Chuyên đề toán học : Đạo hàm - hàm số pot

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt

1
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh
()
xAy =

()
0xA ≥

tgxy
=

π+
π
≠ k
2
x

()
()
xBlogy
xA
=

()
()

⎩
⎨
⎧
≠<
>
1xA0
0xB

()
()
xB
xA
y =

()
0xB
≠

gxco
t
y =

π
≠
kx

⎢
⎣
⎡
=

x
x
e
a
y

)0a(x >∀

()
n2
xAy =

()
()
+
∈
≥
Zn
0xA

⎢
⎣
⎡
=
xarccos
xarcsin
y

1x1
≤

≤
−

⎢
⎣
⎡
=
xln
xlog
y

0x >∀

()
1n2
xAy
+
=

()
+
∈
∈∀
Zn
Dx

(
)
[]
(

)
xB
xAy =
(
)
0xA >
(
)(
() ()
⎢
⎣
⎡
±
=
xgxf
xgxf
y

)

gf
DDD ∩=

II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT
()
()
bxf
axf

≥
≤

() (
]
()
[
)
+∞=
∞
−=
,bDf
a,Df

(
)
()
bxfa
bxfa
<<
≤
≤

()
[]
() ( )
b,aDf
b,aDf
=
=

2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT:

()
[]
()
()()
2222
2
dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT *
đònh. xác xA làm xa, aaxA *
++≤+≥+
∀∀≥+


III. HÀM HP g
o
f

[]
() ()
[]
()
{}
()
(){}
⎢
⎣
⎡

⊂∧≠
∈∧∈
=
≠=∈∀
∃⇒φ=
gfff
gfgf
fg
ooofg
fgoff
fffo
DT0T,D
DT;DxfDx|x
D *
fggf và xfgxfg:Dx *
ZD:fgDT *
ZD:gvàTD:f hàm haicủa hợp hàmlà fg
o
o
o
∩
∩

IV. HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O:

()()
() ()
() ()
Dx lẽ khôngchẵn khôngHàm :xfxf
lẽ f :Dx xfx-f

chẵnf:Dx xfxf
∈∀±≠−⇒
⎥
⎦
⎤
∈∀−=
∈∀=−
V. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh
0
0

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x
0
), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử
số và mẫu số trong
()
()
xg
x
f
lim
0
xx→
với các chú ý:
• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x
0
). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer.
• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó.

llh llh 3
2
33 33
A B A B A B A AB B+←⎯→− ±←⎯→± +
Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng.
• Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


2

()()
(
)
(
)
()
()() ()
()
22 33 2 2
44 22 nn n1n2 n32 n2n1
a b a b a b a b a b a ab b
a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b
−− − − −
−=− + ±=± ±+
−= + − + −=− + + ++ +

• Để ý rằng việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô đònh này trở thành dạng vô đònh khác. Chẳng hạn:

()()

đó) t
ư
ï th
ư
ù theo 0 (dạng xgxflim
0x
∞
×
→

2. Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh
∞
∞

•
PP
1
: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh.
•
PP
2
: Dùng các đònh lý giới hạn tương đương:
()
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

=ε>ε++++
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−++⇒−∞→
>++⇒+∞→
⇒∞→
∞→
0x lim và 0a với;x
a2
b
xa~cbxax /3
)0a(;ax~cbxaxx
)0a(;ax~cbxaxx
2/
xa~xPx 1/
x
2
2
2
n
nn


3. Phương pháp 3: Khử dạng vô đònh
∞
−
∞

Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là:
1/ Sử dụng lượng liên hợp.
2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận:
()
x
a2
b
xa~cbxax
2
ε++++ trong đó: a > 0 và
()
0xlim
x
=ε
∞→
3/ Sử dụng các hằng đẳng thức.
4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng.
4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác
• TH
1
: Khi (x tính bằng radian)
0x →

()
()
()
() ()
()
(

)
()
() ()
()
()
()
() ()
ux 0 ux 0
2
2
2
ux 0
sinu x tgu x
lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x
ux ux
1cosux
11
lim hay 1-cos u x ~ u x
22
ux
→→
→
==
−
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
⎣⎦

Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác.

()()
(
)
(
)
llh llh
1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu+←⎯→− + ←⎯→−

• TH
2
: Khi hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính bằng rian)
0
xx →
* Đặt:
⎩
⎨
⎧
→⇒→
+=
⇔−=
0txx
txx
xxt
0
0
0
* Khi:
0't,xx'txx

00
→
−
=⇒→

Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số.
5. Hàm kẹp:
() ()
(
)
{
}
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
==
∈∀≤≤
→
→→
Lxglim
Lxhlimxflim
x|Vx,xhxgxf
0
00

0
xx
xxxx
0x

6. Hàm chứa giá trò tuyệt đối:
(
)
(
)
() ()
00
00
xx xx
xx xx
lim f x L lim f x L
lim f x 0 lim f x 0
→→
→→
⎧
=
⇒=
⎪
⎨
=
⇒=
⎪
⎩

7. Hàm liên tục: *

()
() ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Δ
=
∈∀∈
→Δ
→
0lim hay
xfxflim
Dx,Rxf
y
0x
0
xx
00
0
0
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


3
* Liên tục tại x
0
:
() () ( )

(
)
(
)
() ( )
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇒==
−
+
−+
→
→
→→
trái tục liên :xfxflim
phảitụcliên:x
f
x
f
lim
xfxflimxflim
0
xx
0
xx
0

xxxx
0
0
0
0

8. Công thức giới hạn:
()
()
()
()
()
sin x
lim 1
x0
x
tgx
lim 1
x0
x
lim U x 0
x0
sin U x
lim 1
x0
Ux
tgU x
lim 1
x0
Ux

1cosx 1
lim
2
x0
2
x
=
→
=
→
=
→
=
→
=
→
−
=
→

x
lim a
x
x
lim a 0
x
x
lim e
x
a1

x
lim e 0
x
x
e
lim
x
x
x
lim x.e 0
x
x
lim a 0
x
0a1
x
lim a
x
=+∞
→+∞
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
>
+
=
→−∞
=+∞

→+∞
=
→−∞
+
=
→+∞
<
<
=+∞
→−∞
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

lim log x

a
x
lim log x
a
x0
lim ln x
x
a1
lim ln x
x0
ln x
lim 0
x
x
lim x. ln x 0
x0
lim log x
a
x
0a1
lim log x
a
x0
=+∞
→+∞
=−∞
+
→
=+∞
→+∞

>
=−∞
+
→
+
=
→+∞
−
=
+
→
=−∞
→+∞
<
<
=+∞
−
→
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

* Quy tắc Lopitan:
()
()
()
()
x'g
x'
f
lim
xg
x
f
lim
00
xxxx →→
=

VI. ĐẠO HÀM:
()
()()
x
x
f

xx
f
lim
x
y
limx'f
00
xxxx
0
00
Δ
−Δ
+
=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ

hay:
()
() ( )
()
(
)
(
)
()
() ( )
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
−
=
⇒
−
−
=
−
+
→
−
→
+
→
0
0
xx
0
0
xx
0
0

xx
0
xx
xfxf
limx'f trái ĐH
xx
xfxf
limx'f phảiĐH
xx
xfxf
limx'f
0
0
0
0
0

⇒ f có đạo hàm tại x
0
⇔
(
)
(
)
−+
=
00
x'fx'f
. Nếu
(

)
(
)
−+
≠
00
x'fx'f
thì f không có đạo hàm tại x
0
.
1. Chứng minh hàm số liên tục:
Cơ sở của phương pháp để chứng minh một hàm f liên tục tại x
0
, cần làm 3 bước:
B
1
: Kiểm tra ; tìm số trò f(x
f0
Dx ∈
0
) (1)
B
2
: Tìm
()
Rbx
f
lim
0
xx

∈=
→
(2)
B
3
: So sánh (1) và (2); nếu
() ( )
bx
f
x
f
lim
0
xx
0
==
→
, hàm f liên tục tại x = x
0
.
() ( )
() ( )
() () ( )
00
xxxx
00
xx
00
xx
x tại tục liên f thì xfxflimxflim

x phải bêntục liên f thì ,xfxflim
x trái bêntục liên
f
thì ,x
f
x
f
lim
00
0
0
==⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
−+
−
+
→→
→
→

Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x
0
:
(1) PP

2
: f là hàm sơ cấp xác đònh tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
(2) PP
3
: ⇒ f liên tục tại x
0ylim
0x
=Δ
→Δ
0
.
(3) PP
4
: f khả đạo hàm tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các đònh nghóa:
ĐN
1
: f liên tục trong
()
(
)
b;axmọitại tục liên

f
b,a
0
∈
⇔

ĐN
2
: f liên tục trên
[]
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇔
btại trái tục liên f
a tại phảitục liên f
ba; trong tục liên f
b;a

2. Tìm đạo hàm tại một điểm:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


4
B
1

: Tính
()
(
)
R bnếu và b
xx
xfxf
lim
x
y
lim
0
0
xx0x
0
∈=
−
−
=
Δ
Δ
→→Δ

B
2
: Tồn tại f’(x
0
)=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn:
*
() ( )

()
+
→
=
−
−
+
0
0
0
xx
x'f
xx
xfxf
lim
0
: đạo hàm bên phải điểm x
0
.
*
() ( )
(
−
→
=
−
−
−
0
0

0
xx
x'f
xx
xfxf
lim
0
)
: đạo hàm bên trái điểm x
0
.
Ghi chú: Nếu x
0
là điểm thông thường của tập xác đònh, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x
0
).
3. Tính đạo hàm bằng đònh nghóa:
()
Dx;Rx'f
x
y
lim
0x
∈∀∈=
Δ
Δ
→Δ
ta làm ba bước cơ bản:
B
1

: Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx).
B
2
: Lập tỷ số
x
y
Δ
Δ

B
3
: Tính
()
Rxg
x
y
lim
0x
∈=
Δ
Δ
→Δ
; thì kết luận: f’(x) = g(x).
Đạo hàm Vi phân
1) Hàm cơ bản:
()
()
()
22
v

'v
v
1
v
'v.uv'.u
v
u
'v.uv'.u'v.u
'v'u'vu
số) hằng:(c 'u.c'u.c
−=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
±=±

=

2) Hàm hợp:
Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y =
(f
o
u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)]
hay y
0
= y’
u
.u’x.
3) Hàm ngược:
Cho:
()
()
⎩
⎨
⎧
=→
→
xfyx
D
f
D:
f
. Khả đạo hàm theo x và có hàm
ngược: .
()
()

⎩
⎨
⎧
=→
→
−
−
yfxy
DDf:f
1
1
Ta có:
x
y
y
x
'y
1
'x
'x
1
'y =⇔=


1) Đònh nghóa:
(
)
(
)()
xd.x'

f
dyx
f
y
=
⇒
=

2) Quy tắc vi phân:
(
)
()
2
v
dv.udu.v
v
u
d
dv.udu.vv.ud
dvduvud
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
±

=
±

3) Hàm hợp:
[
]
()
()
[
]
() ()
[
]
() () ()
xux
xxx
x
o
'u.'y'y
uf.'u'yufufy
=⇒
=
⇒
=
=

4) Hàm logarit:
(
)
[

]
(
)
()()
0xu;xuy
xv
>=
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==⇒
u
'u
vuln'v'u'ulnvy'y


4. Bảng tính đạo hàm:
Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x)
(
)
nn
u;x

(
)
'u.u.n;x.n

1n1n −−

sinx cosx
C 0 cosx -sinx
x 1 tgx
xtg1
xcos
1
2
2
+=

(
)
u;x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
u2
'u
;
x2
1

e
x
e

x
x
1

2
x
1
−

a
x
a
x
lna
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


5
lnx
x
1

cotgx
()
xgcot1
xsin
1
2
2
+−=−

log
a
x
alnx
1


5. Đạo hàm cấp cao:
Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y
(n)
= f
(n)
(x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp bằng ba bước cơ bản như sau:
• Tính y’, y”, y’” để dự đoán công thức của: y
(n)
= f
(n)
(x) (1)
• Giả sử (1) đúng , tức là ta có: y
1k ≥∀
(k)
= f
(k)
(x) (2)
• Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh:
y
(k+1)
= f
(k+1)

(x); đúng
1k ≥
∀

Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm.

6. Ứng dụng của đạo hàm:
• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x
0
) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C): y = f(x) tại điểm đó:
ϕ
M(x ,y )
00
(h.1)
t
x
(C): y = f(x)
(
0
x'
)
f
tgk =
ϕ
=
(là ý nghóa hình học của đạo hàm)
• Nếu một hàm f có đạo hàm tại x
0
thì hàm f liên tục tại điểm x

0
.
• Nhưng một hàm f liên tục tại x
0
thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x
0
.
• Một hàm f không liên tục tại x
0
thì không có đạo hàm tại điểm x
0
.
• Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có:
) f là hàm hằng trên D
()
)1(Dx;0x'f
∈
∀
=
⇔

) f đồng biến trên D
()
)2(Dx;0x'f
∈
∀
≥
⇔

) f nghòch biến trên D

()
)3(Dx;0x'
f
∈
∀
≤
⇔

Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghòch biến) trong D có thể bằng không
tại những giá trò rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3).
()
D; ⊂βα
y
x
x
0,1
f'(x )=0
0,1
f'(x )=0
0,2
x
0,2
b
a
B
(h.2)
A
0
C
D

y
α
f'(x )=0
x0 ( ; )
0,1
∀∈αβ
x
0
β
a
b
(h.3)
A
0
C
D
x
B
x
0
a
b
f(b)
0
(C) : y = f(x
)
y
x
x
0

a
b
B
(h.6)
A
f(a)
f(b)
0
(C) : y = f(x)
x
B

• Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: .
()
b;ax
0
∈
• Nếu:
[]
()()
[]
f liên tục trên a;b
fafb 0
f đơn điệu nghiệm cách trên a;b
<
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(
)
[]
phương trình f x 0
có nghiệm duy nhất x a;b
0
=
⇒
∈
⎧
⎨
⎩

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


6

• Giả sử hàm f : y = f(x) xác đònh trên đoạn [a;b]
) Hàm f đạt một cực đại tại , nếu tồn tại một lân cận
(
b;ax
0
∈
)
(
)
(
)
b;axV
0
∈
sao cho:
() ( )
00
xx;x
f
x
f

≠
∀
<
.
) Hàm f đạt một cực tiểu tại , nếu tồn tại một lân cận
(
b;ax
0
∈
)
(
)
(
)
b;axV
0
∈
sao cho:
() ( )
00
xx;x
f
x
f
≠
∀
>
.
* Đònh lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x

0
) và đạt một cực trò tại x
0
đó thì điều kiện cần là f’(x
0
) = 0.

y
a
x
0
b
A
B
0
f'(x )=0
0
(h.9)
f'(x )>0
0
f'(x )<0
0
(C):y=f(x)
x

y
a
x
0
b

A
B
0
f'(x )=0
0
(h.10)
f'(x )>0
0
f'(x )<0
0
(C):y=f(x)
x


Ý nghóa hình học: tiếp tuyến với đồ thò (C) : y = f(x) tại điểm cực trò thì song song trục hoành.
Hệ quả: Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn.
* Đònh lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x
0
) và f’(x
0
) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x
0
thì đủ để f đạt một cực trò tại x
0
.
• Khi f’(x
0
) = 0 và khi f’(x) đi qua x
0

mà không đổi dấu, ta nói (x
0
;f(x
0
)) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện
(*) có thể thay thế bằng f’(x
0
) và f liên tục tại x
0
.
• Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó.
* Đònh lý 3: (Tồn tại điểm uốn)
Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x
0
) (**) và f”(x
0
) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x
0
thì M(x
0
;y
0
) là điểm uốn của (C) : y = f(x).
Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại
(
)
00
xVx
∈
để f liên tục tại x

0
; thì M vẫn là điểm uốn.

y
a
x
0 b
A
I
B
0
f"(x )=0
0
(h.10)
f"(x )>0
0
f"(x )<0
0
(C):y=f(x)
x
• f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương.
• f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương.
* Đònh lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trò)
Nếu f’(x
0
) = 0 trong V(x
0
) đồng thời f”(x
0
) # 0 thì hàm f có cực trò tại x

