bài tập về tứ diện đặc biệt

(Chuyên đề về tứ diện đặc biệt)
A. Bài toán về tứ diện vuông:
I. Định nghĩa: Tứ diện SABC được gọi là tứ diện vuông đỉnh S nếu SA, SB, SC đôi
một vuông góc
II. Nội dung:
Cho tứ diện SABC vuông đỉnh S
1/ Kẻ đường cao SH. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC
2/ Chứng minh rằng:
2222
1111
SCSBSASH
++=
3/ Giả sử các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) lập với đáy lần lượt các góc
γβα
,,
.
CMR:
a/
γβα
222
coscoscos ++
=1
b/
γβ
α
22
2
coscos
cos
+
+

γα
β
22
2
coscos
cos
+
+
αβ
γ
22
2
coscos
cos
+
4
3
≤
4/ CMR:
ABC
S
∆
2
=
SAB
S
∆
2
+
SBC

S
∆
2
+
SCA
S
∆
2
5/ Gọi I là tâm hình cầu ngoại tiếp SABC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng
minh rằng S, G, I thẳng hàng
B. Bài toán về tứ diện trực tâm
I. Định nghĩa: Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện trực tâm nếu các cặp cạnh đối
tương ứng vuông góc (AB
⊥
CD, CA
⊥
BD, AD
⊥
BC)
II.Nội dung:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB
⊥
CD, CA
⊥
BD. Chứng minh rằng AD
⊥
BC
Bài 2: Cho tứ diện trực tâm ABCD
1/ CMR chân đường cao hạ từ 1 đỉnh lên mặt đối diện trực tâm của cạnh đó
2/ CMR các đường cao tứ diện đồng diện

3/ Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau
4/ Chứng minh rằng: AB
2
+ CD
2
= BC
2
+ AD
2
= CA
2
+ DB
2
5/ Có ít nhất một mặt của tứ diện là tam giác nhọn (
*
)
C. Tứ diện gần đều
I. Định nghĩa: Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện gần đều các cặp cạnh đối bằng
nhau (AB = CD, CA= BD, AD
=
BC)
Bài 1: Cho tứ diện gần đều ABCD. Gọi a, b, c là các đoạn thẳng nối trung điểm các
cạnh đối diện
1/Các mặt của tứ diện là tam giác bằng nhau
2/ CMR: a, b, c là các đoạn đường vuông góc chung của các cặp cạnh dối diện
3/ Các đường thẳng a, b, c đồng quy tại trung điểm I của mỗi đường và vuông góc
đôi một
4/ CMR: I là trọng tâm tứ diện
5/ CMR: I là tâm mặt cầu ngoại tiêp tứ diện
6/ Các đường trọng tuyến trong tứ diện bằng nhau

7/ Tổng 3 góc phẳng ở mỗi đỉnh bằng 180
o
Bài 2. Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện S
DAB
= S
DBC
=S
DCA
và tổng các góc
phẳng ở đỉnh D bằng 180
o
. CMR ABCD là tứ diện gàn đều (*)
Trần Thị Thanh Tâm() (Còn nữa… Sẽ đăng tiếp kỳ sau)
1