Đề HSG 11 Hậu Lộc 4 - Thanh hóa 2009-2010

TRNG THPT HU LC 4
***
THI HC SINH GII NM HC 2009 2010
Mụn thi: TON - Khi 11
(Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao )
Cõu I: (4 im)
Cho phng trỡnh: (3-m)sinx 4sin
3
x = (2-m)(1-cos2x)
1. Gii phng trỡnh vi m = 3
2. Tỡm m phng trỡnh ó cho cú 10 nghim thuc
( )
0;3

Cõu II: (5 im)
Cho khai trin
( )
0 1
1 2
n
n
n
x a a x a x
+ = + + +
, trong ú
*
nN

1. Tớnh
1
0

2 2
n
n
a
a
A a
= + + +
vi
10n
=
.
2. Bit cỏc h s
0 1
, , ,
n
a a a
tha món h thc
3
0 1
81
n
a a a
+ + + =
.
Tỡm s ln nht trong cỏc s
0 1
, , ,
n
a a a

.
Cõu III: (4 im)
1. Cho các số 1, 2, 3, 4. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số
1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1.
2. Tớnh gii hn:
( )
x
xx
x
13121
lim
3
0
++

Cõu IV: (5 im)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và
BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung điểm của BM, D là trung điểm của
BN. EM cắt AC tại I, EN cắt AD tại J .
1. Chứng minh IJ // (BCD).
2. Tính diện tích tam giác EIJ theo a.
Cõu V: (2 im)
Cho phng trỡnh:
( ) ( )
2 4 2
8 1 2 8 8 1 1x x x x + =
Xỏc nh s nghim ca phng trỡnh trờn on [0;1].
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . SBD: . lớp:
TRNG THPT HU LC 4

***
P N THANG IM
THI HSG MễN TON KHI 11 NM HC 2009 2010
Cõu í Ni dung im
I Cho phng trỡnh: (3-m)sinx 4sin
3
x = (2-m)(1-cos2x) (1) 4,0
I.1 Gii phng trỡnh vi m = 3 2,0
Vi m = 3 ta cú: (1)

4sin
3
x = cos2x 1
=
=



=


3 2
4sin 2sin 0
sin 0
1
sin
2
x x
x
x

0,5
0,5
0,5







=


= +



= +

2 (k Z)
6
5
2
6
x k
x k
x k
0,5
I.2
Tỡm m phng trỡnh ó cho cú 10 nghim thuc

( )
0;3

2,0
( )
( )
( )
2
(1) sin 4sin 2(2 )sin 3 0
sin 0 2
1
sin 3
2
3
sin 4
2
x x m x m
x
x
m
x

+ + =



=

=

=


0,25
0,5
Vì
( )
x 0;3


nên pt(2) có nghiệm là
, 2x x

= =
pt(3) nghiệm là
5 13 17
, , ,
6 6 6 6
x x x x

= = = =

Vậy để pt (1) có 10 nghiệm thuộc
( )
0;3

thì pt(4) có 4 nghiệm pb

khác các nghiệm của pt(2) v pt(3).
Biện luận để (4) có 4 nghiệm thoả mãn
là









< <


< <


3 1
4
2 2
3 3 5
0 1
2
m
m
m m
0,5
II Cho khai trin
( )

0 1
1 2
n
n
n
x a a x a x
+ = + + +
, trong ú
*
nN
5,0
II.1 Tớnh
1
0

2 2
n
n
a
a
A a
= + + +
vi
10n
=
. 2,0
t
( ) ( )
0 1
1 2

n
n
n
f x x a a x a x= + = + + +
.
1
0
1 1
1 2. 2
2 2 2 2
n
n
n
n
a
a
A a f

= + + + = = + =
ữ ữ

Vi
10n
=
ta cú A = 2
10
= 1024
0,5
1,0
0,5

II.2
Bit cỏc h s
0 1
, , ,
n
a a a
tha món h thc
3
0 1
81
n
a a a
+ + + =
Tỡm s ln nht trong cỏc s
0 1
, , ,
n
a a a
.
3,0
Ta cú
( )
3 3 12
0 1
81 1 81 3 3 12
n
n
a a a f n
+ + + = = = =
1,0

