Đề thi hsg toán Huyện An Lão

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Khoá ngày 15/01/2010
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Bài 1. ( 4,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính:
2 2 2 + + +
2) Tìm tất cả các giá trị x,y,z thoả mãn đẵng thức:
x y z+ +
=
x y z+ +
Bài 2. (4.0 điểm). Cho biểu thức:
A=
2 2 1
1
1 1
x x x x
x
x x x
− +
− + +
− − +
1) Tìm x để A có nghĩa? Rút gọn A.
2) Tìm giá trị bé nhất của A.
Bài 3. (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho các đường thẳng:
(d): y =
1
2
2
x −

, (d
1
): y =
1
2
x
, (d
2
): y = -2x + 4 , (d
3
) : y = -2x – 2
1) Bốn đường thẳng trên giới hạn một tứ giác gì?
2) Tính diện tích tứ giác đó.
Bài 4. (3,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
3 2
2
2
4 10
2
2
x y x y
x y x y
−

+ = −

− +




− =

− +


2) Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

2 1
2 2 1
mx y m
x my m
+ = +


+ = −

Bài 5. (6,5 điểm)
1) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường
tròn. Trên cung AB lấy điểm (M ≠ A, M ≠ B). Tiếp tuyến tại M với đường tròn cắt Ax, By lần
lượt tại C, D.
a. Chứng minh AC.BD = R
2
=
2
4
AB
b. Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
2) Cho tam giác ABC và một điểm D nằm trong tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là
trọng tâm của tam giác ADB, ADC, BDC.

a. Chứng minh MP song song với AC
b. Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC