Hướng dẫn đề cương ôn tập hình học lớp 11 BC

Phần Hình Học
1. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
, đặt
= = =
uuur r uuur r uuur r
' , ,AA a AB b AC c
. Gọi I là trung điểm của B’C’.
a. Phân tích véctơ
uur
AI
theo các vétơ
r r r
, ,a b c
.
b. Phân tích vétơ
uuur
AO
theo các véctơ
r r r
, ,a b c
, với O là tâm của hình bình hành BB’C’C.
c. Phân tích vétơ
uuur
AG
theo các véctơ
r r r
, ,a b c
, với G là trọng tâm của
∆
' ' 'A B C

.
d. Chứng minh rằng:
( ) ( )
= + = +
uuuur uuuur uuuuur uuur uuuuur
1 1
' ' ' ' ' '
2 2
MN AC A B AB A C
, với M, N lần lượt là trung điểm của AA’,
B’C’.
e. Chứng minh rằng:
( )
= + + +
uuur uuur uuur uuuur uuur
1
' '
4
AO AB AB AC AC
1/
( ) ( )
1 1 1 1
' '
2 2 2 2
AI AB AC a b a c a b c
= + = + + + = + +
uur uuuur uuuur r r r r r r r
( ) ( )
( ) ( )
( )

1 1
'
1
2 2
1 1
4
'
2 2
AO AC AB a c b
AO a c b
AO AC AB a c b

= + = + +


⇒ = + +


= + = + +


uuur uuuur uuur r r r
uuur r r r
uuur uuur uuuur r r r
( ) ( )
1 1
' ' '
3 3
2 1 2
3 3 3

AG AA AB AC a a b a c
a b c
= + + = + + + +
= + +
uuur uuur uuuur uuuur r r r r r
r r r
d/Chứng minh rằng:
( ) ( )
= + = +
uuuur uuuur uuuuur uuur uuuuur
1 1
' ' ' ' ' '
2 2
MN AC A B AB A C
,
với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’.
Chứng minh:
( ) ( )
1 1
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
2 2
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
AC A B AB A C AC A B AC A C
AC AB A C A B B C B C
+ = + ⇔ + = +
⇔ − = − ⇔ =
uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
2/
3/ Cho hình chóp S.ABC có AB =

2a
, SA = SB = SC =a. Gọi H là trực tâm của
∆
ABC
.
a. Chứng minh rằng:
⊥ ⊥
,SA BC SB AC
b. Chứng minh rằng:
( )
⊥
SH ABC
.
c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có
SB =SC suy ra SN
⊥
BC, AH
⊥
BC suy ra BC
⊥
SA
Tương tự AC
⊥
SB
Ta có
SN BC
BC SH
AH BC
⊥


⇒ ⊥

⊥

Tương tự AB
⊥
SH
Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 1
c
r
a
r
b
r
b/ Từ câu a Suy ra
( )
⊥
SH ABC
c. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
Ta có
( )
HS ABC
⊥
suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)
Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA
( )
3
3
3

cos
2
2
3
b
AH b
SAH
a
SA a
= = =

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 
trong đó α là góc sao cho
3
cos
2
b
a
α
=
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
( )
⊥
SA ABCD
, SA = a,
·
= °
120BAD
.
a. Tính số đo góc của BD và SC.

b. Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng:
( )
⊥
OH ABCD

c. Tính số đo của góc SB và CD.
a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra
AC BD
⊥
( )
SA ABCD
⊥ ⇒
AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Suy ra góc giữa chúng bằng 90
0
b/ Ta có OH là đường trung bình của tam giác CSA suy ra HO // SA
mà
( ) ( )
SA ABCD OH ABCD
⊥ ⇒ ⊥
c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB
bằng 45
0
vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O,
·
= °
30BAC
,
= = = =

SA SB SC SD a
.
a. Chứng minh rằng:
( )
⊥
SO ABCD
.
b. Tính góc giữa SC và (ABCD).
c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng:
( )
⊥
MN SBD
.
d. Tính khoảng cách giữa SB và AC.
a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên
( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥

⇒ ⊥

⊥

b/ Ta có
( )
SO ABCD
⊥
suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)

Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 2
vì
·
0
30BCA =
suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra
3
2
a
CO =
·
( )
·
0
3
cos 30
2
OC
SCO SCO
SC
= = ⇒ =
.Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 30
0

c/ Ta có
( )
( )
( )
( )
SO ABCD SO BD

BD SO
BD SAB
DB AC
BD SAB
MN SAB
MN AC
⊥ ⇒ ⊥
⊥

⇒ ⊥

⊥

⊥


⇒ ⊥



P
d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB
Ta có
( )
AC SBD AC HO
⊥ ⇒ ⊥
. Đoạn thẳng OH là đoạn
vuông góc chung của AC và SB
Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =
2

a
7/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là
∆
ABC
cân tại A, đường cao AH là đường cao của
tam giác ABC và AH= a, góc
·
= °
120BAC
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
=
3SA a
. Goi
K là hình chiếu vuông góc của A lên SH.
a. Chứng minh rằng:
( )
⊥
AK SBC
.
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có
( )
SA ABC SA BC
⊥ ⇒ ⊥
HA là đường cao của tg ABC suy ra
AH BC
⊥
( )
( )

