Bai tap cong thuc luong giac

Công thức lợng giác GV: Giang Xuân Chiêm
Một số công thức lợng giác
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Công thức cộng:
sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb
cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
tan(a-b)=
tan tan
1 tan .tan



+
tan(a+b)=
tan tan
1 tan .tan


+

4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosa.cosb =
1
2
[cos(a b )+ cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a b ) cos(a+b)]

sina.cosb =
1
2
[sin(a b )+ sin(a+b)]
2. Công thức nhân đôi:
sin2a=2sina.cosa
cos2a= cos
2
a-sin
2
a
cos2a= 2cos
2
a-1
cos2a= 1-2sin
2
a
tan2a=
2
2 tan
1 tan
a
a

3. Công thức hạ bậc:
sin
2
a=
1 cos 2
2

a

cos
2
a=
1 cos2
2
a
+
tan
2
a=
1 cos 2
1 cos 2
a
a

+
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosa+cosb=2cos
2
a b
+
cos
2
a b

cosa-cosb=2sin
2
a b

+
sin
2
a b

sina+sinb=2sin
2
a b
+
cos
2
a b

sina-sinb=2cos
2
a b
+
sin
2
a b

tana+tanb=
( )
sin
cos .cos
a b
a b
+
tana-tanb=
( )

sin
cos .cos
a b
a b

II. Bài tập:
A. Dùng công thức cộng:
B i 1. Tính giá trị lợng giác của các cung:
a) 15
o
b)
7
12

B i 2. a) Biết sinx=
3
5
và
2
x


< <
. Tính
tan
3
x


+

ữ

b) Biết sina=
4
5
và 0
0
<a<90
0
, sinb=
8
17
và 90
0
<a<180
0
.
Tính cos(a+b) và sin(a-b)
c) Cho hai góc nhọn a và b với tana=
1 1
, tan
2 3
b =
. Tính a+b.
d) Biết
tan
4
a m

+ =
ữ

với m-1. Tính tana.
B i 3. Chứng minh rằng:
a) sin(a+b).sin(a-b)=sin
2
a-sin
2
b=cos
2
b-cos
2
a
b) cos(a+b).cos(a-b)=cos
2
a-sin
2
b=cos
2
b-sin
2
a
B i 4. a) Cho a-b
3

=
. Tính (cosa+cosb)
2
+(sina+sinb)

2
; (cosa+sinb)
2
+(cosb-sina)
2
b) Cho
1 1
cos ;cos
3 4
a b= =
. Tính cos(a+b).cos(a-b)
Bài 5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (với điều kiện ABC không phải tam giác vuông)
b)
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C A C
+ + =
TRờng THPT Nguyễn Trãi - Thái Bình
-1-
C«ng thøc lîng gi¸c  GV: Giang Xu©n Chiªm
B. C«ng thøc nh©n ®«i:
Bµi 6. Chøng minh r»ng:
a)
2
cot tan
sin 2
x x
x
+ =

b) cot x-tanx=2cot2x c)
sin 2
tan
1 cos 2
x
x
x
=
+
d)
1 cos 2 sin 2
tan
1 cos 2 sin 2
x x
x
x x
− +
=
+ +
e)
1 cos 2 1 cos 4
. cot
cos 2 sin 4
x x
x
x x
+ +
=
Bµi 7. TÝnh cos2a, sin2a, tan2a. BiÕt:
a)

3
cos
7
a = −
vµ
3
2
a
π
π
< <
b) tana=-3
Bµi 8. Cho sin2a=
4
5
−
vµ
3
4
a
π
π
< <
. TÝnh sina, cosa.
Bµi 9. TÝnh : a) A=
sin .cos .cos
16 16 8
π π π
b) B=sin10
0

.sin50
0
.sin70
0
Bµi 10. Chøng minh r»ng:
a) cos4x=8cos
4
x-8cos
2
x+1 b) sin
4
x+cos
4
x=
1 3
cos 4
4 4
x +
c) sin
6
x+cos
6
x=
3 5
cos 4
8 8
x +
d) cos3a=4cos
3
a-3cosa e) sin3a=3sina-4sin

3
a f) tan3a=
2
2
tan (3 tan )
1 3 tan
a a
a
−
−
C. C«ng thøc biÕn ®æi:
Bµi 11. BiÕn ®æi thµnh tæng:
a) A= sinx.sin2x.sin3x b) B=4.sin3x.sin2x.cosx
c) C=
cos .cos .cos 2
4 4
x x x
π π
   
+ −
 ÷  ÷
   
d) D= 4cos(a-b).cos(b-c).cos(c-a)
Bµi 12. BiÕn ®æi thµnh tÝch:
a) A= 1+cosx+cos2x+cos3x b) B=sina+sinb+sin(a-b)
c) C= sinx+sin3x+sin5x+sin7x d) D=1+sinx-cos2x
Bµi 13. Chøng minh:
a) cos5x.cos3x+sin7x.sinx=cos2x.cos4x b) sin5x-2sinx(cos2x+cos4x)=sinx
c) sinx.sin
3

x
π
 
−
 ÷
 
. sin
3
x
π
 
+
 ÷
 
=
1
4
sin3x d)
2 2
3
sin sin sin .sin
3 3 4
x x x x
π π
   
+ − + − =
 ÷  ÷
   
e)
2

sin 2 sin 5 sin 3
2sin
1 cos 2sin 2
x x x
x
x x
+ −
=
+ −
f) 4cosx.sin2x.sin3x=1+cos2x-cos4x-cos6x
Bµi 14. Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC, ta cã:
a) sinA+sinB+sinC=4
cos .cos .cos
2 2 2
A B C
b) cosA+ cosB+ cosC=
1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
+
c) sin2A+ sin2B+ sin2C=4sinA.sinB.sinC d) cos
2
A+cos
2
B+cos
2
C=1-2cosA.cosB.cosC
TRêng THPT NguyÔn Tr·i - Th¸i B×nh
-2-