0
. Cụ thể:

f'(x )=0
0
f"(x )<0
0

f'(x )=0
0
f"(x )>0
0


* Đònh lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ)
Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f
-1
xác đònh trên [f(a);f(b)].
• Lúc đó f
-1
cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f.
• Xét tính đối xứng của hai đồ thò hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C
-1
) : y = f
-1
(x) qua đường phân giác thứ nhất.
• Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt). Lúc đó, ta có:
() ()
() ( )
DfDx;xxf

xfxf
Dtrênngặt tăng
f
1
∩∈∀=⇔
⎩
⎨
⎧
=
−

• Thêm một ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (đònh lý) L’ Hospitale như sau:
()
()
(
)
()
(
)
()
(
)
()
()
()
xg
xf
lim
x"g
x"f

lim
x'g
x'f
lim
0
0
Dạng
xg
xf
lim
0
0
0000
n
n
xxxxxxxx →→→→
====
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


7
) Trong đó n0 là chỉ số dừng của đạo hàm cấp n khi dạng vô đònh
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
0
vừa khử.
)
đều có thể biến đổi về dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
0
để sử dụng được quy tắc L’ Hospitale.
) Dạng
()(
∞−∞∞×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞

;0;
• Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen.


y
a
x
1

x
2

b
0
x
2

x

x

2

1

+

⎟
⎠

⎞

⎜
⎝
⎛
+
2

x

x

f

2

1

2

x

f

x

f

2

1

+



y
a
x
1
x
2
b
0
x
2
xx
21
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
2
xx
f

21
2
xfx
f
21
+



[
]
()
[]
() ()
()
f liên tục trên a;b
fx fx fx
xx x
n
n12
12
f" 0 trên a;b f
nn
x;x; x a;b
n
12
+++
+++
<⇒ ≥
∈

⎧
⎪
⎛⎞
⎪
⎨
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩

Dấu đẳng thức trong BĐT xảy ra khi x
1
= x
2
= = x
n
.
* Đònh lý Lagrance:
[]
()
( )() () ( )()
xfabafbf;b;ac
ba; đạo khảf
ba; tục liên
f
−=−∈∃⇒
⎩
⎨
⎧

Ý nghóa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thò (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song
song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thò.
Hệ quả: (Đònh lý Rolle)
[]
() ()
()
()
()
giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt
12
f liên tục trên a;b và f a f b
nếu có của f x 0 phải có
f có đạo hàm trên a;b
ít nhất 1 nghiệm x của f' x 0
0
=
⇒=
=
⎧
⎫
⎪
⎪
⎬⎨
⎪
⎪
⎭
⎩

CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU

I. TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ:
()
()
(
)
(
)
() ( )
⎢
⎣
⎡
∈∀≥
<⇒<∈∀
⇔
biếnđồng số Hàm :b;ax,0x'f
x
f
x
f
xx:b;ax,x
ba; trên tăng f
212121

()
()
(
)
(
)

() ( )
⎢
⎣
⎡
∈∀≤
>⇒<∈∀
⇔
biếnnghòch số Hàm :b;ax,0x'f
x
f
x
f
xx:b;ax,x
ba; trên giảm f
212121


f(x) là hàm bất kỳ Tính chất đơn điệu f(x) hàm bậc 3
Nếu min
()
0x'f ≥
Nếu max
()
0x'f ≤
f luôn tăng:
(
)
0x'f ≥
f luôn giảm:
(

)
0x'f
≤

a > 0 và
0≤Δ
a < 0 và
0≤Δ

II. TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG:
1. Hàm bậc 2: . Tăng, giảm trong
bax2'ycbxaxy
2
+=⇒++=
(
)
+
∞
α
;

Hệ số
Hàm f tăng
()
+
∞
α
∈∀≥ ;x,0'y Hàm f giảm
()
+

∞α∈∀≤ ;x,0'y
a = 0
11
mnhận :0b'ymm >=⇒=

11
mnhận :0b'ymm <=⇒
=

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


8
a > 0
?m
a2
b
=⇒α≤−

Không xảy ra
a < 0 Không xảy ra
?m
a2
b
=⇒α≤−


2. Hàm bậc 3:
cbx2ax3'ydcxbxaxy
223

++=⇒+++=
* TH1:
()

[
)
+∞α+∞α ; hay;
Hệ số
f tăng
()
+∞α∈∀≥ ;x,0'y
Hệ số
f giảm
()
+
∞α∈∀≤ ;x,0'y
a = 0 Xét dấu y’ a = 0 Xét dấu y’
⎩
⎨
⎧
≤Δ
>
0
0a

Thỏa
()
+∞α∈∀≥ ;x,0'y
⎩
⎨

⎧
≤Δ
<
0
0a

()
+∞α∈∀≤ ;x,0'y
⎩
⎨
⎧
>Δ
>
0
0a

[
)
+−+
+
∞
α
∞−
00'y
;xxx
21

α≤<⇔
21
xx

⎩
⎨
⎧
>Δ
<
0
0a

[
)
−+−
+
∞
α
∞
−
00'y
;xxx
21

α≤<⇔
21
xx

a < 0 Không thỏa a > 0 Không thỏa
* TH2:
(
]
(

]
[
]
(
)
α
β
α
β
α∞α− ;hoặc; và ;- hoặc;∞
Tăng
0'y ≥
(
]
(
]
α∞α∞− ;- hoặc;
(
)
[]
βα
β
α
; hoặc;
(
]
+−+
∞
+
α∞−

00'y
xx;x
21

⎩
⎨
⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

−+−
∞+
∞
−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤
β
<
α

≤

Giảm
0'y
≤

(
]
(
]
α∞α∞− ;- hoặc;
(
)
[]
βα
β
α
; hoặc;
(
]
−+−
∞
+
α∞−
00'y
xx;x
21

⎩
⎨

⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

+−+
∞+
∞
−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤
β
<
α
≤

3. Hàm hữu tỷ:
(
)
'bx'a

xg
'bx'a
cbxax
y
2
+
=
+
++
=

Cách 1: Giải như phần II.2
Cách 2: Phần II.2 cũng có thể làm theo cách này.
f tăng hoặc
(
+∞α;
)
α≥x f giảm
(
)
+
∞
α
; hoặc α≥x
()
(
)(
() ()
)
() ()

()
()

(
)
(
)()
() ()
() ()
()
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤α
α≤−
<
⇔
∞+
−
∞+α−
α=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+∞−⇒≤⇔
+∞α∈∀≤
+
∞
α
∈
∀
≤
0g
a2
b
0a
xg CĐ
xg
0x'g
a2
b
x
gxg max
;
a2
b
trong giảm xg0xg max
;x,0xgthì;x,0'y

+
()
()

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥α
α≤−
>
⇔
∞+
+
∞+α−
α=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−⇒≥⇔
∞α∈∀≥+∞α∈∀≥
0g
a2
b
0a
CT
xg
0x'g
a2
b

x
gxg min
;
a2
b
trong tăng xg0xg min
;x,0xg thì ;x,0'y
xg

III. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT:
1. Bất đẳng thức:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


9
() () ( )
() ()
() () ()
() () ()
fx 0 hoặc fx 0,x a;b
fx tăng thì x 0 fx f0
f ' x f x tăng hoặc giảm
fx giảm thì x 0 fx f0
≤≥∀∈
≥⇒ ≥
⇒⇒
≤⇒ ≤
⎡
⎢
⎣

Nếu BĐT có 2 biến thì:
() ()
β
<α
f
f
với
ba
<
β<α<

Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng
()
(
)
(
)
(
)
() () ()
⎩
⎨
⎧
β>α⇒β<α⇔
β<α⇒β<α⇔
⇒βα
ff giảm xf
fftăngxf
;

2. Phương trình có nghiệm duy nhất:
• Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất.
) Suy đoán x = x
0
là nghiệm của phương trình.
) Chứng minh x
0
là nghiệm duy nhất ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm).
• Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất.
) Suy đoán x = x
0
là nghiệm của phương trình.
) Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghòch biến).

CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. CỰC TRỊ:
()
(
)
()
()
() ( )
()
()
f đạt CĐ f' x 0 đổi dấu ( ) sang (-)
0
f đạt cực trò tại x f ' x 0
00
f đạt CT f' x 0 đổi dấu (-) sang ( )

0
f' a 0
f có đạt cực trò tại x f ' x 0 : Hàm f x nhận M a,b làm cực trò
00
fa b
f đạ
⇔> +
⇒=⇒
⇔< +
=
⇒= ⇔
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
()
{
()
()
()
{
()
()
()
()
a0

t CĐ và CT f' x 0 đổi dấu 2 lần f không đạt cực trò
0
f' x 0 Vô nghiệm
a0
f ' x 0 không đổi dấu
0
f' x 0 Nghiệm kép
f' x 0 f' x 0
00
f đạt CĐ tại x f đạt CT tại x
00
f" x 0 f" x
00
≠
⇔= ⇔ ⇒
Δ>
=
≠
⇔= ⇔ ⇔
Δ≤
=
==
⇔⇒ ⇔
<
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎨

⎪
⎩
0>
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

II. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ:
()
()
()
22
ax bx c aa'x 2ab'x bb' a' c
yy'f'x
2
a'x b'
a'x b'
2
y' 0 aa'x 2ab'x bb' a'c 0 (1) aa' 0
*f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0
b'
*f không có CĐ, CT thì (1) vô nghiệm y' 0 hay ag -
a'
++ + + −
=⇒==
+

+
=⇔ + + − = ≠
⇔Δ >
⇔Δ <
⎛
⎜
⎝
()
()
0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ.
y' 0 y' 0;x x
2 điểm cực trò cùng 1 phía đối với Ox
12
*f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT cùng dấu
đồ thò cắt Ox tại 2 điểm phâ
y.y 0
max
min
<⇒
=Δ> ≠
⇔⇔
>
⎞
⎟
⎠
⎧
⎨
⎩
()
()

()
()
()
y' 0 y' 0
n biệt
y0 y0
y' 0 y' 0
y' 0 y' 0;x x
12
*f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT trái dấu Đồ thò không cắt Ox
y0 y0
y.y 0
max
min
*Điều kiện cần và đủ để tồn
⎧
=Δ>
⎪
⇔
⎨
=Δ>
⎪
⎩
=Δ>
=Δ> ≠
⇔⇔⇔
=Δ<
<
⎧
⎨

⎩
⎧
⎧
⎨⎨
⎩
⎩
()
b'
tại 1 điểm mà từ đó kẻ đến C được 2 tiếp tuyến là: ag 0
a'
−>
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


10


III. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG:
1. Dạng 1:
()
42 2
y ax bx c y' 2x 2ax b
2x 0
y' 0
2
2ax b 0 (1)

f có 3 cực trò (1) có hai nghiệm phân biệt x 0
*
f có 2 điểm uốn ab 0
a0,b0
f có một cực trò a 0, b 0
*
f không điểm uốn (1) vô nghiệm
=++⇒= +
=
=⇔
+=
≠
⇔
<
=≠
≠=
⇔
⎡
⎢
⎣
⎡⎡
⎢⎢
⎣⎣
⎡
⎢
⎣
ab 0≥
⎡
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣

2. Dạng 2:
()
()
432 2
yaxbxcdy'x4ax3bxc
x0
y' 0
2
4ax 3bx c 0 (2)
0
f chỉ có CT (2) vô nghiệm hoặc nghiệm kép
*
g0 0
mà không có CĐ (2) có nghiệm x 0 hoặc 1 nghiệm x 0
=+++⇒= ++
=
=⇔
++=
Δ≤
⇔⇔
=
=≠
⎡
⎢
⎣
⎡

⎡⎡
⎢
⎢⎢
⎣⎣
⎣


3. Dạng 3:
()
()
()()
()
()
()
432 3 2
yaxbxcxdxey'4ax3bx2cxd
2
y' x Ax Bx C x g x 0 y' có nghiệm thực
g x 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép
0
* f có một cực trò
g0
g x 0 có nghiệm x hoặc x
=++++⇒= + ++
=−α ++ =−α = α
=
Δ≤
⇔⇔
α
=

==α≠α
⎡
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣

Chú ý:
()
[]
1) f có cực trò mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x x
12
2) f có cực trò mà hoành độ nhỏ hơn x x hoặc x x
1212
3) f có cực trò trong ; y' 0 thỏa x x
12
4) f đạt CĐ tại x , , đạt
α⇔ = α< <
α⇔ <α< < ≤α
αβ ⇔ = α< < <β
∈αβ
[]
CT tại điểm ngoài x ; y ' 0 thỏa x x
01
∈αβ⇔ = α≤ ≤β≤
2

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ:
1. Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố đònh của (C
m
) : y = f
m
(x) có bậc ba:
1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố đònh hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố đònh tương ứng từ y
0
= f
m
(x
0
) (I) là:
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++=
+++=
⇔
)II(0dxcxbxaxg
)I(dxcxbxaxf
101

2
01
3
010
202
2
02
3
020m

Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố đònh.
2/ Thực hiện phép chia đa thức f
m
(x
0
) : g(x
0
) để đưa (I) về dạng:
() ()

quả hệtrình phương
0
khôngbằng
000
xxgxfy
β
+
α+
γ
==

()
β+α=⇒ xy:d : là đường thẳng đi qua ba điểm cố đònh của (C
m
); ∀m.
Hay ba điểm cố đònh của (C
m
) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố đònh đó).

2. Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trò của hàm bậc ba (C
m
) : y=f
m
(x)
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


11
1/ Gọi (x
0
,y
0
) là các điểm cực trò của (C
m
) thì nó thỏa hệ:
()
() ()
()
32
yfx axbxcxd (I)

m
00000
2
gx f'x 3ax 2bx c 0 (II)
0000
2
với: b -3ac 0; m D
m
==+++
==++=
>∀∈
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

2/ Thực hiện phép chia f
m
(x
0
) : g(x
0
) để đưa (I) về dạng:
()( )()

quả hệtrình phương
0

khôngbằng
000m0
xxgxxfy ξ+
γ
+
β+α==

()
trò cực điểm haiqua thẳng đường là:Dm ;xy:d
m0
∈∀ξ+γ=⇒ .

3. Dạng 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm hữu tỷ
() ()
()
()
xv
xu
xfy:C
1
2
mm
==

1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cực trò của (C
m

); thì nó thỏa hệ:
()
()
()
()
()
()
()
()
ux
0
yI
0
vx
u' x
0
yx
0
v' x
ux
0
0II
phương trình hệ quả
vx
0
=
⇒= =α+
′
=
⎧

⎪
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
  
β

2/Ta có:
()
β
+α= xy:d là đường thẳng qua hai cực trò của (C
m
) (mặc dù ta không cần tìm rõ tọa độ hai điểm cực trò của nó).
4. Dạng 4: Đường thẳng đi qua ba điểm uốn của (C
m
) : y = f
m
(x)
1/ Gọi (x
0
;y
0

) là điểm uốn của (C
m
); thì nó thỏa hệ:
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=+++==
=
0dxcxbxaxgy
xfy
101
2
01
3
010
"
0
0m0

Với g(x
0
)=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã được chứng minh là có 3 nghiệm phân biệt.
2/ Thực hiện phân tích: Biến đổi thêm bớt để rút ra:
(
)

quả hệtrình phương

0
không bằng
00
xxgy
β
+
α
+
γ
=

3/ : là đường thẳng qua ba điểm uốn.
()
m
Dm ;xy:d ∈∀β+α=⇒

V. PHƯƠNG TRÌNH CHÙM PARABOL:
Trong hệ trục Oxy; đường cong (P): y = ax
2
+ bx + c
(
0a
)
≠
là một Parabola có trục đối xứng song song Oy.
Khi (P) đi qua đồng thời ba điểm A(x
A
;y
A
); B(x

B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) cố đònh thì ta luôn xác đònh được bộ ba (a;b;c) duy nhất trong hệ trục
Oxy.
Khi (P) chỉ đi qua hai điểm A, B hoặc chỉ đi qua duy nhất điểm A, thì ta sẽ nhận được các Parabola lưu động của họ Parabola và
chúng tạo thành chùm (như chùm đường thẳng, chùm đường tròn trong mp (Oxy) đó).

