ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10

Trêng THCS HOP HUNG Năm học 2009-2010
Buổi 10 Rót gän biĨu thøc
I, Mơc tiªu :
Häc sinh biÕt vËn dơng c¸c phÐp tÝnh , c¸c phÐp biÕn ®ỉi ®¬n gi¶n c¨n thøc bËc hai ®Ĩ
rót gän biĨu thøc chøa c¨n thøc bËc hai cđa c¸c sè kh«ng ©m.
VËn dơng ®Ĩ rót gän biĨu thøc chøa c¨n thøc bËc hai cđa biÕn ( tríc khi rót gän ph¶i
t×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ c¨n thøc cã nghÜa ) .
II, PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC :
GV : So¹n gi¸o ¸n , lùa chän bµi tËp .
HS : «n l¹i kiÕn thøc cò .
III, TiÕn tr×nh bµi d¹y :
Ho¹t ®éng cđa thµy Ho¹t ®éng cđa trß Ghi b¶ng
GV cho häc sinh «n l¹i kiÕn
thøc : C¸c phÐp biÕn ®ỉi ®¬n
gi¶n c¨n thøc bËc hai. C¸c
phÐp tÝnh c¨n bËc hai.
Häc sinh tr¶ lêi c©u
hái cđa gi¸o viªn ®Ĩ
«n l¹i kiÕn thøc cò .
Điền vào chỗ (…) để hoàn thành
các công thức sau:
2
2
1)
2) . ( ; )
3) ( ; )
4) . ( )
5) ( . ; )

A
A B A B

A
A B
B
A B B
A AB
A B B
B
=
=
=
=
=
A A B
B
B
=
………
2
( )C C A B
A B
A B
=
−
±
m
………
GV cho häc sinh lµm bµi tËp
vËn dơng
Bµi 1. rót gän :
a,

( )
04542053 ≥++− aaaaa
b,
5
4
4
65 −−+
a
a
a
a
c, 5
520
2
1
5
1
++
d,
5,125,4
2
1
++
? §Ĩ rót gän biĨu thøc a, ta
lµm nh thÕ nµo
HS theo dâi ®Ị bµi
trªn b¶ng .
HS tr¶ lêi : ®Ĩ rót
Bµi 1: Rót gän c¸c biĨu thøc sau :
a,

3 5 20 4 45 ( 0)
3 5 4 5 12 5
13 5 (13 5 1)
a a a a a
a a a a
a a a
− + + ≥
= − + +
= + = +
b,
4
5 6 5 ( 0)
4
a
a a a
a
+ − − >
4
5 6 5 ( 0)
4
5 3 2 5
6 5
a
a a a
a
a a a
a
+ − − >
= + − −
= −

GV : Phïng Tn Khoa Tỉ bé m«n : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
GV Gọi học sinh lên bảng làm
bài .
GV gọi hs nhận xét và chữa
lỗi sai của bài làm.
? Để rút gọn biểu thức b, ta
làm nh thế nào
GV cho học sinh vận dụng
làm câu c, d
GV nhận xét bài làm của học
sinh nhắc nhở các lỗi trình
bày.
gọn biểu thức a ta
áp dụng đa thừa số
ra ngoài dấu căn
HS nhận xét bài làm
của bạn trên bảng .
HS cả lớp vận dụng
làm câu c, d
HS theo dõi giáo
viên nhận xét .
2
1 1
)5 20 5
5 2
1.5 1
5 4.5 5
5 2
5 2

5 5 5 3 5
5 2
a + +
= + +
+ + =
2 2 2
1
) 4,5 12,5
2
2 9.2 25.2
2 2 2
1 3 5 9
2 2 2 2
2 2 2 2
b + +
= + +
+ + =
GV cho học sinh làm bài 2.
? Để rút gọn biểu thức a ta làm
nh thế nào .
GV hớng dẫn học sinh phân
tích biểu thức dới dấu căn
thành hằng đẳng thức .
? Để rút gọn biểu thức b ta
làm nh thế nào .
GV Cho học sinh vận dụng
làm bài .
GV nhận xét bài làm trên bảng
và khắc sâu lí thuyết .
HS trả lời : ta vận

dụng hằng đẳng
thức căn bậc hai
AA =
2
HS theo dõi giáo
viên hớng dẫn .
HS trả lời câu hỏi
của giáo viên .
HS lên bảng làm bài
.
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau :
a,
( ) ( )
1
1332
1332
1332
13233344
324347
22
=
+=
++=
++=
++++=
++
b,
( )
158
5715

5715
595215
5.935.41525
45320526
2
+=
++=
++=
++=
+++=
++
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
GV :nêu phơng pháp
rút gọn biểu thức
chứa căn thức bậc hai
ở mẫu :
b1. Tìm đkxđ .
b2. Phân tích tử và
mẫu thành nhân tử để
rút gọn hoặc quy
đồng mẫu .
GV : Biểu thức trên
xác định khi nào ?
? Để quy đồng mẫu ta
làm nh thế nào .
GV hớng dẫn học
sinh trình bày lời
giải .
? Để giá trị của một

phân thức lớn hơn 0
cần điều kiện gì .
GV lu ý học sinh phải
đối chiếu điều kiện .
? Để A đạt giá trị
nguyên cần điều kiện
gì.
GV hớng dẫn học
sinh làm bài .
HS theo dõi phơng pháp
làm bài .
HS trả lời : biểu thức A
xác định khi căn thức có
nghĩa và mẫu thức khác
0
HS : để quy đồng mẫu
trớc tiên ta phải phân
tích mẫu thành nhân tử .
HS làm bài vào vở theo
hớng dẫn của giáo viên .
HS : Để một phân thức
lớn hơn 0 thì tử và mẫu
phải cùng dấu .
HS theo dõi GV nhận
xét .
HS Để A đạt giá trị
nguyên thì mẫu là ớc
của tử .
HS làm bài vào vở .
BT 1Cho biểu thức :

A =
x2
1
x3
1
6x5x
9x2




+
+
a, Rút gọn A.
b, Tìm x để A > 0
c, Tìm x để A đạt giá trị nguyên .
Giải
a, đk : x
9;4 x
;x
0

A =
x2
1
x3
1
6x5x
9x2

+


+
+
=
( )( )
2x
1
3x
1
2x3x
9x2



+

+
=
( )( )
2x3x
3x2x7x2

++
=
( )
( )( )
2x3x
3x2

=
2x
2

a, Để A > 0 thì :
2x
2

> 0
4x
2x
02x
>
>
>
Vậy với x > 4; x
9
thì A > 9 .
c, Để A đạt giá trị nguyên thì
2x
là ớc của 2.
mà Ư(2) =
{ }
2;2;1;1
TH 1;
2x
= 1
5