Vi mi
{ }
0,1,2, ,11k
ta cú
12
2 ,
k k
k
a C
=

1 1
1 12
2
k k
k
a C
+ +
+
=
( )
12
1 1
1 12
2 1 23
1 1 1
2 2 12 3
k k
k
k k

k
a
C k
k
a C k
+ +
+
+
< < < <


7.k

Do ú
0 1 8
a a a< < <
1,0
Tng t
1
1 7
k
k
a
k
a
+
> >
, do ú
8 9 12
a a a> > >

Vy s ln nht trong cỏc s
0 1 12
, , ,a a a
l
8 8
8 12
2 126720.a C
= =
1,0
III 4,0
III.1
Cho các số 1, 2, 3, 4. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong
đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1.
2,0
Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử
1,1,2,3,4
do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là
5
2
60
P
P
=
1,0
1,0
III.2 Tớnh gii hn:
( )
x
xx
x

13121
lim
3
0
++

2,0
( )
( ) ( ) ( )
3
0
3 3 3
0
1 2 1 3 1
lim
1 2 1 3 1 2 + 1 2 1
lim
x
x
x x
x
x x x x
x


+ +
+ + + +
=
0,5
( )

( )
( )
3
3
1 2 1 3 1
1 2 1
lim
0
x x
x
x x
x





+ +
+
= +

0,5
( )
(
)
( )
3
3
0 0
1 2 1 3 1

1 2 1
lim lim
3 15
6
2 2
x x
x x
x
x x

+ +
+
= +
= + =
IV
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AB.Trên hai
đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung
điểm của BM, D là trung điểm của BN. EM cắt AC tại I, EN cắt
AD tại J .
5,0
IV.1
Chứng minh IJ // (BCD).
2,0
Có I,J lần lợt là trọng tâm của tam giác ABM và ABN
CDJI
AD
JA
AC
AI
//

3
2
==
Mà
( ) / /( )CD BCD IJ BCD
.
0,25
1,0
0,5
0,25
IV.2
Tính diện tích tam giác EIJ theo a.
3,0
Chỉ ra tam giác EIJ cân tại E
1,0
Có
2
;
2 3
a a
AE AI= =
0,25
36
13
60cos 2
2
0222
a
AIAEAIAEEI =+=
Có

2 2
3 3
a
IJ CD= =
1,0
2
2
2 2
13
36 3 2
a a a
EH EI IH

= = =
ữ

0,5
2
6
EIJ
a
S
∆
⇒ =
0,25
V
Cho phương trình:
( ) ( )
2 4 2
8 1 2 8 8 1 1x x x x− − + =

Xác định số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;1].
2,0
Do
[ ]
0;1x∈
nên đặt
sinx t=
, suy ra
0;
2
t
π
 
∈
 
 
. Pt (1) đã cho trở
thành:
( ) ( )
2 4 2
8sin 1 2sin 8sin 8sin 1 1t t t t− − + =
0,5
8sin .cos2 .cos4 1 (2)t t t⇔ =
0,25
Nhận thấy cost = 0 không phải là nghiệm, ta có:
(2)
8cos .sin .cos2 .cos4 cos t t t t t⇔ =

sin8 cost t⇔ =

2
, k Z
18 9
2
, l Z
14 7
k
t
l
t
π π
π π

= + ∈

⇔


= + ∈


0,5
Vì
0;
2
t
π
 
∈
 

 
cho nên chỉ có k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả mãn.
5 5
; ; ; .
18 18 14 14
t t t t
π π π π
⇒ = = = =
0,25
Mặt khác: số nghiệm của pt (2) với
0;
2
t
π
 
∈
 
 
bằng số nghiệm của
pt (1) với
[ ]
0;1x∈
.
Vậy, trên đoạn
[ ]
0;1
pt (1) có bốn nghiệm là:

5 5
sin ; sin ; sin ; sin

18 18 14 14
x x x x
π π π π
= = = =
.
0,5