y
A
B
(d):y = x +
α
β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b

0
x

y
A
(d):y = x +
αβ
x
A
y
A
(P )
A
0
x

() ( )( )
β
+α+−−λ=
λ
xxxxxy:P
BA

(
)
(
)
β+α+−λ=
λ
xxxy:P

2
A

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


12
y
A
B
(d):y = x +
α
β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A

S
(d):y = y
A
(
)
:
x
=
x
Δ
A
x
A
y
A
(P )
A
0
x

() ( )( )
β
+
−
−λ=
λ BA
xxxxy:P

(
)

(
)
(
)
β+−−λ=
λ
2
AA
xxxxy:P

•
Tập hợp các Parabola (P
λ
) đi qua nhiều nhất hai điểm cố đònh A và B gọi là chùm Parabol (P
λ
); với là tham số đặc
trưng của chùm.
0≠λ
•
Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta được chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) được gọi là đường đế của
chùm (Pλ) lúc đó.
•
Phương trình của chùm (P
λ
) đi qua hai điểm đế A, B và nhận
(
)
qxy:ABd
+
α

=
≡
làm đường đế, có dạng:
(
)()
(
)
(
)
0xxxxxy:P
BA
≠
λ
β
+
α
+
−
−
λ=
λ
(*)
) Khi đường đế xiên góc:
(
0 và yy
BA
)
≠
α
≠ , là trường hợp tổng quát của (*).

) Khi đường đế nằm ngang:
(
0hayyy
BA
)
=
α
= , ta có trường hợp (P
λ
) có đường đế bằng
()
β
=
=
A
yy:d
(vuông góc với các trục đối xứng của (P
λ
)).
()
(
)
(
)
)1(yxxxxy:P
ABA
+
−
−
λ

=
⇒
λ

) Khi ta có trường hợp (P
BA,0 ≡≠α
λ
) là chùm tự tiếp xúc (có trục đối xứng của (P
λ
) song song (Oy)).
()
(
)
)2(xxxy:P
2
A
β+α+−λ=⇒
λ

) Khi ta có trường hợp (PBA,0 ≡=α
λ
) là chùm tự tiếp xúc tại đỉnh (chung đỉnh, đường đế vuông góc với trục đối
xứng duy nhất của (P
λ
))
()
(
)
)3(yxxy:P
A

2
A
+−λ=⇒
λ

•
Chùm Parabola:
()
(
)
(
)
()


đế đường cho
trưng đặc Phần
qua điP mà đònh cố điểm
lượng số cho trưng đặc Phần
BA
xxxxxy:P
β
+
α
+
−
−
λ
=
λ

λ

B
1
: Xác đònh:
()
()
Hai điểm cố đònh (I)
Họ P qua
Một điểm cố đònh (II)
Xiên góc (đế xiên) (III)
Đường đế d
Đế bằng (IV)
λ
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

B
B
2
: Họ (P
λ
) thỏa các cặp thứ tự (I, III); phương trình (P
λ
) có dạng tổng quát như ở (*).

) Khi (Pλ) thỏa (I, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (1).
) Khi (Pλ) thỏa (II, III): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (2).
) Khi (Pλ) thỏa (II, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (3).
B
B
3
: Đưa các giá trò cụ thể của giả thiết vào phương trình của (P
λ
), ta sẽ xác đònh được
0
λ
=
λ
bằng các phương trình đặc trưng.
Lấy x
0
thay vào các phương trình (P
λ
) ta có ngay ycbt.

VI. TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ:
1. Nằm cùng phía với trục hoành
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
⇔
0y.y
0'y

21

2. Nằm ở hai góc phần tư:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


13

(I) và (III) (II) và (IV)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=>
<<
>Δ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<
>>
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
hoặc
0y;0x

0y;0x
0'y
'y
21
22
11

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=<
<<
>Δ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<>
><
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y

'y
21
22
11


VII. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1 HOẶC 3 ĐIỂM:
(*)0dcxbxax :điểm giao PTHĐdcxbxaxy
2323
=+++⇒+++=


(*) có nghiệm đặc biệt x
0
()
(
)
0cbxaxxx
2
0
=++−
Có nghiệm kép Có 1 nghiệm Có 3 nghiệm
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢

⎢
⎣
⎡
α==++
=++
⎩
⎨
⎧
=
=
x nghiệm 0cbxax
képnghiệm 0cbxax
chung nghiệm có
0'y
0y
2
2

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
≤Δ
⇔
=++
a2
b
x

0
képnghiệm hoặcnghiệm vô
0cbxax
0
2

()
⎩
⎨
⎧
≠
>Δ
⇔
≠
=++
0xg
0
xx nghiệm 2 có
0cbxax
0
0
2

(*) không có nghiệm đặc biệt
cbx2ax3'y
2
++=

⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=
=
=
chung nghiệm
0'y
0y
0yy
minmax

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
≤Δ
0yy
0'y
0'y
minmax

⎩
⎨
⎧
<
>Δ
0yy
0'y
minmax


Ghi chú: PT bậc 3: y=0 không thể có 3 nghiệm phân biệt
⎩
⎨
⎧
>
≤Δ
⇔
0yy
0'y
minmax

VIII. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3 ĐIỂM CÓ HOÀNH ĐỘ DƯƠNG (HAY ÂM):
Hoành độ
Hoành độ dương Hoành độ âm
Lớn hơn α Nhỏ hơn α
()
⎪
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ

()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

<
<
<
>
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<<α
<α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y

minmax
21

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
α<<
>α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21

CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]:
•
f liên tục trên [a;b] có M[GTLN] và m[GTNN] của f trên [a;b]
()
[]
b;axMxfm ∈∀≤≤⇔
•

Tìm giá trò cực trò của f(x) trên [a;b] để tìm maxf và minf.
Chú ý 1:
1.
[]
[]
(
)
(
)
{
}
[]
() (){}
CTCĐ
b;ax
CTCĐ
b;ax
f,f,bf,afminm
f
,
f
,b
f
,a
f
maxMba; trên tụcliên
f
min
f
maxf,

∈
∈
=
=
⇒⇔∃

2. Dùng MGT tìm max, min: .
Mym
0
≤≤
3. Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky.
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


14


Chú ý 2:

1. Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;b) có điểm cực trò
(
)
b;ax
0
∈
.
min
max
y
00'y

xxx
21
+−+
∞
+
∞−

max
min
y
00'y
xxx
21
−+−
∞
+
∞
−


2. f(x) tăng hoặc giảm trên [a;b]
()
∞+
=
+
∞+
afy min
y
'y
xx

0

()
∞−
=
−
∞+
bfy max
y
'y
xx
0


II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN
[
]
β
α
; :
•
a>0 hoành độ đỉnh
a2
b
x
0
−=

) Nếu
[]

()
(
)
(
)
{
}
x;:min yfx; max ymaxf,f
00
∈αβ = = α β

) Nếu
[]
() ()
x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.
0
∉αβ α β
•
a<0
) Nếu
[]
()
(
)
(
)
{
}
x ;:max yfx; min ymaxf ,f
00

∈αβ = = α β

) Nếu
[]
() ()
x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.
0
∉αβ α β
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1:
()
(
)
(
)
(
)
GTLN fx max fx và GTNN fx min fx
xD xD xD xD
ff f
==
∈∈ ∈ ∈
f

()
()
()
fx m;x D
đn
min f x m

xD:fx m
xD
0f 0
f
≥∀∈
=
∃∈ =
∈
⎧
⎪
←⎯→
⎨
⎪
⎩

()
()
()
fx M;x D
đn
max f x M
xD:fx M
xD
0f 0
f
≤∀∈
=
∃∈ =
∈
⎧

⎪
←⎯→
⎨
⎪
⎩
y
A
B
a
b
0
x
xfminy
bxa
CT
≤
≤
=
xfmaxaf
bxa
≤
≤
=
f(b)


2. Phương pháp 2:
B
B
1

: Kiểm tra tính liên tục của hàm f trên
[]
b;aD
f
=
B
B
2
: Tìm các số cực đại, số cực tiểu (giá trò y
0
=f(x
0
) của các cực trò đòa phương tại các điểm
(
)
b;ax
0
∈
).
Tìm f(a), f(b): là các số trò biên của hàm f.
B
B
()
()
3
: So sánh f(a), f(b) và các y
0
, ta có:
() ()( ){}
() ()( ){}

xf miny các;bf;afminm
x
f
maxy các;b
f
;a
f
maxM
bxa
0
bxa
bxa
0
bxa
≤≤≤≤
≤≤≤≤
==
=
=