=
x
(thoả mãn)
TH2:
2x
= -1
1
=
x
(thoả mãn)
TH3:
2x
= 2
16
=
x
(thoả mãn)
TH4 :
2x
= -2
0
=
x
(thoả mãn)
Vậy với x = 5;1;16 ; 0 thì A đạt giá trị
nguyên.
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trêng THCS HOP HUNG Lun thi vµo líp 10
? §Ĩ chøng minh mét
®¼ng thøc ta lµm nh

thÕ nµo .
GV gäi häc sinh lªn
b¶ng lµm bµi, c¶ líp
lµm ra nh¸p .
GV tỉng kÕt c¸ch gi¶i
cđa d¹ng bµi .
HS tr¶ lêi c©u hái
HS lªn b¶ng lµm bµi , c¶
líp lµm ra nh¸p .
HS nhËn xÐt bµi lµm cđa
b¹n trªn b¶ng .
HS theo dâi gi¸o viªn
nhËn xÐt .
Bµi 2.
Chứng minh đẳng thức
a)
1
1
a a
a
a
 
−
+
 
 
−
 
.
2

1
1
a
a
 
−
 
 
−
 
=1;
(a
≥
0; a
≠
1)
Biến đổi vế trái ta có:

1
1
a a
a
a
 
−
+
 
 
−
 

2
1
1
a
a
 
−
 
 
−
 
=
(1 )(1 )
1
a a a
a
a
 
− + +
+
 
−
 
2
1
(1 )(1 )
a
a a
 
−

 
− +
 
= (1 +
a
+ a +
a
)
2
1
(1 )a+
=
2
2
(1 )
(1 )
a
a
+
+

= 1
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
? §Ĩ gi¶i bµi tËp nµy
ta lµm nh thÕ nµo .
GV gäi häc sinh lªn
b¶ng rót gän biĨu
thøc .
GV híng dÉn häc
sinh ph©n tÝch vµ

nhËn xÐt .
GV Cho häc sinh lµm
bµi tËp ¸p dơng ë tµi
liƯu .
HS ta rót gän biĨu thøc
M råi nhËn xÐt .
HS lªn b¶ng lµm bµi .
HS theo dâi gi¸o viªn
nhËn xÐt .
Bµi 3. so s¸nh biĨu thøc sau víi 1.
M =
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
− aa
a

aaa
=
1 1
( 1) 1a a a
 
+
 
− −
 
:
2
1
( 1)
a
a
+
−
=
1
( 1)
a
a a
+
−
.
( 1)
1
a
a
−

+
=
1a
a
−

= 1 -
1
a
Suy ra M < 1
IV, Híng dÉn vỊ nhµ :
- «n l¹i lý thut .
- Xem l¹i c¸c d¹ng bµi ®· ch÷a .
- Lµm bµi tËp trong tµi liƯu .
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
Chuyên đề 2. Hàm số và đồ thị hàm số
I, Mục tiêu :
- Học giải thành thạo bài toán viết phơng trình đờng thẳng sử dụng điều kiện đi qua điểm và vị
trí tơng đối của hai đờng thẳng .
- Biện luận đợc số giao điểm của đờng thẳng và parabol.
- Tìm đợc tham số để đờng thẳng cắt parabol tại 2 điểm thoả mãn điều kiện .
II, Chuẩn bị :
GV : Soạn giáo án, lựa chọn bài tập .
HS : Ôn lại các kiến thức có liên quan.
III, Tiến trình bài dạy :
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
Bài 1 . Cho hàm số
y = ax + 2. Xác định hệ số a trong mỗi trờng
hợp sau :
a, Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 4) .

b, Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 2.
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y =
3x.
d, Đồ thị hàm số vuông góc với đờng thẳng y =
2x + 3
? Đồ thị hàm số đi qua điểm A suy ra điều gì ?
? Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạiđiểm có
hoành độ bằng 2 suy ra điều gì?
? Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng
y = 3x suy ra điều gì .
GV gọi học sinh lên bảng làm bài .
Giải
a, Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 4)

x = 1; y = 4.
Thay x = 1; y = 4 vào hàm số
ta có :
a.1 + 2 = 4

a = 2.
Vậy a = 2 là giá trịcần tìm .
Khi đó hàm số là y = 2x + 2
b, Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 2

x = 2 ; y = 0
Thay x = 2; y = 0 vào hàm số
ta có :
a.2 + 2 = 0

a = -1.
Vậy a = - 1 là giá trị cần tìm .
Khi đó hàm số là y = - x + 2.
c, Vì b

b ( 2

0) nên đồ thị hàm
số y = ax + 2 song song với đờng
thẳng
y = 3x

a = 3 .
Vậy a = 3 là giá trị cần tìm .
Khi đó hàm số là y = 3x + 2.
d, Đồ thị hàm số song song với đờng
thẳng y = 2x + 3 khi :
a.2 = - 1


a =
2
1
Vậy a =
2
1
là giá trị cần tìm . Khi đó
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10

hàm số là y =
2
1
x + 2.
Bài 2 Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong các tr-
ờng hợp sau :
a, d đi qua A(1; 2) và B( - 1; -3)
b, d đi qua M( 2; - 1) và d // d : y = 2x
? Để viết phơng trình đờng thẳng d trong bài này
trớc tiên ta phải làm gì ?
? đờng thẳng d đi qua A(1; 2) ta suy ra điều gì ?
? Để xác định a và b ta làm nh thế nào ?
GV : Cho học sinh vận dụng làm câu b ra nháp
? Gọi một em lên bảng làm bài
? Giáo viên chữa bài cho học sinh .
Bài 2.a, Phơng trình đờng thẳng có dạng
y = ax + b (d)
Vì đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2)
nên ta có x = 1; y = 2
Thay x = 1; y = 2 vào ptđt (d) ta đợc :
a + b = 2 (1)
Vì đờng thẳng (d) đi qua điểm B( - 1; -
3) nên ta có : - a + b = - 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình

=

=




=+
=+
2
5
2
1
3
2
a
b
ba
ba
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) là
y = -1/2x + 5/2
b, Phơng trình đờng thẳng có dạng
y = ax + b (d)
Vì đờng thẳng (d) đi qua điểm M(2; - 1)
ta có : 2a + b = - 1 (3)
Vì đờng thẳng d // d nên ta có

=





=
0
2
'
'
b
a
bb
aa
Thay a = 2 vào (3) ta có
4 + b = - 1 < > b = - 5 (thoả mãn điều
kiện )
Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là :
y = 2x 5
Bài 3. Tìm điểm cố định thuộc đờng thẳng sau
y = (m 3)x + 2m 1
GV : nêu cách giải :
b1,Giả sử điểm cố định cần tìm là A(x
0
;y
0
)

b2, Thay x = x
0
; y = y
0
vào phơng trình đờng thẳng
để chuyển về phơng trình ẩn m.
b3,Để A là điểm cố định thì phơng trình ẩn m
đúng với mọi m > cho các hệ số bằng 0 để tìm x
0
và y
0
.
Bài 3. Giả sử điểm cố định cần tìm là
A(x
0
;y
0
)
Thay x = x
0
; y = y
0
vào phơng trình đ-
ờng thẳng ta có
y
0
= (m 3)x
0
+ 2m 1
( )

( )
0132
0123
0123
000
000
00
=++++
=++
=+
yxxm
mxmxy
mxmy
để A là điểm cố định thì phơng trình
trên nghiệm đúng với mọi m



