Đề cương ôn thi học kỳ II - Môn Toán Khối 11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 - MÔN TOÁN 11
A/ Lý thuyết:
I/ Đại số và giải tích:
1/ Giới hạn của dãy số.
2/ Giới hạn của hàm số.
3/ Hàm số liên tục.
4/ Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
5/ Các quy tắc tính đạo hàm.
6/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác.
7/ Đạo hàm cấp hai của hàm số.
II/ Hình học:
1/ Hai đường thẳng vuông góc.
2/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3/ Hai mặt phẳng vuông góc.
4/ Khoảng cách.
B/ Bài tập:
I/Đại số và Giải tích.
1/ Tìm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số.
2/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
3/ XÐt tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định.
4/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
5/ Tính đạo hàm bằng định nghĩa.
6/ Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm.
7/ Dùng các qui tắc, tính chất tính đạo hàm cấp1,cấp2 của một hàm số, các hệ thức đạo hàm.
II/ Hình học
1/Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
2/Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
4/ Tính được các góc, các khoảng cách, độ dài hình học.
C/Bài tập tham khảo
I/ Đại số và giải tích

Bài 1: Tính các giới hạn:
a)
6 1
lim
3 2
n
n
−
+
b)
3 2
3 2
17 3 4
lim
2
n n
n n
+ +
+
c)
2
lim( )n n n+ −

d)
3 5.7
lim
2 3.7
n n
n n
+

−
e)
2 2
2 3 1
lim
3
n n n
n
− + +
+
f)
3 5.4
lim
4 2
n n
n n
+
+
Bài 2: Tính các giới hạn:
A=
2
2
lim
2 3
x
x x x
x
→−∞
− +
−

B=
2
2
4 3 5
lim
2 3
x
x x
x x
→−∞
− +
−
C =
2
3 2
1
2
lim
x
x x
x x
→−
− −
+
D =
6
3 3
lim
6
x

x
x
→
+ −
−

E =
2
3
4 3
lim
3
x
x x
x
→
− +
−
F =
3 2
1
1
lim
1
x
x x x
x
→
− + −
−

G =
1
2 1
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
H =
3
0
1 1
lim
x
x
x
→
− −

I =
3
1
3 2
lim
1
x
x x

x
→
− −
−
K =
2
2
4
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
L

=
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− −
+ −
N =

2 3
1
3
lim
1
x
x x x
x
→
+ + −
−
O =
2
lim ( 4 2 )
x
x x x
→−∞
+ −
P =
2
lim ( 1 )
x
x x x
→+∞
+ + −
Q

=
2
2 7 5

lim
2
x
x x
x
→
+ + + −
−
S

=
3
1
7. 5
lim
1
x
x x
x
→
+ −
−
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số:





=
≠

−
−
=
2,4
2,
2
4
)(
2
x
x
x
x
xf
tại điểm x
o
= 2.
Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số:





=
≠
−
−−
=
3,4
3,

3
32
)(
2
x
x
x
xx
xf
trên tập xác định của nó.
Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số:





−≤−
−>
+
−
=
1,2
1,
1
1
)(
2
x
x
x

x
xf
tại điểm x
o
= -1
Bài 6: Xét tính liên tục của hàm số:





−≥
−<
+
++
=
2,3
2,
2
6
)(
x
x
x
xx
xf
trên tập xác định của nó.
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số:
149
3

)(
2
+−
−
=
xx
x
xf
trên R
Bài 8: a)Chứng minh phương trình: 2x
4
+ 4x
2
+ x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình: 2x
3
– 10x – 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
c) Chứng minh phương trình : 1- x - sinx = 0 lu«n cã nghiÖm.
d) Chứng minh phương trình :
3
3 1 0x x
− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 9: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
)12)(33(
22
−++−= xxxxy
b)
5

42
2
+−=
x
x
y
c)
2
1
2
2
+
+
=
x
x
y
d)
)1
1
)(1( −+=
x
xy
e)
52
)21( xy −=
g)
5
23
+−= xxy

h)
3
1
12






−
+
=
x
x
y
i)
)12(sin
33
−= xy
k)
)2(cossin
2
xy =

l)
2
2sin xy +=
m)