Ghi chú: Khi viết , ta có tập giá trò của hàm f là: f(D
()
Mxfm ≤≤
f
) = [m;M]

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


15

CHỦ ĐỀÀ 5: LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN, TIỆM CẬN
I. LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN I(x
0
,f(x
0
)):

xx x
01 02
y" 0 0
y Lõm Uốn Lồi Uốn Lõm
−∞ +∞
+−
+

xx
0
y" 0
y Lồi Uốn Lõm
−
∞+
−+
∞


Dấu hiệu điểm uốn:
Dấu hiệu 1:
() ()
(

)
(
)
000
f x 0 ; f x đổi dấu - ,x ; x ,
′′ ′′
=∞
0
+∞

Dấu hiệu 2:
()
()
()
()
fx 0 fx 0
00
hoặc
fx 0 fx 0
00
′′ ′′
==
′′
≥≤
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪
⎩⎩

II. CÁC DẠNG ĐIỂM UỐN:

HÌNH DẠNG ĐIỂM UỐN DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐIỂM UỐN
I
(T)
(C)
f"<0
f">0

()
()
(
)()
()
()
()
() ()
xa;b:fx0;fx
000
i
f x đổi dấu khi x đi qua x
0
I x ;f x : là điểm uốn của C : y f x
00
′′ ′
0
∃
∈=∃
′′
⇒=

⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
≠

I
(T)
(C)
f"<0
f">0

()
()
(
)
()
()
()
() ()
xa;b:fx0
2
00
i
f x không đổi dấu khi x đi qua x
0
I x ;f x : là điểm uốn của C : y f x
00
′

∃∈ =
′
⇒=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

I
(T)
(C)
f"<0
f">0

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
x a;b :gt mở rộng f x
3
00
i:
f x đổi dấu khi x đi qua x

0

giá trò mở rộng f x
0
4
i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc
0
f x đổi dấu khi x đi qua x
0
Ix,fx : là
00
′′
∃∈ =∞
′′
′
=∞
′
′′
⇒
⎡
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
⎩
⎢
⎧
⎢

⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
⎢
⎩
⎣
() ()
điểm uốn của C : y f x=

III. TIỆM CẬN:

Tiệm cận đứng x = x
0
Tiệm cận ngang y = y
0
Tiệm cận xiên y = ax+b
∞=
→
ylim
0
xx

0
x
yylim
=
∞→

()
[]
()
[]
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
∞=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
=
∞→
∞→
∞→

∞→
0baxylim
lim
baxylimb
x
y
lima
x
x
x
x


Chú ý:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


16
() ()
xiêncậntiệmlàbaxy thì 0xlim với xbaxy
x
+=
=
εε++=
∞→



1. Hàm phân thức
()

()
xQ
xP
y
=
:
TCĐ: x = x
0
TCN TCX TC cong là Parabola
Tìm nghiệm x
0
của Q(x) =
0
Bậc P(x)
≤ Bậc Q(x)
Bậc P(x) > Bậc Q(x) 1 bậc Bậc P(x) > Bậc Q(x) 2 bậc
2. Hàm hữu tỷ:
()
()
'bx'a
'a
'b
P
'a
'abb'a
x
'a
a
xQ
xP

'bx'a
cbxax
y
2
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+==
+
++
=

TCX:
'a
'abb'a
x
'a
a
y0
'bx'a
'a
'b

P
lim
2
x
−
+=⇒=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→


3. Hàm vô tỷ (hàm căn thức): y = f(x)
• Nếu
() () ()
b
2
f x ax bx c a x x . Với lim x 0
x
2a
=++=++ε ε=
→∞
b
Nhánh trái : y - a x
b

2a
TCX : y a x
2a
b
Nhánh phải : y a x
2a
=+
⇒=+=
=+
⎡
⎛⎞
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎢
⎛⎞
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣

•
Nếu
() ()
x
2
p
xbaxqpxxbaxxf
2

ε++++=++++=

p
Nhánh trái : y ax b- x
p
2
TCX : y ax b x
2
p
Nhánh phải : y ax b x
2
=+ +
⇒=+++=
=+++
⎡
⎛⎞
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎢
⎛⎞
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣

4. Đặc biệt:
() () () ()
()

() () ()
() ()
lim f x
x
C y f x g x x mà T y g x là tiệm cận cong.
lim f x g x lim x 0
xx
=∞
→∞
==+ε ⇒ =
−=ε=
→∞ →∞
⎧
⎪
⎨
⎡⎤
⎪
⎣⎦
⎩



CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ

I. HÀM BẬC HAI:
() ()
(
)
0acbxaxxfy:P
2

≠++==

•
Tam thức bậc hai có dạng:
() ()
(
)
0acbxaxxfy:P
2
≠++==

Gọi
2a
b-
xđặt 0, khi;ac4b
1,2
2
Δ±
=≥Δ−=Δ
, ta có f(x
1
) = f(x
2
) = 0 thì x
1
, x
2
là hai nghiệm của tam thức bậc hai (cũng là
hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax
2

+bx+c = 0).
•
Tính chất của các nghiệm số x
1
; x
2
(quy ước x
1
< x
2
)
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


17
thuận) Viete lý (Đònh
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

⎧
==
−=+=

)
()
a
x-x :đề Mệnh
21
Δ
=⇒

) Hệ quả (Đònh lý Viete đảo): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
()
⇒
()
(
)
04P-S :Với0PSxxxf
22
≥=+−=

) Nếu
21
x0x0
a
c
P <<⇔<=
(hai nghiệm trái dấu)
Ta có hai trường hợp nhỏ:

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
<⇒>−=
>⇒<−=
21
21
xx0
a
b
S
xx0
a
b
S

) Nếu
0xx
0
a
b
S
0
a
c
P
21

<<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<−=
>=
(hai nghiệm đều âm)
) Nếu
21
xx0
0
a
b
S
0
a
c
P
<<⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

>−=
>=
(hai nghiệm đều dương)
•
Tính chất đồ thò
()
(
)
cbxaxxfy:P
2
++==

là một Parabola (đứng) có đỉnh
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
a4
;
a2
b
S

) Để ý
a2
b

x
S
−=
; là nghiệm kép của tam thức bậc hai, thì
a2
b
x:d
−=
là trục đối xứng của (P).
•
Dấu tam thức bậc hai:
Viết tam thức dưới dạng:
()
(
)
0aac4abx4xa4xaf4
22
≠++=

() ( )
() ( ) ()
4ac-b với ;*bax2xaf4
bac4bax2xaf4
2
2
2
2
=ΔΔ−+=⇔
−++=⇔

Từ (*) ta có đònh lý thuận về dấu tam thức bậc hai như sau:
Tam thức bậc hai luôn có dấu của hệ số a; với mọi giá trò của x và chỉ loại trừ hai trường hợp:
) Nếu
0
a2
b
af0 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒=Δ

) Nếu
()
(
)
21
x;xx;0xa
f
0 ∈∀
<
⇒<Δ


0>Δ

•

Tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x) trái
dấu a
•

[]
{}
0;x;x
21
φ
≠

()
xx
12
||
Cùng Trái Cùng
2
f x ax bx c dấu 0 dấu 0 dấu
aa
||
a
−
∞+
=++
∞

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


18
0=Δ

•
Không tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x)
trái dấu a
•

[]
{}
0x;x
21
=
⇒ Sự trái dấu bò suy biến
()
b
xxx
12
2a
|
Cùng Cùng
2
f x ax bx c dấu 0 dấu

aa
|
−
∞==−
=++
+∞

0<Δ

•
Không tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x)
trái dấu a
•

[]
φ=
21
x;x
⇒ Sự trái dấu bò biến mất
()
x
Cùng
2
f x ax bx c dấu
a
−

∞+
=++
∞


•
Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của tam thức bậc hai:
Dấu a

Dấu Δ
a>0 a<0
Δ > 0
y
(P)
S
x
1
x
2
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)