=
=




=++
=+
5
2
013
02

0
0
00
0
y
x
yx
x
Vậy điểm cố định cần tìm là A( - 2; 5)
Trêng THCS HOP HUNG Naêm hoïc 2009-2010
GV : Phïng TuÊn Khoa Tæ bé m«n : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
Bài 4. Cho 3 điểm A( -1;1) , B(- 2; - 1) , C(3; -
1)
a, Viết phơng trình đờng thẳng AB
b, Chứng minh 3 điểm A, B , C không thẳng
hàng
c, Tam giác ABC có đặc điểm gì .
? GV gọi hs lên bảng viết phơng trình đờng
thẳng AB ; cả lớp làm ra nháp .
? Để chứng minh 3 điểm không thẳng hàng ta
chứng minh điều gì ?
HS ta chứng minh điểm C không thuộc đờng
thẳng AB
GV hớng dẫn câu c:
+ Viết phơng trình đờng thẳng AC
+ Chứng minh AB vuông góc với AC
Bài 4.
a,Phơng trình đờng thẳng có dạng

y = ax + b (AB)
đờng thẳng AB đi qua A( - 1; 1) ta có :
- a + b = 1 (1)
đờng thẳng AB đi qua B( - 2; - 1) ta có :
- 2a + b = - 1 (2)
Từ (1) va (2) ta có hệ phơng trình :



=
=




=+
=+
3
2
12
1
b
a
ba
ba
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là
y = 2x + 3
b, thay x = 3 vào phơng trình đờng thẳng AB
ta có :
2. 2 + 3 = 7 -1

Vậy điểm C(3; - 1) không nằm trên đờng
thẳng AB hay 3 điểm A, B , C không thẳng
hàng .
c,
+) Phơng trình đờng thẳng AC là
y = -1/2x+1/2
+) Hai đờng thẳng AB và AC có
a.a = 2.(-1/2) = - 1
> AB vuông góc với AC
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Bài 5. Cho parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng (d)
y = 2x + m + 1.
a, Tìm m để đờng thẳng d cắt parabol P tại hai
điểm phân biệt A và B.
b, Tìm m để x
A
2
+ x
B
2
= 8

GV hớng dẫn cách giải
b1, lập phơng trình hoành độ giao điểm
b2, để đờng thẳng cắt parabol tại hai điểm phân
biệt thì phơng trình hoành độ giao điểm có hai
nghiệm phân biệt .
Hoành độ hai điểm A và B là nghiệm tìm đợc ở

đâu .
HS : hoành độ giao điểm A và B là nghiệm của
(1)
? Để x
A
2
+ x
B
2
= 8 cần điều kiện gì ?
Hs trả lời câu hỏi của giáo viên .
Bài 5.
a, Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng
trình x
2
= 2x + m + 1
012
2
= mxx
(1)
( ) ( )
541.1.41
2
+== mm
Để đờng thẳng d cắt parabol P thì phơng trình
(1) có hai nghiệm phân biệt
4m + 5 > 0 < > m > - 5/4
Vậy với m > -5/4 thì đờng thẳng d cắt parabol
P tại hai điểm phân biệt A và B
b,

Để đờng thẳng d cắt parabol P tại hai điểm
phân biệt A và B thoả mãn x
A
2
+ x
B
2
= 8 thì ph-
ơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn
x
1
2
+ x
2
2
= 8
( )
82
21
2
21
=+ xxxx
(2)
áp dụng hệ thức viét ta có :



=
=+
1.

2
21
21
mxx
xx
(3)
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
GV : Cho học sinh làm bài tập áp dụng ở tài liệu
IV, Hớng dẫn về nhà :
- Học lại kiến thức cũ
- Xem lại các bài tập đã chữa
- Làm bài tập ở tài liệu .
Chuyên đề 3. Giải và biện luận phơng trình bậc hai
I,Mục Tiêu:
- Hs biết giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai bằng cách biến đổi đa về phơng trình
bậc hai rồi dùng công thức nghiệm.
- HS biết vận dụng công thức nghiệm để tìm điều kiện của tham số cho một phơng trình có
dạng bậc hai có 2 nghiệm phân biệt , nghiệm kép , vô nghiệm .
- HS biết tìm nghiệm chung của hai phơng trình
II, Chuẩn bị :
- GV: soạn giáo án , lựa chọn bài tập
- HS : ôn lại kiến thức cũ
III, Tiến trình bài học :
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
?Phát biểu công thức
nghiệm của phơng trình
HS đứng tại chỗ phát
biểu công thức nghiệm .
*, cho phơng trình ax
2

+ bx + c = 0 (1)
+, Phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
bậc hai .
? Để phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 có hai
nghiệm pb, nghiệm kép,
vô nghiệm cần điều
kiện gì .
Hs Theo dõi giáo viên
hớng dẫn lí thuyết .
khi :



>

0
0a
+, Phơng trình (1) có nghiệm kép khi :



=

0
0a

+, Phơng trình (1) có nghiệm :
TH1: a = 0 suy ra m thay vào phơng
trình để tìm x và kết luận .
TH2: a 0 suy ra m
để phơng trình có nghiệm thì 0
+, Phơng trình (1) vô nghiệm :
TH1: a = 0 suy ra m thay vào phơng
trình để tìm x và kết luận
TH2: a 0 suy ra m
để phơng trình có nghiệm thì < 0
? Muốn tìm m để phơng
trình có nghiệm kép ta
làm nh thế nào .
? Gọi học sinh lên bảng
trình bày .
GV hớng dẫn học sinh
tìm nghiệm kép bằng
công thức nghiệm .
HS ta xác định a, b, c
tìm rồi áp dụng điều
kiện



=

0
0a
HS lên bảng làm bài , cả
lớp làm ra nháp .

Cả lớp ghi bài vào vở .
Bài 1. Cho phơng trình :
x
2
+ 2(m 1) x + m
2
m + 1 = 0 (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép ,
tìm nghiệm kép đó
Giải
Phơng trình (1) có
a = 1; b = 2(m 1) ; c = m
2
- m + 1
b = m 1
= b
2
ac = (m 1)
2
1(m
2
m +
1)
= - m
vì a = 1 0 nên để phơng trình có nghiệm
kép thì = 0 < > - m = 0 < > m = 0
Khi đó nghiệm kép là
( )
110
1

1
,
21
==

===
m
a
b
xx
Vậy với m = 0 thì phơng trình có nghiệm
kép . Khi đó nghiệm kép là
x
1
= x
2
= 1
? Muốn tìm m để phơng
trình có nghiệm x = 2 ta
làm nh thế nào .
? Khi biết một nghiệm ,
muốn tìm nghiệm còn
lại ta dùng kiến thức
nào.
HS trả lời : ta thay x = 2
vào phơng trình để tìm
m.
HS trả lời : muốn tìm
nghiệm còn lại ta áp
dụng định lí vi ét .

Bài 2. Cho phơng trình :
(m 2)x
2
+ (2m 1)x +_m +2 = 0 (ẩn x)
a, Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2.
Tìm nghiệm còn lại.
b, Tìm m để phơng trình có nghiệm .
Giải
a,thay x = 2 vào phơng trình ta đợc :
(m 2)4 +(2m -1)2 + m + 2 = 0
< > m = 8/9
áp dụng hệ thức vi ét có
2
2
2121

+
==
m
m
xx
a
c
xx
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
GVgọi một học sinh lên
bảng trình bày .
GV hớng dẫn học sinh
giải câu b.
HS lên bảng làm bài , cả

lớp theo dõi nhận xét .
HS làm theo hớng dẫn
của giáo viên .

3,1
2
9
8
:2
9
8
.2
2
2
=













+=
x

x
Vậy với m = 8/9 thì phơng trình có nghiệm
x = 2 . Khi đó nghiệm còn lại là
x
2
= -1,3
b,
( ) ( )( )
224124
2
2
+== mmmacb
= - 4m + 17
TH1: m 2 = 0 < > m = 2 phơng trình
trở thành 3x + 4 = 0 < > x = - 4/3
TH2: m 2 0 < > m 2 để phơng trình
có nghiệm thì

01740
+
m

4
17
m
(Thoả mãn điều kiện )
Vậy vơí m = 2 hoặc
4
17
m

thì phơng trình
có nghiệm .
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
? Để chứng minh một
phơng trình có dạng
bậc 2 có 2 nghiệm phân
biệt ta chứng minhđiều
gì .
? Gọi học sinh lên bảng
xác định a, b, c tính
từ đó áp dụng hằng
đẳng thức chứng minh
> 0
HS trả lời : ta cần chứng
minh :



>

0
0a
HS lên bảng làm theo
yêu cầu của giáo viên.
HS theo dõi giáo viên
nhận xét và ghi bài vào
vở .
Bài 3, Cho phơng trình ẩn x:
x
2

2x m
2
+ m 2 = 0
a, Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2
nghiệm phân biệt với mọi m .
b, Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
= 12
Giải
a , Phơng trình có :
a = 1; b = - 2 ; c = - m
2
+ m 2
b = - 1
( )
3211
22''
2
+=+== mmmmacb
=
0
4
11
2
1
2

>+






m
với mọi m
mà a = 1 0 với mọi m
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt với mọi m .
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
? Để có mối liên hệ
giữa x
1
và x
2
ta áp
dụng kiến thức nào .
GV hớng dẫn giải để
tìm m.
HS trả lời: để có mối liên
hệ giữa hai nghiệm ta áp
dụng định lí vi ét .
HS theodõi giáo viên h-
ớng dẫn.
b, +, Phơng trình luôn có 2 nghiệm phân
biệt với mọi m (chứng minh trên )

+, áp dụng hệ thức vi ét có :



+=
=+
2.
2
2
21
21
mmxx
xx
(*)
+, ta lại có
( )
1224
21
2
21
2
2
2
1
=+=+ xxxxxx
( )
0422
12222
2
22

=
=+
mm
mm
m = - 1 (thoả mãn điều kiện )
hoặc m = 2 (thoả mãn điều kiện )
GV nêu phơng pháp biện luận dấu các nghiệm của
phơng trình bậc hai .
HS ghi lý thuyết vào vở:
Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0
+,Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi:





<=

0
0
21
a
c
xx
a
+, Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu khi:

>=
>

0.
0
0
21
a
c
xx
a
+, Phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng khi:









>

=+
>=
>

0
0.
0
0
21
21
a
b
xx
a
c
xx
a
+, Phơng trình có 2 nghiệm cùng âm khi:









<

=+
>=
>

0

0.
0
0
21
21
a
b
xx
a
c
xx
a
Bài 4 Cho phơng trình ẩn x:
x
2
2(m + 3)x + 4m + 5 = 0
a, chứng minh rằng phơng trình luôn có
nghiệm vối mọi m .
b, Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân
biệt cùng dơng.
Giải
a, phơng trình có
a = 1; b = - 2(m + 3) ; c = 4m + 5
b = - ( m + 3)
= [- (m +3)]
2
1(4m + 5)
= m
2
+2m + 4 = (m + 1)

2
+ 3 > 0 với moị m
mà a = 1 0 với mọi m
Vậy phơng trình đã cho luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm
phân biệt với mọi m ( chứng minh trên )
Để phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng thì
( )



>+
>+








>

=+
>=
032
054
0
0

21
21
m
m
a
b
xx
a
c
xx
4
5
3
4
5
>





>
>
m
m
m
Vậy với m > - 5/4 thì phơng trình đã cho
có 2 nghiệm cùng dơng.
GVnêu cách giải bài toán tìm tham số để hai ph-
Bài 5.Cho hai phơng trình ẩn x;

x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
ơng trình có nghiệm chung.
b1, Giả sử 2 phơng trình có nghiệm chung là
x = x
0
Thay vào 2 phơng trình đã cho.
b2, rút m từ một phơng trình thay vào phơng trình
thứ 2 để tìm x
0
từ đó suy ra m.
b3, thay m vừa tìm đợc vào 2 phơng trình giải để
thử lại .
GV cho học sinh làm bài tập áp dụng .
HS làm bài vào vở theo hớng dẫn của giáo viên.
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
Tìm m để hai phơng trình có nghiệm
chung.
Giải
Giả sử hai phơng trình có nghiệm chung là
x = x
0
thay vào hai phơng trình ta có :
02
02
0

2
0
0
2
0
=++
=++
mxx
mxx
ta suy ra
( )
022
00
2
0
2
0
=++ xxxx
( )
( )
1
0221
02
0
0
2
00
2
0
3

0
=
=
=+
x
xxx
xx
suy ra m = - 3
Thay vào phơng trình 1 ta đợc
x
2
3x + 3 = 0 có 2 nghiệm là x = 1
x = 3
Thay vào phơng trình 2 ta đợc
x
2
+ 2x 3 = 0 có 2 nghiệm là x = 1
x = - 3
Chuyên đề 4 Giải và biện luận hệ phơng trình
I, Mục tiêu :
- Học sinh giải thành thạo các dạng hệ phơng trình đơn giản bằng cách quy đồng mẫu số , biến
đổi hằng đẳng thức , nhân đa thức rồi chuyển vế đa về dạng hệ bậc nhất hai ẩn tổng quát .
- Học sinh biết giải một số dạng hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ : hệ chứa ẩn ở mẫu,
hệ đối xứng loại I, Hệ đối xứng loại II,
- HS biết biện luận số nghiệm của hệ phơng trình bằng cách chuyển về phơng trình bậc nhất một
ẩn .
II, Chuẩn bị :
- GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập
- HS : ôn lại kiến thức có liên quan .
III, Tiến trình bài học :

Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
Để giải hệ phơng
trình bằng phơng
Hs trả lới : Ta nhân
mỗi pt với một số
Bài 1. Giải các hệ phơng trình:
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
pháp cộng đại số ta
làm nh thế nào?
? Để giải hpt a ta làm
nh thế nào .
GV hớng dẫn hs quy
đồng mẫu rồi giải.
? Để chuyển hpt b
thành hpt bậc nhất 2
ẩn tổng quát ta làm
nh thế nào .
GV hớng dẫn học
sinh biến đổi hpt
thành hpt bậc nhất 2
ẩn tq.
? Để chuyển hpt c
thành hpt b1 hai ẩn
tổng quát ta làm ntn.
GV gọi hs lên bảng
làm bài .
? GV cho hs làm câu
d ra giấy nháp.
? Để chuyển một hpt

thành hpt bậc nhất 2
ẩn ta làm nh thế nào.
thích hợp để 1ẩ có
hệ số bằng nhau
hoặc đối nhau rồi
cộng hay trừ theo
từng vế .
HS : Ta quy đồng
để chuyển về hpt
bậc nhất có hệ số
nguyên và giải.
HS làm bài vào vở.
HS : ta thực hiện
phép nhân rồi dùng
quy tắc chuyển vế .
HS theo dõi giáo
viên hớng dẫn .
HS ta nhân chéo rồi
dùng quy tắc
chuyển vế.
HS lên bảng làm
bài.
HS làm ra giấy
nháp .
HS: trả lời câu hỏi
của giáo viên .
a,

=+
=
4
3
1
2
1
yx
yx
b,
( )( )
( )( )



=+
+=+
122
131
xyyx
xyyx
c,





=

=
+
42
3
21
yx
y
x
d,
( )
( )





+=+
=++
42
121
2
2
2
2
yxy
xyx
Giải
a,

=+
=
4
3
1
2
1
yx
yx




=+
=




=+
=

1233
263
4
263
yx

yx
yx
yx





=+
=

4
109
yx
y








=
=

5
13
9
10

x
y
Vậy hpt đã cho có nghiệm ( 13/5; 10/9)
b,
( )( )
( )( )



=+
+=+
122
131
xyyx
xyyx



=
=+




=
=+

322
826
322

43
yx
yx
yx
yx









=

=




=
=

4
17
4
11
322
114

y
x
yx
x
Vậy Hpt đã cho có nghiệm







4
17
;
4
11
c,





=
=
+
42
3
21
yx

y
x

( )



=
=




=
=+

42
323
42
213
yx
yx
yx
yx




=
=

=
=

18
11
824
323
y
x
yx
yx
Vậy hpt có nghiệm (11; 18)
d,
( )
( )





+=+
=++
42
121
2
2

2
2
yxy
xyx



=+
=+




=+
=+

04
1
04
222
yx
yx
yx
yx

=

=




=+
=

5
4
5
1
1
15
x
y
yx
y
Vậy hpt đã cho có nghiệm

5
4
;
5
1
? Hpt này có gì khác Hs trả lời : hpt này
Bài 2. Giải các hệ phơng trình sau :
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
so với hpt a ở bài
trên.
? GV hớng dẫn hs
đặt ẩn phụ
v
y
u
x
=

=
+ 2
1
;
1
1
GV gọi hs lên bảng
làm bài .
GV nhận xét bài làm
của học sinh.
GV giới thiệu đặc

điểm của hpt b là hpt
đối xứng loại I.
GV hớng dẫn hs đặt
ẩn phụ
x + y = u; xy = v
GV cho học sinh làm
ra giấy nháp.
GV nhận xét bài làm
của hs .
GV giới thiệu đặc
điểm của hpt c là hpt
đối xứng loại II.
chứa ẩn ở mẫu và
các mẫu giống
nhau.
HS Giải hpt bậc
nhất 2 ẩn phụ rồi
suy ra nghiệm của
hpt .
HS theo dõi giáo
viên nhận xét.
HS ghi nhớ dạng
hpt dối xứng loại I .
HS làm theo chỉ
dẫn của giáo viên.
HS theo dõi giáo
viên nhận xét và
ghi bài vào vở.
HS ghi nhớ dạng
hpt đối xứng loại II.

a,







=


+
=

+
+
1
63
5
1
2
3
2
1
1
1
yx
yx
b,

=+
+=++
6
232
22
yx
xyyx
c,





=
=
xy
yx
2
2
2
2
Giải
a, đặt
v
y
u

x
=

=
+ 2
1
;
1
1
hệ phơng trình trở thành







=
=






=
=+
11
18
11

15
1
3
5
2
3
v
u
vu
vu

Khi đó ta có :







=
=




=
=+

=

=
+
11
47
11
4
11368`
111515
11
18
2
1
11
15
1
1
y
x
y
x
y
x

Vậy hpt đã cho có nghiệm







11
47
;
11
4
b,





=+
+=++
6
232
22
yx
xyyx
( )

=+
+=++

62
232
2
xyyx
xyyx
đặt x + y = u; xy = v hệ phơng trình trở thành :





=
+=






=
+=+
62
232
62
232

22
vu
uv
vu
vu
ta đợc
026102
2
=+ uu




=
+=

24
22
2
1
u
u
*, Với
2222
11
=+= vu
ta đợc

=
+=+
22
22
xy
yx
suy ra x; y là nghiệm của phơng trình :
( )
02222
2
=++ XX
giải ra ta đợc
2;2
21
== XX
hpt có 2 nghiệm
( )
2;2
hoặc
( )
2;2
c,





=

=
xy
yx
2
2
2
2
( )( )



=
=+






=
=

yx
yxyx
yx
yxyx
2
01
2
2

2
22
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
GV hớng dẫn Phân
tích nhân tử đa về
hpt tích.
GV hớng dẫn hs làm
bài.
GV:ôn lại cách giải
các dạng hpt cho hs .
hs làm theo chỉ dẫn
của giáo viên .
HS làm bài vào vở .
HS ôn lại các dạng
hpt bằng cách trả
lời câu hỏi của giáo
viên.







=



=+

=
yx
yx
yx
2
01
0
2
*, TH1:



=
=




=
=
xx
yx
yx
yx
22
0
22
ta đợc x
2
+ x 2 = 0

=
=

2
1
2
1
x
x
Với x = 1 > y =1
Với x = - 2 > y = - 2
*,TH2:



=
=




=
=+
yx
xy
yx

yx
2
1
2
01
22
ta đợc x
2
x 1 = 0








=
+
=

2
51
2
51
2
1
x
x
Với

2
51
1
+
=x

2
51
= y
Với
2
51
2
51
2
+
=

= yx
GVhớng dẫn hs biến
đổi hpt về dạng chứa
một pt bậc nhất một
ẩn hoặc một phơng
trình một ẩn.
? có nhận xét gì về
phơng trình bậc nhất
một ẩn này .
? ta tìm x
0
; y

0
bằng
cách nào .
HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên .
HS : phơng trình
bậc nhất này luôn
tính đợc x.
HS tính x
0
; y
0
từ hpt
Bài 3. Cho hệ phơng trình:
( )



+=+
=
22
121 mmyxm
mymx
a,Chứng minh hpt có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi (x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ phơng trình .
Chứng minh với mọi giá trị của m luôn có