32
)2sin2( xy +=
n)
2
2
tan
3
x
y
=

Bµi 10: Giải bất phương trình f
’
(x) ≥ 0, biết rằng f(x) =
2
45
2
−
+−
x
xx

Bài 11: Cho hàm số f(x) = x
5
+ x
3
– 2x - 3. Chứng minh f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Bài 12: Cho hàm số
xx
xx

y
cossin1
cossin
33
−
+
=
. Chứng minh y’’ = - y
Bài 13: Cho các hàm số
xxgvàxxxf 4cos
4
1
)(cossin)(
44
=+=
. Chứng minh
)()(
''
xgxf =
Bµi 14: Cho hµm sè f(x) = x
3
+ 2x
2
-3x + 1 cã ®å thÞ lµ (C)
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) tại điểm M( -1; 5)
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) tại điểm cã hoµnh ®é bằng -2
c) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ hµm sè g(x) = x
3
d) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y =-3x +1
Bi 15: Cho hm s y =

2
2 3x x
+
a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ó cho ti im cú tung 3
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ó cho bit tip tuyn cú h s gúc bng 3
II/ Hỡnh hc:
Bi 1 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O; SA

(ABCD). Gi H, I,
K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn SB, SC, SD.
a) Chng minh rng BC

( SAB); CD

(SAD); BD

(SAC)
b) Chng minh rng AH, AK cựng vuụng gúc vi SC. T ú suy ra ba ng thng AH,
AI, AK cựng nm trong mt mt phng.
c) Chng minh rng HK

(SAC). T ú suy ra HK

AI
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng gúc ti A, gi O, I, J ln lt l trung im ca cỏc cnh
BC, AB, AC. Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti O ta ly mt im S
(khỏc O). Chng minh rng:
a)(SBC)

(ABC) b) (SOI)

(SAB) c)(SOI)

(SOJ).
Bi 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht. Mt SAB l tam giỏc cõn ti
S v mt phng (SAB)

(ABCD). Gi I l trung im ca on thng AB. Chng minh
a) BC

(SAB) b) AD

(SAB). b) SI

(ABCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều ,
2SC a=
. Gọi H và K lần lợt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng
a) SH

(ABCD) b) AC

SK c) CK

SD
Bài 5: Cho chóp S.ABCD có SA

(ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đờng
cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC

BD
a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Tính AD.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Cạnh bên SA

(ABCD) và SA=a
a) Chứng minh (SAB)

(SBC) b) Tính góc giữa đờng thẳng SB và CD
c) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng SB và AD
Bài 7:. Cho hỡnh vuụng ABCD. Gi Sl im trong khụng gino cho SAB l tam giỏc u v
mp(SAB)

(ABCD).
a) CMR (SAB)

(SAD) b)(SAB)

(SBC) c) Tớnh gúc gia hai mp(SAD) v (SBC)
Bài 8: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a,SA=a và vuông
góc với mặt phẳng ABC
a) Chứng minh rằng (SAB)

(SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c) Gọi O là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

Bài 9: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA=a và vuông
góc với (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm cạnh SC, CD
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)

b) Tính khoảng cách từ I đến (SBD)
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBM)
Bài 10: cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và vuông góc
với (ABCD). Tính khoảng cách giữa các đờng thẳng
a) SB và AD b) SC và BD c) SB và CD
Bi 11: Cho hỡnh chúp tam giỏc u SABC cú cnh ỏy bng 3a, cnh bờn bng
2 3
3
a
.
a) Tớnh khong cỏch t S ti mt ỏy ca hỡnh chúp
b) Tớnh gúc hp bi cnh bờn SB vi mt ỏy ca hỡnh chúp.
c) Tớnh tan ca gúc hp bi mt phng (SBC) v (ABC).
THAM KHO
Cõu 1: (1,5 im) Tớnh cỏc gii hn:
a.
42
53
lim
2

+
+

x
x
x
b.
)2(
2

lim
xxx
x
+
+
c.
2
132
lim
2



x
x
x
Cõu 2: (1,5 im) Xột tớnh liờn tc ca hm s sau trờn R:






=


+
=
3,52
3,

3
65
)(
2
xx
x
x
xx
xf
Cõu 3: (1,5 im) Tỡm o hm ca hm s sau:
a. y = sin(x
2
- 3x) b.
5
4
3
)
4
(
x
xy
+=
c.
1
1
+

=
x
x

y
Cõu 4: (1,5 im) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = x
3
- 2x
2
+ 1 bit tip
tuyn ú song song vi ng thng y = -x + 1
Cõu 5: ( 1im) Gii bt phng trỡnh
0)(
'
xf
bit
1
1
)(
2

++
=
x
xx
xf
Cõu 6: (3 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn SA =
2a
v SA vuụng gúc vi ỏy (ABCD).
a. Chng minh (SAC) (ABCD)
b. Tớnh gúc gia ng thng SC vi mt phng (ABCD)
c. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng BD v SC.
T Toỏn - Trng THPT Chu Vn An - Qung Tr