( )
AH BC
BC SAH
SA BC
BC SAH
BC AK
AK SAH
⊥

⇒ ⊥

⊥

⊥ 

⇒ ⊥

⊂


K là hình chiếu của A lên SH suy ra
AK SH
⊥
( )
AK SH
BC AK AK SBC
BC SH H
⊥



⊥ ⇒ ⊥


∩ =

b/
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
( )
·
, ,
,
AH ACB
SH SBC
ABC SBC SH AH AHS
SBC ABC BC
SH AH BC
⊂


⊂

⇒ = =


∩ =


⊥

0
tan 3 60
SA
H H
AH
= = ⇒ =
Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 3
Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a
8/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
·
= °
60BAD
,
=
3
2
a
SA
. Hình chiếu H
của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của
∆
ABD
.
a. Chứng minh rằng:
( )

⊥
BD SAC
. Tính SH, SC.
b. Gọi
α
là góc của (SBD) và (ABCD). Tính
α
tan
c. Tính khoảng cách giữa DC và SA.
a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH
⊥
BD
ABCD là hình thoi suy ra AC
⊥
BD
( )
SH BD
AC BD BD SAC
SH AC H
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

ABCD là hình thoi cạnh a và góc
·
0

60BAD
=
nên tam giác ABD là
tam giác đều cạnh a.
3 3
;
6 2
a a
OH OA OC
= = =
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
3 2 3 2 3 3 5
.
2 3 2 3 2 4 3 12
5
12
5 4 5
12 3 12 3
3
2
a a a a a a
SH SA AH AO
SH a
a a a

SC SH HC AO
a
SC
     
 
= − = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     
⇒ =
 
= + = + = +
 ÷
 
⇒ =
b/ Ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
·
( )
,
5 6
tan . 5
12
3
SAC BD
SAC ABCD AC OH SO

SAC SBD SO
SH
a
HO
a
α
α
⊥


∩ = ⇒ =


∩ =

= = =
9/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là
∆
ABC
đều cạnh 2a,
( )
⊥
SA ABC
, SA = a. Gọi I là trung điểm của
BC.
a. Chứng minh rằng:
( )
⊥
BC SAI
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
a/ Ta có
( )
SA ABC SA BC
⊥ ⇒ ⊥
(1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC
⊥
(SAI)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)
Ta có
Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 4
( ) ( )
( ) ( )
SBC SAI
H SI
SBC SAI SI
⊥ 

⇒ ∈

∩


Xét tam giác vuông SAI có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 3

3 2
a
AH
AH AI SA AH a
= + ⇒ = ⇒ =
c/ Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
( )
¶
¶
( )
¶
0
, ,
3
tan 30
3
3
2
2
BC SAI
ABC ABC BC

SBC ABC SI AI SIA
SBC SAI SI
ABC SAI AI
SA a
SIA SIA
AI
a
⊥ 

∩ =

⇒ = =

∩ =


∩ =

= = = ⇒ =
10/ Cho hình chóp S.ABC,
( )
⊥
SA ABC
,
∆
ABC
đều. Gọi I là hình chiếu của S lên BC, H là hình chiếu
của A lên SI và
= =2 3, 2SA a AB a
.

a. Chứng minh rằng:
( )
⊥
AH SBC
.
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)
c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có
( )
SA ABC SA BC
⊥ ⇒ ⊥
(1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI
⊥
BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC
⊥
(SAI)
( )
( )
BC SAI
SA AH
AH SAI
⊥ 

⇒ ⊥

⊂



2 3a
H là hình chiếu của A lên SI nên
AH SI
⊥
( )
SA AH
SI AH AH SBC
SI BC I
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

b/
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
( )
¶ ¶
( )
¶

2 3
, , ; tan 2
3
2
2
BC SAI
ABC ABC BC
SA a
SBC ABC SI AI SIA SIA SIA
AI
SBC SAI SI
a
ABC SAI AI
α
⊥ 

∩ =

⇒ = = = = = ⇒ =

∩ =


∩ =

Trong đó α là góc sao cho tan α = 2
c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI =
2 3a
Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 5
11.Cho hình chóp S.ABC có đáy là

∆
ABC
vuông cân với AB = BC = a,
( )
⊥
SA ABC
, SA = a. Gọi I là
trung điểm của AC.
a. Chứng minh rằng:
( )
⊥
BI SAC
b. Tính số đo của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).
c. Tính khoảng cách giữa SB và AC.
Hướng Dẫn Ôn Tập HK II 11B – C Trang 6