(x
0
)
2
+ (y
0
)
2
= 1 .
Giải
a, Ta có :
( )
( )





+=+
=




+=+
=
22
22
22
121

222
121
mmyxm
mmyxm
mmyxm
mymx

( )



=
=+

mymx
mxm (*)11
22
Phơng trình (*) luôn có nghiệm vì m
2
+1 0
Vậy hpt luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b,
khi đó ta có :

+
=
+

=
2
2
2
1
2
1
1
m
m
y
m
m
x
ta có
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
GV hớng dẫn hs
chứng minh bằng ph-
ơng pháp biến đổi t-
ơng đơng .
HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên .
( ) ( )
00
02121
21421

1
1
2
1
1
1
4242
42242
2
2
2
2
2
2
0
2
0
=
=++
++=++
=






+
+

+


=+
mmmm
mmmmm
m
m
m
m
yx
Vậy (x
0
)
2
+ (y
0
)
2
= 1 đúng với mọi m .
GV cho học sinh làm các bài tập vận dụng ở tài liệu .
IV, H ớng dẫn về nhà :
- ôn lại cách giải các dạng hpt

- Xem lại các bài tập đã chữa .
- Làm bài tập trong tài liệu kèm theo .
Chuyên đề 5.
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình
I, Mục tiêu :
- HS biết cách xác định đại lợng cha biết cần biểu diễn ở một bài toán đố nằm trong mối liên hệ
3 đại lợng cấu thành một bài toán .
- HS nắm đợc sự khác nhau của một bài toán giải bằng cách lập phơng trình với một bài toán
giải bằng cách lập hệ phơng trình .
- Giải thành thạo một số dạng toán quan trọng của bài toán đố .
II, Chuẩn bị :
GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập .
HS : ôn lại kiến thức cũ .
III, Tiến trình bài học :
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
GV ôn lại cách giải bài
toán chuyển động .
? ở bài toán chuyển
động có những đại lợng
nào liên quan đến
nhau.
? đại lợng nào đã cho ,
đại lợng nào hỏi. Cần
biểu diễn đợc đại lợng
nào .
GV hớng dẫn hs lập
phơng trình .
GV lu ý học sinh phải

đối chiếu nghiệm với
đk rồi mới kết luận.
- ở bài toán chuyển
dộng có 3 đại lợng
liên quan đến nhau là
v, t, s
- bài này đã cho s, hỏi
v ta cần biểu diễn ra t.
HS lập phơng trình và
giải phơng trình để
tìm nghiệm
HS theo dõi giáo viên
nhận xét.
Bài 1. Một ca nô xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng 27
km hết tất cả 3 giờ 30 phút . Biết vận tốc thực của ca nô
là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Giải
Gọi vận tốc dọng nớc là x( km/h).đk 0 < x <20
vận tốc ca nô đi xuôi dòng là 20 + x (km/h)
vận tốc canô đi ngợc dòng là 20 x (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là
( )
hkm
x
/
20
44
+
Thời gian canô đi ngợc dòng là
[ ]

hkm
x
/
20
27

đổi 3giờ 30phút = 7/2 giờ
Vì tổng thời gian cả đi lẫn về hết 3giờ 30 phút
nên ta có phơng trình :
( ) ( ) ( )( )
09'
040347
2020720542088
2
7
20
27
20
44
2
>=
=+
+=++
=

+
+
xx
xxxx
xx

7
20
1
=x
(thoả mãn điều kiện)
7
14
2
=x
( thoả mãn điều kiện )
Vậy vận tốc dòng nớc là 20/7 (km/h) hoặc
14/7(km/h)
? bài toán này có gì
khác so với bài trên.
? Hai đại lợng cần tìm
có mối quan hệ trực
tiếp nào không .
GV hớng dẫn ta gọi 2
ẩn, để lập đợc 2 pt từ
đố lập hpt .
? Cần biểu diễn ra đại
lợng nào .
Bài toán này hỏi tìm
hai yếu tố .
Hai yếu tố cần tìm
không có mỗi quan
hệ trực tiếp .
HS theo dõi gv hớng
dẫn.
Cần biểu diễn ra thời

gian
Bài 2. Quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4km và đoạn
xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi xe đạp từ A đến B hết 40
phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và
lúc về nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về nh nhau).
Tính vận tốc lên dôc và vận tốc xuống dốc của
Giải
Gọi vận tốc lên dốc của ngời đó là x km/h
gọi vận tốc xuống dốc của ngời đó là y km/h
đk: 0 < x < y
*, Khi đi từ A đến B;
thời gian lên dốc là : 4/x (h)
thời gian xuống dốc là : 5/y (h)
ta có phơng trình :
3
254
=+
yx
(1)
*, Khi đi từ B về A:
thời gian lên dốc là : 5/x (h)
thời gian xuống dốc là : 4/y (h)
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
GV hớng dẫn hs lập 2
pt .
Gọi hs lên bảng giải
hpt .
GV nhận xét và chốt lại
cách giải.
HS xét hai trờng hợp

đi và về để lập 2 ph-
ơng trình .
HS lên bảng giải hpt .
hs theo dõi gv nhận
xét .
ta có phơng trình :
60
4145
=+
yx
(2)
từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :







=+
=+
60
4145
3
254
yx
yx
đặt
v
y

u
x
==
1
;
1
hpt trở thành :







=
=




=+
=+
15
1
12
1
41240300
21512
v
u

vu
vu
khi đó ta có



=
=








=
=
15
12
15
11
12
1
1
y
x
y
x
(thoả mãn đk)

Vậy vận tốc lên dốc của ngời đó là : 12 km/h
vận tốc xuống dốc của ngời đó là : 15 km/h
? bài toán này khác gì 2
bài trên .
GV giải thích kí hiệu
%.
?khi giảm chiều dài
20% thì chiều dài mới
tính nh thế nào .
? chiều rộng mới tính
ntn.
GV hớng dẫn hs lập pt .
GV lu ý cách biểu diễn
ẩn khi tăng hay giảm
đại lợng .
bài toán này có kí
hiệu %,có nộidung
hình học
HS chiều dài mới tính
bằng cách lấy chiều
dài ban đầu trừ đi
phần giảm .
HS lập phơng trình và
giải pt > kl
HS theo dõi gv hớng
dẫn.
Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 216 m. Nếu
giảm chiều dài đi 20%, tăng chiều rộng 25% thì
chu vi hình chữ nhật không đổi .Tính chiều dài
và chiều rộng .

Giải
Gọi chiều dài hình chữ nhật là x(m)đk 0<x<108
chiều rộng hình chữ nhật là 108 x (m)
Nếu giảm chiều dài đi 20% thì chiều dài mới là
x 0,2x = 0,8x (m)
Nếu tăng chiều rộng 25% thì chiều rộng mới là
108 x + 0,4(108 x ) = 151,2 1,4x (m)
vì chu vi hình chữ nhật không đổi nên ta có ph-
ơng trình :
0,8x + 151,2 1,4x = 108
72
2,436,0
=
=
x
x
đối chiếu điều kiện ta thấy thoả mãn
vậy chiều dài hình chữ nhật là 72 m
chiều rộng hình chữ nhật là 108 72 = 36 m
? ở bài này có các đại l-
Bài 4. Một lớp có 45 học sinh tham gia trồng tất
cả 216 cây. Tổng số cây các bạn nam đã trồng
bằng tổng số cây các bạn nữ đã trồng . tính số
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
ợng nào liên quan đến
nhau .
? Cần biểu diễn ra đại
lợng nào để lập phong
trình .