S
x
1
x
2
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

Δ < 0
y
(P)
S
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)
S

0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

Δ = 0
y
(P)
S
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)
S
0
x
a2
b
−

a4
Δ
−

max
min
()
a2
b
x khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈

()
a2
b
x khi;
a4
xfGTNN
Rx
−=
Δ
−=
∈

) Đònh lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
Nếu tồn tại số thực
()
0af thỏa
<
αα , thì tam thức B
2
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
21
xx <
α
<
.
) Hệ quả:
Nếu tồn tại hai số thì tam thức B
()()
0ffcho sao và <βαβα
2
có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
và có một nghiệm nằm trong
khoảng
()( )

β
<α
β
α với ; .
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


19
Chẳng hạn:
2121
xx hayxx <β<<
α
β<<α<
•
Từ đònh lý đảo ở trên ta có sự so sánh một số thực α với hai nghiệm x
1
, x
2
của tam thức
()
(
)
0acbxaxxf
2
≠++=

như sau:
) TH1: (không cần xét dấu Δ, vì luôn luôn có Δ > 0).
()
21

xx0xaf <α<⇔<
) TH2: Δ < 0: việc so sánh không đặt ra.
) TH3:
() ()
0
af 0 x x xem hình 1
12
S
0
2
Δ>
α> ⇔α< <
−α>
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

x
1
x
2
α

x

/

/
/
/
(hình 1)

2
x
x
2
S
2
1
+
=

) TH4:
() ()
2 hìnhxem
0
2
S
xx0af
0
21
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

⎧
<α−
α<<⇔>α
>Δ

x

1

x
2
α
x

/
/
/
/
(hình 2)

2
xx
2
S
21
+
=


•

Tam thức có ít nhất ba thực nghiệm
()
cbxaxxf
2
++=
0cba
=
=
=
⇔

•
Hai tiếp tuyến phát xuất từ một điểm bất kỳ M đến trên đường chuẩn (d) đến Parabola đều vuông góc với nhau và đồng thời
đoạn nối các tiếp điểm T
1
T
2
luôn luôn đi qua tiêu điểm F của (P).
(P)
(d)
M
T
1
(t )
1
(t )
2
T
2

II. HÀM BẬC BA:
() ()
(
)
0adcxbxaxxfy:C
23
≠+++==
Học sinh xem phần này trong Sgk
() () ( )
0adcxbxaxxfy:C
23
≠+++==

•
MXĐ:
()
+∞∞−= ;D
•
Các đạo hàm:
2b6axy và cbx2ax3y
2
+=
′′
++=
′
•
Tâm đối xứng là điểm uốn:
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
a3
b
f;
a3
b
I

•
Xét . Ta được bảng tổng kết.
ac3b
2
'y
−=Δ
′
=Δ
′

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


20
0
0a
<Δ
′
>

∞+
∞−
+
′
∞
+
∞
−
y
y
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

0
0a
<Δ
′
<

∞−
∞+
−
′
∞
+
∞
−
y
y
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

0
0a

=Δ
′
>

∞+
∞−
++
∞+∞−
y
'y
a3
b
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

0
0a
=Δ
′
<

∞−

∞+
−−
∞+∞−
y
'y
a3
b
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21
<
=
′
<Δ
′
>

∞+
∞−
+−+
∞
+
∞−
CT
CĐ
y
00'y
xxx
21

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

)xx
nghiệm 2 có 0y(
0
0a
21
<
=
′

<Δ
′
<

∞−
∞+
−+−
∞
+
∞−
CĐ
CT
y
00'y
xxx
21

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

Chú ý: Xem thêm phần 7 CHỦ ĐỀà 3
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thò (C) ở trên có điểm cực tiểu và điểm cực đại (hàm số có cực trò) là:

() ()

0ac3b có cbx2ax3xgx'f'y
2
g
2
>−=Δ
′
++===
2. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò. Ba điểm A, I, B thẳng hàng.
•
Gọi (x
0
;y
0
) là tọa độ các điểm cực trò ở trên nó thỏa:
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++=
+++==
0cbx2x3xg
dcxbxaxxfy
0
2
00
0

2
0
3
000

•
Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x
0
) : f(x
0
), ta có:
()( )()
(
)
00 0 000 000 0
y f x Ax B g x x y x vì g x 0==+ +α+β⇔=α+β =

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


21
• Vậy, là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của (C). Điểm uốn của (C) là
()
β+α= xy:d
(
)
dI∈ hay A, I, B
thẳng hàng.
•
Do đó tọa độ các điểm cực trò và điểm uốn là:

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
β+
α
−=
−=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
a3
b
y
a3
b
x
I;
xy
xx

B;
xy
xx
A
1
1
CTA
CTA
CĐA
CĐAI

3. Quỹ tích của cực trò, điểm uốn hàm bậc ba
Từ các tọa độ A, B, I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó.
) Khử tham số m.
) Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với mọi giá trò tham số
m
Dm ∈
∀
.
) Quỹ tích của A, B hay I là
()
β
+
α= xy:d
4. Đònh tham số để hàm bậc ba cắt trục hoành trong các trường hợp
TH
1
: (C) tiếp xúc Ox thì hệ sau có nghiệm:
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
=++
=+++
⇔
⎩
⎨
⎧
=
′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2
23
TH
2
: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<β+αβ+α=
>−=Δ
′

⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH
3
: (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt:
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=β+αβ+α=
>−=Δ
′
⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH
4
: Luôn cắt Ox tại ít nhất một điểm hay phương trình:
(
)
0a0dcxbxax

23
≠=+++
: không thể vô nghiệm.
TH
5
: (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất:
()()
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>β+αβ+α=
>−=Δ
′
≤−=Δ
′
⇔
0xxyy
0ac3b
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g

2
g
TH
6
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm dương:
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
>
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<

<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoặc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCĐ
CĐ
CTCĐ
y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x

CĐ
x
3

y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CT
x
3


TH
7
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm âm:

() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoặc
0x

00f
0yy
0a
CĐ
CTCĐ
CT
CTCĐ
y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CĐ
x
3

y
(C)
0
x
x

1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CĐ
x
3

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


22

TH
8
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm dương:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
>
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g

CT
CTCĐ
g
y
y
0
x
x
1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CĐ
y
CT
x
3

y
y
0
x
x

1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CĐ
y
CT
x
3


TH
9
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm âm:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
<
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g

CĐ
CTCĐ
g

y
y
0
x
x
1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CT
x
3

y
y
0
x
x
1

x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CT
x
3

5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng
TH
1
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng hay
x
1
+ x
3
= 2x
2
hay
()

mà AB = BC.
{ }
C;B;AOxC =∩
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∃>−=Δ
⇔
OxI uốnđiểm:0
a3
b
f
CT;CĐ:0ac3b'
2
g

TH

2
: Đònh lý Viete: Khi ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm x
1
, x
2
, x
3
và không chỉ đúng một nghiệm đơn thì:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=++
−=++
a
d
xxx
a
c
xxxxxx

a
b
xxx
321
133221
321

6. Dạng đặc biệt của hàm bậc 3:
Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có một nghiệm x
0
= α
() ( ) ( )
⎢
⎣
⎡
=ϕ++αα+α++=
α=
⇔
0baxbaxxg
x
2
) Có 3 nghiệm đơn
()
⎩
⎨
⎧

>Δ
≠
⇔
0
0xg
g
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


23
) Có đúng hai nghiệm
()
(
)
⎩
⎨
⎧
>Δ
=
∨
⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
⇔
0
0xg
0
0xg

gg

) Có đúng một nghiệm
(
)
⎩
⎨
⎧
=Δ
≠
∨<Δ⇔
0
0xg
0
g
g



7. Dạng không đặc biệt của hàm bậc 3
TH
1
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (*) không tìm được nghiệm đặc biệt thì (*) có nghiệm kép:
(
0a ≠
)

)
thì
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
⇔
0cbx2ax3
0dcxbxax
:nghiệm có sau Hệ
2
23

TH
2
: Giải (*) bằng đồ thò hoặc sử dụng trong (*) đònh lý Bolzano Cauchy.
[]
()()
() ( )
ba;cx nghiệm có 0xf
0bfaf
ba; trên tục liên f
0
∈==⇒
⎭
⎬
⎫

