Chuyên đề :Chứng minh một tứ giác nội tiếp như thế nào?

Chuyên mục: Học như thế nào ?
Kỳ I: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NHƯ THẾ
NÀO ?
Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, trước hết cần hiểu thế nào là
một tứ giác nội tiếp đường tròn; biết có những tứ giác nào nội tiếp được, tứ giác
nào không nội tiếp được và điều cơ bản là phải nắm được điều kiện để một tứ
giác nội tiếp được một đường tròn. Sau đó ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo,
một trong các phương pháp chủ yếu sau:
Phường pháp 1: Lợi dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung.
Nếu hai hay nhiều tam giác vuông có cạnh huyền chung thì ta có thể chứng
minh đa giác tạo thành bởi các đỉnh của các tam giác đó nội tiếp trong đường
tròn.
Ví dụ minh hoạ: Cho đường tròn tâm O và đường thẳng xy không cắt
đường tròn đó. Từ O hạ OA vuông góc xy (A
∈
xy); từ A kẻ một cát tuyến bất
kỳ cắt đường tròn tại B và C; tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt xy ở D và
E. Chứng minh các tứ giác ODAB và OCEA nội tiếp được.
Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vuông
góc với BD (tiếp tuyến vuông góc với bán kính
tại tiếp điểm ) => góc OBD = 90
0
và có thêm góc
OAD = 90
0
(gt) => tứ giác ODAB nội tiếp (A và
B nhìn đoạn OD dưới góc 90
0
không đổi).
Dễ dàng chỉ ra được tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác này là trung điểm của DO.

-Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp được
Hãy giải tương tự 3 bài tập sau:
a) Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và
cát tuyến MCD của đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh
5 điểm M, A, O, I, B thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng nếu từ một điểm vẽ các tiếp tuyến với hai đường tròn
đồng tâm thì tất cả các tiếp điểm tạo thành một tứ giác nội tiếp.
c) Bài tập 97 (trang 105 SGK Toán 9 tập 2).
Phương pháp 2: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180
0
thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn (định lý trang 88 SGK Toán 9 tập 2). Hay
nếu một tứ giác có một góc ngoài bằng góc trong đối diện với góc kề của nó thì
tứ giác đó nội tiếp được.
y
x
O
A
C
B
ED
2
G
D
E
A
B
A
D
C
B

F
2
Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A là điểm chính giữa của cung BC từ A kẻ hai
dây cung AD và AE bất kỳ, cắt BC tại F và G. Chứng minh tứ giác DFGE nội
tiếp được.
Gợi ý:
Cách 1: Để chứng minh tứ giác DFGE
nội tiếp được ta cần chúng minh góc D + góc
G
1
= 180
0
. Vậy thử xét quan hệ giữa tổng số
đo hai góc này với số đo các cung có liên
quan như thế nào ? Ta có góc D =
2
1
sđ cung
AE (số đo góc nội tiếp bằng nữa số đo cung
bị chắn) => góc D = (sđ cung AC + sđ cung
CE) : 2 (vì C thuộc cung AE) (1). Còn góc G
1
= (sđ cung AC + sđ cung BDE) : 2 (G là góc
có đỉnh ở bên trong đường tròn) => góc G
1
=
(sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung DE) : 2
= (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung DE) : 2 (vì
cung AB = cung AC) (2). Cộng từng vế (1)
và (2) ta có góc D + góc G

1
= 360
0
: 2 = 180
0
= > DFGE nội tiếp được.
Cách 2: Ta có thể chứng minh góc D = góc G
2
mà góc G
1
+ G
2
= 180
0
(hai
góc kề bù) => góc D + góc G
1
= 180
0
=> điều phải chứng minh.
Các em có thể áp dụng phương pháp này để làm các bài tập 54, 58 (SGK
Toán 9 tập 2).
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai đường thẳng cắt
tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B ở E và F, cắt đường tròn ở C và D. Chứng
minh tứ giác CDFE nội tiếp được.
Để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp
được ta cần chứng minh góc E
2

+ góc D

2
=
180
0
là được nhưng góc D
1
+ góc D
2
= 180
0
(hai góc kề bù). Vậy chỉ cần chứng minh góc
E
2
= góc D
1

Ta có góc D
1
= góc B
1
(hai góc nội tiếp
cùng chắn cung AC). Như vậy cần chứng
minh góc E
2
= góc B
1
là được. Dễ thấy hai góc
này cùng phụ với góc A
1
(do góc ACB = 90

0
và góc ABE = 90
0
).
(Còn nữa )
E
C
O .
1 G
2
O .