GV hớng dẫn hs lập
phơng trình .
GV gọi hs lên bảng giải
phơng trình và kl.
GV lu ý học sinh khi
đặt điều kiên cho đại l-
ợng là ngời, vật phải là
số nguyên dơng.
3 đại lợng liên quan
đến nhau là số ngời ,
số cây và số cây một
ngời trồng .
cần biểu diễn số cây
một ngời phải trồng.
HS lập phơng trình và
giải phơng trình để
tìm nghiệm .
HS theo dõi giáo viên
tổng kết phơng pháp
giải .
nam và số nữ của lớp đó biết rằng mỗi bạn nam
trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là 2 cây.
Giải
Gọi số nam là x (bạn) đk
450,
*
<< xNx
số nữ của lớp đó là 45 x ( bạn )
số cây nam đã trồng là
x

108
(cây)
số cây các bạn nữ đã trồng là
x45
108
(cây)
vì mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ là
2 cây nên ta có phơng trình :
117
018603062
2
45
108108
2
=
=+
=


xx
xx
135
1
=x
(không thoả mãn đk)
18
2
=x
(thoả mãn đk)
Vậy số hs nam của lớp đó là 18 em

số học sinh nữ của lớp đó là 27 em
? ở bài này ta phải biểu
diễn ra đại lợng nào để
lập phơng trình .
GV Gọi hs lên bảng
làm bài , cả lớp làm ra
nháp.
GV theo dõi sửa lỗi sai
cho học sinh .
GV : tổng kết lại các
dạng toán đã học và
ta cần biểu diễn ra số
ngời trên một ghế.
HS lên bảng làm bài ,
cả lớp làm ra nháp .
HS làm bài vào vở.
Bài 5. Một lớp học có 40 học sinh đợc xếp ngồi
đều nhau trên các ghế băng . Nếu ta bới đi 2
ghế băng thì mỗi ghế băng còn lại phải xếp
thêm 1 học sinh . Tính số ghế băng lúc đầu .
Giải
Gọi số ghế băng lúc đầu là x (chiếc)
đk :
2;
*
> xNx
Số hs ngồi trên một ghế lúc đầu là
x
40
(hs)

Khi bớt đi 2 ghế thì còn x 2 (chiếc)
số hs ngồi trên một ghế khi đó là
2
40
x
(hs)
Vì khi bớt đi 2ghế ,mỗi ghế phải xếp thêm 1 hs
nên ta có phơng trình :
81'
0802
1
40
2
40
2
=
=
=

xx
xx
10
1
=x
(thoả mãn điều kiện)
8
2
=x
(không thoả mãn điều kiện )
Vậy số ghế băng lúc đầu là 10 chiếc.

Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
phơng pháp giải thống
nhất chung.
HS trả lời câu hỏi của
giáo viên .
GV cho học sinh làm bài tập vận dụng ở tài liệu kèm theo .
IV, H ớng dẫn về nhà :
ôn lại cách giải bài toán bằng cách lập phơng trình hay hệ phơng trình .
Xem lại các bài tập đã chữa .
Làm bài tập ở tài liệu kèm theo .
Chuyên đề 6. Chứng minh bất đẳng thức
I, Mục tiêu :
- Học sinh nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: biến đổi tơng đơng, dùng bất
đẳng thức côsi, dùng phơng pháp đổi biến
- HS nhận dạng đợc phơng pháp giải với một bài bất dẳng thức đơn giản .
II, Chuẩn bị :
GV: soạn giáo án , lựa chọn bài tập .
HS : ôn lại các kiến thức biến đổi biểu thức, phơng trình .
III, Tiến trình bài học .
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
Hoạt động của thày Hoạt dộng của trò ghi bảng
Phơng pháp biến đổi tơng đơng
GV Hớng dẫn phơng
pháp giải :
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )

[ ]
0

0
22
>++

>
>
axgxh
xqxf
xqxf
hiển nhiên đúng với
a > 0
GV cho hs làm bài tập
vận dụng
GV hớng dẫn hs làm
xuất hiện hai lần tích
bằng cách nhân cả 2 vế
với 2
GV chứng minh câu a.
? Để chứng minh bđt b
ta biến đổi ntn .
GV gọi hs lên bảng
chứng minh, cả lớp làm
ra nháp .
GV cho hs làm câu c t-
ơng tự nh câu b.
? Gọi hs lên bảng
chứng minh

GV nhận xét bài làm
trên bảng .
HS theo dõi giáo
viên hớng dẫn phơng
pháp.
HS theo dõi đề bài
trên bảng .
HS làm theo hớng
dẫn của giáo viên và
ghi bài vào vở.
Ta quy đồng mẫu,
khai triển hằng đẳng
thức rồi chuyển vế.
hs cả lớp làm ra nháp
.
HS chứng minh câu c
ra nháp .
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a, a
2
+ b
2
+ c
2
ab + ac + bc
b, chứng minh rằng:
2
222
33

++

++ cbacba
c,
yxyx +
+
411
Giải
a, ta có
a
2
+ b
2
+ c
2
ab + ac + bc

2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
2ab + 2ac + 2bc

a
2
2ab + b
2
+ b
2
2bc + c
2
+ a
2
2ac
+ c
2
0


(a b)
2
+ (b c)
2
+ ( a c)
2
0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
b,
( ) ( ) ( ) ( )
dungcacbba
cacacbcbbaba
bcacabcbacba

bcacabcbacba
cbacba
0
0222
0222333
9
222
3
33
222
222222
222222
222222
2
222
++
+++++
++
+++++

++







++

++
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
c,
( )
( )
( )
dungyx
yxyx
xyyxyx
xyyx
yxxy
yx
yxyx
0
02
042
4
4
411
2
2

+
++
+
+

+

+

+
Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Phơng pháp dùng bất đẳng thức cô si.
GVgiới thiệu bất đẳng
thức cô si .
Với hai số a và b
HS theo dõi định lí
và đề bài ở trên bảng
.
Bài 2. chứng minh bất đẳng thức sau:
a,
cba
b
ac
a
bc
c
ab
++++
với a, b, c dơng.
b,
2
cba
ca
ac
cb
bc
ba
ab ++

+
+
+
+
+
với a,b,c dơng
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
GV cho hs làm bài tập ở tài liệu kèm theo l
IV, H ớng dẫn về nhà : xem lại các bài đã chữa, làm bài tập ở tàiliệu.
Chuyên đề 7. Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất
I, Mục tiêu :
- HS hiểu đợc khái niệm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất .
- Biết tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của các dạng cơ bản thờng gặp
II, Chuẩn bị :
GV : soạn giáo án , lựa chọn bài tập
HS : Ôn lại các phép biến đổi đại số , bảy hằng đẳng thức .
III, Tiến trình bài dạy :
Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng
GV giới thiệu định nghĩa giá trị lớn nhất , giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức .
*Định nghĩa:
Nếu A a (a là hằng số ) ta nói biểu
thức A đạt giá trị nhỏ nhất là a
Nếu A b (b là hằng số ) ta nói biểu
thức A đạt giá trị lớn nhất là b
GV giới thiệu phơng
pháp tìm gtnn, gtln
bằng định nghĩa .
? Để biến đổi biểu thức
đã cho thành biểu thức

bậc hai ta làm nh thế
nào .
GV hớng dẫn hs phân
tích dựa vào hằng đẳng
thức.
GV lu ý : khi tìm
GTNN, GTLN phải chỉ
ra đợc dấu bằng xảy ra
khi nào .
HS theo dõi giáo viên h-
ớng dẫn .
Ta rút gọn tử cho mẫu .
HS theo dõi giáo viên h-
ớng dẫn và ghi bài vào
vở.
HS theo dõi giáo viên
tổng kết dạng toán .
I, Ph ơng pháp 1 : Với biểu thức bậc hai
không chứa biến ở mẫu
Để tìm GTNN ta biến đổi A = P
2
+ a
a A đạt GTNN là a khi P = 0
Để tìm GTLN ta biến đổi A = b Q
2
b A đạt GTLN là b khi Q = 0
VD: Tìm GTNN của các biểu thức :
2
22
2

234

+
=
x
xxxx
M
Giải
a, thực hiện phép chia đa thức ta đơc ;
2
22
2
234

+
=
x
xxxx
M

4
3
4
3
2
1
4
3
4
1

2
1
2
1
2
2
2
+






+=
+++=
++=
x
xx
xx
Vậy M đạt giá trị nhỏnhất là 3/4 khi
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN
Trờng THCS HOP HUNG Luyện thi vào lớp 10
x + 1/2 = 0

2
1
= x
? Để chứng minh M a
ta còn có cách nào

khác .
GV giới thiệu cách
dùng bất đẳng thức
côsi.
? BĐT cô si áp dụng đ-
ợc khi nào .
GV hớng dẫn hs phân
tích biểu thức để áp
dụng bđt côsi .
? dấu bằng xảy ra khi
nào .
Ta có thể áp dụng bất
đẳng thức côsi.
HS theodõi giáo viên nêu
lí thuyết .
HS áp dụng với các số
không âm.
HS theo dõi giáo viên h-
ớng dẫn .
HS làm theo yêu cầu của
giáo viên.
II, Dùng bất đẳng thức có sẵn đơn giản :
*) Với a, b không âm ta có :
a + b 2
ba.
( BĐT côsi)
*) Ta luôn có : a
2
+ b
2

2
2






+ ba
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N =
2
12
2
+
++
x
xx
với x > - 2
Giải
Ta có :
2
2
1
2
2
1
2
12

2

+
++=
+
+=
+
++
=
x
x
x
x
x
xx
N
áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dơng
x + 2 và
2
1
+x
ta có :
( )
02
2
1
22 =
+
+
x

xN
dấu bằng xảy ra khi x + 2 =
2
1
+x




=
=

3
1
x
x
đối chiếu điều kiện ta thấy N đạt giá trị nhỏ
nhất là 0 khi x = - 1 .
GV hớng dẫn phơng
pháp dùng tính chất
nghiệm của phơng trình
bậc hai .
GV chỉ rõ các bớc giải
cho học sinh .
GV cho hs làm ví dụ
HS theo dõi lí thuyết
HS làm theo các bớc giải
đã có sẵn .
III dùng tính chất nghiệm của ph ơng
trình bậc hai:

Để tìm GTLN,GTNN của biểu thức có dạng
phân thức trong đó tử hoặc mẫu có dạng bậc
hai
VD Tìm GTLN,GTNNcủa biểu thức
2
53
2
+
+
=
x
xx
y

B1: Quy đồng mẫu thức chuyển về
phơng trình bậc hai ẩn x
B2: Để tồn tại giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất của y thì phơng trình ẩn x
phải có nghiệm
Cho 0 để tìm y
ví dụ :Tìm GTLN của biểu thức
B =
1
4
2
+x
x
Giải
Trờng THCS HOP HUNG Naờm hoùc 2009-2010
? Để chuyển biểu thức

B về dạng phân thức
bậc hai ta làm thế nào.
? phơng trình (1) có
nghiệm khi nào .
GV hớng dẫn hs tìm đk
để (1) có nghiệm từ dó
suy ra giá trị lớn nhất
của B.
Ta đặt ẩn phụ x
2
= t 0
HS trả lời câu hỏi của
giáo viên
Đặt x
2
= t 0 ta có
0
1
2
2
=+
+
= BtBt
t
t
B
(1)
Để tồn tại giá trị lớn nhất của B thì Pt (1)
phải có nghiệm không âm.
2

1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
01.
041
0
21
21
2
<







>

>=+
>=
=

B
B
B
B
B
tt
tt
B
B
Vậy B đạt giá trị lớn nhất là1/2 khi t
1
=t
2
=2
khi đó x
2
= 2

=
=

2
2
x
x
GV nêu các hớng giải
với bài toán có điều
kiện.
GV hớng dẫn hs biến
đổi biểu thức để thay
điều kiện vào .
GV gợi ý áp dụng bất
đẳng thức cô si để giải.
GV lu ý hs tìm điều
kiện xảy ra dấu bằng.
HS theo dõi giáo viên
nêu cách giải.
HS biến đổi biểu thức để
thay thế điều kiện .
HS làm theo hớng dẫn
của giáo viên .
IV, Đối với biểu thức có quan hệ ràng
buộc giữa các biến Ta có thể:
+ Thế điều kiện vào biểu thức để rút
gọn

+ Biểu thị y theo x rồi thay vào biểu
thức chuyển về bậc hai một ẩn
+ Biến đổi điều kiện để làm xuất hiện
biểu thức
+Đổi biến để làm xuất hiện biểu thức
mới .
Ví dụ : với hai số dơng a >b mà a.b = 1 Hãy
tìm GTNN của
y=
ba
ba

+
22
Giải
Ta có
( ) ( )
ba
ba
ba
abba
ba
ba
y

+
=

+
=

+
=
22
22
22
đặt a b = t ta có :

22
2.22
22
=
+
=
t
t
t
t
y
dấu bằng xảy ra khi t
2
= 2
2= t
khi đó ta có

+
=
+
=




=
=
2
62
2
62
1.
2
b
a
ba
ba
GV cho học sinh làm bài tập ở tài liệu kèm theo .
IV, H ớng dẫn về nhà :
- ÔN tập lí thuyết, xem lại các bài đã chữa , làm bài tập ở tài liệu kèm theo.
GV : Phùng Tuấn Khoa Tổ bộ môn : KHTN