<

Nếu giả thiết ở đònh lý Bolzano Cauchy cho thêm f đơn điệu thì x
0
= c là nghiệm duy nhất của f(x)=0.
TH
3
: Đồ thò (C): y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có:
()
0a ≠
) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé, lớn khi a > 0, a < 0 so với hệ số góc của mọi tiếp tuyến có được với (C).
) Qua mọi (điểm uốn của (C)) chỉ kẻ đúng được một tiếp tuyến với (C).
()
Iy;x
00
≡
) Xét điểm tùy ý qua M kẻ đúng được hai tiếp tuyến với (C).
()(
Cy;xM
00
∈


III. HÀM BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3)
1. Dạng 1: Hàm bậc bốn
()

(
)
0acdxcxbxaxy:C
234
≠++++=

•
Đạo hàm: y’ = 4ax
3
+ 3bx
2
+ 2cx + d là một đa thức bậc ba nên ít nhất một nghiệm thức α. Như vậy đạo hàm y’(x) có thể viết
dưới dạng: y’=(x - α).g(x). Trong đó: g(x) là một đa thức bậc hai px
2
+ qx + r (mà các hệ số p, q, r phụ thuộc vào α, a, b, c, d).
) Nếu g(x) vô nghiệm, g(x) chỉ có nghiệm duy nhất α và đổi dấu qua α ⇒ y(x) chỉ có một cực trò.
) Nếu g(x) có nghiệm kép, y’ đổi dấu khi qua nghiệm α hàm số chỉ cũng có một cực trò. Hoặc là g(x) có một nghiệm
bằng α và một nghiệm
x hàm số y cũng chỉ có một cực trò. α≠
2
T
1
T
2
(t)
(C)
) Nếu g(x) có hai nghiệm phân biệt
α
≠
21

x,x
thì hàm số có ba cực trò.
•
Tiếp tuyến với đồ thò tại hai tiếp điểm:
) B
1
: Gọi (t): y = αx + β là dạng tiếp tuyến không thẳng đứng của:
(C): y = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
Phương trình hoành độ giao điểm của (t) và (C) là:

(
)
(
)
432 432
ax bx cx dx e x ax bx cx d x e 0 1++++=α+β⇔+++−α++β=

) B
2
: Áp đặt (t) tiếp xúc (C) tại hai tiếp điểm T
1
(x
1
;y

1
) và T
2
(x
2
;y
2
) hay tạo điều kiện cho (1) có 2 nghiệm kép

21
xxxx =∨=
(
)
(
)
(
)
2xxxxaexdcxbxax
2
2
2
1
234
−−≡β++α−+++
()
có nghiệm.
) B
3
: Cân bằng hệ số hai vế của (2) (hay đồng nhất không hai vế của (2)), ta tìm được các giá trò thực cụ thể của các hệ
số:

00
;
β
=
β
α=α
và hoành độ tiếp điểm x = x
1
; x = x
2
.
Kết luận:
()
β
+α= xy:t
0
là tiếp tuyến cần tìm.
(d)
y
0
x
(C)
AB
CD
•
Đồ thò hàm bậc bốn và trục đối xứng song song Oy:
Xét đồ thò
()

cdxcxbxaxy:C

234
++++=
(
0a
)
≠
với giả sử
thì điều kiện cần để AB = BC = CD là (C) nhận (d) : x = α là
một trục đối xứng song song Oy. Hay:
() { }
D;C;B;AOxC =∩
() ( )
0a cdxcxbxaxxf
234
≠++++=
có bốn nghiệm tạo thành một cấp số cộng.
2. Dạng 2: Hàm trùng phương
()
(
)
0a cbxaxy:C
24
≠++=

•
MXĐ:
()
+∞∞−= ;D
•
Hàm số chẵn (trục đối xứng của (C) là Oy)

•
Sự biến thiên: Xét đạo hàm y’ = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


24
) Nếu chỉ có một nghiệm và đổi dấu khi x qua nghiệm ⇒ Hàm số có cực trò, đồ thò không có điểm
uốn.
0'y0ab =⇒≥
) Nếu có ba nghiệm, hàm số có ba cực trò, lúc này đồ thò có hai điểm uốn. Đồ thò nhận một trong
bốn dạng sau:
0'y0ab =⇒<

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
>
0ab
0a

y

0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
<
0ab
0a

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
>
>
0ab
0a

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧

>
<
0ab
0a


•
Bài toán đồ thò
() { }
CDBCAB:D;C;B;AOxC
=
=
=
∩
hay phương trình:
()
(
)
0a * 0dbxax
24
≠=++
có 4
nghiệm tạo thành cấp số cộng.
Đặt: . Lúc đó:
x;0xt
2
∀≥=
()
()
⎩

⎨
⎧
=++=
≥
⇔
0cbtattg
0t
*
2
Nên
2112
21
21
tt0tt
tt9
tt0
ycbt <<<−<−⇔
⎩
⎨
⎧
=
<<
⇔

•
Điều kiện cần để từ một điểm trên trục đối xứng kẻ đến đồ thò hàm trùng phương (C) ba tiếp tuyến là ba tiếp tuyến phải có
một tiếp tuyến nằm ngang.
IV. HÀM PHÂN THỨC NHẤT BIẾN
() () ()
0bcad0c

dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==

() () ()
0bcad0c kiệnđiều
dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==

•

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−∪
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−∞−= ;
c
d
c
d
;D

()
C:
c
d
xc
bcad
c
a
y
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−=⇒
là Hyperbola khi
0bcad0c
≠

−
∧
≠

•

bc-adD của dấu là dấu có :
c
d
xc
bcad
'y
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=

Giao điểm của hai tiệm cận đứng
()
c
d
x:d

1
−=
và tiệm cận ngang
()
c
a
y:d
2
=
là tâm đối xứng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
c
a
;
c
d
I
của đồ thò (C).

D = ad - bc > 0: hàm f tăng trên từng khoảng xác đònh
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt


25

c
a
||
c
a
y
||'y
c
d
x
∞−
∞+
++
∞+−∞−

y
0
x
(C)
a
b
−
d
b
()
c
a
y:d
2
=

()
c
d
x:d
1
=

D = ad - bc < 0: hàm f giảm trên từng khoảng xác đònh
c
a
||
c
a
y
||'y
c
d
x
∞+
∞−
−−
∞+−∞−

y
0
x
(C)
a
b
−

d
b
()
c
a
y:d
2
=
()
c
d
x:d
1
=

y
(t)
I
A
S
Δ
d
1
d
2
B
M (tùy ý)
x
(C)

y
I
H
S
Δ
d
1
d
2
K
M (tùy ý)
x
(C)


Gọi M là điểm tùy ý trên (C):
(
0bc-ad0c
dcx
bax
y ≠∧≠
+
+
=
)
còn (t) là tiếp tuyến tại M với (C). Hạ
() ()
c
a
y:dMK và

c
d
x:dMH
21
=⊥−=⊥
theo thứ tự đó. Xác đònh các giao điểm:
(
)() ()
(
)
;Bdt;Adt
21
=
∩=
∩
(nếu
có), thì:
•
AB luôn nhận M làm trung điểm.
•
Diện tích tam giác: SΔAIB = const.
•
Tích số MH.MK = const.
•
Diện tích tứ giác IHKM = const.
•
Đường thẳng tùy ý (Δ): y = αx + β có phương trình hoành độ giao điểm với (C) là:
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
≠+α=
+
+
c
d
-x bx
dcx
bax

() ( ) ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−β+−α+β+α=⇔ 0
c

d
g0bdxadcxcxg
2

•
M, N ở hai nhánh phân biệt thì các hoành độ x
M
= x
1
; x
N
= x
2
nằm về hai phía của tiệm cận đứng.
()
1
dd
d : x ag 0
cc
⎛⎞
=− ⇔ − <
⎜⎟
⎝⎠

•

()
00
c
d

x
NMMNmin
0
=
−≠
xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng (Δ) chứa MN là phân giác góc XIY chứa (C).
•
Nhắc lại công thức dời trục bằng phép tònh tiến vectơ OI
(
)
()()
⎩
⎨
⎧
+=
+=
→
I
I
yYy
xXx
với ;IXYOxy:OIT

V. HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
1
2
() ()
(
)
'cx'b

cbxax
cx'b
xP
xfy:C
2
2
+
++
=
+
==