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .
II. Góc trong đờng tròn:
1, Các loại góc trong đ ờng tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:
Trang 21
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn . Đ-
ơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180
0
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng
một góc.
BI TP P DNG
Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt
các cạnh AB, AC lần lợt tại E và F.
a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp.
c. Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung
điểm của BC.
d. CMR: Nếu S
ABC
= 2. S
AEHF
thì tam giác ABC vuông cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc Â
cắt (O) tại M. Nối OM cắt BC tại I.
1. Chứng minh tam giác BMC cân.
2. Chứng minh: góc BMA < góc AMC.
3. Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC.
4. Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì?
6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh
MBOE
2
1
=
.
8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
10.Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác
của góc BCK.
11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác
BMS cân tại M.
13.13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC.
14.Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15.Chứng minh góc ABF = góc AON.
16.Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB,
AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
1. Chứng minh AI vuông góc với BC.

2. Chứng minh góc IDE = góc IAE.
Trang 22
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
3. Chứng minh : AE . EC = BE . EI.
4. Cho góc BAC = 60
0
. Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt
(O) tại D , AO kéo dài cắt (O) tại E.
a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là
trung điểm của BC.
c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm.
Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các
cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm
của AN với BM. CMR:
a. Tứ giác AMNB là hình thang cân.
b. PH AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c. ON là tiếp tuyến của đờng tròn đơnngf kính PH.
Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ
AB. Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F. CMR:
a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng.
b. ME . MC = MF . MD.
c. Tứ giác CEFD nội tiếp.
d. Khi
3RAB =
thì tam giác OAM đều.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn
tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F.
a. Tứ giác AEHF là hình gì?

b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c. Chứng minh AE . AB = AF . AC.
d. Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I).
e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh
Ax // EF.
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng
thẳng vuông góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E.
a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp.
b. Tính góc AHE.
c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.
e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào?
Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi
E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a. EF AC
b. DA . DF = DC . DE
c. Tứ giác BDFE nội tiếp.
Trang 23
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK //
BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK
tại I.
a. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O).
b. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI.
c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.
Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB
các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên
Ax và By sao cho góc MON = 90
0
. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh

rằng :
a. AB là tiếp tuyến của (I ; IO).
b. MO là tia phân giác của góc AMN.
c. MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.
d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi.
Bài 12: Cho (O;R) và (O; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài
của hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ). Tiếp tuyến chung trong của hai
đờng tròn tại A cắt BC tại M.
a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M.
b. Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O , M.
d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O, M.
Bài 13: Cho (O) và (O)tiếp xúcngoài tại A. Đờng thẳng Ô cắt (O) và (O) theo
thứ tự tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn
( D thuộc (O); E thuộc (O)) . M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :
a. Góc DME là góc vuông.
b. MA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
c. MD . MB = ME . MC.
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là
trung điểm của BC.
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.
d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 60
0
thì tam giác DME là tam giác đều.
Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát
tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.
a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.

c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh : AB
2
= AI . AH.
d. BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.
Trang 24
Trng THCS Hunh Khng Ninh inh Vừ Bo Chõu 9a2
Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động
trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N.
a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng.
b. Tứ giác MNDC nội tiếp.
c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động.
Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
nửa đờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt
nửa đờng tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E.
a. Chứng minh tam giác ABE cân tại B.
b. Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK AB.
c. Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi.
Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R).
Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T.
a. Chứng minh rằng OT // AB.
b. Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.
c. Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R.
d. Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD theo R.
Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O) có bán kính R và R ( R > R) tiếp xúc ngoài
nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O). DE là dây
cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ
hai của đờng thẳng DC với (O) là F.
a. Tứ giác AEBD là hình gì?
b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp.

d. DB cắt (O) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.
e. Chứng minh
DEMF
2
1
=
và MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ
đờng tròn tâm O đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung
DE vuông góc với AB, DC cắt (O) tại I.
a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?
b.Chứng minh BI // AD.
c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.
d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O).
Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN của đờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.
a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình
tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O).
Trang 25